Corrigé

DTL de mathématiques
Terminale ES2
Lois de probabilité à densité - CORRIGE
Exercice 1 :
Les deux rives d’un estuaire sont reliées par un service régulier de bateaux ; ces derniers quittent la rive nord
exactement toutes les 10 minutes. Monsieur Dulac séjourne sur la rive nord et traverse l’estuaire une fois par jour
pour se rendre dans la partie sud ; Son arrivée au point d’embarquement sur la rive nord se fait au hasard.
1) Le temps en minutes séparant l’arrivée de Monsieur Dulac à l’embarcadère du prochain départ du bateau
définit une variable aléatoire T qui suit une loi uniforme.
a) Quel est le temps d’attente moyen de Monsieur Dulac à l’embarcadère ?
T suit une loi uniforme sur [0 ;10]. Le temps moyen d’attente correspond à l’espérance de T.
Le temps moyen est donc : E T  
0  10
5
2
b) Quelle est la probabilité p, qu’un jour donné, Monsieur Dulac attende plus de 7 minutes à
l’embarcadère ?
PT  7  
10  7
 0,3 . La probabilité p que monsieur Dulac attente plus de 7 minutes est de 0,3.
10  0
2) Monsieur Dulac séjourne 10 jours sur la rive nord. Le nombre de jours où son attente est supérieure à 7
minutes définit une variable aléatoire X de probabilité de succès p. On suppose que l’arrivée de Monsieur
Dulac à l’embarcadère se fait de façon indépendante d’un jour à l’autre.
a) Justifier que la loi suivie par X est une loi binomiale. Préciser ses paramètres ? Déterminer E(X).
 On réalise 10 fois de façon indépendante l’épreuve de Bernoulli associée à l’événement
« Monsieur Dulac attend plus de 7 minutes » de probabilité de succès p
 La variable aléatoire qui compte ce nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètre
n=10 et de probabilité p=0,3
 Espérance : E  X   n  p  0,3
b) Calculer à 10-3 près, la probabilité que Monsieur Dulac n’attende jamais plus de 7 minutes à
l’embarcadère.
10  0
0,3  0,710  0,028 à 10-3 près
0
Cette probabilité revient à calculer P X  0  
c) Calculer P X  3 à 10-3 près.
P X  3 = P X  0 + P X  1 + P X  2 + P X  3  0,650 à 10-3 près
Exercice 2 :
Un fabricant considère que le nombre de vente journalières d’un de ses articles est une variable X qui suit
une loi normale N  , 2 avec   3000 et   520 .
Les probabilités seront données arrondies au millième le plus proche.
Partie A
1) Déterminer la probabilité pour que le nombre de ventes journalières soit compris entre 2500 et 3500
articles.
P2500  X  3500  0,664 à 10-3 près
la probabilité pour que le nombre de ventes journalières soit compris entre 2500 et 3500 articles est de
0,664.


2) Déterminer la probabilité pour que le nombre de ventes journalières soit inférieur à 2000 articles.
P X  2000  0,027 à 10-3 près
3) Quel est le nombre minimum de ventes journalières réalisé avec une probabilité de 0,99 ?
On cherche ne nombre k tel que P X  k   0,99 . A l’aide de la calculatrice, on trouve 1790.
A 99%, le nombre minimum de ventes journalières est supérieur à 1790.
Partie B
Le bénéfice exprimé en euros, réalisé par le fabricant sur la vente d’un article est égal à 12 €. Le fabricant doit faire
face à des frais fixes journaliers égaux à 34000 €.
On note B la variable aléatoire égale au bénéfice journalier total réalisé par le fabricant pour la vente de X articles. B
est donc une variable aléatoire
1) Justifier que B  12 X  34000
X est la variable aléatoire qui représente le nombre de ventes journalières.
Chaque article lui rapporte 12 euros, soit 12X pour X ventes, auquel il faut retirer les frais fixes de 34000.
On arrive ainsi à définir la variable aléatoire égale au bénéfice : B  12 X  34000
On admet que B suit une loi normale de paramètre  B  12  34000 et  B  12 .
2) Quelle est la probabilité d’obtenir un bénéfice journalier supérieur à 20000 euros ?
Déterminons en premier lieu  B et  B .
On a :
 B  12  34000  12  3000  34000  2000
 B  12  12  520  6240
PB  20000  0,002 au millième près
La probabilité d’obtenir un bénéfice supérieur à 20000 euros est de 0,002
3) Quelle est la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité (c'est-à-dire d’avoir B  0 )
PB  0  0,626
La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité est de 0,626
Partie C
Le délai de livraison de chaque article chez un client, en heures est une variable aléatoire D qui suit une loi normale
de moyenne  D  30 et d’écart-type inconnu  D .
Déterminer l’écart type pour que 95% des livraisons se réalisent avec un délai inférieur à 36 heures.

 si et seulement si T  D 30 suit une loi N 0,1

Définition : D suit une loi normale N 30,  D

Traduction de l’énoncé : On cherche l’écart-type pour que PD  36  0,95
2
D

 D  30 36  30 

6 
  0,95  P T 
  0,95 avec T suit la loi N 0,1
PD  36  0,95  P

D 
 D 
 D

6
6
 3,65 .
Par lecture inverse à l’aide de la calculatrice, on obtient
 1,645 , d’où  D 
1,645
D
Pour que 95% des livraisons se réalisent avec un délai inférieur à 36 heures, il faut un écart-type d’environ 3
heures et 39 minutes environ.
Exercice 3 :
f est la fonction de densité définie sur [0 ;4] et représentée graphiquement ci-contre
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans [0 ;4] dont la loi de probabilité a pour densité la fonction f.
a) Vérifier que l’aire délimités par la courbe de f et l’axe des abscisses sur l’intervalle [0 ;4], en unité d’aire est
égale à 1.
4
2
3
4
0
0
2
3
A   f x dx   f x dx   f x dx   f x dx 
2  0,4
1 0,4
 0,4 1 
 1 u.a.
2
2
L’(aire recherchée est donc bien égale à 1 u.a.
b) Calculer P1  X  3 et P X  2
3
P1  X  3   f x dx 
0,2  0,41  0,4 1  0,7
1
4
P X  2   f x dx  0,4  1 
2
c) Calculer PX 2  X  2,5
PX 2  X  2,5 
2
1  0,4
 0,6
2
PX  2,5 X  2 P2  X  2,5 0,4  0,5 1



P X  2 
P X  2 
0,6
3