Séminaire BOURBAKI, 13e année, 1960/61, Exposé n o 212 Fevrier

Séminaire BOURBAKI, 13e année, 1960/61, Exposé no212 Fevrier 19611
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TECHNIQUE DE CONSTRUCTION ET THÉORÈMES D’EXISTENCE EN3
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE.4
III. PRÉSCHEMAS QUOTIENTS5
ALEXANDER GROTHENDIECK6
Résumé. This file represents a L
A
T
EX transcription of Technique de construction et théo-
rèmes d’existence en géométrie algébrique III : préschémas quotients which forms a part of a
series of talks Grothendieck gave at the Bourbaki Seminar, commonly referred to as Fondements
de la Géometrie Algébrique, or FGA as archived on www.numdam.org. The erratum for the
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Les problèmes traites dans le présent expose diffèrent de ceux envisages dans les deux précédents,7
en ce qu’on essaye de représenter certains foncteurs covariants, et non plus contravariants, de8
schémas variables. Le procédé de passage au quotient est cependant essentiel dans beaucoup de9
questions de construction en géométrie algébrique, y compris celles des exposes I et II ([1],[2]).10
Ainsi, la question de l’effectivité d’une donnée de descente sur un T-préschéma X, relativement11
à un morphisme fidèlement plat et quasi-compact T→S, équivaut à la question de l’existence12
d’un quotient de X(satisfaisant les propriétés raisonnables examinées plus bas), pour la relation13
d’équivalence plate dans Xdéfinie par la donnée de descente ; les questions soulevées dans [1], A, §214
c se résoudront sans doute en même temps que les questions posées dans le paragraphe numéro 215
du présent expose. De même, le schéma de Picard (pour la définition, cf. [2], C, §3) d’un S-schéma16
Xpeut se définir de diverses manières comme quotient de certains autres schémas (de diviseurs17
positifs, ou d’immersions dans un projectif) par des relations d’équivalence plates, la définition et18
la construction de ces schémas auxiliaires étant d’ailleurs techniquement plus simple : ce sont en19
effet des schémas du type HomS(X,Y)et variantes définis dans [2], C, §2, et dont la construction20
sera l’objet de l’expose suivant (sous des hypothèses de projectivité convenables). Combinant donc21
les résultats du présent exposé et du suivante on arrive à la construction des schémas de Picard,22
sous des hypothèses convenables.23
Le problème du passage au quotient dans les préschémas offre encore plusieurs questions non24
résolues. La plus importante est mentionnée dans le paragraphe 8. Elle reste actuellement le seul25
obstacle à la construction des schémas de modules sur les entiers pour les courbes de genre arbitraire,26
les variétés abéliennes polarisées, etc. C’est dire que sa solution mérite les efforts des spécialistes27
des groupes algébriques.28
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1. Relations d’équivalence, relations d’équivalence effectives.29
Soient Cune catégorie, et Xun objet de C. Un couple de morphismes30
p1,p2:R⇒X
est dit ”couple d’équivalence” dans C, de but Xet de source R, si pour tout objet Tde C, les deux31
applications correspondantes32
p1(T),p2(T):R(T)⇒X(T)
(où pour tout objet Yde C, on pose Y(T)=Hom (T,Y)) définissent une application33
R(T)→X(T)×X(T)
induisant une bijection de R(T)sur le graphe d’une relation d’équivalence dans l’ensemble X(T). On34
introduit entre les couples d’équivalences de but Xune relation d’équivalence évidente, une classe35
d’équivalence pour cette dernière est appelée une C-relation d’équivalence dans X, ou simplement36
une relation d’équivalence si aucune confusion n’en résulte. Si X×Xexiste, la donnée d’une relation37
d’équivalence dans Xéquivaut à la donnée d’un sous-objet Rde X×X, tel que, pour tout objet T38
de C, le sous-ensemble de (X×X) (T)=X(T)×X(T)qui correspond à R(T)soit le graphe d’une39
relation d’équivalence dans X(T). Désignant par p1et p2les morphismes de Rdans Xinduits par40
les projections pr1et pr2, la condition précédente exprime que (p1,p2)est un couple d’équivalence.41
On peut aussi exprimer diagrammatiquement dans C(sous réserve de l’existence de X×Xet du42
produit fibre (R,p2)×X(R,p1)) les axiomes d’une relation d’équivalence au sens ensembliste pour les43
R(T)dans les X(T), conformément au principe général expliqué dans [2], A §1. Nous n’en aurons44
pas besoin.45
Chaque fois qu’on a un couple le morphismes (p1,p2)de même source Ret de même but X, on46
peut définir le conoyau de couple comme l’objet Yde Cqui représente le foncteur covariant en Z:47
Homp1,p2(X,Z),
ensemble des morphismes ude Xdans Ztels que up1=up2. Si Yexiste, il est déterminé à un48
isomorphisme unique près. On le notera Y/(p1,p2)ou, par abus de notation, Y/R, cette dernière49
notation étant surtout employée lorsque50
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(p1,p2)est un couple d’équivalence : il est d’usage alors d’identifier dans les notations la relation51
d’équivalence définie par le couple, et R. Noter que si on considère Ycomme un quotient de X, il52
ne dépend en effet que de la relation d’équivalence définie par le couple (p1,p2).53
Partons maintenant d’un morphisme54
f:X→Y
qui permet donc de considérer Xcomme un ”objet au-dessus de Y”, et supposons que le produit55
fibre56
R(f)=X×YX
existe. Soient p1et p2ses deux projections. Alors (p1,p2)est un couple d’équivalence, dit associe57
au morphisme f. Il définit donc une relation d’équivalence, dite associée à f.58
On dit qu’un couple de morphismes (p1,p2)de but X, de même source R, est un couple d’équi-59
valence effectif, si60
(i) le conoyau X/(p1,p2)=Yexiste61
(ii) le produit fibre X×YXexiste62
(iii) le morphisme R→X×YXde composantes p1et p2est un isomorphisme.63
Alors le couple (p1,p2)est bien un coulpe d’équivalence. On dit aussi que la relation d’équivalence64
qu’il définit est une relation d’équivalence effective.65
On dit qu’un morphisme f:X→Yest un épimorphisme effectif si66
(i) le produit fibre X×YX=Rexiste ;67
(ii) le quotient X/(p1,p2)existe, où p1et p2sont les deux projections de Rdans X;68
(iii) le morphisme X/(p1,p2)→Yinduit par fest un isomorphisme.69
Alors fest bien un épimorphisme, et même un épimorphisme strict (cf. [1], A §2.3), la réciproque70
étant vraie si le produit fibre X×YXexiste. On dit aussi que l’objet quotient de Xdéfini par71
l’épimorphisme fest un quotient effectif de X.72
Les définitions précédents impliquent la ”correspondance galoisienne” suivante :73
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Proposition 1.1. Il y a correspondance biunivoque, respectant les ordres naturels, entre l’ensemble74
des relations d’équivalence effectives Rdans X, et l’ensemble des quotients effectifs Yde X, à R75
correspondant le quotient effectif X/R, et à Ycorrespondant la relation d’équivalence effective définie76
par la projection canonique X→Y, (qui est définie par le produit fibre X×YXmuni de ses deux77
projections).78
Dans les très bonnes catégories (ensembles, faisceaux d’ensembles, etc.) tout quotient est effectif,79
et toute relation d’équivalence est effective. Il n’en est plus de même dans les catégories telles que80
la catégorie des préschémas au-dessus d’un préschéma Sdonné, même lorsque Sest le spectre d’un81
corps, et même en se bornant aux schémas finis sur S. Les questions d’effectivité, et même (dans le82
cas de préschémas non finis sur S) les questions d’existence de quotients, s’avèrent le plus souvent83
délicates.84
2. Exemple : préschémas finis sur S.85
Soit Cla catégorie des préschémas finis sur S, suppose localement noethérien. Elle est équivalente86
à la catégorie opposée de la catégorie des faisceaux cohérents d’algèbres commutatives sur S, ou87
encore, si Sest affine d’anneau A, à la catégorie opposée de la catégorie des A-algèbres finies sur A88
(i. e. qui sont des modules de type fini sur A). On en conclut tout de suite que dans Cles limites89
projectives finies et les limites inductives finies existent. C’est bien connu (sans aucune hypothèse de90
finitude...) pour les premières. Ainsi le produit fibre de préschémas X,Ysur Scorrespond au produit91
tensoriel B⊗ACdes algèbres correspondantes, le noyau de deux morphismes X⇒Y, défini par deux92
homomorphismes de A-algèbres u,v:C⇒B, correspond au quotient de Bpar l’idéal engendre par93
les u(c)−v(c), etc. Pour les limites inductives finies, il suffit de considérer d’une part les sommes94
finies, qui correspondent au produit ordinaire de A-algèbres, et d’autre part les conoyaux de couples95
de morphismes X⇒Y, qui correspondent en effet, (comme on constate aussitôt) au sous-anneau96
de Censemble des éléments où les homomorphismes u,v:C⇒Bcoïncident (ce dernier est fini sur97
Agrâce à l’hypothèse noethérienne). Notons d’ailleurs qu’on peut montrer, utilisant l’hypothèse98
noethérienne, que les limites inductives finies, et en particulier les quotients, ainsi construits dans99
la catégorie Cdes préschémas finis sur S, sont en réalité des quotients dans la catégorie de tous les100
préschémas.101
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Comme nous avons dit dans [1], il y a dans Cdes épimorphismes non effectifs (ou stricts,102
cela revient au même puisque les produits fibres existent). J’ignore si les relations d’équivalence103
sont toujours effectives, lorsqu’on ne fait pas d’hypothèse de platitude. Je n’ai obtenu, dans cette104
direction, que des résultats très partiels, positifs, indispensables pour la démonstration du théorème105
fondamental en théorie formelle des modules (cf. [2], B, th. 1). Signalons qu’il est facile dans le106
problème posé de se ramener au cas où Sest le spectre d’un anneau Aartinien local, de corps107
résiduel algébriquement clos. Mais même si Aest un corps, la réponse n’est pas connue.108
On peut aussi considérer le cas d’un préschéma Xsur Squi n’est plus suppose fini sur S, mais en109
considérant une relation d’équivalence Rdans Xtelle que p1:R→Xsoit un morphisme fini. On110
dit alors que Rest une relation d’équivalence finie. Supposant pour simplifier Set Xaffines (donc111
Raffine, de sorte que la situation est ramenée à une situation de pure algèbre commutative), on112
ignore même dans ce cas s’il existe un quotient X/R=Yet si le morphisme canonique X→Yest113
fini. (Le cas le plus simple est celui oú on suppose que Sest le spectre d’un corps k, et où Xest le114
spectre de k[t], i.e. la droite affine). Bien entendu, si les deux problèmes précédents se résolvent par115
l’affirmative, on peut conclure dans la situation présente que Rest effective. Notons que le problème116
de l’existence d’un quotient Yet de la finitude de f:X→Yse pose dans exactement les mêmes117
termes si, au lieu d’un graphe d’équivalence dans X, on a seulement un prégraphe d’équivalence118
dans X, au sens du paragraphe 4.119
La question du passage au quotient par une relation d’équivalence finie plus ou moins arbi-120
traire se pose dans la construction des préschémas par ”recollement” de préschémas donnés Xi 121
suivant certains sous-préschémas fermés ; la loi du recollement s’exprime précisément par une rela-122
tion d’équivalence finie dans le préschéma somme Xdes Xi. Il faut s’attendre aussi que la solution123
des problèmes poses ici et de diverses variantes, sera une condition préliminaire à la mise au point124
d’une technique générale de constructions non projectives, dans la direction inaugurée dans [2].125
Le seul fait général positif connu du rédacteur est le suivant :126
Proposition 2.1. Soient Sun préschéma localement noethérien, sun point de S, et Ωune extension127
algébriquement close de k(s). Considérons le128
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