DS 2 - Mathieu Mansuy

Lycée Louis Pergaud
ECS2
DS2
Devoir surveillé du 07/10/16
Durée : 4h
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part
importante dans l’appréciation des copies. Les résultats doivent être encadrés.
La calculatrice n’est pas autorisée.
Exercice 1
On considère l’espace vectoriel M2 (R) des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels.
On définit :
1 0
0 1
0 0
1 1
A=
, B=
, C=
, T =
,
0 0
0 0
0 1
0 1
a b
3
E=
; (a, b, c) ∈ R .
0 c
1. Montrer que E est un espace vectoriel et que (A, B, C) est une base de E.
Quelle est la dimension de E ?
2. Établir que E est stable par multiplication, c’est à dire :
∀(M, N ) ∈ E,
M N ∈ E.
3. Montrer que, pour toute matrice M de E, si M est inversible, alors M −1 ∈ E.
Pour toute matrice M de E, on note f (M ) = T M T .
4. Montrer que f est un endomorphisme de E.
5. Vérifier que T est inversible et démontrer que f est un automorphisme de E.
On note F la matrice de f dans la base (A, B, C) de E.
6. Calculer f (A), f (B), f (C) en fonction de (A, B, C) et en déduire F .




1 0 0
0 0 0
On note I = 0 1 0 et H = 1 0 1.
0 0 1
0 0 0
7. Calculer H 2 , puis, pour tout a ∈ R et tout n ∈ N, (I + aH)n .
8. Calculer, pour tout n ∈ N, F n .
9. Trouver une matrice G de M3 (R) telle que G3 = F .
Existe-t-il un endomorphisme g de E tel que g ◦ g ◦ g = f ?
Exercice 2
Dans tout l’énoncé, S désigne un entier naturel non nul fixé.
Une urne contient initialement 4S boules indiscernables au toucher, dont S boules rouges, S boules
vertes et 2S boules bleues.
On effectue des tirages successifs d’une boule, au hasard, avec le protocole suivant :
ˆ Si la boule tirée est rouge, on ne la remet pas dans l’urne mais on remet dans l’urne une boule
bleue.
1
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ˆ Si la boule tirée est verte, on la remet dans l’urne.
ˆ Si la boule tirée est bleue, on ne la remet pas dans l’urne mais on remet dans l’urne une boule
rouge.
On note pour tout entier naturel non nul n, Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges
présentes dans l’urne après le n-ème tirage et on note X0 la variable aléatoire certaine égale à S.
1. Déterminer la loi de X1 et calculer son espérance.
2. Déterminer la loi de X2 et calculer son espérance.
On distinguera les cas S ≥ 2 et S = 1.
On suppose désormais que n est un entier supérieur ou égal à 2S, de sorte que Xn (Ω) =
{0, . . . , 3S}.
3. (a) Soit k un entier appartenant à {1, . . . , 3S − 1}.
Quelle est la composition de l’urnelorsque l’événement [Xn = k] est réalisé ?
1
3
Montrer que E(Xn+1 |[Xn = k]) = 1 −
k+ .
2S
4
(b) Cette formule est-elle encore vraie lorsque k = 0 ? lorsque k = 3S ?
1
3
(c) En déduire par la formule de l’espérance totale que E(Xn+1 ) = 1 −
E(Xn ) + .
2S
4
4. On note pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2S : un = E(Xn ).
1
3
(a) Déterminer le réel α tel que α = 1 −
α+ .
2S
4
(b) Montrer que la suite (un − α)n≥2S est géométrique.
(c) En déduire l’expression de un en fonction de n, S et u2S .
3S
(d) Montrer que lim E(Xn ) =
.
n→+∞
2
Exercice 3
L’objectif du problème est d’étudier une suite de variables aléatoires (Zk )k∈N∗ .
Les deux premières parties sont indépendantes et la troisième utilise certains résultats obtenus dans
les deux premières parties.
La partie I est consacrée à l’étude de deux endomorphismes sur Rn [X].
+∞
X
La partie II consiste à calculer l’espérance et la variance de Zk ainsi qu’à calculer la somme
P (Zk = r)
k=0
sous réserve de convergence.
X
La partie III fournira la loi de Zk ainsi que l’étude de la convergence de la série
P (Zk = r).
k≥0
Partie I : Étude de deux endomorphismes
Soit n un entier naturel. On note Rn [X] l’ensemble des polynômes à cœfficients réels de degré au plus
n.
Pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, on désigne par ek le polynôme de Rn [X] défini par : ek = X k .
Rappelons que (e0 , e1 , . . . , en ) est une base de Rn [X].
Si P ∈ Rn [X], on définit les fonctions f (P ) et g(P ) par :
Z x
1
∀x ∈ R \ {1}, f (P )(x) =
P (t)dt et f (P )(1) = P (1)
x−1 1
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∀x ∈ R, g(P )(x) = [(X − 1)P ]0 (x) = (x − 1)P 0 (x) + P (x).
1. Prouver que g est un endomorphisme de Rn [X].
2. Soit P ∈ Rn [X]. Calculer f (g(P )) puis justifier que ker(g) = {0}.
3. Démontrer que g est un isomorphisme, que g −1 = f et que f est un endomorphisme de Rn [X].
4. Écrire la matrice A de f dans la base (e0 , e1 , . . . , en ) ainsi que la matrice B de g dans cette même
base.
Partie II : Étude d’une suite de variables aléatoires
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On dispose de n + 1 urnes notées U0 , U1 , . . . , Un et on
suppose que pour tout i ∈ {0, . . . , n}, l’urne Ui contient i + 1 boules numérotées 0, 1, . . . , i.
On s’intéresse au jeu suivant :
ˆ Au premier tirage, on pioche une boule dans l’urne Un . Si la boule porte le numéro r alors on
repose la boule dans l’urne Un puis le tirage suivant s’effectue dans l’urne Ur .
ˆ Plus généralement, pour tout entier naturel k non nul, si la boule numéro s a été piochée au
k-ième tirage dans une certaine urne, on repose cette boule dans la même urne puis on effectue
le (k + 1)-ième tirage dans l’urne Us .
Pour tout entier naturel k, on note :
ˆ Zk est la variable aléatoire égale au numéro de la boule piochée au k-ième tirage.
On convient que Z0 = n.
ˆ Fk est le polynôme de Rn [X] défini par : ∀x ∈ R, Fk (x) =
n
X
P (Zk = r)xr .
r=0
ˆ E(Zk ) désigne l’espérance de la variable aléatoire Zk .
1. À l’aide de la formule des probabilités totales, prouver que :
∀k ∈ N,
∀r ∈ {0, 1, . . . , n},
P (Zk+1
n
X
P (Zk = i)
= r) =
.
i+1
i=r
2. Établir les deux formules suivantes valables pour tous entiers k ∈ N et r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} :
(R1 ) :
(R2 ) :
(n + 1)P (Zk+1 = n) = P (Zk = n)
(r + 1)P (Zk+1 = r) − (r + 1)P (Zk+1 = r + 1) = P (Zk = r).
3. On admet dans cette question que la série
X
P (Zk = r) converge pour tout r ∈ {1, . . . , n} et
k≥0
on pose Sr =
+∞
X
P (Zk = r).
k=0
En sommant les relations (R1 ) sur tous les entiers k ∈ N, donner la valeur de Sn .
En sommant les relations (R2 ) sur tous les entiers k ∈ N, donner la valeur de Sn−1 et montrer
que la suite (rSr )1≤r≤n−1 est constante.
4. Soit k ∈ N. Démontrer la relation :
0
(S) : ∀x ∈ R, (x − 1)Fk+1
(x) + Fk+1 (x) = Fk (x).
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5. (a) Soit k ∈ N. Établir que Fk0 (1) = E(Zk ) et Fk00 (1) = E(Zk (Zk − 1)).
(b) En dérivant une fois puis deux fois la relation (S), donner la relation de récurrence vérifiée
par la suite (Fk0 (1))k∈N ainsi que la relation de récurrence vérifiée par la suite (Fk00 (1))k∈N .
(c) Donner la valeur de Fk0 (1) et de Fk00 (1) en fonction de k et n.
Expliciter alors la variance V (Zk ) de Zk en fonction de k et n.
Partie III : Loi de chacune de ces variables aléatoires
On reprend toutes les notations des parties I et II et on pourra admettre tous les résultats établis dans
ces deux parties.
Rappelons également qu’à la question II.4 la relation (S) est démontrée ce qui revient à écrire :
∀k ∈ N,
g(Fk+1 ) = Fk ,
soit encore
f (Fk ) = Fk+1 .
Pour finir, pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n} on désigne par uk le polynôme de Rn [X] défini par : uk =
(X − 1)k .
1. Montrer que : ∀k ∈ N,
n
X
P (Zk = r)er = Fk = f k (en ).
r=0
2. Prouver que (u0 , u1 , . . . , un ) est une base de Rn [X].
3. Calculer f (ur ) pour r ∈ {0, 1, . . . , n}.
n r
X
X
n
r−j r
4. Justifier que : en =
ur et que : ∀r ∈ {0, 1, . . . , n}, ur =
(−1)
ej .
r
j
r=0
5. Démontrer que : ∀k ∈ N,
j=0
f k (en )
=
n
X
r=0
n
r
(r + 1)k
ur .
6. Soient k ∈ N et j ∈ {0, 1, . . . , n}. À l’aide des questions précédentes, établir que :
n r
n
X
r j
P (Zk = j) =
(−1)r−j
.
(r + 1)k
r=j
7. Application.
(a) Soit j ∈ {0, 1, . . . , n}. Déterminer un réel Mj,n tel que :
∀k ∈ N, |P (Zk = j)| ≤
puis justifier que la série
X
Mj,n
(j + 1)k
P (Zk = j) converge lorsque j ∈ {1, 2, . . . , n}.
k≥0
Cn
(b) Déterminer un réel Cn tel que : ∀k ∈ N, |P (Zk = 0) − 1| ≤ k .
2
X
La série
P (Zk = 0) est-elle convergente ?
k≥0
4