DS 2 - Mathieu Mansuy

ECS2 Lyc´ee Louis Pergaud
Devoir surveill´e du 07/10/16
DS2
Dur´ee : 4h
La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements interviendront pour une part
importante dans l’appr´eciation des copies. Les r´esultats doivent ˆetre encadr´es.
La calculatrice n’est pas autoris´ee.
Exercice 1
On consid`ere l’espace vectoriel M2(R) des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients r´eels.
On d´efinit :
A=1 0
0 0, B =0 1 0 0, C =0 0 0 1, T =1 1 0 1,
E=a b
0c; (a, b, c)∈R3.
1. Montrer que Eest un espace vectoriel et que (A, B, C) est une base de E.
Quelle est la dimension de E?
2. ´ Etablir que Eest stable par multiplication, c’est `a dire :
∀(M, N )∈ E, MN ∈ E.
3. Montrer que, pour toute matrice Mde E, si Mest inversible, alors M−1∈ E.
Pour toute matrice Mde E, on note f(M) = T MT .
4. Montrer que fest un endomorphisme de E.
5. V´erifier que Test inversible et d´emontrer que fest un automorphisme de E.
On note Fla matrice de fdans la base (A, B, C) de E.
6. Calculer f(A), f(B), f (C) en fonction de (A, B, C) et en d´eduire F.
On note I=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
et H=
000
101
000
.
7. Calculer H2, puis, pour tout a∈Ret tout n∈N, (I+aH)n.
8. Calculer, pour tout n∈N,Fn.
9. Trouver une matrice Gde M3(R) telle que G3=F.
Existe-t-il un endomorphisme gde Etel que g◦g◦g=f?
Exercice 2
Dans tout l’´enonc´e, Sd´esigne un entier naturel non nul fix´e.
Une urne contient initialement 4Sboules indiscernables au toucher, dont Sboules rouges, Sboules
vertes et 2Sboules bleues.
On effectue des tirages successifs d’une boule, au hasard, avec le protocole suivant :
Si la boule tir´ee est rouge, on ne la remet pas dans l’urne mais on remet dans l’urne une boule
bleue.
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Si la boule tir´ee est verte, on la remet dans l’urne.
Si la boule tir´ee est bleue, on ne la remet pas dans l’urne mais on remet dans l’urne une boule
rouge.
On note pour tout entier naturel non nul n,Xnla variable al´eatoire ´egale au nombre de boules rouges
pr´esentes dans l’urne apr`es le n-`eme tirage et on note X0la variable al´eatoire certaine ´egale `a S.
1. D´eterminer la loi de X1et calculer son esp´erance.
2. D´eterminer la loi de X2et calculer son esp´erance.
On distinguera les cas S≥2et S= 1.
On suppose d´esormais que nest un entier sup´erieur ou ´egal `a 2S, de sorte que Xn(Ω) =
{0,...,3S}.
3. (a) Soit kun entier appartenant `a {1,...,3S−1}.
Quelle est la composition de l’urne lorsque l’´ev´enement [Xn=k] est r´ealis´e ?
Montrer que E(Xn+1|[Xn=k]) = 1−1
2Sk+3 4.
(b) Cette formule est-elle encore vraie lorsque k= 0 ? lorsque k= 3S?
(c) En d´eduire par la formule de l’esp´erance totale que E(Xn+1) = 1−1
2SE(Xn) + 3 4.
4. On note pour tout entier naturel nsup´erieur ou ´egal `a 2S:un=E(Xn).
(a) D´eterminer le r´eel αtel que α=1−1
2Sα+3 4.
(b) Montrer que la suite (un−α)n≥2Sest g´eom´etrique.
(c) En d´eduire l’expression de unen fonction de n,Set u2S.
(d) Montrer que lim
n→+∞E(Xn) = 3S
2.
Exercice 3
L’objectif du probl`eme est d’´etudier une suite de variables al´eatoires (Zk)k∈N∗.
Les deux premi`eres parties sont ind´ependantes et la troisi`eme utilise certains r´esultats obtenus dans
les deux premi`eres parties.
La partie I est consacr´ee `a l’´etude de deux endomorphismes sur Rn[X].
La partie II consiste `a calculer l’esp´erance et la variance de Zkainsi qu’`a calculer la somme
+∞
X
k=0
P(Zk=r)
sous r´eserve de convergence.
La partie III fournira la loi de Zkainsi que l’´etude de la convergence de la s´erie X
k≥0
P(Zk=r).
Partie I : ´ Etude de deux endomorphismes
Soit nun entier naturel. On note Rn[X] l’ensemble des polynˆomes `a cœfficients r´eels de degr´e au plus
n.
Pour tout k∈ {0,1, . . . , n}, on d´esigne par ekle polynˆome de Rn[X] d´efini par : ek=Xk.
Rappelons que (e0, e1, . . . , en) est une base de Rn[X].
Si P∈Rn[X], on d´efinit les fonctions f(P) et g(P) par :
∀x∈R\ {1}, f(P)(x) = 1
x−1Zx
1
P(t)dtet f(P)(1) = P(1)
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∀x∈R, g(P)(x) = [(X−1)P]0(x)=(x−1)P0(x) + P(x).
1. Prouver que gest un endomorphisme de Rn[X].
2. Soit P∈Rn[X]. Calculer f(g(P)) puis justifier que ker(g) = {0}.
3. D´emontrer que gest un isomorphisme, que g−1=fet que fest un endomorphisme de Rn[X].
4. ´ Ecrire la matrice Ade fdans la base (e0, e1, . . . , en) ainsi que la matrice Bde gdans cette mˆeme
base.
Partie II : ´ Etude d’une suite de variables al´eatoires
Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 1. On dispose de n+ 1 urnes not´ees U0, U1, . . . , Unet on
suppose que pour tout i∈ {0, . . . , n}, l’urne Uicontient i+ 1 boules num´erot´ees 0,1, . . . , i.
On s’int´eresse au jeu suivant :
Au premier tirage, on pioche une boule dans l’urne Un. Si la boule porte le num´ero ralors on
repose la boule dans l’urne Unpuis le tirage suivant s’effectue dans l’urne Ur.
Plus g´en´eralement, pour tout entier naturel knon nul, si la boule num´ero sa ´et´e pioch´ee au
k-i`eme tirage dans une certaine urne, on repose cette boule dans la mˆeme urne puis on effectue
le (k+ 1)-i`eme tirage dans l’urne Us.
Pour tout entier naturel k, on note :
Zkest la variable al´eatoire ´egale au num´ero de la boule pioch´ee au k-i`eme tirage.
On convient que Z0=n.
Fkest le polynˆome de Rn[X] d´efini par : ∀x∈R, Fk(x) =
n
X
r=0
P(Zk=r)xr.
E(Zk) d´esigne l’esp´erance de la variable al´eatoire Zk.
1. ` A l’aide de la formule des probabilit´es totales, prouver que :
∀k∈N,∀r∈ {0,1, . . . , n}, P (Zk+1 =r) =
n
X
i=r
P(Zk=i)
i+ 1 .
2. ´ Etablir les deux formules suivantes valables pour tous entiers k∈Net r∈ {0,1, . . . , n −1}:
(R1) : (n+ 1)P(Zk+1 =n) = P(Zk=n)
(R2) : (r+ 1)P(Zk+1 =r)−(r+ 1)P(Zk+1 =r+ 1) = P(Zk=r).
3. On admet dans cette question que la s´erie X
k≥0
P(Zk=r) converge pour tout r∈ {1, . . . , n}et
on pose Sr=
+∞
X
k=0
P(Zk=r).
En sommant les relations (R1) sur tous les entiers k∈N, donner la valeur de Sn.
En sommant les relations (R2) sur tous les entiers k∈N, donner la valeur de Sn−1et montrer
que la suite (rSr)1≤r≤n−1est constante.
4. Soit k∈N. D´emontrer la relation :
(S) : ∀x∈R,(x−1)F0
k+1(x) + Fk+1(x) = Fk(x).
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5. (a) Soit k∈N.´ Etablir que F0
k(1) = E(Zk) et F00 k(1) = E(Zk(Zk−1)).
(b) En d´erivant une fois puis deux fois la relation (S), donner la relation de r´ecurrence v´erifi´ee
par la suite (F0
k(1))k∈Nainsi que la relation de r´ecurrence v´erifi´ee par la suite (F00 k(1))k∈N.
(c) Donner la valeur de F0
k(1) et de F00 k(1) en fonction de ket n.
Expliciter alors la variance V(Zk) de Zken fonction de ket n.
Partie III : Loi de chacune de ces variables al´eatoires
On reprend toutes les notations des parties I et II et on pourra admettre tous les r´esultats ´etablis dans
ces deux parties.
Rappelons ´egalement qu’`a la question II.4 la relation (S) est d´emontr´ee ce qui revient `a ´ecrire :
∀k∈N, g(Fk+1) = Fk,soit encore f(Fk) = Fk+1.
Pour finir, pour tout k∈ {0,1, . . . , n}on d´esigne par ukle polynˆome de Rn[X] d´efini par : uk=
(X−1)k.
1. Montrer que : ∀k∈N,
n
X
r=0
P(Zk=r)er=Fk=fk(en).
2. Prouver que (u0, u1, . . . , un) est une base de Rn[X].
3. Calculer f(ur) pour r∈ {0,1, . . . , n}.
4. Justifier que : en=
n
X
r=0 n
ruret que : ∀r∈ {0,1, . . . , n},ur=
r
X
j=0
(−1)r−jr
jej.
5. D´emontrer que : ∀k∈N, fk(en) =
n
X
r=0 n
r
(r+ 1)kur.
6. Soient k∈Net j∈ {0,1, . . . , n}.` A l’aide des questions pr´ec´edentes, ´etablir que :
P(Zk=j) =
n
X
r=j
(−1)r−jn
rr j
(r+ 1)k.
7. Application.
(a) Soit j∈ {0,1, . . . , n}. D´eterminer un r´eel Mj,n tel que :
∀k∈N,|P(Zk=j)| ≤ Mj,n
(j+ 1)k
puis justifier que la s´erie X
k≥0
P(Zk=j) converge lorsque j∈ {1,2, . . . , n}.
(b) D´eterminer un r´eel Cntel que : ∀k∈N,|P(Zk= 0) −1| ≤ Cn
2k.
La s´erie X
k≥0
P(Zk= 0) est-elle convergente ?
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