Chapitre II Chapitre II : Corps commutatifs

Chapitre II
Chapitre II : Corps commutatifs

Introduction
Dans le premier chapitre nous avons commencé à étudier la
structure vectorielle de Knavec K=Rou K=C.
Mais pouvons-nous remplacer les ensembles Ret Cpar d’autres
ensembles de nombres ? Ou bien les notions introduites au premier
chapitre sont-elles spécifiques à Ret à C?

Introduction
On remarque que si, au lieu de considérer Rnou Cncomme on l’a
fait au chapitre I, on considère plutôt Qn(avec Ql’ensemble des
nombres rationnels), alors l’ensemble des concepts et résultats du
chapitre restent vrais.
En particulier, les propriétés (P1)-(P7) sont toujours valable. Bien
sûr, les scalaires sont cette fois choisi dans Q.

Corps commutatifs
En fait, on peut remplacer Q,R, et Cpar un autre ensemble de
nombre K, et considérer des vecteurs de Kn(et donc des scalaires
dans K). Mais il y a certaines conditions sur Kpour que les
propriétés (P1)-(P7) restent valables.
Quelles sont ces conditions ?

Corps commutatifs
Premièrement : on doit pouvoir additionner et multiplier entre eux
les éléments de Ket obtenir ainsi un autre élément de K. On
résume ceci en disant que l’addition et la multiplication doivent être
internes sur K.
Cette condition est clairement nécessaire : sinon, comment ferait-on
pour additionner des éléments de Knou pour multiplier un élément
de Knpar un élément de K?