Caractères de Dirichlet

S´eminaire Th´ematique SE 2007
«Fonctions Zˆeta et Corps quadratiques »,
PRESENTATION 3 : Caract`eres de Dirichlet
par
Christine S`ebe
29 mars 2007
0.1 Motivation
Dans la suite de l’ouvrage, Don Zagier introduira des fonctions plus sp´ecifiques, les L-
s´eries de Dirichlet. Il s’agit de fonctions de la forme L(s, χ) = P∞
n=1
χ(n)
ns, o`u χest un
caract`ere de Dirichlet, sune variable complexe avec une partie r´eelle plus grande que 1.
Dans cette optique, il est au pr´ealable n´ecessaire de se pencher sur la notion de ‘ca-
ract`ere’.
1 Caract`ere sur un groupe fini
1.1 D´efinition
Un caract`ere sur un groupe fini G est un homomorphisme1χ:G→C∗;
i.e. χ(g1g2) = χ(g1)χ(g2),∀g1, g2∈G.
De plus, on peut d´efinir le produit et l’inverse de cet homomorphisme :
–χχ0(g) = χ(g)χ0(g), o`u χ,χ0sont des caract`eres sur G ;
–χ−1(g) = χ(g)−1.
Donc l’homorphisme ‘caract`ere sur G’ construit un groupe, qu’on note ˆ G.
1.2 Th´eor`eme
Si Gest un groupe fini commutatif, alors ˆ G∼
=G;
et |ˆ G|=|G|.
Preuve (id´ee) :Grˆace au thm fondamental concernant la structure des groupes commutatifs de type
fini, G∼
=G1⊗...⊗Gk, o`u Giest un groupe cyclique ayant comme g´en´erateur (gi) d’ordre ni. Par cons´equent,
tout ´el´ement de gpeut s’´ecrire sous la forme unique g=gr1
1...grk
k, avec r1, ..., rk∈Z. Ainsi en connaissant
χ(gi), on connait χ(g)∀g∈G. On a donc ˆ G∼
=G1⊗... ⊗Gk∼ =G.
Remarque : ∀caract`ere χ|χ(g)|= 1 ; i.e. χest une racine de l’unit´e.
1C∗est `a consid´erer en tant que le groupe des nombres complexes diff´erents de 0, avec la multiplication
comme op´eration de groupe.

2caract` eres de Dirichlet
2 Caract`ere de Dirichlet modulo N
2.1 D´efinition
Un caract`ere de Dirichlet modulo N, pour N ∈N, est un caract`ere d´efini sur le groupe
des unit´es de (Z/NZ), `a savoir sur (Z/NZ)×={n(modN)t.q. (n, N) = 1}.
D’autre part, on peut d´efinir un caract`ere de Dirichlet modulo N comme ´etant une
fonction χ:Z→C,
χ(n):=χ(n(modN)) si (n, N) = 1
0 si (n, N)>1.
qui poss`ede les propri´et´es suivantes :
–χ(n) = 0 ⇔(n, N)>1,
i.e. χ(n) = 0 ∀nposs´edant un diviseur en commun avec N;
–χest compl`etement multiplicatif,
i.e. χ(1) = 1 et χ(mn) = χ(m)χ(n), ∀m, n ∈Z;
–χ(n) d´epend uniquement de n(modN) .
Remarque :
1. Il existe donc deux mani`eres de d´efinir un caract`ere modulo N; `a savoir :
– soit grˆace `a l’homomorphisme χ: (Z/N Z)×→C∗,
– soit grˆace `a la fonction multiplicative χ:Z→C.
2. La fonction d’Euler de N φ(N)
On d´enote par φ(N) le nombre d’entiers positifs plus petit ou ´egal `a Net premier
avec N, i.e. l’application φ:N→Nest d´efinie par
φ(N) := #n t.q. 0< n ≤N et (n, N) = 1, φ(1) = 1.
Or si un nombre nest sans diviseur commun avec N, il en est de mˆeme pour tout
nombre xcongru `a nmodulo N. On peut donc aussi ´ecrire
φ(N)=#n(modN)t.q. (n, N) = 1=Card((Z/NZ)×)
Par cons´equent, le caract`ere χmodulo Nest une φ(N)-i`eme racine de l’unit´e.
Par ailleurs, un th´eor`eme nous donne ´egalement l’´egalit´e :
φ(N) = N·Qp|N1−1
p, o`u p d´esigne les premiers qui divisent l’entier N.
2.2 Exemples de Caract`eres modulo N
1. Pour tout N, on appelle caract`ere principal χ0(modN), la fonction multiplicative
χ0:Z→C, d´efinie par
χ0(n):=1si (n, N) = 1
0si (n, N)>1.
On la d´esigne parfois par caract`ere neutre ou trivial de (Z/NZ)×; en effet, en
utilisant la d´efinition usant de l’homomorphisme, le caract`ere χ0: (Z/NZ)×→C∗est
d´efini par a7→ 1.
2. D´etermination des caract`eres modulo Npour N= 2,3,4,6.
(se conf´erer `a la pr´esentation orale)

2. Caract`ere de Dirichlet modulo N 3
3. Pour tout p∈P, on appelle ‘symbˆole de Legendre’ le caract`ere modulo pde Z→C,
n7→ {−1,0,1}d´efini par
n
p:= 
0si p|n
1si p-n, mais ∃un entier kt.q. n=k2(modp)
−1sinon.
Cons´ecutivement `a ces exemples, voici deux th´eor`emes et leurs corollaires concernant
les caract`eres de Dirichlet modulo N, mettant en ´evidence la place particuli`ere qu’occupe
la fonction d’Euler de N, `a savoir :
2.3 Th´eor`eme
Soit χun caract`ere de Dirichlet modulo N.
Alors
X
n(modN)
χ(n) = φ(N)si χ=χ0
0sinon.
Preuve du th´eor`eme 2.3 (id´ee) :
1er cas : χ=χ0, trivial.
2eme cas : χ6=χ0. On choisit un entier m, sans diviseurs avec net avec χ(m)6= 1. Srlg, on obtient qu’un
entier, 6= 0, d´ependant de notre m, multipli´e avec Pn(modN)χ(n) = 0. 
2.4 Corollaire
Soit χ1et χ2deux charact`eres de Dirichlet modulo N.
Alors 1
φ(N)X
n(modN)
χ1(n)χ2(n) = 1si χ1=χ2
0sinon.
Preuve du corollaire 2.4 (id´ee) :Remplacer simplement, dans le th´eor`eme 2.3, χpar χ1χ2et
utiliser le fait que χ0est l’´el´ement neutre de ˆ G.
2.5 Th´eor`eme
Soit n∈N.
Alors
X
χ
χ(n) = φ(N)si n≡1 (modN)
0sinon.
2.6 Corollaire
Soit a, b ∈Z,(b, N) = 1.
Alors 1
φ(N)X
χ
χ(a)χ(b) = 1si a≡b(modN)
0sinon.
Preuve du th´eor`eme 2.5 et du corollaire 2.6 (id´ee) :Par la propri´et´e d’orthogonalit´e,
cette preuve est contruite de la mˆeme mani`ere que celle du th´eor`eme pr´ec´edent, elle diff`ere uniquement du
fait qu’ici nest fixe, on d´etermine donc les caract`eres χen nen vue d’avoir ce mutliple non nul comme
pr´ec´edemment.
Quant au corollaire, il suffit ´egalement d’effectuer un remplacement dans le th´eor`eme, `a savoir, remplacer n
par nb ∼
=a(modN). 

4caract` eres de Dirichlet
3 Caract`ere induit et Caract`ere primitif
Soit Nun diviseur de M, N6=M, et χ0un caract`ere modulo N.
Consid´erons le diagramme
(Z/kN Z)×
z }| {
(Z/MZ)×C∗
(Z/NZ)×
?
π
-
χ
χ0
3.1 D´efinition
χ=χ0◦πest un caract`ere de Dirichlet modulo N.
On dit que χest induit par χ0, et on qualifie un tel caract`ere de ‘caract`ere non-primitif ’.
3.2 D´efinition
Un caract`ere qui ne peut s’obtenir de cette mani`ere est qualifi´e de ‘caract`ere primitif ’
ou ‘propre’.
3.3 D´efinition
Le nombre Nayant la propri´et´e que le caract`ere d´ecoulant du groupe (Z/MZ)×soit induit
par le caract`ere primitif χ0modulo N, s’appelle le conducteur de ce dernier.
4 Caract`ere de Dirichlet primitif r´eel
Par la suite, Don Zagier se restreind aux caract`eres r´eels χ: (Z/NZ)×→R∗.
Or un caract`ere ´etant une racine de l’unit´e pour toute classe de d´epart, on peut pr´eciser la
restriction, `a savoir χ: (Z/NZ)×→ {−1,1}.
Cons´ecutivement `a cette restriction, il existe un th´eor`eme permettant d’obtenir tous ces
caract`eres r´eels. Mais au pr´ealable, il convient de d´efinir les notions utilis´ees :
4.1 D´efinition
Un nombre cardinal ou discriminant fondamental est un nombre entier Davec :
– soit D≡1(mod4), et Dest un entier sans facteur carr´e ;
– soit D≡0(mod4), et D
4est un entier sans facteur carr´e, et D 4≡2ou 3 (mod4).
4.2 D´efinition
Pour un discriminant fondamental D, on d´efinit une fonction χD:N→Zpar
χD(n) :=
(D
p)si n=p, un premier impair
0si D≡0 (mod4)
1si D≡1 (mod8)
−1si D≡5 (mod8)
si n= 2
χD(pn1
1)...χD(pnk
k)si n=pn1
1...pnk
k, un compos´e

R´ EF´ ERENCES 5
4.3 Th´eor`eme
Chaque caract`ere de Dirichlet primitif r´eel est une fonction χD:N→Zcomme d´efinie
ci-dessus.
En particuliers, la fonction
– est p´eriodique modulo |D|,
– a la propri´et´e :
χD(−1) = 1si D > 0
−1si D < 0.
C’est cette derni`ere clause du th´eor`eme qui nous procure la propri´et´e escompt´ee, `a savoir
qu’on poss`ede un moyen d’obtenir toutes les fonctions caract`eres de Dirichlet primitives
r´eelles.
Preuve (id´ee) :On consid`ere l’isomorphisme (Z/NZ)×∼
=(Z/pr1
1Z)××... ×(Z/prk
kZ)×. Ainsi χ=
χ1·... ·χk, o`u χisont des caract`eres induits modulo pri
iavec pides premiers tous diff´erents. Par cons´equent
χest primitif ssi chaque χiest prmitif. Il convient alors de distinguer les cas, `a savoir lorsque p= 2, dans
quel cas il faut consid´erer tour `a tour r= 1, r= 2, r= 3, r > 3, et lorsque p= nombre premier impaire.
On trouve ainsi tous les caract`eres primitifs r´eels possibles induits par pri
i, `a savoir (n
p), 4,0
8,00 8. Ainsi
relativement `a notre isomorphisme initial, pour que χsoit primitif r´eel, il suffit qu’il soit le produit de tels
caract`eres. Suit `a quoi, en r´e´ecrivant tous ces caract`eres primitifs r´eels sous une forme similaire au symbˆole de
Legendre, il s’av`ere que leurs indices correspondent aux discriminants fondamentaux et que le produit de ces
derniers redonne un discriminant fondamental. La d´etermination univoque entre discriminant fondamental
et caract`ere primitif r´eel ´etant prouv´e, il ne reste qu’`a montrer la propri´et´e du th´eor`eme, et l’on proc`ede `a
nouveau cas par cas.
R´ef´erences
[1] Zagier, D.B., Zetafunktionen und quadratische K¨orper, Eine Einf¨uhrung in die h¨ohere
Zahlentheorie, publi´e par les ´editions Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York
1981, §5 pp. 33-41.
[2] Leutbecher, Armin, Zahlentheorie, Eine Einf¨uhrung in die Algebra, publi´e par les
´editions Springer, Berlin Heidelberg 1996.
[3] Davenport, Harold, Multiplicative number theory, publi´e par les ´editions Springer-
Verlag, Berlin Heidelberg New York 1967, §4-5 pp. 27-42.