Caractères de Dirichlet

Séminaire Thématique SE 2007
« Fonctions Zêta et Corps quadratiques »,
PRESENTATION 3 : Caractères de Dirichlet
par
Christine Sèbe
29 mars 2007
0.1
Motivation
Dans la suite de l’ouvrage, Don Zagier introduira des fonctionsPplus spécifiques, les L∞ χ(n)
séries de Dirichlet. Il s’agit de fonctions de la forme L(s, χ) =
n=1 ns , où χ est un
caractère de Dirichlet, s une variable complexe avec une partie réelle plus grande que 1.
Dans cette optique, il est au préalable nécessaire de se pencher sur la notion de ‘caractère’.
1
Caractère sur un groupe fini
1.1 Définition
Un caractère sur un groupe fini G est un homomorphisme1 χ : G → C∗ ;
i.e. χ(g1 g2 ) = χ(g1 )χ(g2 ), ∀g1 , g2 ∈ G.
De plus, on peut définir le produit et l’inverse de cet homomorphisme :
– χχ0 (g) = χ(g)χ0 (g), où χ, χ0 sont des caractères sur G ;
– χ−1 (g) = χ(g)−1 .
Donc l’homorphisme ‘caractère sur G’ construit un groupe, qu’on note Ĝ.
1.2 Théorème
Si G est un groupe fini commutatif, alors Ĝ ∼
= G;
et |Ĝ| = |G|.
Preuve (idée) : Grâce au thm fondamental concernant la structure des groupes commutatifs de type
fini, G ∼
= G1 ⊗...⊗Gk , où Gi est un groupe cyclique ayant comme générateur (gi ) d’ordre ni . Par conséquent,
r
tout élément de g peut s’écrire sous la forme unique g = g1r1 ...gkk , avec r1 , ..., rk ∈ Z. Ainsi en connaissant
∼ G1 ⊗ ... ⊗ Gk ∼
χ(gi ), on connait χ(g) ∀g ∈ G. On a donc Ĝ =
= G. Remarque : ∀ caractère χ |χ(g)| = 1 ;
i.e. χ est une racine de l’unité.
C ∗ est à considérer en tant que le groupe des nombres complexes différents de 0, avec la multiplication
comme opération de groupe.
1
2
2
caractères de Dirichlet
Caractère de Dirichlet modulo N
2.1 Définition
Un caractère de Dirichlet modulo N, pour N ∈ N, est un caractère défini sur le groupe
des unités de (Z/N Z), à savoir sur (Z/N Z)× = { n (modN ) t.q. (n, N ) = 1}.
D’autre part, on peut définir un caractère de Dirichlet modulo N comme étant une
fonction χ : Z → C,
χ( n (modN )) si (n, N ) = 1
χ(n) :=
0
si (n, N ) > 1.
qui possède les propriétés suivantes :
– χ(n) = 0 ⇔ (n, N ) > 1,
i.e. χ(n) = 0 ∀n possédant un diviseur en commun avec N ;
– χ est complètement multiplicatif,
i.e. χ(1) = 1 et χ(mn) = χ(m)χ(n), ∀m, n ∈ Z ;
– χ(n) dépend uniquement de n (modN ) .
Remarque :
1. Il existe donc deux manières de définir un caractère modulo N ; à savoir :
– soit grâce à l’homomorphisme χ : (Z/N Z)× → C∗ ,
– soit grâce à la fonction multiplicative χ : Z → C.
2. La fonction d’Euler de N φ(N )
On dénote par φ(N ) le nombre d’entiers positifs plus petit ou égal à N et premier
avec N , i.e. l’application φ : N → N est définie par
φ(N ) := # n t.q. 0 < n ≤ N et (n, N ) = 1 , φ(1) = 1.
Or si un nombre n est sans diviseur commun avec N , il en est de même pour tout
nombre x congru à n modulo N . On peut donc aussi écrire
φ(N ) = # n (modN ) t.q. (n, N ) = 1 = Card((Z/N Z)× )
Par conséquent, le caractère χ modulo N est une φ(N )-ième racine de l’unité.
Par ailleurs, un théorème nous donne également l’égalité :
Q
φ(N ) = N · p|N 1 − p1 , où p désigne les premiers qui divisent l’entier N .
2.2 Exemples de Caractères modulo N
1. Pour tout N , on appelle caractère principal χ0 (modN ), la fonction multiplicative
χ0 : Z → C, définie par
1 si (n, N ) = 1
χ0 (n) :=
0 si (n, N ) > 1.
On la désigne parfois par caractère neutre ou trivial de (Z/N Z)× ; en effet, en
utilisant la définition usant de l’homomorphisme, le caractère χ0 : (Z/N Z)× → C∗ est
défini par a 7→ 1.
2. Détermination des caractères modulo N pour N = 2, 3, 4, 6.
(se conférer à la présentation orale)
2. Caractère de Dirichlet modulo N
3
3. Pour tout p ∈ P, on appelle ‘symbôle de Legendre’ le caractère modulo p de Z → C,
n 7→ {−1, 0, 1} défini par

si p|n
 0
n
1
si p - n, mais ∃ un entier k t.q. n = k 2 (modp)
:=

p
−1 sinon.
Consécutivement à ces exemples, voici deux théorèmes et leurs corollaires concernant
les caractères de Dirichlet modulo N , mettant en évidence la place particulière qu’occupe
la fonction d’Euler de N , à savoir :
2.3 Théorème
Soit χ un caractère de Dirichlet modulo N .
Alors
X
φ(N ) si χ = χ0
χ(n) =
0
sinon.
n(modN )
Preuve du théorème 2.3 (idée) :
er
1
cas : χ = χ0 , trivial.
2eme cas : χ 6= χ0 . On choisit un entier m, sans diviseurs avec n et avec χ(m) 6= 1. Srlg, on obtient qu’un
P
entier, 6= 0, dépendant de notre m, multiplié avec n(modN ) χ(n) = 0. 2.4 Corollaire
Soit χ1 et χ2 deux charactères de Dirichlet modulo N.
Alors
X
1
1 si χ1 = χ2
χ1 (n)χ2 (n) =
0 sinon.
φ(N )
n(modN )
Preuve du corollaire 2.4 (idée) : Remplacer simplement, dans le théorème 2.3, χ par χ1 χ2 et
utiliser le fait que χ0 est l’élément neutre de Ĝ. 2.5 Théorème
Soit n ∈ N .
Alors
X
χ
χ(n) =
φ(N ) si n ≡ 1 (modN )
0
sinon.
2.6 Corollaire
Soit a, b ∈ Z, (b, N ) = 1.
Alors
1 X
χ(a)χ(b) =
φ(N ) χ
1 si a ≡ b (modN )
0 sinon.
Preuve du théorème 2.5 et du corollaire 2.6 (idée) : Par la propriété d’orthogonalité,
cette preuve est contruite de la même manière que celle du théorème précédent, elle diffère uniquement du
fait qu’ici n est fixe, on détermine donc les caractères χ en n en vue d’avoir ce mutliple non nul comme
précédemment.
Quant au corollaire, il suffit également d’effectuer un remplacement dans le théorème, à savoir, remplacer n
∼ a(modN ). par nb =
4
3
caractères de Dirichlet
Caractère induit et Caractère primitif
et χ0 un caractère modulo N .
Soit N un diviseur de M, N 6= M ,
Considérons le diagramme
(Z/kN Z)×
χ
z }| {
(Z/M Z)×
π
- C∗
χ0
?
(Z/N Z)×
3.1 Définition
χ = χ0 ◦ π est un caractère de Dirichlet modulo N .
On dit que χ est induit par χ0 , et on qualifie un tel caractère de ‘caractère non-primitif ’.
3.2 Définition
Un caractère qui ne peut s’obtenir de cette manière est qualifié de ‘caractère primitif ’
ou ‘propre’.
3.3 Définition
Le nombre N ayant la propriété que le caractère découlant du groupe (Z/M Z)× soit induit
par le caractère primitif χ0 modulo N , s’appelle le conducteur de ce dernier.
4
Caractère de Dirichlet primitif réel
Par la suite, Don Zagier se restreind aux caractères réels χ : (Z/N Z)× → R∗ .
Or un caractère étant une racine de l’unité pour toute classe de départ, on peut préciser la
restriction, à savoir χ : (Z/N Z)× → {−1, 1}.
Consécutivement à cette restriction, il existe un théorème permettant d’obtenir tous ces
caractères réels. Mais au préalable, il convient de définir les notions utilisées :
4.1 Définition
Un nombre cardinal ou discriminant fondamental est un nombre entier D avec :
– soit D ≡ 1(mod4), et D est un entier sans facteur carré ;
D
– soit D ≡ 0(mod4), et D
4 est un entier sans facteur carré, et 4 ≡ 2 ou 3 (mod4).
4.2 Définition
Pour un discriminant fondamental D, on définit une fonction χD : N → Z par
 D
(p)








si D
  0
1
si D
χD (n) :=



−1 si D





 χ (pn1 )...χ
D
1
si n = p, un premier impair
≡ 0 (mod4)
≡ 1 (mod8)
≡ 5 (mod8)
nk
D (pk )
si n = 2
si n = pn1 1 ...pnk k , un composé
RÉFÉRENCES
5
4.3 Théorème
Chaque caractère de Dirichlet primitif réel est une fonction χD : N → Z comme définie
ci-dessus.
En particuliers, la fonction
– est périodique modulo |D|,
– a la propriété :
1
si D > 0
χD (−1) =
−1 si D < 0.
C’est cette dernière clause du théorème qui nous procure la propriété escomptée, à savoir
qu’on possède un moyen d’obtenir toutes les fonctions caractères de Dirichlet primitives
réelles.
r
r
Preuve (idée) : On considère l’isomorphisme (Z/N Z)× ∼
= (Z/p11 Z)× × ... × (Z/pkk Z)× . Ainsi χ =
χ1 · ... · χk , où χi sont des caractères induits modulo pri i avec pi des premiers tous différents. Par conséquent
χ est primitif ssi chaque χi est prmitif. Il convient alors de distinguer les cas, à savoir lorsque p = 2, dans
quel cas il faut considérer tour à tour r = 1, r = 2, r = 3, r > 3, et lorsque p = nombre premier impaire.
On trouve ainsi tous les caractères primitifs réels possibles induits par pri i , à savoir ( np ), 4 , 08 , 008 . Ainsi
relativement à notre isomorphisme initial, pour que χ soit primitif réel, il suffit qu’il soit le produit de tels
caractères. Suit à quoi, en réécrivant tous ces caractères primitifs réels sous une forme similaire au symbôle de
Legendre, il s’avère que leurs indices correspondent aux discriminants fondamentaux et que le produit de ces
derniers redonne un discriminant fondamental. La détermination univoque entre discriminant fondamental
et caractère primitif réel étant prouvé, il ne reste qu’à montrer la propriété du théorème, et l’on procède à
nouveau cas par cas.
Références
[1] Zagier, D.B., Zetafunktionen und quadratische Körper, Eine Einführung in die höhere
Zahlentheorie, publié par les éditions Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York
1981, §5 pp. 33-41.
[2] Leutbecher, Armin, Zahlentheorie, Eine Einführung in die Algebra, publié par les
éditions Springer, Berlin Heidelberg 1996.
[3] Davenport, Harold, Multiplicative number theory, publié par les éditions SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York 1967, §4-5 pp. 27-42.