Fiche élève

Etudier une fonction irrationnelle grâce à un logiciel de calcul formel1
Une personne court le long d’un champ rectangulaire de longueur 100 m ; il part de A et doit se rendre le plus
rapidement possible en B en coupant à travers le champ à partir d’un point M de [AC]. Sachant qu’il court à la
vitesse de 6 m.s-1 sur la route mais seulement à 4 m.s-1 dans le champ, on veut déterminer la position du point
M permettant de réaliser ce parcours dans un temps minimal.
1. Modéliser le problème par une fonction :
On pose AM = x avec x  [0 ; 100].
a. Déterminer MB en fonction de .
b. Montrer que le temps de parcours sur le trajet complet est f (x) =
2 x  3 x ²  200 x  10400
.
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2. Traitement de la situation par un logiciel de calcul formel :
A l’aide du logiciel de calcul formel Xcas :
a. Etudier les variations de f sur [0 ; 100].
b. Déterminer les valeurs exacte et approchée à 10-2 du nombre x0 qui minimise la fonction f .
c. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur [0 ; 100].
3. Répondre au problème posé :
A quelle distance du point A, au centimètre près, cette personne doit-elle quitter la route pour couper à
travers le champ pour effectuer le trajet de A à B voulu en un minimum de temps ?
Prolongements :
4. Généralisation
Reprendre les questions 1. à 3. Sachant que la vitesse dans le champ à une valeur non précisée : mais
cette fois faire faire le plus possible de calculs au logiciel : les réponses seront fournies en fonction de et
de .
Pour le tracer,
a. tester d’abord l’instruction suivante, qui permet de tracer une famille de courbes et leur légende :
b. Utiliser l’aide du logiciel (touche F1) pour expliquer comment est construite cette instruction
c. Retour au problème : s’inspirer de cette instruction pour obtenir les courbes de obtenues pour
puis
etc. jusqu’à
. Quelles observations peut-on faire ?
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TP inspiré d’un sujet d’épreuve pratique et du livre « Repères » 1S édition 2012 et des sujets de l’épreuve pratique 2007
Corrigé des questions 1) à 3)
Corrigé du prolongement :
On peut observer que plus v augmente, plus la valeur de x qui convient pour un temps minimum est petite
(quand v augmente, les minima des courbes se décalent vers la gauche)
De plus, à partir de 6, le minimum est atteint en 0, et la fonction est croissante, comme on peut s’y attendre.