Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung) 1 Définition Lorsqu

Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
1
Définition
Lorsqu’un mobile se déplace avec une vitesse constante v, on dit que son mouvement est uniforme.
Exemple:
a) Cycliste roulant avec une vitesse constante de 25 km/h.
b) Train roulant avec une vitesse constante de 100 km/h
Formule reliant la vitesse v, la distance d et le temps t (mouvement uniforme)
v (m / s) =
d ( m)
t (s)
ou v ( km / h ) =
d ( km )
t ( h)
(Attention aux unités!)
Dans le mouvement uniforme, la distance parcourue d et le temps de parcours t sont des grandeurs
d
proportionnelles, car leur rapport
est constant et vaut v . Pour résoudre des problèmes faisant
t
intervenir le mouvement uniforme, on utilise donc toutes les techniques de calcul pour résoudre des
problèmes de proportionnalité.
(Règle de trois, proportions (rapports égaux), tableaux de proportionnalité)
Exemple
Un cycliste roule avec une vitesse constante de 24 km/h.
La distance parcourue par le cycliste (en km) et le temps (en h) sont des grandeurs proportionnelles, car
si la distance parcourue devient 2,3,4, ... fois plus grande, alors le temps devient aussi 2,3,4, ... fois plus
distance (km )
est constant et vaut 24 km/h.
grand. D'après ce qui précède, le rapport
temps (h)
Le rapport constant dans cet exemple est la vitesse du cycliste.
Tableau
distance (km)
temps (h)
distance (km )
= vitesse (km/h )
temps ( h)
0
0
24
1
48
2
72
3
96
4
||
24
= 24
1
48
= 24
2
72
= 24
3
96
= 24
4
Distance parcourue après 75 min:
d
d
75 5
5
= h ; v = ⇔ 24 = 5 ⇔ d = 24 ⋅ = 30 km
75 min =
t
60 4
4
4
Temps pour parcourir 54 km:
d
54
54 9
⇔ 24 =
⇔t=
= h = 2h15 min
t
t
24 4
Vitesse d’un deuxième cycliste (roulant à vitesse constante!) qui parcourt 36 km en 72 min:
72 6
d 36
5
72 min =
= h ; v = = 6 = 36 ⋅ = 30km / h
t
60 5
6
5
v=
Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
2
Exercice résolu
Un cycliste part à 14h d'un point A et roule avec une vitesse constante de 24 km/h.
a) Calculer la distance parcourue (en km) après 72 min.
b) Calculer le temps nécessaire (en h et min) pour parcourir 54 km.
c) Un deuxième cycliste se lance à la poursuite du premier à la vitesse de 30 km/h.
Quand et où à partir du point A est-ce qu'il va rattraper le premier cycliste, sachant qu'il part du même
endroit à 14h24min?
d) Avec quelle vitesse doit-il rouler s'il veut rattraper le premier à 15h30min?
(Donner le résultat exact et une valeur approchée à 0,01 près)
e) Un troisième cycliste qui roule avec une vitesse constante de 26 km/h part à 14 h d'un point B situé à
64 km du départ du premier.
Quand et où à partir du point A est-ce que le troisième cycliste recontre le premier?
(Donner les résultats exacts)
Réponse:
a) 1h = 60 min
Le rapport
distance ( km )
temps ( min )
= vitesse (km/h) = 24km / h =
24
km / min est constant.
60
Soit d la distance parcourue après 72 min, alors :
24 d
24 ⋅ 72
=
⇔ 24 ⋅ 72 = 60 ⋅ d ⇔
= d ⇔ d = 28,8 km
60 72
60
b) Soit t le temps (en min) nécessaire pour parcourir 54 km, alors:
24 54
54 ⋅ 60
=
⇔ 24t = 54 ⋅ 60 ⇔ t =
= 135 min = 2h 15 min
60 t
24
c) Distance parcourue par le premier cycliste en 24 min :
24 d
24 ⋅ 24
=
⇔ 24 ⋅ 24 = 60d ⇔
= d ⇔ d = 9, 6 km
60 24
60
A 14h24, les deux cyclistes sont distants de 9,6 km.
En 1 h, le deuxième cycliste rattrape 6 km sur le premier car sa vitesse dépasse de 6 km/h celle du
premier. La "distance rattrapée" et le temps sont des grandeurs proportionnelles;
"distance rattrapée" ( km )
est constant.
le rapport
temps ( min )
Temps (en h et min) nécessaire pour rattraper le premier cycliste (pour rattraper 9,6 km) :
6 9, 6
60 ⋅ 9, 6
=
⇔ 6t = 60 ⋅ 9, 6 ⇔ t =
= 96 min = 1h 36 min
60
t
6
Distance parcourue par le deuxième cycliste après 1h36min
= distance parcourue par le premier cycliste après 24min + 1h36min soit 2h : 2 ⋅ 24 = 48 km
La rencontre a lieu à 16h00 à 48 km du point A.
Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
3
d) 15 h 30 min - 14h = 1h 30 min = 90 min
Distance d (en km) parcourue par le premier cycliste après 90 min :
24 d
24 ⋅ 90
=
⇔ 24 ⋅ 90 = 60d ⇔
= d ⇔ d = 36 km
60 90
60
15h 30 min - 14h 24 min = 1h 6 min = 66 min
Vitesse v2 du deuxième cycliste s'il veut rattraper le premier à 15h 30 min :
d 36 6
6
360
v2 = =
= km / min = ⋅ 60 km / h =
km / h ≈ 32, 73 km / h
t 66 11
11
11
e) En 1 h le premier et le troisième cyclistes se rapprochent de 24 + 26 = 50 km
La "distance rapprochée" et le temps sont des grandeurs proportionnelles; le rapport
"distance rapprochée" ( km )
est constant.
temps ( min )
Temps (en h et min) nécessaire pour se rapprocher de 50 km (pour se rencontrer) :
50 64
60 ⋅ 64 384
=
⇔ 50t = 60 ⋅ 64 ⇔ t =
=
min = 76,8 min = 1h 16 min 48s
60 t
50
5
Endroit de la rencontre à partir du point A = distance du premier cycliste parcourue après
d
24
384
24 ⋅ 384 768
=
⇔ 60d = 24 ⋅
⇔d=
=
= 30, 72 km
384
60
5
5 ⋅ 60
25
5
384
min :
5
La rencontre a lieu à 15h16min48s à 30,72 km du point A.
Exercice résolu
Un cycliste part à 14 h d'un point A et roule avec une vitesse constante de 30 km/h pendant 35 minutes.
Fatigué, il ralentit et continue avec une vitesse constante de 24 km/h pendant 1h 10 min.
a) Calculer sa vitesse moyenne (Durchschnittsgeschwindigkeit).
b) A quelle vitesse doit-il rouler pendant les 70 dernières minutes s'il veut maintenir une vitesse
moyenne de 28 km/h pendant la durée totale (soit 105 minutes) de son effort?
c) Pendant combien de temps, peut-il rouler à 24 km/h à partir de 14h35 s'il veut garder une vitesse
moyenne égale à 25 km/h.
Un deuxième cycliste se lance à la poursuite du premier à 14h10 en partant du point A avec une vitesse
constante de 27 km/h. Le premier roule à 30km/h jusqu'à 14h35, puis il continue à 24 km/h.
d) Quand et à quelle distance du point A est-ce qu'il va rattraper le premier cycliste?
e) A quelle vitesse doit-il rouler s'il veut rattraper le premier cycliste à 15h00?
Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
4
Réponse:
a) Posons : v1 = 30km / h ; t1 = 35 min =
35
7
70
7
h = h ; v2 = 24km / h ; t2 = 1h10 min =
h= h
60
12
60
6
Distance totale parcourue pendant les 105 minutes :
7
7 91
d = v1 ⋅ t1 + v2 ⋅ t2 = 30 ⋅ + 24 ⋅ =
= 45,5 km
12
6 2
35 70 105 7
+
=
= h
Temps total en h : t = t1 + t2 =
60 60 60 4
91
d
Vitesse moyenne en km/h : v = = 2 = 26 km/h
7
t
4
b) Vitesse v pendant les 70 dernières minutes s'il veut une vitesse moyenne de 28 km/h pendant la durée
7
7
30 ⋅ + v ⋅
v ⋅ t + v ⋅ t2
12
6
totale (soit 105 minutes) de son effort 28 = 1 1
⇔ 28 =
⇔ v = 27 km/h
7
t1 + t2
4
c) Temps t2 pendant lequel il peut rouler à 24 km/h à partir de 14h35 s'il veut garder une vitesse
moyenne égale à 25 km/h :
v ⋅t + v ⋅t
25 = 1 1 2 2 ⇔ 25 =
t1 + t2
30 ⋅
7
+ 24 ⋅ t2
35
11
12
⇔ t2 = h = 2h ⋅ 60 min = 2h55 min
7
12
12
+ t2
12
d) Situation à 14h10:
premier cycliste : d = v1 ⋅
10
10
= 30 ⋅ = 5 km
60
60
A 14h10 le premier cycliste se trouve à 5 km du point A et le deuxième au point A.
Situation à 14h35:
35
35 35
= 30 ⋅ =
= 17,5 km
60
60 2
25
25 45
= 11, 25 km
deuxième cycliste : d = v2 ⋅ = 27 ⋅ =
60
60 4
35
45
km du point A et le deuxième à
km du point A.
A 14h35 le premier cycliste se trouve à
2
4
35 45 25
−
=
= 6, 25 km
Distance qui sépare les deux cyclistes à 14h35 :
2
4
4
premier cycliste : d = v1 ⋅
A partir de 14h35, le deuxième cycliste rattrape 3 km sur le premier en 1h.
Temps t qu'il faut au deuxième cycliste pour rattraper le premier à partir de 14h35 :
25
3
25
1
= 4 ⇔t=
h = 2h ⋅ 60 min = 2h 5 min
t
1
12
12
Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
Le deuxième cycliste rattrape le premier à 16h 40 min.
Distance parcourue par le premier cycliste à 16h 40 min
= distance parcourue par le deuxième cycliste à 16h 40 min
35
25
⎛ 25 25 ⎞ 135
=
+ 24 ⋅ = 27 ⋅ ⎜ + ⎟ =
= 67,5 km
2
12
2
⎝ 60 12 ⎠
La rencontre à lieu à 67,5 km du point A
e) Distance parcourue par le premier à 15h00 :
35
25 55
+ 24 ⋅ =
km
2
60 2
Vitesse moyenne du deuxième cycliste s'il veut rattraper le premier à 15h00 :
55
d
2
v= =
= 33 km/h
50
t
60
5
Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
6
Exercices pour s’entraîner
1) Un avion vole à la vitesse de 400 km/h par rapport à l’air. Pendant son voyage aller, il a de face un
vent de 40 km/h ; au retour, il a le même vent dans le dos. Quelle est sa vitesse moyenne sur
l’ensemble du trajet?
2) Le rayon de la terre à l’équateur est d’environ 6400 km. Un avion en fait un tour à une vitesse de
800 km/h (par rapport à la terre). Si l’altitude de sa trajectoire au dessus de l’équateur est négligeable,
quelle est la durée du vol (arrondir à 1 près).
3) Un automobiliste se rend de Bruxelles à Paris. A la moitié du chemin, il réalise que sa vitesse
moyenne est exactement 120 km/h. Si sa vitesse moyenne, sur l’ensemble du trajet, a été de 96 km/h,
quelle a été, en kilomètres par heure, sa vitesse moyenne sur la seconde moitié du trajet?
4) Au cours d’un marathon disputé par cinq coureurs, Marc est 225 m derrière Stéphane. Celui-ci est
575 m devant Patrick, qui est 150 m derrière Charles. Enfin, celui-ci suit Jean à 575 m. En mètres,
quelle distance sépare le premier du dernier?
5) Stéphane fait son jogging. Pour l’instant, il lui reste à parcourir la moitié de ce qu’il a déjà couru ; un
kilomètre plus tôt, il lui restait à courir le double de ce qu’il avait déjà couru. Quelle est, en
kilomètres, la longueur de son entraînement?
6) Le mobile 1 parcourt 50 km en 2 heures et trente minutes ;
le mobile 2 parcourt 200 mètres en 30 secondes ;
le mobile 3 parcourt 300 mètres en 1 minute ;
le mobile 4 parcourt 1000 mètres en 3 minutes.
Quels sont les deux mobiles qui ont la même vitesse moyenne?
7) Michaël et Gilles participent à une course de 10 km, consistant à grimper une côte de 5 km puis à
revenir depuis son sommet jusqu’au point de départ par le même chemin. Michaël part 10 minutes
plus tôt que Gilles, qui grimpe à la vitesse de 15 km/h et descend à 20 km/h. Gilles grimpe à 16 km/h
et descend à 22 km/h. A quelle distance du sommet se croisent-ils?
Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
Réponses
1) Vitesse de l’avion à l’aller : 400 − 40 = 360km / h
Temps pour l’aller : ta
Distance parourue à l’aller : d
d
d
D’où l’équation : 360 = ⇔ ta =
ta
360
De même :
Vitesse de l’avion au retour : 400 + 40 = 440km / h
Temps pour le retour : tr
Distance parourue au retour : d
d
d
D’où l’équation : 440 = ⇔ tr =
tr
440
Vitesse moyenne du l’ensemble du trajet :
2d
2d
2d
360 ⋅ 440
v=
=
=
= 2d ⋅
= 396km / h
d
d
d
d
440
360
+
ta + tr
d
800
+
360 440
360 ⋅ 440
Remarque:
Cas général :
Soient va la vitesse à l’aller et vr la vitesse au retour, alors:
va vr
2v v
v +v
2d
2d
=
= 2d ⋅
= a r ≠ a r
v=
d d
dvr + dva
d ( va + vr ) va + vr
2
+
va vr
va vr
va + vr
est la moyenne arithmétique des nombres va et vr .
2
2va vr
est la moyenne harmonique des nombres va et vr .
va + vr
Si va = vr = v , alors
va + vr 2v
2v v
2v 2
=
=v=
= a r
2
2
2v va + vr
(v − v )
2v v
2v v
v +v
v +v
Si va ≠ vr , alors a r − a r = ... = a r > 0 ⇒ a r > a r
2
2 ( va + vr )
2
va + vr
va + vr
2
Si va ≠ vr la vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet est inférieure à la moyenne des vitesses à
l’aller et au retour!
2) Durée du vol : v =
d
2 ⋅ π ⋅ 6400
2 ⋅ π ⋅ 6400
⇔ 800 =
⇔t=
= 16π = 50, 26... ≈ 50h
t
t
800
3) Soient v1 la vitesse moyenne sur la première moitié du chemin, v2 la vitesse moyenne sur la
deuxième moitié du chemin et v la vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet, alors:
2v v
2 ⋅120 ⋅ v2
v = 1 2 ⇔ 96 =
⇔ 96 ⋅ (120 + v2 ) = 240v2 ⇔ ... ⇔ v2 = 80km / h
v1 + v2
120 + v2
7
Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung)
8
4) Schéma:
Distance qui sépare le premier du dernier : 725 m
5) 1°) Choix de l’inconnue
longueur de l’entraînement de Stéphane en km : x
2°) Mise en équation
2
1
1
x
−
x
=1⇔ x =1⇔ x = 3
3
3
3
N
N
distance parcourue
à l'instant
distance parcourue
1km plus tôt
3°) Solution
longueur de l’entraînement de Stéphane en km : 3
6) Vitesse moyenne du mobile 1 en m/s :
Vitesse moyenne du mobile 2 en m/s :
Vitesse moyenne du mobile 3 en m/s :
=
50000
50
150⋅60
9
200
20
30
3
300
60
1000
50
3⋅60
9
=
=5
=
Vitesse moyenne du mobile 4 en m/s :
Les mobiles 1 et 4 ont la même vitesse moyenne.
7) Situation au départ de Gilles (10 min après le départ de Michaël) :
Distance parcourue par Michaël en 10 min : 15 ⋅ 10
16 = 2,5 km /
Situation lorsque Michaël a atteint le sommet (20 min après le départ de Michaël) :
8
Distance parcourue par Gilles en 10 min : 16 ⋅ 10
60 = 3 km /
Distance qui sépare Gilles et Michaël : 5 − 83 = 73 km
Les deux se rapprochent maintenant à la vitesse de 20 + 16 = 36km / h
7
d
7
Pour se rencontrer (se rapprocher de 73 km) il leur faut : t = = 3 =
h
v 36 108
Lieu de la rencontre:
7
h:
Lieu de la rencontre (à partir du sommet) = distance parcourue par Michaël en
108
7
7
35
d = v( Michaël à la descente ) ⋅
= 20 ⋅
=
≈ 1,30km
108
108 27
autrement:
Lieu de la rencontre (à partir du sommet) = 5 - distance parcourue par Gilles en 10 min +
7 ⎞
7 ⎞ 35
⎛8
⎛8
d = 5 − ⎜ + v( Gilles à la montée ) ⋅
≈ 1,30km
⎟ = 5 − ⎜ + 16 ⋅
⎟=
108 ⎠
108 ⎠ 27
⎝3
⎝3
7
h:
108