Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung) 1 Définition Lorsqu

Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung) 1
Définition
Lorsqu’un mobile se déplace avec une vitesse constante v, on dit que son mouvement est uniforme.
Exemple:
a) Cycliste roulant avec une vitesse constante de 25 km/h.
b) Train roulant avec une vitesse constante de 100 km/h
Formule reliant la vitesse v, la distance d et le temps t (mouvement uniforme)
()
()
() ()
()
()
//
dm dkm
vms ouvkmh
ts th
==
(Attention aux unités!)
Dans le mouvement uniforme, la distance parcourue d et le temps de parcours t sont des grandeurs
proportionnelles, car leur rapport d
t est constant et vaut . Pour résoudre des problèmes faisant
intervenir le mouvement uniforme, on utilise donc toutes les techniques de calcul pour résoudre des
problèmes de proportionnalité.
v
(Règle de trois, proportions (rapports égaux), tableaux de proportionnalité)
Exemple
Un cycliste roule avec une vitesse constante de 24 km/h.
La distance parcourue par le cycliste (en km) et le temps (en h) sont des grandeurs proportionnelles, car
si la distance parcourue devient 2,3,4, ... fois plus grande, alors le temps devient aussi 2,3,4, ... fois plus
grand. D'après ce qui précède, le rapport distance k
m
(
)
temps h() est constant et vaut 24 km/h.
Le rapport constant dans cet exemple est la vitesse du cycliste.
Tableau
distance (km) 0 24 48 72 96
temps (h) 0 1 2 3 4
distance k
m
()
temps h() =vitesse km/h() || 24
1=24 48
2=24 72
3=24 96 4=24
Distance parcourue après 75 min:
5
4
75 5 5
75min ; 24 24 30
60 4 4
dd
hv d km
t
= = =⇔ =⇔=⋅=
Temps pour parcourir 54 km:
54 54 9
24 2 15min
24 4
d
vth
tt
=⇔ = ⇔= = =
h
Vitesse d’un deuxième cycliste (roulant à vitesse constante!) qui parcourt 36 km en 72 min:
6
5
72 6 36 5
72min ; 36 30 /
60 5 6
d
hv kmh
t
== ===⋅=

Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung) 2
Exercice résolu
Un cycliste part à 14h d'un point A et roule avec une vitesse constante de 24 km/h.
a) Calculer la distance parcourue (en km) après 72 min.
b) Calculer le temps nécessaire (en h et min) pour parcourir 54 km.
c) Un deuxième cycliste se lance à la poursuite du premier à la vitesse de 30 km/h.
Quand et où à partir du point A est-ce qu'il va rattraper le premier cycliste, sachant qu'il part du même
endroit à 14h24min?
d) Avec quelle vitesse doit-il rouler s'il veut rattraper le premier à 15h30min?
(Donner le résultat exact et une valeur approchée à 0,01 près)
e) Un troisième cycliste qui roule avec une vitesse constante de 26 km/h part à 14 h d'un point B situé à
64 km du départ du premier.
Quand et où à partir du point A est-ce que le troisième cycliste recontre le premier?
(Donner les résultats exacts)
Réponse:
a) 1h = 60 min
Le rapport
()
()
distance km 24
vitesse (km/h) 24 / /min
temps min 60
km h km=== est constant.
Soit d la distance parcourue après 72 min, alors :
24 24 72
24 72 60 28,8
60 72 60
dddd ⋅
=⇔⋅=⋅⇔ =⇔= km
b) Soit t le temps (en min) nécessaire pour parcourir 54 km, alors:
24 54 54 60
24 54 60 135 min 2 15 min
60 24
tt h
t
⋅
=⇔ =⋅⇔= = =
c) Distance parcourue par le premier cycliste en 24 min :
24 24 24
24 24 60 9,6
60 24 60
dddd ⋅
=⇔⋅= ⇔ =⇔=km
A 14h24, les deux cyclistes sont distants de 9,6 km.
En 1 h, le deuxième cycliste rattrape 6 km sur le premier car sa vitesse dépasse de 6 km/h celle du
premier. La "distance rattrapée" et le temps sont des grandeurs proportionnelles;
le rapport
()
()
"distance rattrapée" km
temps min est constant.
Temps (en h et min) nécessaire pour rattraper le premier cycliste (pour rattraper 9,6 km) :
69,6 609,6
6 60 9,6 96 min 1 36min
60 6
tt h
t
⋅
=⇔=⋅⇔= = =
Distance parcourue par le deuxième cycliste après 1h36min
= distance parcourue par le premier cycliste après 24min + 1h36min soit 2h : km 224 48⋅=
La rencontre a lieu à 16h00 à 48 km du point A.

Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung) 3
d) 15 h 30 min - 14h = 1h 30 min = 90 min
Distance d (en km) parcourue par le premier cycliste après 90 min :
24 24 90
24 90 60 36
60 90 60
dddd ⋅
=⇔⋅= ⇔ =⇔=km
15h 30 min - 14h 24 min = 1h 6 min = 66 min
Vitesse du deuxième cycliste s'il veut rattraper le premier à 15h 30 min :
2
v
236 6 6 360
/min 60 / / 32,73 /
66 11 11 11
d
v km kmh kmh kmh
t
== = =⋅ = ≈
e) En 1 h le premier et le troisième cyclistes se rapprochent de 24 + 26 = 50 km
La "distance rapprochée" et le temps sont des grandeurs proportionnelles; le rapport
()
()
"distance rapprochée" km
temps min est constant.
Temps (en h et min) nécessaire pour se rapprocher de 50 km (pour se rencontrer) :
50 64 60 64 384
50 60 64 min 76,8 min 1 16min 48
60 50 5
tt h
t
⋅
=⇔ =⋅⇔= = = = s
Endroit de la rencontre à partir du point A = distance du premier cycliste parcourue après 384 min
5:
24 384 24 384 768
60 24 30,72
384
60 5 5 60 25
5
ddd
⋅
=⇔=⋅⇔= ==
⋅ km
La rencontre a lieu à 15h16min48s à 30,72 km du point A.
Exercice résolu
Un cycliste part à 14 h d'un point A et roule avec une vitesse constante de 30 km/h pendant 35 minutes.
Fatigué, il ralentit et continue avec une vitesse constante de 24 km/h pendant 1h 10 min.
a) Calculer sa vitesse moyenne (Durchschnittsgeschwindigkeit).
b) A quelle vitesse doit-il rouler pendant les 70 dernières minutes s'il veut maintenir une vitesse
moyenne de 28 km/h pendant la durée totale (soit 105 minutes) de son effort?
c) Pendant combien de temps, peut-il rouler à 24 km/h à partir de 14h35 s'il veut garder une vitesse
moyenne égale à 25 km/h.
Un deuxième cycliste se lance à la poursuite du premier à 14h10 en partant du point A avec une vitesse
constante de 27 km/h. Le premier roule à 30km/h jusqu'à 14h35, puis il continue à 24 km/h.
d) Quand et à quelle distance du point A est-ce qu'il va rattraper le premier cycliste?
e) A quelle vitesse doit-il rouler s'il veut rattraper le premier cycliste à 15h00?

Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung) 4
Réponse:
a) Posons : 11 2 2
35 7 70 7
30 / ; 35min ; 24 / ; 1 10min
60 12 60 6
vkmht hhv kmhth h= = == = = ==h
Distance totale parcourue pendant les 105 minutes :
11 22 7791
30 24 45,5
12 6 2
dvtvt=⋅+⋅= ⋅ + ⋅= = km
Temps total en h : 1235 70 105 7
60 60 60 4
tt t h=+= + = =
Vitesse moyenne en km/h :
91
226
7
4
d
vt == = km/h
b) Vitesse v pendant les 70 dernières minutes s'il veut une vitesse moyenne de 28 km/h pendant la durée
totale (soit 105 minutes) de son effort 11 2
12
77
30
12 6
28 28 27
7
4
v
vt vt v
tt
+
⋅⋅
⋅+⋅
=
⇔= ⇔=
+ km/h
c) Temps
tpendant lequel il peut rouler à 24 km/h à partir de 14h35 s'il veut garder une vitesse
2
moyenne égale à 25 km/h :
2
11 2 2 2
12 2
7
30 24 35 11
12
25 25 2 60min 2 55min
712 12
12
t
vt v t thh h
tt t
+
⋅⋅
⋅+ ⋅
=⇔= ⇔==⋅=
++
d) Situation à 14h10:
110 10
30 5
60 60
dv=⋅ = ⋅ = km
premier cycliste :
A 14h10 le premier cycliste se trouve à 5 km du point A et le deuxième au point A.
Situation à 14h35:
premier cycliste : 135 35 35
30 17,5
60 60 2
dv=⋅ = ⋅ = = km
deuxième cycliste : 225 25 45
27 11,25
60 60 4
dv=⋅ = ⋅ = = km
A 14h35 le premier cycliste se trouve à 35
2 km du point A et le deuxième à 45 4 km du point A.
Distance qui sépare les deux cyclistes à 14h35 : 35 45 25 6,25
244
−== km
A partir de 14h35, le deuxième cycliste rattrape 3 km sur le premier en 1h.
Temps
t qu'il faut au deuxième cycliste pour rattraper le premier à partir de 14h35 :
25
3251
42 60min 2 5min
11212
thh h
t
=⇔==⋅ =

Mouvement uniforme (gleichmäβige Bewegung) 5
Le deuxième cycliste rattrape le premier à 16h 40 min.
Distance parcourue par le premier cycliste à 16h 40 min
= distance parcourue par le deuxième cycliste à 16h 40 min
35 25 25 25 135
24 27 67,5
212 60122
⎛⎞
=+⋅=⋅ + = =
⎜⎟
⎝⎠ km
La rencontre à lieu à 67,5 km du point A
e) Distance parcourue par le premier à 15h00 : 35 25 55
24
260
+⋅ =
2
km
Vitesse moyenne du deuxième cycliste s'il veut rattraper le premier à 15h00 :
55
233
50
60
d
vt == = km/h