Rappels de cours

Géométrie plane
Rappels de cours
1 Triangles
1.1 Théorèmes des milieux
Théorème 1
— La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
— La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre côté coupe
le troisième côté en son milieu.
— La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié
de la longueur du troisième côté.
B
I
J
C
A
1.2 Droites remarquables
Théorème 2
Dans un triangle :
— les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
— les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Ce point est situé aux 32 de chaque médiane en partant du sommet.
— les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce point est
le centre du cercle inscrit dans le triangle.
— les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. Ce point
est le centre du cercle circonscrit au triangle.
B
C
B
A0
0
H
A0
C
0
G
C
C
B0
B0
A
Seconde 3 – 2015/2016
A
1
G ÉOMÉTRIE PLANE
C OURS
B
A0
B
C
0
O
I
C
B0
C
A
A
2 Triangle rectangle
2.1 Théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème 3
Soit ABC un triangle.
— Si ABC est rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2 .
— Si BC 2 = AB 2 + AC 2 , alors ABC est rectangle en A.
b
a2 = b2 + c2
c
a
2.2 Cercle circonscrit
Théorème 4
Soit AM B un triangle.
— Si AM B est rectangle en M , alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
— Si M est sur le cercle de diamètre [AB ] alors AM B est rectangle en M .
M
B
A
2
O
Seconde 3 – 2015/2016
C OURS
G ÉOMÉTRIE PLANE
2.3 Trigonométrie
Théorème 5 (Propriété et définition)
.
Soit ABC un triangle rectangle en A et α la mesure de l’angle ABC
AB AC
AC
Les rapports
,
et
ne dépendent que des angles du triangle ABC .
BC BC
AB
On définit le cosinus, le sinus et la tangente de α de la façon suivante :
cos(α) =
AB
BC
sin(α) =
AC
BC
tan(α) =
cos α =
b
AC
AB
c
a
b
a
b
tan α =
c
c
sin α =
α
a
3 Parallélogrammes
Définition 1 Un quadrilatère ABC D est un parallélogramme si [AC ] et [B D] ont le même milieu. Ce milieu est appelé centre du parallélogramme.
Théorème 6
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même mesure.
k
D
D
C
C
D
C
k
I
A
A
B
B
A
B
3.1 Rectangles
Définition 2
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Théorème 7
— Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit.
— Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même mesure.
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D
C
D
C
D
C
A
B
A
B
A
B
3
G ÉOMÉTRIE PLANE
C OURS
3.2 Losanges
Définition 3
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure.
Théorème 8
— Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même
mesure.
— Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
C
C
D
C
D
B
D
B
A
B
A
A
3.3 Carrés
Définition 4
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
4 Théorème de Thalès
Théorème 9
On considère deux droites (B M ) et (C N ) sécantes en A.
AM AN M N
— Si (BC ) et (M N ) sont parallèles alors
=
=
AB
AC
BC
AM AN
=
et si A, B , M et A, C , N sont alignés dans le même ordre alors (BC ) et (M N ) sont
— Si
AB
AC
parallèles.
B
N
B
M
A
M
C
4
A
N
C
Seconde 3 – 2015/2016