Rappels de cours

Géométrie plane
Rappels de cours
1 Triangles
1.1 Théorèmes des milieux
Théorème 1
— La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
— La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre côté coupe
le troisième côté en son milieu.
— La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié
de la longueur du troisième côté.
A
B
C
J
I
1.2 Droites remarquables
Théorème 2
Dans un triangle :
— les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
— les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Ce point est situé aux 2
3de chaque médiane en partant du sommet.
— les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce point est
le centre du cercle inscrit dans le triangle.
— les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. Ce point
est le centre du cercle circonscrit au triangle.
A
B
C
C0
B0
A0
H
A
B
C
C0
B0
A0
G
Seconde 3 – 2015/2016 1

GÉOMÉTRIE PLANE COURS
A
B
C
I
A
B
C
C0
B0
A0
O
2 Triangle rectangle
2.1 Théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème 3
Soit ABC un triangle.
— Si ABC est rectangle en Aalors BC 2=AB2+AC2.
— Si BC 2=AB2+AC2, alors ABC est rectangle en A.
a
b
ca2=b2+c2
2.2 Cercle circonscrit
Théorème 4
Soit AM B un triangle.
— Si AMB est rectangle en M, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoté-
nuse.
— Si Mest sur le cercle de diamètre [AB] alors AMB est rectangle en M.
O
A
M
B
2Seconde 3 – 2015/2016

COURS GÉOMÉTRIE PLANE
2.3 Trigonométrie
Théorème 5 (Propriété et définition)
Soit ABC un triangle rectangle en Aet αla mesure de l’angle  ABC .
Les rapports AB
BC ,AC BC et AC AB ne dépendent que des angles du triangle ABC .
On définit le cosinus, le sinus et la tangente de αde la façon suivante :
cos(α)=AB
BC sin(α)=AC BC tan(α)=AC AB
a
b
c
α
cos α=c
a
sin α=b
a
tan α=b
c
3 Parallélogrammes
Définition 1 Un quadrilatère ABC D est un parallélogramme si [AC ]et [BD]ont le même mi-
lieu. Ce milieu est appelé centre du parallélogramme.
Théorème 6
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même mesure.
A B
D C
I
A B
D C
k
k
A B
D C
3.1 Rectangles
Définition 2 Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Théorème 7
— Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit.
— Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même mesure.
A B
D C
A B
D C
A B
D C
Seconde 3 – 2015/2016 3

GÉOMÉTRIE PLANE COURS
3.2 Losanges
Définition 3 Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure.
Théorème 8
— Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même
mesure.
— Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
3.3 Carrés
Définition 4 Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
4 Théorème de Thalès
Théorème 9
On considère deux droites (B M) et (C N ) sécantes en A.
— Si (BC ) et (M N ) sont parallèles alors AM
AB
=AN
AC
=M N
BC
— Si AM
AB
=AN
AC et si A,B,Met A,C,Nsont alignés dans le même ordre alors (BC) et (M N ) sont
parallèles.
B
C
N
M
A
B
C
N
M
A
4Seconde 3 – 2015/2016