Guide pour comprendre : Physique quantique

Guide pour comprendre : Physique quantique
Guide écrit par Tristan Pham-Mariotti. Ce guide est une aide supplémentaire pour comprendre le cours de physique quantique mais il ne
peut en aucun cas se substituer au cours de M. Gillet.
Ce document commençant à prendre de la taille, il y a un sommaire à la n de celui-ci pour s'y retrouver et accéder plus rapidement à un
élément.
De manière analogue à la théorie de la relativité générale venant préciser celle de Newton lorsque les vitesses étudiées s'approchent
de celles de la lumière, la physique quantique vient compléter la physique classique inapplicable lorsque les phénomènes en jeu
sont à l'échelle atomique. La compréhension des phénomènes à cette échelle a permis l'invention de nombreuses technologies :
laser, IRM, supraconducteur, led, etc.
Le cours se décompose de la façon suivante :
1. On fait un point sur comment historiquement on en est venu à cette nouvelle physique
2. On introduit la notion de fonction d'onde et on voit dans des cas simples comment la déterminer
3. On introduit les postulats de la quantique et un formalisme qu'on utilisera dans la suite
4. On étudie plusieurs systèmes avec une démarche assez similaire : oscillateur harmonique, système uniquement en rotation,
atome d'hydrogène, etc.
5. Lorsque le système est trop complexe, on utilise des méthodes d'approximation
1
Nécessité d'une nouvelle physique
A la n du 19ème siècle, certains physiciens pensaient que tout était découvert en physique, le problème n'étant plus que la
précision des mesures. En eet, on distinguait alors deux entités dans les phénomènes physiques : la matière et les ondes. Les
lois de Newton permettaient d'étudier les corps matériels tandis que les équations de Maxwell s'intéressaient aux ondes et avaient
réussi à lier des domaines a priori diérents : l'électricité, le magnétisme et l'optique. Enn les interactions entre matière et
ondes étaient décrites par la force de Lorentz, bref tout marchait bien.
Cependant quelques petites expériences posaient problème. Elles allaient aboutir à la théorie de la relativité générale d'Einstein
et la physique quantique. Disons ici quelques mots sur les expériences ayant servi de prélude à la physique quantique.
1.1 Du champ aux particules
On retiendra trois expériences qui ont conduit à voir la lumière, non pas seulement comme une onde comme c'était le cas, mais
aussi comme un ensemble de particules.
• Le rayonnement du corps noir :
En 1900, pour expliquer le rayonnement du corps noir, Planck suggère que l'énergie d'une onde électromagnétique de
fréquence ν est quantiée. Celle-ci doit être un multiple de hν où h est une nouvelle constante fondamentale, qui sera
appelée constante de Planck.
• L'eet photoélectrique :
Plus la fréquence du rayonnement incident sur une plaque avec des électrons est grande, plus ceux-ci se retrouvent éjectés
avec une grande vitesse. Einstein postule (en 1905) que la lumière est constituée de photons, particules portant une énergie
hν et les électrons absorbent cette énergie pour s'extraire puis avoir une vitesse s'il reste de l'énergie.
1
E = hν
où h = 6, 63.10−34 J.s
• La diusion Compton :
Einstein prolonge son idée (en 1917) et postule que si le photon est une particule alors il doit avoir une impulsion p~ telle
que E = pc. Combiné avec E = hν , on en déduit qu'il existe une relation entre cette impulsion et le vecteur d'onde :
p~ = ~~k
L'expérience de la diusion Compton en 1924 conrmera l'existence de cette dualité onde-corpuscule.
Un photon rentre en collision avec un électron libre. Le photon cède une partie de son énergie à l'électron donc la fréquence
du rayonnement diminue (car E = hν ) donc la longueur d'onde augmente, ce que Compton a observé.
1.2 Des particules aux ondes
Parallèlement à la découverte des photons, le comportement de particules de matières s'est vu expliqué par les ondes.
• De Broglie, les particules sont des ondes :
De Broglie postule que toute particule possède un caractère ondulatoire. On associe à cette onde une pulsation w = E~ , un
vecteur d'onde ~k = ~p~ et une longueur d'onde, dite de de Broglie, λ = hp .
λDB =
h
p
• Davisson et Germer, diracter les particules :
L'expérience de Davisson et Germer montre que les électrons peuvent être diractés. Cela conrme la dualité ondecorpuscule.
2
Physique ondulatoire
La vision des particules en tant qu'onde conduit à introduire la notion de fonction d'onde puis l'équation d'onde (l'équation de
Schrödinger).
2
2.1 Représentation d'un état physique
A chaque particule on a envie d'attribuer une onde. Ce qui est important dans une expérience, comme celle des fentes d'Young,
c'est l'intensité de l'énergie arrivant sur l'écran, autrement dit la densité surfacique de photons (ou plus généralement de particules) arrivant sur l'écran. En normalisant cette densité surfacique en la divisant par le nombre total de photons émis par la
source, on obtient une probabilité par unité de surface.
On postule alors qu'il existe une fonction d'onde Ψ(~r, t) correspondant à chaque chemin emprunté par la source. La fonction
d'onde de la particule nalement détectée est l'addition de toutes les fonctions d'onde des chemins possibles et le signal mesuré
est le module au carré de cette fonction d'onde résultante.
Ainsi |Ψ(~r, t)|2 est une densité de probabilité. Par conséquence,
Z
|Ψ(~r, t)|2 d3 r = 1
espace
On admettra (voir idées de justication dans le poly page 28) que cette fonction d'onde vérie, en tout point de l'espace et à
tout instant, l'équation de Schrödinger :
2
∂
~
i~ ∂t
Ψ(~r, t) = − 2m
∇2r Ψ(~r, t) + V (~r)Ψ(~r, t)
La fonction d'onde a les propriétés suivantes :
• Ψ(~r, t) ∈ L2
• Ψ(~r, t) est continue.
• Les dérivées spatiales de Ψ(~r, t) sont continues pour une discontinuité nie du potentiel.
• L'ensemble des fonctions d'ondes est un espace de Hilbert muni du produit scalaire
Z
< φ|ψ >= φ∗ ψd3~r
2.2 Un exemple important : Le puits de potentiel inni
Voyons sur un exemple simple comment déterminer la fonction d'onde d'une particule.
On considère une particule de masse m placée dans une région de l'espace de taille nie dont elle ne peut s'échapper. Autrement
dit, à une dimension, on considère une particule placée dans le puits de potentiel suivant :
En tout point de l'espace et en tout instant, la fonction d'onde de notre particule vérie l'équation de Schrödinger :
∂
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
Ψ(x, t) = −
∂t
2m ∂x2
Puisque la particule ne peut se trouver en x < 0 et en x > a alors |Ψ(x, t)|2 = 0 d'où Ψ(x, t) = 0.
Pour 0 ≤ x ≤ a notre fonction d'onde vérie le problème :
 ∂
2
~2 ∂ Ψ(x,t)

i~ ∂t Ψ(x, t) = − 2m ∂x2


Ψ(0, t) = 0
Ψ(a, t) = 0



Ψ(x, 0) = Ψ0
i~
3
Par le cours d'EDP, on sait que ce problème admet une unique solution.
Puisque l'action sur la variable t et l'action sur la variable x sont bien séparées dans l'équation, on va chercher notre solution
sous la forme :
Ψ(x, t) = φ(x)g(t)
Cette méthode est dîte méthode de séparation des variables.
Injectons cette forme dans l'équation, on a alors :
i~φ(x)
~2
∂ 2 φ(x)
∂
g(t) = −
g(t)
∂t
2m
∂x2
Or, on sait que Ψ(x, t) n'est pas la fonction nulle (sinon il n'y aurait pas de particule...), donc par unicité du problème de Cauchy
(voir EDP) la fonction d'onde Ψ(x, t) cherchée ne s'annule pas. Et donc φ et g ne s'annulent pas.
On a
2
i~
∂g(t)
∂t
g(t)
∂ φ(x)
=−
~2 ∂x2
2m φ(x)
Si on xe t, le terme de gauche est constant et donc le terme de droite est constant quelque soit x. De même, on déduit que
les deux termes de cette équation sont constants (égal à la même constante). On note E cette constante (sachant qu'elle est
homogène à une énergie).
On a alors :
(
∂g
E
∂t (t) + i ~ g(t) = 0
2
∂ φ
2mE
∂x2 (x) + ~2 φ(x) =
0
, quitte à faire √passer la constante dans φ(x).
La première équation montre que g(t) = e
. La fonction φ est de la forme :
Intéressons nous à la deuxième équation et posons alors k = 2mE
~
−i E
~t
φ(x) = Aeikx + Be−ikx
Puisque Ψ(0, t) = 0 (et que g(t) 6= 0 pour tout t) alors φ(0) = 0. On en déduit que A = −B .
Puis, puisque Ψ(a, t) = 0 alors φ(a) = 0 donc
A(eika − e−ika ) = 0
Or si A = 0 la fonction d'onde est nulle ce qui est impossible donc eika − e−ika = 0. Autrement dit, sin(ka) = 0 Donc ka = nπ
avec n entier naturel. Puisque plusieurs valeurs sont possibles, on indicera√ maintenant k,E et Ψ par √
l'indice n.
2mEn
n
Mais n ne peut pas prendre n'importe quelle valeur. En eet on a kn = 2mE
≥
0
et
même
k
=
> 0 car l'énergie ne
n
~
~
peut être nulle.
Donc
n ∈ N∗
kn = n πa
En reprenant l'expression k =
√
2mE
~
on en déduit
2
2
~ π
En = n2 2ma
2
n ∈ N∗
On a montré que
En
π
Ψn (x, t) = An sin(n x)e−i ~ t
a
Ra
Pour déterminer le coecient An on utilise le fait que x=0
|Ψn (x, t)|2 dx = 1.
Finalement on trouve
Ψn (x, t) =
q
π
2
−i E~n t
a sin(n a x)e
Bon, on a trouvé des formes de solutions potentielles, mais on sait qu'il n'y a qu'une seule solution alors c'est laquelle parmi
toutes celles là ?
Puisque l'équation de Schrödinger est linéaire, tout combinaison linéaire de solutions est solution de l'équation (sans tenir compte
des conditions aux limites). Ainsi pour n'exclure aucune possibilité, la forme de la solution qu'on recherche est
Ψ(x, t) =
∞
X
Cn Ψn (x, t)
n=1
a
On a aussi le fait que
|Ψ(x, t)|2 dx = 1. On peut montrer que les Ψn trouvées forment une base orthonormée pour le produit
R a x=0
P
2
scalaire < f, g >= 0 f gdx. Ainsi cette condition s'écrit ∞
n=1 |Cn | = 1.
R
4
2.3 Autres exemples
La démarche est sensiblement la même, il est bien de s'entraîner à faire les exercices suivants. Je donne ici les idées de la
démarche.
2.3.1
Marche de potentiel
On considère une particule lancée suivant le sens croissant de l'axe x.
On écrit l'équation de Schrödinger dans la région 1 de l'espace x < 0 et dans celle 2 x > 0.
• Cas où E > V2 :
On a, en posant k1 =
√
2mE
~
et k2 =
√
2m(E−V2 )
~
,
(
E
Ψ1 (x, t) = (A1 eik1 x + B1 e−ik1 x )e−i ~ t
E
Ψ2 (x, t) = A2 ei(k2 x− ~ t)
En eet une partie de l'onde se rééchit sur la marche et repart dans la zone 1 dans le sens des x décroissant.
On trouve les relations liant ces coecients en utilisant la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée (car le saut de
potentiel est ni).
• Cas où E < V2 :
En posant k2 =
√
2m|E−V2 |
~
on a la forme dans la partie 2 qui change en :
E
Ψ2 (x, t) = A2 e−k2 x−i ~ t
En eet on ne garde pas le terme en ek2 x car en faisant tendre x vers +∞ on aurait la fonction d'onde qui tendrait vers
+∞ ce qui est impossible (car Ψ ∈ L2 ).
Ainsi la particule peut exister dans la zone x > 0 sur une faible profondeur, contrairement au cas de la physique classique.
2.3.2
Barrière de potentiel (eet tunnel)
On considère une particule venant des x < 0 avec E < V0 .
On écrit l'équation de Schrödinger dans chaque zone et on obtient une fonction d'onde de la forme

ikx
−ikx

x<0
φ1 (x) = Ae + Be
φ2 (x) = Ceβx + De−βx 0 < x < a


φ3 (x) = F eik(x−a) + Ge−ik(x−a) x > a
Il est intéressant ici de s'intéresser à un ux de probabilité déni par
5
~j(~r, t) =
~
∗
~ r Ψ(~r, t))
r, t)∇
m Im(Ψ (~
=
i~
~ ∗
2m (Ψ∇r Ψ
~ r Ψ)
− Ψ∗ ∇
Remarque 1
L'égalité provient du fait que z − z = 2iIm(z).
L'explication de cette dénition est dans le poly page 32.
~k
∗
∗
Le ux dans la zone 1 est j1 = ~k
m AA − m BB = j+ − j− .
~k
~k
∗
∗
Celui dans la zone 3 est j3 = m F F − m GG .
Ainsi les coecient de réexion et de transmission en ux sont :
R=
ux rééchi
j−
BB ∗
=
=
ux incident j+ AA∗
T =
ux transmis F F ∗
=
ux incident AA∗
Avec les relations de continuité on arrive à calculer ces coecients et on observe que T n'est pas nul. Cela signie qu'une (faible)
proportion de particules est transmise bien que leur énergie soit inférieure à la hauteur de la barrière !
On vérie aussi que R + T = 1 ce qui est rassurant car cela traduit la conservation de la matière : toutes les particules
sont soient transmises soient rééchies (pas de disparition).
3
Postulats et formalisme de la physique quantique
Maintenons que nous avons manipulé quelques exemples simples "avec les mains", introduisons les postulats de la physique
quantique ainsi qu'un formalisme dont on se servira dans toute la suite.
3.1 Postulats
Enonçons les diérents postulats de la physique quantique. Par dénition ceux-ci ne peuvent être démontrés, néanmoins on ne
les a pas postulé par hasard et il est donc intéressant de les commenter.
1. L'état quantique d'un système physique à l'instant t est décrit par un vecteur d'état, noté |ψi.
On a vu que la fonction d'onde nous permettait d'avoir une information sur où peut se situer la particule. Mais cette
information n'est qu'une restriction de toute l'information caractérisant l'état de la particule.
En fait la fonction d'onde est la projection du vecteur d'état sur une base de l'espace euclidien et de l'espace du temps.
Le vecteur d'état vit dans un espace de dimension innie. La description de l'état d'une particule se compose donc de
beaucoup plus d'informations en physique quantique qu'en physique classique où la position et la vitesse susent.
2. En physique quantique, toute grandeur mesurable est décrite par une "observable" à laquelle on associe un opérateur linéaire
hermitien.
Un opérateur est un objet mathématique qui, ici, transforme un vecteur d'état en un autre vecteur d'état.
Par exemple, l'énergie, qui est une grandeur mesurable, est décrite par l'opérateur Hamiltonien :
Ĥ =
p̂2
+ V̂
2m
Un opérateur peut être représenté par une matrice (de dimension potentiellement innie).
Le fait qu'il soit hermitien implique que ses valeurs propres soient réelles et "justie" le postulat suivant.
3. La mesure d'une grandeur physique ne peut avoir pour résultat que l'une des valeurs propres de l'opérateur qui lui est
associé.
Par ce qui précède, une mesure est toujours réelle.
Par exemple, dans le cas du puits de potentiel inni, on avait trouvé que les énergies possibles pour la particule sont
quantiées. En eet on pouvait en fait écrire les choses de la façon suivante :
Ĥ|Ψi = E|Ψi
Et les énergies possibles sont alors les valeurs propres de l'Hamiltonien.
6
∧
4. Pour un système se trouvant dans l'état |ψ(t)i la mesure d'une observable décrite par un opérateur A de spectre (an ) donne
le résultat particulier an avec une probabilité égale à pn = |hφn |ψ(t)i|2 .
∧
5. Si le résultat de la mesure d'une observable donne la valeur propre an de l'opérateur associé A, alors immédiatement après
cette mesure, le système se trouve dans l'état propre correspondant |φn i.
Ainsi une mesure pertube l'état du système.
∧
6. Pour un système dont le Hamiltonien est H(t), l'évolution temporelle d'un état quantique, représenté par le ket d'état
|ψ(t) >, se trouve en résolvant l'équation de Schrödinger
i~
∧
d
|ψ(t)i = H(t)|ψ(t)i
dt
3.2 Formalisme
3.2.1 Bras et kets
En analyse, on a vu (avec le théorème de Riez-Fréchet) qu'une forme linéaire pouvait toujours s'écrire sous forme d'un produit
scalaire i.e. il existe un unique vecteur a tel que l(u) = ha|ui. On pourrait donc plutôt que noter cette forme linéaire l, la noter ha|.
En physique quantique, comme on va faire beaucoup de produits scalaires, on va noter les vecteurs d'état (ou kets d'états)
: |φ2 i.
Et on va noter les formes linéaires (ou bras) : hφ1 |.
Appliquer hφ1 | à |φ2 i c'est faire hφ1 ||φ2 i qu'on notera simplement hφ1 |φ2 i car cela correspond au produit scalaire.
3.2.2 Opérateurs
• L'adjoint d'un opérateur  est l'opérateur † qui est tel que
Si Â|φi i = |φj i alors hφi |† = hφj |
• Un opérateur est dit hermitien si  = † .
Un tel opérateur a toutes ses valeurs propres réelles et on peut trouver des vecteurs propres associés qui forment une base
orthonormée.
Exemples d'opérateur L'opérateur impulsion est :
p̂ = ~i ∇~r
L'opérateur Hamiltonien correspondant à l'énergie totale est :
Ĥ = T̂ + V̂ =
p̂2
2m
+ V̂
Bon on commence à s'emmêler les pinceaux avec ces notations, il faut prendre le temps de s'y habituer un peu en les manipulant.
Faisons pour cela quelques exercices.
3.2.3
Manipulation des notions
Soit  un opérateur hermitien de vecteurs propres {|φn i} et de valeurs propres {an }. Puisque {|φn i} est une base orthonormée,
pour n'importe quel ket d'état on peut écrire
X
|Ψ(t)i =
cn (t)|φn i
n
On trouve facilement
P (en projetant sur φn ) que cn (t) = hφn |Ψ(t)i.
Montrons que  = n an |φn ihφn |. (essayer de le faire par vous-mêmes avant de regarder la solution).
On a pour tout |Ψi :
7
Â|Ψi = Â
X
hφn |Ψi|φn i
n
=
X
hφn |ΨiÂ|φn i par linéarité
n
=
X
hφn |Ψian |φn i
n
=
X
an |φn ihφn |Ψi
n
X
=(
an |φn ihφn |)|Ψi
n
D'où
 =
X
an |φn ihφn |
n
Ainsi l'opérateur  s'écrit comme une somme (pondérée par les valeurs propres) de projecteurs |φn ihφn | (projette un ket d'état
quelconque sur le ket propre |φn i).
On montre la relation de fermeture
P
n
|φn ihφn | = 1̂
où 1̂ est l'opérateur identité.
On peut aussi faire la remarque suivante :
• Un opérateur transforme un ket en un ket
• Un bra transforme un ket en un scalaire (nombre)
Ainsi on peut voir que |φn ihφn | est bien un opérateur. En eet soit |Ψi un ket, on a |φn ihφn ||Ψi qui est un ket par un scalaire
donc un ket.
3.2.4
Commutateurs
Des opérateurs ne commutent pas forcément (ils peuvent être représentés par des matrices...). Or le fait qu'il commute est
important, comme on le verra beaucoup dans la suite, notamment parce qu'un résultat mathématique nous dit que si deux
opérateurs commutent alors ils possèdent une base(orthonormée) de kets propres communs. (codiagonalisation)
On dénit donc le commutateur de deux opérateurs :
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
Nous allons être amené à calculer un certain nombre de commutateurs. Lorsqu'on a aaire à un produit d'opérateurs on utilise
les propriétés suivantes :
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂
[Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + [Â, B̂]Ĉ
C'est simple de s'en rappeler : "le terme gauche du produit sort à gauche et le terme droite du produit sort à droite".
Calcul d'un commutateur
Calculons [p̂x , x̂].
Soit un ket |Ψi.
8
[p̂x , x̂]|Ψi = p̂x x̂|Ψi − x̂p̂x |Ψi
~
~
= ∇ˆx x̂|Ψi − x̂ ∇ˆx |Ψi
i
i
~
~ ˆ
= ∇x |xΨi − |x∇x Ψi
i
i
~
~
~
= |Ψi + |x∇x Ψi − |x∇x Ψi
i
i
i
= −i~
On retiendra
[p̂x , x̂] = −i~
On peut aussi montrer le résultat suivant :
Si [Â, B̂] = i~Ĉ alors 4(A)4(B) ≥ ~2 < C > avec 4(A) l'écart type de la grandeur associée à Â et < A > la valeur
moyenne de la grandeur associée à Â.
On en déduit en particulier la fameuse inégalité de Heisenberg :
4(px )4(x) ≥
3.2.5
car [pˆx , x̂] = −i~
~
2
Valeur moyenne
La valeur moyenne d'un opérateur  dans un état |Ψi donné est :
< A >= hΨ|Â|Ψi
La preuve est assez intéressante car elle fait manipuler les notions et montre l'utilisation de la relation de fermeture.
hΨ|Â|Ψi = hΨ|1̂Â1̂|Ψi
X
X
= hΨ|(
|φn ihφn |)Â(
|φm ihφm |)|Ψi
n
= hΨ|(
m
X
|φn ihφn |)
n
=
XX
n
am hφm |Ψi|φm i
m
am hΨ|φn ihφm |Ψihφn |φm i
m
=
XX
=
X
=
X
n
X
am c∗n cm δn,m
m
|cn |2 an
n
pn an
n
4
Dynamique spontanée d'un système quantique et retour vers la physique classique
4.1 Description quantique ou classique
En introduction, on a dit que la physique quantique était nécessaire pour étudier des problèmes à l'échelle des atomes. Précisons
de façon plus rigoureuse à quelle condition la physique quantique est nécessaire.
On peut montrer (poly page 65) que le passage de la quantique au classique se fait en faisant ~ → 0. Plus précisément si
toute action (grandeur caractéristique du système ayant la dimension de h c'est à dire J.s) est grande devant
~. Si une action est comparable à ~ alors le recours aux règles quantiques s'impose.
9
4.2 Evolution temporelle
Lorsqu'on s'intéresse à l'évolution temporelle de la valeur moyenne d'une grandeur, on utilise le théorème d'Ehrenfest :
i~∂t <  >=< [Â, Ĥ] > +i~ < ∂t  >
Relation d'incertitude d'Heisenberg énergie-temps :
4(E)4(t) ≥ ~
Remarque 2
Il n'y a pas d'opérateur temps donc cette relation ne provient pas de la propriété de la section précédente, elle vient des propriétés
de la transformée de Fourier.
5
Oscillateur harmonique
Après avoir vu pas mal de nouvelles notions, retournons à l'étude d'un problème plus concret : l'oscillateur harmonique. C'est
un problème plus général qu'il en a l'air car l'étude des systèmes proche d'une position d'équilibre se ramène souvent à ce cas.
Ainsi intéressons nous à une particule de masse m plongée dans un potentiel harmonique et astreinte à se déplacer selon une
dimension (l'axe x).
La démarche qu'on va développer ici est très générale et sera réemployée plusieurs fois dans la suite.
5.1 Expression de l'Hamiltonien
Par dénition, on a
Ĥ = T̂ + V̂
où T̂ est l'opérateur énergie cinétique et V̂ l'opérateur énergie potentielle.
L'opérateur énergie cinétique pour une particule est
T̂ =
p̂2
~2 ∂ 2
=−
2m
2m ∂x2
La particule est plongée dans un potentiel harmonique donc
V̂ = 12 mω 2 x̂2
5.2 Réécriture plus simple de l'Hamiltonien
On a
Ĥ =
p̂2
1
+ mω 2 x̂2
2m 2
Pour se mettre en bonnes conditions mathématiques, on va adimensionner cette équation. Chaque terme est homogène à une
énergie, on va donc diviser par ~ω qui est une énergie commune en physique quantique. On aboutit alors à :
H̃ =
avec
1 2
(p̃ + x̃2 )
2
Ĥ
~ω
1
p̃ = √
p̂
m~ω
r
mω
x̂
x̃ =
~
H̃ =
On a une somme de carrés et on aimerait bien alors factoriser. Un seul souci pour la factorisation est que p̃ et x̃ ne commutent
pas. Mais ce n'est pas grave, on connaît leur commutateur. En eet [x̂, p̂] = i~ donc [x̃, p̃] = i.
10
On en déduit :
H̃ =
1
1
(x̃ − ip̃)(x̃ + ip̃) +
2
2
D'où
H̃ = N̂ +
avec
1
2
N̂ = ↠â
x̃ + ip̃
â = √
2
x̃ − ip̃
√
2
↠=
Ainsi
1
Ĥ = (N̂ + )~ω
2
Pour trouver les valeurs propres de H il sut de trouver celles de N (puis d'ajouter
1
2
et de multiplier par ~ω ).
5.3 Etude des valeurs propres de l'Hamiltonien
Notons {ν} les valeurs propres de N̂ et {|νi} les vecteurs propres correspondants i.e. N̂ |νi = ν|νi.
On montre (poly page 80) les propriétés suivante :
1. Les valeurs propres de N̂ sont positives ou nulles : Cela vient du fait que N̂ s'écrit ↠â.
2. Les kets â|νi et ↠|νi sont des kets propres de N̂ avec les valeurs propres respectives ν − 1 et ν + 1.
Le fait que ces opérateurs â et ↠permettent d'augmenter ou diminuer d'une unité font qu'on appelle â l'opérateur
"annihilation" (ou destruction) et ↠l'opérateur "création".
3. Plus précisément on a
↠|νi =
√
ν + 1|ν + 1i
√
â|νi = ν|ν − 1i
Les coecients de proportionnalité s'obtiennent par le fait que les kets propres |ν + 1i et |ν − 1i sont de norme 1.
4. Les valeurs propres ν sont des entiers positifs ou nuls. On les note par conséquent |ni avec n ∈ N.
Cela s'obtient du fait que les valeurs propres sont toutes positives ou nulles et que l'opérateur annihilation les fait décroître
d'une unité donc pour ne pas qu'il y ait de contradiction il faut aboutir au ket nul un moment et donc que ν − n = 0.
En revenant à Ĥ on trouve alors immédiatement que les énergies possibles pour l'oscillateur harmonique sont de la forme :
En = (n + 21 )~ω
Emin =
n∈N
1
~ω
2
5.4 Fonctions d'onde
Pour trouver les fonctions d'onde il faudrait résoudre l'équation de Schrödinger pour chacune des énergies possibles. Mais ceci
est trop complexe et on va se servir de la propriété intéressante de l'opérateur création pour s'en sortir.
On sait que
â|0i = vecteur nul = |∅i
Remarque 3
|0i représente le vecteur propre associé à la valeur propre 0 et |∅i représente le vecteur nul, ce n'est pas du tout pareil.
11
Or on connaît très bien l'expression de â en fonction de x̂ notamment :
r
r
x̃ + ip̃
1
mω
1 ∂
√
√
â =
=
(
x̂ + ~
)
~
m~ω ∂x
2
2
Ainsi en notant φ0 (x) la fonction d'onde de l'état fondamental |0i on a :
r
r
mω
1 ∂
1
√ (
x̂ + ~
)φ0 (x) = 0
~
m~ω
∂x
2
On sait résoudre cette équation, on trouve :
φ0 (x) = (
mωx2
mω 1
) 4 exp(−
)
π~
2~
Ensuite on va se servir de la propriété intéressante de ↠pour trouver les autres fonctions d'onde à partir de celle-ci.
En eet par récurrence on montre que
r
|ni =
1 †n
â |0i
n!
D'où on déduit
r
φn (x) =
r
r
1 1
mω
1 ∂ n
√ (
x̂ + ~
) φ0 (x)
n! 2n
~
m~ω ∂x
Il est bon d'avoir une idée de la forme graphique de cette fonction d'onde, son évolution lorsque n augmente. On ira pour cela
voir la page 87 du poly.
5.5 Oscillateur harmonique à trois dimensions
A trois dimensions, l'Hamiltonien d'un oscillateur harmonique s'écrit :
Ĥ =
p̂2
1
+ mω 2 r̂2
2m 2
avec p̂2 = p̂2x + p̂2y + p̂2z et r̂2 = r̂x2 + r̂y2 + r̂z2 .
Donc il peut s'écrire sous la forme :
Ĥ = ĥx + ĥy + ĥz
2
p̂x
avec par exemple ĥx = 2m
+ 21 mω 2 x̂2
On peut ainsi appliquer la méthode de séparation des variables : la solution de l'équation aux valeurs propres peut se chercher
sous la forme :
ψ(~r) = φx (x)φy (y)φx (z)
avec
ĥx φx (x) = x φx (x)
ĥy φy (y) = y φy (y)
ĥz φz (z) = z φz (z)
On a déjà résolu ces problèmes, on en déduit que les énergies possibles de l'oscillateur harmonique 3D sont
3
Enx ,ny ,nz = (nx + ny + nz + )~ω
2
Pour trouver toutes les fonctions d'onde on procède de manière semblable, on part de l'état fondamental et on applique les
opérateurs création, i.e. :
|nx , ny , nz i = p
1
(â†x )nx (â†y )ny (â†z )nz |0, 0, 0i
nx !ny !nz !
12
6
Le moment cinétique : l'orbital et l'intrinsèque
Etudions désormais un autre type de système : un système uniquement en rotation.
La grandeur qui va nous intéresser ici est le moment cinétique, grandeur caractérisant la rotation d'un système.
6.1 Démarche d'étude du moment cinétique
6.1.1
Expression du moment cinétique
Classiquement le moment cinétique est déni par
~ = ~r ∧ p~
L
En coordonnées cartésiennes cela donne


Lx = ypz − zpy
Ly = zpx − xpz


Lz = xpy − ypx
On introduit donc les opérateurs moments cinétiques :


L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y
L̂y = ẑ p̂x − x̂p̂z


L̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x
Ces 3 grandeurs nous intéressent et on aimerait trouver une base de vecteurs propres communs à chacun d'eux. Hélas ces
opérateurs ne commutent pas, on a :


[L̂x , L̂y ] = i~L̂z
[L̂y , L̂z ] = i~L̂x


[L̂z , L̂x ] = i~L̂y
Une autre grandeur intéressante est le module du moment cinétique autrement dit L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
Et cette fois ci on a L̂2 qui commutent avec L̂x , L̂y et L̂z , c'est à dire qu'on peut mesurer simultanément le module du moment
cinétique et une de ses composantes.
On va donc s'intéresser à L̂2 et L̂z .
Remarque 4
On s'intéresse à la composante selon z car si on se place en coordonnée sphériques par exemple et non cartésiennes, son expression
est la plus simple.
6.1.2 Réécriture simplifée des opérateurs intéressants
Contrairement à la section précédente, on s'intéresse à deux opérateurs à la fois et on aimerait bien avoir une relation entre l'un
et l'autre.
On sait que
L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
Donc
L̂2 − L̂2z = L̂2x + L̂2y
Comme précédemment on se retrouve avec une somme de carrés que l'on a envie de factoriser. Mais il faut faire attention car
L̂x et L̂y ne commutent pas. Plutôt que de se servir de la valeur du commutateur, on va écrire les choses de la façon suivante :
L̂2 − L̂2z =
1
1
(L̂x + iL̂y )(L̂x − iL̂y ) + (L̂x − iL̂y )(L̂x + iL̂y )
2
2
D'où
L̂2 − L̂2z =
1
(L̂+ L̂− + L̂− L̂+ )
2
13
6.1.3
Etude des valeurs propres
On sait que L̂2 et L̂z commutent et donc possède une base de vecteurs propres communs. On va noter ces vecteurs propres
|λ2 , µi avec λ2 ~2 valeur propre de L̂2 et µ~ valeur propre de L̂z pour bien indiquer qu'il s'agit de vecteurs propres communs aux
deux opérateurs.
Plus précisément on a
L̂2 |λ2 , µi = λ2 ~2 |λ2 , µi
L̂z |λ2 , µi = µ~|λ2 , µi
On montre ensuite plusieurs propriétés sur les valeurs propres :
1. Pour une valeur xée de λ2 on a µ2 qui est bornée : µ2 ≤ λ2 .
2. Les opérateur L̂+ et L̂− s'interprètent comme des opérateurs de décalage, plus précisément on a :
L̂+ |λ2 , µi = c+ |λ2 , µi
L̂− |λ2 , µi = c− |λ2 , µi
Pour montrer ce résultat la démarche est similaire à celle des opérateurs annihilation et création : on montre que L̂+ |λ2 , µi
et L̂− |λ2 , µi sont des vecteurs propres de L̂z de valeurs propres respectives (µ + 1)~ et (µ − 1)~.
3. Les valeurs propres de L̂z sont bornées de telle sorte que
−
n
n
≤µ≤
2
2
n∈N
Pour λ xé on a montré que µ était borné. Le décalage qu'entraîne L̂+ ou L̂− ne peut se faire indéniment, on aboutit
un moment au ket nul. En utilisant cela on trouve que λ2 = µmax (µmax + 1) = µmin (µmin − 1) d'où on déduit que
µmin = −µmax .
On a aussi µmax = µmin + n d'où nalement µmax = n2 et on a le résultat.
Remarque 5
Ces trois premières propriétés résultent uniquement de la non commutation des opérateurs (et de la valeur de leur commutateur). On n'a pas utilisé le fait qu'il s'agissait de moment cinétique.
4. Les valeurs propres de L̂z sont des valeurs entières de ~.
∂
Pour montrer cela, on se place en coordonnée sphériques et on a alors L̂z = −i~ ∂φ
. Ensuite on écrit l'équation que vérie
une fonction d'onde propre puis on voit que, du fait de l'invariance de l'espace par une rotation de 2π autour de l'axe z,
on a µ = m et µmax = l avec m ∈ Z et l ∈ N.
On peut donc désormais noter les kets propres : |l, mi
6.1.4
Fonctions d'onde
Pour trouver les fonctions d'onde, on utilise la même démarche que pour l'oscillateur harmonique étant donné qu'on a des
équivalent des opérateurs annihilation et création.
On a
L̂+ |l, li = 0
En réexprimant L̂+ on aboutit à une équation avec ψl,l (r, θ, φ) qu'on sait résoudre.
Ensuite pour trouver ψl,m avec m 6= l on utilise le fait que
|l, mi ∝ (L̂− )l−m |l, li
On trouve que les fonctions d'onde communes à L̂2 et L̂z sont les harmoniques sphériques notées Ylm (θ, φ).
6.2 Le spin et l'indiscernabilité
Le moment cinétique orbital de l'électron dans un atome engendre un moment magnétique :
~
µ
~ = γL
e
rapport gyromagnétique.
où γ = − 2m
14
6.2.1
Expérience de Stern et Gerlach
~ est donné par :
L'énergie associée à la présence d'un moment magnétique µ
~ dans un champ magnétique B
~
E = −~
µ·B
L'expérience de Stern et Gerlach met en évidence l'existence d'un spin S~ chez l'électron, c'est à dire d'un moment cinétique
intrinsèque responsable de son moment magnétique :
~
µ
~ = γe S
Pour mieux comprendre l'expérience voici le lien d'une petite vidéo : http://toutestquantique.fr/spin/
Pour un électron, les composantes du spin S~ s'écrivent avec les matrices de Pauli :
~
~
Ŝx = σ̂x =
2
2
~
~
σ̂y =
2
2
~
~
Ŝz = σ̂z =
2
2
Ŝy =
6.2.2
0
1
0
i
1
0
1
0
(|+i,|−i)
−i
0 (|+i,|−i)
0
−1 (|+i,|−i)
Indiscernabilité et principe de Pauli
On considère la fonction d'onde de N particules indiscernables
ψ(~x1 , ~x2 , ..., ~xi , ..., ~xj , ..., ~xN )
avec ~xk = (~rk , msk ).
Puisque les particules sont indiscernables, si on en permute deux cela ne doit rien changer à la densité de probabilité :
|ψ(~x1 , ~x2 , ..., ~xi , ..., ~xj , ..., ~xN )|2 = |ψ(~x1 , ~x2 , ..., ~xj , ..., ~xi , ..., ~xN )|2
Autrement dit on a :
ψ(~x1 , ~x2 , ..., ~xi , ..., ~xj , ..., ~xN ) = eiΦ ψ(~x1 , ~x2 , ..., ~xj , ..., ~xi , ..., ~xN )
Et en permutant de nouveau
ψ(~x1 , ~x2 , ..., ~xi , ..., ~xj , ..., ~xN ) = ei2Φ ψ(~x1 , ~x2 , ..., ~xi , ..., ~xj , ..., ~xN )
Donc le facteur de phase eiΦ ne peut être égal qu'à 1 ou à −1.
• S'il est égal à 1 alors la fonction d'onde est invariante par permutation de ses particules. On dit qu'elle est totalement
symétrique. On admet que c'est le cas des ensembles de particules identiques de spin entier appelés bosons.
• S'il est égal à −1 alors la fonction d'onde est totalement anti-symétrique. On admet que c'est le cas des ensembles de
particules identiques de spin demi-entier appelés fermions. Ce cas là est appelé principe de Pauli.
Le principe de Pauli nous dit donc qu'il est impossible de trouver deux fermions identiques, dans le même état de spin, au même
point de l'espace.
7
Des hydrogénoïdes aux atomes
On s'intéresse maintenant à l'étude des atomes. Lorsqu'il y a plusieurs électrons cela se complique donc on va considérer
simplement un atome avec un seul électron (et un noyau) : on l'appelle atome hydrogénoïde. L'atome d'hydrogène est un
atome hydrogénoïde avec un noyau constitué d'un seul proton.
15
7.1 Démarche d'étude de l'Hamiltonien
L'énergie classique de l'atome est
E=
p2Z
p2
Ze2
+ e −
~Z|
2MZ
2me
4π0 |~re − R
Ĥ =
pˆZ 2
pˆe 2
Ze2
+
−
2MZ
2me
~ˆ Z |
4π0 |~rˆe − R
On en déduit que l'Hamiltonien est :
Cette expression est compliquée et on va la simplier en se servant du fait que MZ >> me .
On introduit la masse réduite m
1
1
1
1
=
+
'
m
me
MZ
me
Le centre de masse est
~
~ = me~re + MZ RZ
R
me + MZ
On pose aussi
M = me + MZ = MZ
~ Z ' ~re − R
~
~r = ~re − R
On peut alors approcher l'Hamiltonien par
Ĥ =
p̂2
Ze2
P̂ 2
+
−
2M
2m 4π0~rˆ
Cette expression est plus simple car elle est découplée : le premier terme dépend uniquement du noyau et les deux autres termes
de l'électron.
On peut appliquer la méthode de séparation des variables et cherche une fonction d'onde de la forme
~ ~r) = ψN (R)ψ
~ e (~r)
ψtot (R,
En injectant dans l'équation de Schrödinger on trouve alors qu'elles doivent satisfaire le système :
(
P̂ 2
~
~
2M ψN (R) = EN ψN (R)
p̂2
Ze2
( 2m − 4π0 r )ψn (~r) = En ψn (~r)
Nous savons résoudre la première de ces équations. Intéressons nous à la deuxième équation.
Il s'agit en fait de trouves les fonctions d'ondes d'un électron placé dans un potentiel à symétrie sphérique dit champ central.
On se place en coordonnées sphériques, on a alors :
p̂2 = −
~2 1 ∂ 2
L̂2
~2 ˆ 2
∇ =−
(
r
−
)
2m
2m r ∂r2
(~r)2
Donc la deuxième équation s'écrit :
1
~2 ∂ 2
L̂2
Ze2
(−
r
+
)ψ
(~
r
)
−
ψe (~r) = Ee ψe (~r)
e
2m
r ∂r2
r2
4π0 r
On considère l'ensemble complet d'observables qui commutent {Ĥ, L̂2 , L̂z } (faire le calcul pour voir qu'ils commutent).
Un état va être caractérisé par 3 nombres quantiques : |n, l, mi.
Par ailleurs nous avons séparé la partie en r et la partie en (θ, ϕ) donc on peut chercher une solution de la forme :
ψe (~r) = R(r)Yl,m (θ, φ)
Après calculs, on aboutit aux conclusions suivantes :
• La fonction d'onde (pour la partie position, spin mis à part) est de la forme :
ψe (~r) = Rn,l (r)Yl,m (θ, φ)
16
• La quantité r2 |Rn,l (r)|2 est la densité radiale de probabilité, c'est à dire la probabilité que l'électron soit mesuré à une
distance comprise entre r et r + dr quelle que soit sa position angulaire.
• Les énergies possibles de l'électron sont
2
2
Z
Z 2
Ee,n = − 4πe0 a0 2n
2 = −( n ) × 13, 6eV
◦
où a0 = 0, 529A le rayon de Bohr
• On a les règles suivantes :
0≤l ≤n−1
−l ≤ ml ≤ l
où n nombre quantique principal, l nombre quantique orbital et m nombre quantique magnétique.
• L'énergie est dégénérée, chaque niveau possède une dégénérescence de 2n2 . (la multiplication par 2 provient des deux
valeurs possibles pour le spin)
• On retiendra l'expression de la fonction d'onde de l'état fondamental :
1 Z 3 rZ
ψ1,0,0 (~r) = √ ( ) 2 e− a0
π a0
7.2 Le tableau périodique
Muni de ces nombres quantiques, on peut mieux comprendre la disposition des éléments dans le tableau périodique.
n correspond au numéro : 1,2,3, etc.
l = 0 correspond à s
l = 1 correspond à p
l = 2 correspond à d
8
Approximations
Comme on a pu le voir dans la section précédente, on peut facilement avoir à faire à des problèmes compliqués qu'on ne sait
pas résoudre analytiquement. Heureusement on possède des méthodes d'approximation qui vont nous permettre de simplier les
choses.
On en étudie ici deux : la méthodes des pertubations stationnaires et la méthode variationnelle.
17
8.1 Méthode des perturbations stationnaires
8.1.1
La méthode
On s'intéresse à la modication d'un système lorsqu'il y a un faible changement de son Hamiltonien.
En l'absence de pertubation on suppose qu'on sait résoudre le problème et qu'on dispose de l'Hamiltonien Ĥ0 , des états propres
(0)
(0)
{|ψn i} et des énergies propres {En }. On a
Ĥ0 |ψn(0) i = En(0) |ψn(0) i
On note Ŵ le potentiel perturbatif. Pour mettre en évidence le fait qu'il soit faible, on écrit Ŵ = V̂ avec dans notre tête l'idée
que sera tout petit.
On a donc l'équation
Ĥ0 |ψi + Ŵ |ψi = E|ψi
Puisque la cause est petite, l'eet sera petit. On peut donc faire une sorte de développement de Tailor de |ψi en |ψi(0) i, état non
perturbé du système. De même avec l'énergie, c'est à dire qu'on écrit :
(0)
(1)
(2)
|ψi = |ψi i + |ψi i + 2 |ψi i + ...
(0)
(1)
E = Ei
+ Ei
(2)
+ 2 Ei
+ ...
De plus les états propres du système non perturbé forment une base orthonormée donc pour tout n ∈ N on peut écrire :
(n)
|ψi i =
X
(n)
(0)
cj,i |ψj i
j
On remplace dans l'équation de Schrödinger et, en identiant les coecients du polynome en k et en faisant quelques calculs
supplémentaires, on aboutit à : (sous réserve de la condition de petite perturbation |hψk(0) |V̂ˆ |ψi(0) i| << |Ei(0) − Ek(0) |)
• Si le niveau d'énergie initial n'est pas dégénéré alors
La correction de l'énergie, au premier ordre, est la valeur moyenne du potentiel pertubatif pris dans l'état non perturbé.
(1)
Ei
(0)
(0)
= hψi |V̂ |ψi i
La correction de l'énergie, au deuxième ordre est,
(2)
Ei
=
X |hψ (0) |V̂ |ψ (0) i|2
i
(0)
k6=i
(1)
|ψi i =
Ei
k
(0)
− Ek
X hψ (0) |V̂ |ψ (0) i
k
(0)
k6=i Ei
−
i
(0)
Ek
(0)
|ψk i
L'eet de la perturbation étant faible, ce sont les états qui ont l'énergie la plus proche de l'état initial qui ont la plus
grosse contribution.
• Si le niveau d'énergie initial est dégénéré alors
Les corrections à l'énergie au premier ordre en perturbation sont les valeurs propres de la matrice de perturbation
exprimée dans le sous-espace de dégénérescence.

V1,1
V2,1

 ...
Vg,1
V1,2
V2,2
...
Vg,2
 (0) 
  (0) 
a1
a
... V1,g
 (0) 
 1(0) 
... V2,g 



(1)
a
  2  = E a2 

i
... ...   ... 
 ... 
(0)
(0)
... Vg,g
ag
ag
18
8.1.2
Exemple dans le cas non dégénéré
On s'intéresse ici à un oscillateur non harmonique à une dimension. En plus du potentiel classique (voir chapitre 5) on a un
terme supplémentaire
3
x̂
12
~ω( 0 )3
Ŵ =
2
σx
Le niveau d'énergie initial n'étant pas dégénéré, on a :
En = En(0) + hn|Ŵ |ni +
X |hm|Ŵ |ni|2
(0)
m6=n
(0)
En − Em
+ ...
Il est bon de s'entraîner à faire les calculs et de trouver
1
15
1
7
En = (n + )~ω + 0 + ~ω 2 (n + )2 − 2 ~ω
2
4
2
16
Remarque 6
Le terme au premier ordre est nul car le potentiel est impair.
L'expression de la fonction d'onde perturbée est :
|ni = |n(0) i +
X |hm|Ŵ |ni|
(0)
m6=n
8.1.3
(0)
En − Em
|mi + ...
Exemple dans le cas dégénéré
8.2 Méthode variationnelle
8.2.1
La méthode
La méthode variationnelle donne un critère pour juger de la qualité d'un modèle.
Soit Ĥ l'Hamiltonien exact du système.
On fait un modèle et dans le cadre de ce modèle on trouve une fonction d'essai |φt i.
En écrivant |φt i dans la base des états propres exacts {|ψi i},
|φt i =
X
ci |ψi i
i
On montre que
Théorème variationnel :
hφt |Ĥ|φt i
≥ E0
hφt |φt i
La valeur moyenne de l'énergie prise dans un état représenté par une fonction d'essai quelconque est toujours supérieure à
l'énergie exacte de l'état fondamental.
On suppose que cette fonction d'essai sera d'autant meilleure que l'énergie moyenne à laquelle elle conduit sera
basse.
8.2.2
9
Un exemple
Ensemble isolé de particules : la représentation microcanonique
La physique quantique nous permet d'étudier les phénomènes à l'échelle microscopique, mais à l'échelle macroscopique elle
devient trop complexe (rien qu'un problème à trois corps est déjà compliqué alors avec 1023 corps...).
Une autre approche est nécessaire. La physique statistique permet de passer du microscopique au macroscopique.
19
9.1 Rappels de thermodynamique
Premier principe : Il existe une fonction qui ne dépend que de l'état du système, appelée énergie, qui se conserve si le système
est isolé.
dE = δW + δQ
Deuxième principe : Il existe une fonction qui ne dépend que de l'état du système, appelée entropie, qui ne peut que croître
ou rester constante pour un système isolé.
dS =
δQrev
T
Identité thermodynamique : Puisque dE ne dépend pas du chemin suivi, on peut faire en sorte de prendre un chemin
réversible. On a alors
dE = δQrev + δWrev
D'où
dE = T dS − P dV + µdN + Xdx
où −P dV est le type de travail qu'on rencontre généralement, µdN correspond à un travail avec échange de particules et Xdx
correspond à tout autre type de travail.
De cela on déduit :
Température :
T =
∂E
)N,V,x
∂S
∂E
∂S
)N,S,x = T
)N,E,x
∂V
∂V
∂E
∂S
µ=
)S,V,x = −T
)V,E,x
∂N
∂N
Pression interne :
P =−
Potentiel chimique :
9.2 Physique statistique
Pour un état macroscopique donné (P,T,µ, etc. donnés), il existe généralement plusieurs états microscopiques compatibles.
On fait le postulat (douteux) suivant :
Pour un système isolé à l'équilibre, tous les états microscopiques compatibles avec l'état macroscopique considéré sont
réalisés avec la même probabilité.
La physique statistique repose beaucoup sur la notion de moyenne. On peut envisager diérents types de moyenne :
• Une moyenne où on considère (virtuellement) tous les états microscopiques possibles et la fréquence de présence dans
l'ensemble traduit la probabilité associée à ces micro-états. On parle d'ensemble représentatif.
G=
X
pi Gi
i
• On eectue la mesure sur le système un grand nombre de fois consécutifs pour en eectuer la moyenne. (moyenne temporelle)
Z
1
G(t)dt
G=
τ τ
L'hypothèse ergodique est de supposer ces deux moyennes identiques :
1
G=
τ
Z
G(t)dt =
τ
X
i
20
pi Gi
9.3 L'entropie
10
Constantes et ordres de grandeur
10.1 Les constantes
Constante
Constante de Boltzmann kB
Constante de Planck h
Nombre d'Avogadro NA
Constante de Stefan-Boltzmann σ
10.2 Les ordres de grandeur
21
Valeur
1, 38.10−23 J.K −1
6, 63.10−34 J.s.
6, 022.1023 mol−1
5, 67.10−8 W.m−2 .K −4
Contents
1 Nécessité d'une nouvelle physique
1.1 Du champ aux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Des particules aux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Physique ondulatoire
2.1 Représentation d'un état physique . . . . . . . . . .
2.2 Un exemple important : Le puits de potentiel inni .
2.3 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Barrière de potentiel (eet tunnel) . . . . . .
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3 Postulats et formalisme de la physique quantique
3.1 Postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bras et kets . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Manipulation des notions . . . . . . . . . .
3.2.4 Commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Dynamique spontanée d'un système quantique et retour vers la physique classique
4.1 Description quantique ou classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Evolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Oscillateur harmonique
5.1 Expression de l'Hamiltonien . . . . . . . . .
5.2 Réécriture plus simple de l'Hamiltonien . .
5.3 Etude des valeurs propres de l'Hamiltonien
5.4 Fonctions d'onde . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Oscillateur harmonique à trois dimensions .
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6 Le moment cinétique : l'orbital et l'intrinsèque
6.1 Démarche d'étude du moment cinétique . . . . . . . .
6.1.1 Expression du moment cinétique . . . . . . . .
6.1.2 Réécriture simplifée des opérateurs intéressants
6.1.3 Etude des valeurs propres . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Fonctions d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Le spin et l'indiscernabilité . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . .
6.2.2 Indiscernabilité et principe de Pauli . . . . . .
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7 Des hydrogénoïdes aux atomes
7.1 Démarche d'étude de l'Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Le tableau périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Approximations
8.1 Méthode des perturbations stationnaires .
8.1.1 La méthode . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Exemple dans le cas non dégénéré
8.1.3 Exemple dans le cas dégénéré . . .
8.2 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . .
8.2.1 La méthode . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . .
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9 Ensemble isolé de particules : la
9.1 Rappels de thermodynamique .
9.2 Physique statistique . . . . . .
9.3 L'entropie . . . . . . . . . . . .
représentation microcanonique
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10 Constantes et ordres de grandeur
10.1 Les constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Les ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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