Epreuve de physique - École nationale de la météorologie

CONCOURS INTERNE ITM 2014 - Physique
Ecole Nationale de la Météorologie
www.enm.meteo.fr
Météo-France, établissement public administratif
1
CONCOURS INTERNE 2014
D’ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE
**************************************************************************************
EPREUVE DE PHYSIQUE
Durée : 4 heures Coefficient : 4
L’utilisation d’une calculatrice de poche, standard, programmable, alphanumérique ou à
écran graphique est autorisée à condition que son fonctionnement soit autonome et qu’il
ne soit pas fait usage d’imprimante, ni de dispositif externe de stockage d’information.
L’utilisation de toute autre documentation sur support papier ou électronique est
strictement interdite.
Cette épreuve comporte 3 problèmes indépendants, que le candidat peut traiter dans
l’ordre de son choix.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives qu’il aura été amené à prendre.
La notation tiendra compte de ces initiatives, ainsi que de la rigueur, du soin et de la
clarté apportés à la rédaction des réponses.
Cette épreuve comporte 9 pages (celle-ci incluse)

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2
Données mathématiques :
rot rot Z
(
)
=grad div Z
(
)
− ∆
Z
Opérateurs mathématiques en coordonnées cartésiennes dans le repère cartésien
orthonormé
direct (O,
x
e ,
y
e
,
z
e ).
Divergence :
z
A
y
A
x
A
A
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= div
Rotationnel :
z
x
y
y
z
x
x
y
z
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
A
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=rot
Laplacien d’un champ scalaire :
2
2
2
2
2
2
z
U
y
U
x
U
U∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
Laplacien d’un champ vectoriel :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
A
y
A
x
A
A
z
A
y
A
x
A
A
z
A
y
A
x
A
A
A
zzz
z
yyy
y
xxx
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
=∆

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3
Premier problème : Propagation d’ondes électromagnétiques (10/35 points)
Dans l’ensemble du problème, on se place dans l’espace rapporté à un repère cartésien orthonormé
direct ( O ,
x
e ,
y
e
,
z
e ).
On désignera par
0
ε la permittivité diélectrique du vide et par
0
µ la perméabilité magnétique du
vide.
Première partie : Propagation dans le vide
1) Rappeler l’expression des équations de Maxwell dans le vide dépourvu de charges et de
courants.
Déduire des équations de Maxwell les équations de propagation vérifiées dans le vide par
le champ électrique
E
et par le champ magnétique
B
.
2) On considère une onde électromagnétique pour laquelle l’expression du champ électrique
est donnée en coordonnées cartésiennes par la formule :
E
→
=E
o
cos[ ω (t−
z
c
)]e
x
→
où E
o
est
une constante positive,
ω
est la pulsation de l’onde (constante), c la vitesse de la lumière
dans le vide et t le temps.
a) Montrer que l’expression précédente du champ électrique correspond bien à celle
d’une onde plane dont on précisera la direction et le sens de propagation.
Montrer que cette onde vérifie l’équation de propagation déterminée à la question 1 à
condition que c,
0
ε et
0
µ soient reliés par une relation que l’on déterminera.
b) Déterminer l’expression du champ magnétique
B
de cette onde en fonction de E
o
, c,
ω
z , t et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
3) a) Donner l’expression du vecteur de Poynting
R
associé à une onde électromagnétique
(
E
,
B
). Quelle est la signification physique de ce vecteur ? Quelle est l’unité du système
international qui lui correspond ?
b) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting relatif à l’onde plane considérée. On
exprimera
R
en fonction de t, c, E
o
,
0
ε , z,
ω
et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
Déterminer la valeur moyenne
R
au cours du temps, que l’on exprimera en fonction
de c, E
o
,
0
ε et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.

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Deuxième partie : Réflexion sur un miroir métallique parfaitement conducteur
Une onde électromagnétique à polarisation rectiligne, se propage dans le vide dans la direction
(Oz), dans le sens des z croissants.
Le champ électrique de l’onde est donné par l’expression:
→→
−=
xi
e
c
z
tEE )](cos[
0
ω où
0
Eest
une constante positive,
ω
est la pulsation de l’onde (constante), c la célérité de la lumière dans
le vide et t le temps.
En z = 0, elle arrive sur la surface plane d’un miroir métallique parfaitement conducteur. Le
miroir occupe le plan xOy. On admet que les champs électrique et magnétique sont nuls à
l’intérieur du miroir.
On admet que l’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le
sens des z décroissants.
1) Ecrire les conditions aux limites que doivent vérifier les champs électrique
E
et magnétique
B
en z = 0. On précisera clairement la signification des différents termes ainsi que les vecteurs
unitaires utilisés.
2)
a) Déterminer l’expression du champ électrique
r
E
→
de l’onde réfléchie en fonction de
ω
, c, t, z,
0
E
et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
b) Déterminer l’expression du champ magnétique de l’onde réfléchie.
Onde incidente
Onde réfléchie
O
z
Miroir
x
y

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c)
Déterminer l’expression du champ électrique E
total
résultant de la superposition de l’onde
incidente et de l’onde réfléchie dans le demi-espace z < 0. On exprimera E
total
en fonction de
ω
,
c , t, z,
0
E et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
d) Caractériser l’onde résultante.
Deuxième problème : Immersion d’un sous-marin (10/35 points)
Les données nécessaires pour cette première partie sont rassemblées ci-dessous :
Pression atmosphérique : P
atm
= 1,00
×
10
5
Pa ; Masse volumique de l’eau de mer à la
surface :
O
ρ
=1,03
×
10
3
kg.m
-3
; Champ de pesanteur terrestre : g = 9,81 m.s
-2
; Masse du
sous-marin (hors la masse du fluide dans les ballasts) : M = 1,40
×
10
7
kg ; Longueur du sous-
marin : L = 138 m ; Rayon du sous-marin : R = 6,00 m.
Première partie : Relation entre pression et profondeur dans l’eau de mer
1) On s’intéresse à un volume élémentaire
dxdydzd
=
τ
d’eau de mer à l’équilibre (Figure 1).
Figure 1
Citer les forces s’exerçant suivant Oz sur ce volume élémentaire . Traduire l’équilibre du
volume élémentaire suivant Oz. En déduire la relation fondamentale de la statique des fluides
g
dz
dP
ρ −=
(équation (1))
2) On suppose dans un premier temps que l’eau de mer est incompressible et homogène.
Intégrer dans ces conditions l’équation (1) et en déduire l’expression de la pression P ( z ) à la
côte z . P
0
= P ( z = 0).
3) On tient maintenant compte de la compressibilité de l’eau de mer. Le coefficient de
compressibilité isotherme s’écrit en fonction de
ρ
:
T
T
P ∂
∂
=
ρ
ρ
χ
1
(2). On le suppose constant et
égal à 4,5.10
-10
SI. On considèrera par ailleurs que la température est homogène dans l’eau de
mer.
g
x
z
y
O
dτ