Epreuve de physique - École nationale de la météorologie

CONCOURS INTERNE ITM 2014 - Physique
CONCOURS INTERNE 2014
D’ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE
**************************************************************************************
EPREUVE DE PHYSIQUE
Durée : 4 heures
Coefficient : 4
L’utilisation d’une calculatrice de poche, standard, programmable, alphanumérique ou à
écran graphique est autorisée à condition que son fonctionnement soit autonome et qu’il
ne soit pas fait usage d’imprimante, ni de dispositif externe de stockage d’information.
L’utilisation de toute autre documentation sur support papier ou électronique est
strictement interdite.
Cette épreuve comporte 3 problèmes indépendants, que le candidat peut traiter dans
l’ordre de son choix.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives qu’il aura été amené à prendre.
La notation tiendra compte de ces initiatives, ainsi que de la rigueur, du soin et de la
clarté apportés à la rédaction des réponses.
Cette épreuve comporte 9 pages (celle-ci incluse)
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Météo-France, établissement public administratif
1
Données mathématiques :
rot rot Z = grad div Z − ∆Z
(
)
(
)
Opérateurs mathématiques en coordonnées cartésiennes dans le repère cartésien
orthonormé
direct (O, ex , e y , ez ).
∂A ∂Ay ∂A
+ z
Divergence : divA = x +
∂x
∂y
∂z
 ∂A ∂Ay   ∂Ax ∂Az   ∂Ay ∂Ax  e x + 
e z
−
−
Rotationnel : rot A =  z −
e y + 
∂z 
∂x 
∂y 
 ∂z
 ∂y
 ∂x
Laplacien d’un champ scalaire :
∆U =
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax
∆Ax =
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2
2
2
∂ Ay ∂ Ay ∂ 2 Ay
+
+
Laplacien d’un champ vectoriel : ∆A = ∆Ay =
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az
∆Az =
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2
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2
Premier problème : Propagation d’ondes électromagnétiques (10/35 points)
Dans l’ensemble du problème, on se place dans l’espace rapporté à un repère cartésien orthonormé
direct (O, ex , e y , ez ).
On désignera par ε 0 la permittivité diélectrique du vide et par µ0 la perméabilité magnétique du
vide.
Première partie : Propagation dans le vide
1)
2)
Rappeler l’expression des équations de Maxwell dans le vide dépourvu de charges et de
courants.
Déduire des équations de Maxwell les équations de propagation vérifiées dans le vide par
le champ électrique E et par le champ magnétique B.
On considère une onde électromagnétique pour laquelle l’expression du champ électrique
→
z →
est donnée en coordonnées cartésiennes par la formule : E = E o cos[ω (t − )]ex où Eo est
c
une constante positive, ω est la pulsation de l’onde (constante), c la vitesse de la lumière
dans le vide et t le temps.
a) Montrer que l’expression précédente du champ électrique correspond bien à celle
d’une onde plane dont on précisera la direction et le sens de propagation.
Montrer que cette onde vérifie l’équation de propagation déterminée à la question 1 à
condition que c, ε 0 et µ0 soient reliés par une relation que l’on déterminera.
b) Déterminer l’expression du champ magnétique B de cette onde en fonction de Eo, c, ω
z , t et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
3)
a) Donner l’expression du vecteur de Poynting R associé à une onde électromagnétique
( E , B ). Quelle est la signification physique de ce vecteur ? Quelle est l’unité du système
international qui lui correspond ?
b) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting relatif à l’onde plane considérée. On
exprimera R en fonction de t, c, Eo, ε 0 , z, ω et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
Déterminer la valeur moyenne R au cours du temps, que l’on exprimera en fonction
de c, Eo, ε 0 et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
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3
Deuxième partie : Réflexion sur un miroir métallique parfaitement conducteur
Une onde électromagnétique à polarisation rectiligne, se propage dans le vide dans la direction
(Oz), dans le sens des z croissants.
→
z →
Le champ électrique de l’onde est donné par l’expression: E i = E 0 cos[ω (t − )] e x où E0 est
c
une constante positive, ω est la pulsation de l’onde (constante), c la célérité de la lumière dans
le vide et t le temps.
En z = 0, elle arrive sur la surface plane d’un miroir métallique parfaitement conducteur. Le
miroir occupe le plan xOy. On admet que les champs électrique et magnétique sont nuls à
l’intérieur du miroir.
On admet que l’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le
sens des z décroissants.
x
Onde incidente
Miroir
O
z
Onde réfléchie
y
1) Ecrire les conditions aux limites que doivent vérifier les champs électrique E et magnétique B
en z = 0. On précisera clairement la signification des différents termes ainsi que les vecteurs
unitaires utilisés.
2)
→
a) Déterminer l’expression du champ électrique Er de l’onde réfléchie en fonction de ω , c, t, z, E0
et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
b) Déterminer l’expression du champ magnétique de l’onde réfléchie.
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4
c) Déterminer l’expression du champ électrique E total résultant de la superposition de l’onde
incidente et de l’onde réfléchie dans le demi-espace z < 0. On exprimera E total en fonction de ω ,
c, t, z, E0 et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
d) Caractériser l’onde résultante.
Deuxième problème : Immersion d’un sous-marin (10/35 points)
Les données nécessaires pour cette première partie sont rassemblées ci-dessous :
Pression atmosphérique : Patm = 1,00 × 105 Pa ; Masse volumique de l’eau de mer à la
surface : ρO =1,03 × 103 kg.m-3 ; Champ de pesanteur terrestre : g = 9,81 m.s-2 ; Masse du
sous-marin (hors la masse du fluide dans les ballasts) : M = 1,40 × 107 kg ; Longueur du sousmarin : L = 138 m ; Rayon du sous-marin : R = 6,00 m.
Première partie : Relation entre pression et profondeur dans l’eau de mer
1) On s’intéresse à un volume élémentaire dτ = dxdydz d’eau de mer à l’équilibre (Figure 1).
z
g
dτ
Figure 1
O
x
y
Citer les forces s’exerçant suivant Oz sur ce volume élémentaire. Traduire l’équilibre du
volume élémentaire suivant Oz. En déduire la relation fondamentale de la statique des fluides
dP
= − ρ g (équation (1))
dz
2) On suppose dans un premier temps que l’eau de mer est incompressible et homogène.
Intégrer dans ces conditions l’équation (1) et en déduire l’expression de la pression P(z) à la
côte z. P0 = P(z = 0).
3) On tient maintenant compte de la compressibilité de l’eau de mer. Le coefficient de
compressibilité isotherme s’écrit en fonction de ρ : χT =
1 ∂ρ 
 (2). On le suppose constant et
ρ ∂P T
égal à 4,5.10-10 SI. On considèrera par ailleurs que la température est homogène dans l’eau de
mer.
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5
a) Donner en la justifiant l’unité de χT .
b) En intégrant la relation (2), donner l’expression de ρ en fonction de P(z), χT , ρ 0 et P0.
c) En reprenant l’équation (1), en déduire la nouvelle expression de la pression à la côte z.
d) En déduire que la masse volumique de l’eau de mer s’écrit : ρ ( z ) =
ρ0
.
1 + ρ 0 gχ T z
e) Calculer ρ pour z=-100m. Conclure.
Deuxième partie : Utilisation des ballasts
Pour permettre au sous-marin de monter et de descendre, un système de ballasts pouvant se
remplir d’eau ou d’air permet de modifier sa masse. Les ballasts sont des réservoirs situés entre
la coque extérieure et la coque intérieure des sous-marins
Compte-tenu des résultats de la première partie, on considèrera l’eau de mer homogène et
incompressible, de masse volumique uniforme et égale à ρ 0.
1) On suppose dans cette question que le sous-marin flotte à la surface de l’eau. Les ballasts
sont alors remplis d’air. En négligeant la poussée d’Archimède dans l’air ainsi que le poids de
l’air contenu dans les ballasts, donner la relation entre le volume total immergé du sous-marin
Vimm, sa masse M et la masse volumique de l’eau de mer ρ 0.
2) On modélise le sous-marin par un cylindre de longueur L et de rayon R. Donner l’expression
V
du rapport imm en fonction de M, ρO , L et R où V est le volume du sous-marin.
V
3) Expliquer qualitativement ce qu’il se passe quand on remplace progressivement l’air contenu
dans les ballasts par de l’eau de mer.
4) Le sous-marin atteint sa profondeur maximale d’immersion quand les ballasts sont
entièrement remplis d’eau de mer. Donner la relation entre M, V, le volume des ballasts Vb et la
masse volumique de l’eau de mer ρ 0.
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Troisième problème :Fonctionnement d’une éolienne (15/35 points)
Première partie : Fonctionnement de l’hélice d’une éolienne
La machine étudiée est une éolienne individuelle. Le vent fait tourner les pales de l’éolienne qui
entraînent le rotor de la génératrice (alternateur) produisant ainsi de l’énergie électrique.
On modélise le mouvement de l’air autour de l’hélice en faisant les hypothèses suivantes :
- On effectue l’étude dans un référentiel R lié au sol et supposé galiléen. Toutes les
vitesses sont exprimées dans ce référentiel.
- L’air est considéré comme un fluide parfait, homogène et incompressible de masse
volumique µ.
- On suppose le mouvement de l’air stationnaire et à symétrie de révolution autour de
l’axe de rotation de l’hélice. Ce mouvement s’effectue de gauche à droite sur la figure 3.
- La pression, à grande distance de l’hélice, est uniforme et égale à la pression
atmosphérique notée P0.
SA
P0
SB
P0
v2
v1
S1
v
− ε , 0 ,+ ε
S2
z
Figure 3 : mouvement de l’air autour de l’hélice.
- La pression garde la même valeur sur une section droite du tube de courant du champ
des vitesses.
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- On note la pression PA sur SA et PB sur SB. Les sections SA et SB du tube de courant seront
prises égales et notées S.
- On néglige les effets de la pesanteur.
- L’écoulement étant turbulent au niveau de l’hélice, on admet pour simplifier que la
vitesse v de l’air est la même en z = - ε , en z = 0 et en z = + ε .
1) Ecrire la conservation du débit massique DM à travers diverses sections droites du tube de
courant et en déduire deux relations entre S1, S2, S, v1, v2 et v où v1, v2 et v représentent
respectivement les modules des vecteurs vitesses v1 , v2 et v .
2) Enoncer le théorème de Bernoulli, puis l’appliquer entre les sections S1 et SA d’une part et
entre les sections SB et S2 d’autre part. Déduire l’expression de la pression PA en fonction de P0,
µ, v1 et v, puis celle de PB en fonction de P0, µ, v2 et v.
3) Ecrire l’expression de la force FA exercée par la partie gauche du fluide sur la tranche de
fluide comprise entre les sections SA et SB, puis l’expression de la force FB exercée par la partie
droite sur la même tranche de fluide, en fonction de PA, PB , S et ez où ez est le vecteur
unitaire de l’axe des z.
4) En utilisant la conservation de la quantité de mouvement pour la tranche de fluide comprise
entre les sections SA et SB, établir l’expression de la force F hélice→air en fonction de FA et FB
puis en fonction de PA, PB, S et ez .
5) Déduire de ce qui précède que la force exercée par l’air sur l’hélice s’écrit
µS 2 2 F air → hélice =
( v1 − v2 ) ez .
2
6) A l’aide d’un bilan de quantité de mouvement pour la tranche de fluide comprise entre les
sections S1 et S2, on établit une autre relation : F air →hélice = µ Sv(v1 − v2 )ez . En déduire que
la vitesse v de l’air au niveau de l’hélice s’écrit : v =
v1 + v2
.
2
7) Evaluer la puissance P reçue par l’hélice. On exprimera cette puissance P en fonction des
v
grandeurs µ, S, v1 et x = 2 .
v1
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8) Il existe une puissance maximale PMax que l’on peut extraire de la circulation d’air. Pour
quelle valeur de x, la puissance P est-elle maximale ? Déterminer la valeur de PMax.
Données numériques : µ = 1,3 kg.m-3 ; v1 = 12 m.s-1 ; S = 14 m2.
Deuxième partie : Principe de l’alternateur à deux pôles
Le stator est constitué d’une bobine plate d’axe Ox comportant N spires de surface S.
(figure 4)
Le rotor est un aimant permanent qui crée un champ B = Bo er , Bo constant, qui tourne à
la vitesse angulaire ω telle que θ = ω × t .
Dans tout le problème, le repérage se fait en coordonnées cylindriques (r, θ , z).
1) Exprimer le flux Φ (t ) de B à travers la bobine plate en fonction de N, Bo , S ,t et
ω.
2) En déduire l’expression de la force électromotrice e(t) qui apparaît aux bornes de
la bobine.
3) La bobine est reliée à une résistance R>>R’, R’ étant la résistance totale de la
bobine. Exprimer le courant i(t) circulant dans ce circuit en fonction de R, N, Bo ,
S, t et ω .
En déduire l’expression du moment magnétique M de la bobine, ainsi que le
moment du couple des forces de Laplace C , dans la base de coordonnées
cylindriques.
4) En déduire l’expression de la valeur absolue de la puissance des forces de
Laplace, puis justifier le signe de cette puissance dans le cas de l’alternateur.
Figure 4
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