Epreuve de physique - École nationale de la météorologie

CONCOURS INTERNE ITM 2013 (Physique)
CONCOURS INTERNE 2013
D’ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE
**************************************************************************************
EPREUVE DE PHYSIQUE
Durée : 4 heures
Coefficient : 4
L’utilisation d’une calculatrice de poche, standard, programmable, alphanumérique ou à
écran graphique est autorisée à condition que son fonctionnement soit autonome et qu’il ne
soit pas fait usage d’imprimante, ni de dispositif externe de stockage d’information.
L’utilisation de toute autre documentation sur support papier ou électronique est strictement
interdite.
Cette épreuve comporte 3 problèmes indépendants, que le candidat peut traiter dans
l’ordre de son choix. Les trois exercices sont pris en compte dans la notation.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu’il aura été amené à prendre.
La notation tiendra compte de ces initiatives, ainsi que de la rigueur, du soin et de la
clarté apportés à la rédaction des réponses dans la notation de la copie.
Cette épreuve comporte 7 pages (celle-ci incluse)
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PROBLEME N°1 : Machine asynchrone (20 points)
Aucune connaissance préalable du principe de fonctionnement de la machine asynchrone
n'est nécessaire pour traiter ce problème. Les trois parties de ce problème sont
indépendantes.
La machine asynchrone se compose principalement de deux parties :
- le stator réalisé à l'aide d'un ensemble de bobines fixes destinées à engendrer dans une
zone limitée de l'espace un champ magnétique tournant B(t),
- le rotor modélisé ici par un cadre conducteur rectangulaire de surface S mobile autour
d'un axe.
Première partie : Etude du stator
Soit un ensemble de trois bobines (Figure 1), dont les axes sont perpendiculaires à Oz et
2π
régulièrement décalés de
. Ces bobines sont parcourues par des courants sinusoïdaux de
3
pulsation ωs dont les intensités sont les suivantes :
2π
4π
i1 (t) = I0 cos (ωst) ; i2 (t) = I0 cos (ωst ) ; i3 (t) = I0 cos (ωst ).
3
3
Figure 1
La fréquence d'alimentation de ces bobinages statoriques est égale à 50Hz. Chaque bobine
r
r
crée en O un champ magnétique qui peut se mettre sous la forme : Bk = K ik (t ) ek (K est une
r
constante qui s’exprime en H.m-2 et ek est le vecteur unitaire de l'axe de la kème bobine).
1.1)
Justifier l’unité de K par une analyse dimensionnelle.
1.2)
On donne le théorème de Ferraris :
p −1

r
r
2kπ  r
p
ek +1 = (cos(ωs t ) ex + sin (ωst ) e y ) .
cos ωst −
∑
p 
2
k =0

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r
En déduire que les 3 bobines créent au point O un champ tournant B dont on donnera
r
r r
l’expression dans la base (ex , e y ) . Donner la norme du champ B0 = || B || en fonction de K et I0.
Préciser la vitesse angulaire de rotation du champ et calculer sa valeur numérique en tours par
minutes (tr.min-1).
Deuxième partie : Entraînement du rotor
Le rotor, rmodélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S orientée selon la
normale n tourne autour d'un axe Oz avec une vitesse angulaire ω (ω ≥ 0) (Figure 2).
y
r
B
Figure 2
θ = ωst
r
ey
cadre
r
n
ϕ = ωt
r
ez
i
r
ex
x
r
2.1) Exprimer le flux Φ du champ magnétique B généré par le stator à travers le cadre en
fonction de B0, S, ω, ωs et t. En déduire la force électromotrice d’induction e(t) qui apparait
dans le cadre en fonction du flux maximum Φ0 = B0S, de la vitesse angulaire de glissement
Ω = ωs – ω et de t.
2.2) Le cadre constitue un circuit série de résistance R et d’inductance L. Etablir l’équation
différentielle vérifiée par le courant i(t) induit dans le cadre. L’orientation de l’intensité du
courant induit est indiquée sur la figure 2 sur laquelle la spire est vue de dessus.
2.3) On se place en régime permanent sinusoïdal ; l’intensité dans le cadre s’écrit alors
π
i(t) = IM sin (Ωt – ψ)= I M cos(Ωt −ψ − ) . En utilisant la notation complexe, montrer que :
2
i (t ) = I M e
π

j  Ω t −ψ − 
2

=
Φ 0Ω
R + jLΩ
e
π

j Ω t − 
2

.
2.4) En déduire l’expression de IM en fonction de Φ0, Ω, R et L. Exprimer cosψ en fonction
de Ω, R et L et préciser le signe de sinψ. Préciser si i(t) est en avance ou en retard par rapport
à e(t).
r
2.5) Donner l’expression du moment magnétique M du rotor.
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r
En déduire le couple électromagnétique Γ des forces de Laplace s’exerçant sur le cadre puis
r r
sa projection Γ = Γ ⋅ ez sur l’axe de rotation en fonction de S, B0, IM, ψ, Ω et t.
1
2.6) On donne la relation de trigonométrie suivante : sin a sin b = (cos(a − b ) − cos(a + b )) .
2
Montrer que la valeur moyenne de Γ notée Γm est donnée par :
 Φ 2  RLΩ
.
Γ m =  0  2
2
 2 L  R + ( LΩ )
On peut tracer l’allure de Γm en fonction de ω (figure 13 ci-dessous) :
A quoi correspond physiquement la limite de Γm lorsque ω tend vers 0 ?
Dans quelles conditions le couple est-il moteur ou au contraire résistant ?
Troisième partie : Puissance et rendement d’un moteur
On considère maintenant un moteur du type précédent relié à une charge par un arbre (Figure
3) :
Figure 3
moteur
charge
arbre
Le moment d’inertie de l’arbre est noté J. On notera Γ le couple délivré par le moteur, Γr le
couple résistant dû à la charge (Γ et Γr sont des normes de vecteurs).
3.1) En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe de rotation, relier la
dérivée de la vitesse angulaire Ωm de l’arbre à J, Γ et Γr.
3.2) On considère les courbes suivantes correspondant à trois moteurs différents (Figure 4)
reliés à la même charge exerçant un couple résistant Γr constant.
Figure 4
Γ(ω)
Moteur 1
Moteur 2
Moteur 3
Γd3
Γd2
Γr
Couple résistant
constant
Γd1
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0
ωs
ω
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Expliquer de façon précise quel(s) moteur(s) est (sont) susceptible(s) de démarrer.
3.3) On se place maintenant en régime permanent ; on a alors Γ(ω) = Γr.
En utilisant les résultats de la deuxième partie, donner l’expression de la puissance mécanique
moyenne fournie par le moteur < Pméca > = Γm ω en fonction de Φ0, ω, ωs, R et L.
3.4) En utilisant à nouveau les résultats de la deuxième partie, donner l’expression de la
puissance moyenne < PJ > dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor en fonction
de Φ0, ω, ωs, R et L.
3.5) En déduire la puissance électrique moyenne < Pél > fournie au moteur en fonction de Φ0,
ω, ωs, R et L.
3.6) On introduit maintenant la grandeur g = (ωs − ω ) , appelée glissement, qui caractérise
ωs
l’écart relatif entre la vitesse angulaire de synchronisme et la vitesse angulaire de rotation de
l’arbre du moteur. Exprimer le rendement du moteur en fonction de g.
La vitesse de rotation ω des moteurs asynchrones s’écarte rarement de plus de 5% de la
vitesse de rotation ωs du champ tournant. Donner dans ce cas, la valeur numérique du
rendement.
PROBLEME N°2 : CYCLES MOTEURS DE CARNOT, BEAU DE ROCHAS et
STIRLING (15 points)
Après quelques généralités sur la machine thermique ditherme, nous comparerons les
rendements des cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle
présente des caractéristiques intéressantes, notamment un faible niveau de pollution, une
durée de vie élevée et un bon rendement. Les trois parties de ce problème sont
indépendantes, certaines données numériques sont cependant communes aux trois parties.
La constante des gaz parfaits R=8,314 u.s.i.
Première partie : Généralités
Une masse m de gaz, constituée d’air (principalement), subit un cycle moteur entre deux
sources thermiques, l’une froide à la température Tf=290 K, l’autre chaude à la température
Tc=1450 K.
1.1) Exprimer les bilans d’énergie et d’entropie au cours d’un cycle réel. On introduira les
quantités algébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Qf, Qc et Sp ; W est le travail reçu
(algébriquement) par le fluide (si W>0, il est effectivement reçu par le fluide, si W<0, il
est effectivement fourni par le fluide). De même Qf est la chaleur reçue par le fluide de la
part de la source froide, Qc la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude. Sp
est l’entropie produite lors d’une étape irréversible.
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1.2) Etablir l’expression du rendement η du moteur, en fonction de Tc, Tf, Qc et Sp.
1.3) Que devient ce rendement lorsque la machine fonctionne selon un cycle de Carnot ?
Exprimer le rendement ηCarnot et commenter le résultat.
1.4) On définit le degré d’irréversibilité du cycle à l’aide du rapport
η
ηCarnot
=r. Sachant que
r=0,94 et que le moteur fournit un travail de 15 kJ par cycle, trouver Qc , Qf et Sp lors du cycle
réel.
Deuxième partie : Cycle Beau de Rochas
Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m=2,9 g, assimilé à un gaz parfait diatomique
(γ=1,4), de masse molaire M=29g.mol-1, subit une évolution cyclique réversible ABCD,
constituée de deux portions isentropiques, AB et CD, séparées par deux portions isochores,
BC et DA. Le cycle n’est plus ditherme, car la réversibilité des étapes suppose la mise en
contact du fluide avec une succession de sources chaudes ou froides.
Les températures et les pressions aux points A et C sont respectivement :
V
TA=290 K, PA=1 bar, TC=1450 K et PC=40 bar. Le taux de compression α= A =8.
VC
2.1) Calculer PB, PD, VB et VD .
2.2) Représenter le cycle sur un diagramme P,V. Donner le sens de parcourt.
2.3) Calculer le travail et la chaleur reçus par le gaz sur chaque portion du cycle.
2.4) Quel est le rendement du moteur ainsi constitué. Comparer au rendement d’un cycle
moteur de Carnot fonctionnant entre les températures TA et TC.
Troisième partie : Cycle Stirling
Dans un cycle de Stirling, une même masse d’air, suit une évolution cyclique réversible
A’B’C’D’, constituée de deux portions isothermes A’B’ et C’D’ séparées par deux portions
isochores B’C’ et D’A’. Les températures TA’= TA et TC’=TC. Le taux de compression n’a pas
V'
changé, α= A =8.
( PA=PA’ et PC=PC’)
VC '
3.1) Déterminer les pressions inconnues.
3.2) Représenter le cycle dans le diagramme P,V.
3.3) Calculer le travail et la chaleur reçus par le gaz sur chaque portion du cycle.
3.4) Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l’aide d’un
régénérateur interne à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l’extérieur se font lors
des étapes isothermes. En déduire le rendement du cycle et commenter.
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PROBLEME N°3 (5 points)
Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, on considère un satellite S de masse m en
r
rotation autour de la Terre (de masse MT) ; sa vitesse V0 est orthoradiale et le satellite se
trouve à une distance r0 du centre T de la Terre.
1.1)Rappeler la définition d’un référentiel galiléen, ainsi que celle du référentiel géocentrique.
1.2) Etablir l’expression de V02 en fonction de la constante gravitationnelle G, de MT et de r0.
1.3) Donner l’expression de l’énergie mécanique du satellite en fonction de G, m, MT et r0.
Une erreur a en fait été commise lors de la satellisation. Le satellite a bien été lancé sur un
rayon r0 avec une vitesse orthoradiale mais V02 = α GMT r .
0
2.1) Exprimer l’énergie mécanique du satellite en fonction de G, m, MT, α et r0.
2.2) Quelle est la relation entre le signe de l’énergie mécanique et le type de trajectoire ?
2.3) Conclure suivant les valeurs de α sur le devenir du satellite.
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