Epreuve de physique - École nationale de la météorologie

CONCOURS INTERNE ITM 2013 (Physique)
Ecole Nationale de la Météorologie 1/7
www.enm.meteo.fr
Météo-France, établissement public administratif
CONCOURS INTERNE 2013
D’ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE
**************************************************************************************
EPREUVE DE PHYSIQUE
Durée : 4 heures Coefficient : 4
L’utilisation d’une calculatrice de poche, standard, programmable, alphanumérique ou à
écran graphique est autorisée à condition que son fonctionnement soit autonome et qu’il ne
soit pas fait usage d’imprimante, ni de dispositif externe de stockage d’information.
L’utilisation de toute autre documentation sur support papier ou électronique est strictement
interdite.
Cette épreuve comporte 3 problèmes indépendants, que le candidat peut traiter dans
l’ordre de son choix. Les trois exercices sont pris en compte dans la notation.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu’il aura été amené à prendre.
La notation tiendra compte de ces initiatives, ainsi que de la rigueur, du soin et de la
clarté apportés à la rédaction des réponses dans la notation de la copie.
Cette épreuve comporte 7 pages (celle-ci incluse)

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PROBLEME N°1 : Machine asynchrone (20 points)
Aucune connaissance préalable du principe de fonctionnement de la machine asynchrone
n'est nécessaire pour traiter ce problème. Les trois parties de ce problème sont
indépendantes.
La machine asynchrone se compose principalement de deux parties :
- le stator réalisé à l'aide d'un ensemble de bobines fixes destinées à engendrer dans une
zone limitée de l'espace un champ magnétique tournant B(t),
- le rotor modélisé ici par un cadre conducteur rectangulaire de surface S mobile autour
d'un axe.
Première partie : Etude du stator
Soit un ensemble de trois bobines (Figure 1), dont les axes sont perpendiculaires à Oz et
régulièrement décalés de
3
2
π
. Ces bobines sont parcourues par des courants sinusoïdaux de
pulsation ω
s
dont les intensités sont les suivantes :
i
1
( t ) = I
0
cos ( ω
s
t ) ; i
2
( t ) = I
0
cos ( ω
s
t -
3
2
π
) ; i
3
( t ) = I
0
cos ( ω
s
t -
3
4
π
).
Figure 1
La fréquence d'alimentation de ces bobinages statoriques est égale à 50Hz. Chaque bobine
crée en O un champ magnétique qui peut se mettre sous la forme : kkk
etiKB
r
r
)( =
( K est une
constante qui s’exprime en H.m
-2
et
k
e
r
est le vecteur unitaire de l'axe de la k
ème
bobine).
1.1) Justifier l’unité de K par une analyse dimensionnelle.
1.2) On donne le théorème de Ferraris :
( ) ( )
( )
ysxs
p
kks
etet
p
e
p
k
t
rrr
sin cos
2
2
cos
1
01
ωω
π
ω +=
−
∑
−
=+
.

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En déduire que les 3 bobines créent au point O un champ tournant
B
r
dont on donnera
l’expression dans la base
),(
yx
ee
r
r
. Donner la norme du champ B
0
= ||
B
r
|| en fonction de K et I
0
.
Préciser la vitesse angulaire de rotation du champ et calculer sa valeur numérique en tours par
minutes (tr.min
-1
).
Deuxième partie : Entraînement du rotor
Le rotor, modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S orientée selon la
normale n
r
tourne autour d'un axe Oz avec une vitesse angulaire ω ( ω ≥ 0) (Figure 2).
Figure 2
2.1) Exprimer le flux Φ du champ magnétique
B
r
généré par le stator à travers le cadre en
fonction de B
0
, S , ω , ω
s
et t . En déduire la force électromotrice d’induction e ( t ) qui apparait
dans le cadre en fonction du flux maximum Φ
0
= B
0
S , de la vitesse angulaire de glissement
Ω = ω
s
– ω et de t .
2.2) Le cadre constitue un circuit série de résistance R et d’inductance L . Etablir l’équation
différentielle vérifiée par le courant i ( t ) induit dans le cadre. L’orientation de l’intensité du
courant induit est indiquée sur la figure 2 sur laquelle la spire est vue de dessus.
2.3) On se place en régime permanent sinusoïdal ; l’intensité dans le cadre s’écrit alors
i ( t ) = I
M
sin ( Ω t – ψ )=
cos( )
2
M
I t
π
ψ Ω − − . En utilisant la notation complexe, montrer que :
− −−
+
==
2
0
2
)(
π
Ω
π
ψΩ
Ω
ΩΦ
tjtj
M
e
jLR
eIti .
2.4) En déduire l’expression de IM en fonction de Φ
0,
Ω , R et L. Exprimer cos ψ en fonction
de Ω , R et L et préciser le signe de sin ψ . Préciser si i(t) est en avance ou en retard par rapport
à e(t).
2.5) Donner l’expression du moment magnétique
M
r
du rotor.
x
y
i
B
r
n
r
x
e
r
y
e
r
z
e
r
t
s
ω
θ
=
t
ω
ϕ
=
cadre

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En déduire le couple électromagnétique
Γ
r
des forces de Laplace s’exerçant sur le cadre puis
sa projection
z
e
r
r
⋅= ΓΓ
sur l’axe de rotation en fonction de S, B0, IM, ψ , Ω et t.
2.6) On donne la relation de trigonométrie suivante : ( ) ( )( ) bababa +−−= coscos
2
1
sinsin .
Montrer que la valeur moyenne de Γ notée Γ
m est donnée par :
( )
2
2
2
0
2
Ω
ΩΦ
Γ
LR RL
L
m
+
= .
On peut tracer l’allure de Γ
m en fonction de
ω
(figure 13 ci-dessous) :
A quoi correspond physiquement la limite de Γ
m lorsque
ω
tend vers 0 ?
Dans quelles conditions le couple est-il moteur ou au contraire résistant ?
Troisième partie : Puissance et rendement d’un moteur
On considère maintenant un moteur du type précédent relié à une charge par un arbre (Figure
3) :
Figure 3
Le moment d’inertie de l’arbre est noté J. On notera Γ le couple délivré par le moteur, Γ
r le
couple résistant dû à la charge ( Γ et Γ
r sont des normes de vecteurs).
3.1) En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe de rotation, relier la
dérivée de la vitesse angulaire Ω
m de l’arbre à J,
Γ et Γ
r.
3.2) On considère les courbes suivantes correspondant à trois moteurs différents (Figure 4)
reliés à la même charge exerçant un couple résistant Γ
r constant.
Figure 4
moteur charge
arbre
Γ
(
ω
)
ω
Γ
r Couple résistant
constant
ω
s
0
Γ
d3
Γ
d2
Γ
d1
Moteur 1
Moteur 2
Moteur 3

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Expliquer de façon précise quel(s) moteur(s) est (sont) susceptible(s) de démarrer.
3.3) On se place maintenant en régime permanent ; on a alors Γ ( ω ) = Γ
r.
En utilisant les résultats de la deuxième partie, donner l’expression de la puissance mécanique
moyenne fournie par le moteur < Pméca > = Γ
m
ω en fonction de Φ
0,
ω , ω
s, R et L.
3.4) En utilisant à nouveau les résultats de la deuxième partie, donner l’expression de la
puissance moyenne < PJ > dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor en fonction
de Φ
0,
ω , ω
s, R et L.
3.5) En déduire la puissance électrique moyenne < Pél > fournie au moteur en fonction de Φ
0,
ω , ω
s, R et L.
3.6) On introduit maintenant la grandeur
(
)
s
s
g
ω
ω
ω
−
=
, appelée glissement, qui caractérise
l’écart relatif entre la vitesse angulaire de synchronisme et la vitesse angulaire de rotation de
l’arbre du moteur. Exprimer le rendement du moteur en fonction de g.
La vitesse de rotation ω des moteurs asynchrones s’écarte rarement de plus de 5% de la
vitesse de rotation ω
s du champ tournant. Donner dans ce cas, la valeur numérique du
rendement.
PROBLEME N°2 : CYCLES MOTEURS DE CARNOT, BEAU DE ROCHAS et
STIRLING (15 points)
Après quelques généralités sur la machine thermique ditherme, nous comparerons les
rendements des cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle
présente des caractéristiques intéressantes, notamment un faible niveau de pollution, une
durée de vie élevée et un bon rendement. Les trois parties de ce problème sont
indépendantes, certaines données numériques sont cependant communes aux trois parties.
La constante des gaz parfaits R=8,314 u.s.i.
Première partie : Généralités
Une masse m de gaz, constituée d’air (principalement), subit un cycle moteur entre deux
sources thermiques, l’une froide à la température Tf=290 K, l’autre chaude à la température
Tc=1450 K.
1.1) Exprimer les bilans d’énergie et d’entropie au cours d’un cycle réel . On introduira les
quantités algébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Qf, Qc et Sp ; W est le travail reçu
(algébriquement) par le fluide (si W>0, il est effectivement reçu par le fluide, si W<0, il
est effectivement fourni par le fluide). De même Qf est la chaleur reçue par le fluide de la
part de la source froide, Qc la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude. Sp
est l’entropie produite lors d’une étape irréversible.