1 Chapitre III Dynamique d`un point matériel

Phys 1, mécanique du point matériel : Pr. Badis Bennecer
1
Chapitre III
Dynamique d’un point matériel
III.1 Introduction
Dans le chapitre précèdent, nous avons étudié le mouvement et nous avons défini les grandeurs qui
entrent dans la description du mouvement d’une particule. Ce chapitre est consacré à l’exposé des lois
fondamentales de la dynamique, partie de la mécanique ‘’classique’’ qui a pour but l’étude des mouvements en
tenant compte des causes qui les produisent, ces dernières sont appelées forces. La force agissant sur un corps
sert comme un outil de mesure des interactions de ce corps sur les objets matériels qui l’entourent (autres corps
matériels ou champs de force) et on peut distinguer des forces à distance et des forces de contact. Nous
cherchons à comprendre pourquoi au voisinage de la surface de la terre, les corps tombent-ils avec une
accélération constante ? Pourquoi la terre se déplace-t-elle autour du soleil sur une orbite elliptique ? Pourquoi
un ressort oscille-t-il après avoir été étiré ?
Les lois de la dynamique ont été établies par Sir Isaac Newton en 1687 et porte donc son nom. Comme tous
les principes fondamentaux de la physique, les lois de la dynamique sont des généralisations des faits
expérimentaux.
Un peu d’histoire : Newton, en 1665, eut l’idée qu’il y avait un lien entre les lois de la chute des corps de
Galilée (1610) et les lois des mouvements des planètes de Kepler (1618). Il lui fallut plus de vingt années pour
réaliser concrètement ce lien en déterminant une relation générale entre cause et mouvement (2ème loi de
Newton).
Nous considérons d’abord les lois relatives au mouvement d’un point matériel, lois connues sous le nom de
1ere et 2ème loi de Newton. La première ou principe d’inertie, a été publiée par Galilée en 1632, dans la deuxième
loi, plus connue sous le nom de loi fondamentale de la dynamique, Newton introduit déjà la notion de la quantité
de mouvement, notion qui regroupe la vitesse et la masse. La 3ème loi est la loi d’opposition des actions
réciproques entrent deux points matériels. La quatrième loi de Newton concerne la gravitation. Nous donnons
aussi quelques types de force. Nous présentons aussi la définition du moment cinétique, le théorème du moment
cinétique ainsi que la conservation du moment cinétique et la loi des aires.
III.2 Première loi de Newton ou principe d’inertie
a. principe d’inertie
La première loi de Newton n’est autre que la loi d’inertie de Galilée ; celui-ci fut le premier à montrer
que : tout corps (ou point matériel) éloigné de tout autre corps ( non soumis à des actions extérieurs) se trouve
soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme. Un tel corps est dit libre ou isolé et son mouvement est
dit libre ou mouvement d’inertie.
D’après le chapitre précèdent, le mouvement est relatif, par conséquent, l’énoncé de la loi d’inertie doit
être accompagné par : à qui ou à quoi est rapporté le mouvement de la particule libre. La loi d’inertie pose avec
acuité la question du choix d’un système de référence. Un seul et même mouvement se présente différemment
dans différents référentiels. Si dans un certain référentiel le mouvement d’un corps est rectiligne et uniforme,
dans un autre référentiel qui se déplace avec accélération par rapport au premier référentiel, le mouvement du
corps sera différent. Par conséquent, la loi d’inertie ne peut pas être vérifiée dans tous les systèmes de références
et elle n’a aucun sens si on n’indique pas les référentiels utilisés.
La mécanique classique postule qu’il existe un référentiel dans lequel tous les corps libres ont un
mouvement rectiligne et uniforme. Ce référentiel est appelé référentiel d’inertie ou référentiel galiléen.
Remarques :
1. Il est important de noter, que les lois de Newton ont été énoncées dans l’hypothèse où toutes les
mesures ou observations sont faites par rapport à un référentiel fixe dans l’espace.
2. Il est possible de montrer que si les lois de Newton sont valables dans un repère, elles le sont dans tout
autre repère animé d’un mouvement de translation uniforme par rapport au premier. Galilée fut le
premier à s’en apercevoir ‘’ transformation de galilée’’ et c’est la raison pour laquelle on appelle tous
ces repères : repères galiléens. Pour des observateurs placés dans ces repères, l’accélération (par
conséquent la force subit par le point matériel) du point matériel est la même.
L’hypothèse de l’existence d’un référentiel galiléen est une généralisation d’une énorme masse de faits
expérimentaux. Ce n’est qu’en procédant aux expériences qu’on peut décider quels systèmes sont inertiels et
quels autres ne le sont pas. Ceci veut dire qu’en pratique, peu de référentiels sont véritablement galiléens, dans la
majorité des cas ce sont des référentiels ‘’supposés galiléens’’ avec une bonne approximation.
Voici quelques exemples de référentiels communément utilisés :

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a. Référentiel de Copernic, Rc
Ce référentiel, déjà défini dans le chapitre précédent, est constitué d’un repère d’espace d’origine le centre
d’inertie C du système solaire, dont les axes pointent vers étoiles fixées et d’un repère du temps. Pratiquement,
ce référentiel est un système d’inertie du système solaire.
b. Référentiel de Kepler (ou héliocentrique), Rs
C’est un repère de Copernic qui a comme origine le centre d’inertie du soleil (le soleil représente à lui seul
99,87% de la masse du système solaire) et des fois, il est utilisé à la place de Rc.
d. Référentiel géocentrique, RG
Il est constitué d’un repère en mouvement de translation par rapport au référentiel de Kepler, et d’origine le
centre d’inertie T de la terre ( le repère géocentrique est pratiquement en mouvement de translation circulaire par
rapport au référentiel héliocentrique)
Figure III-1 : Référentiel géocentrique et héliocentrique
c. Référentiel terrestre, RT
Il est constitué d’un repère dont l’origine est située en un point à la surface de la terre, et dont les axes sont liés à
la terre. Le référentiel terrestre est animé par rapport au référentiel géocentrique d’un mouvement de rotation
autour de l’axe des pôles (pôle nord et pole sud). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen, sauf si les
effets de la rotation de la terre sur elle-même peuvent être appréciables
III-3. La masse et la loi de conservation de la quantité de mouvement
a. Masse
Lorsqu’on veut mettre un corps en mouvement, modifier (en module ou en direction) sa vitesse, celui-ci oppose
une résistance. Cette aptitude des corps à s’opposer aux changements de leurs états de repos ou de mouvement
s’appelle l’inertie. Par exemple, il est plus facile de conférer la même accélération à un camion vide qu’à un
camion chargé. La grandeur physique caractérisant l’inertie d’un objet s’appelle masse d’inertie d’un objet.
Une conséquence de la loi d’inertie est qu’un point matériel n’est plus libre (c’est-à-dire en interaction avec
d’autres objets) si sa vitesse ne reste pas constante ; le point matériel subit une accélération. Pour donner une
définition quantitative précise de la masse, prenons le cas d’un système isolé ou fermé, constitué de deux
particules en interaction mutuelle. En raison de leurs interactions leurs vitesses ne sont pas constantes, mais
varient avec le temps. Soient 1
v
rla vitesse du point (1), 2
v
r
la vitesse du point (2) à l’instant t et '
1
v
r et '
2
v
r
à un
instant ultérieur t’. La variation de la vitesse du point matériel (1) quand elle se déplace de A à A’ (voir figure
III-3) dans l’intervalle de Δt=t’-t est
Figure III-3 : Interaction des deux points matériels
Référentiel S
héliocentrique
Référentiel T
géocentrique
Trajectoire de la terre
(
1
)
2
v
r
'
2
v
r
1
v
r
1
v
r
(
2
)

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1
'
11 vvv
r
r
r
−=Δ
de même pour le point matériel (2) lorsqu’il se déplace de B à B’
2
'
22 vvv
r
r
r
−=Δ
L’expérience a montré que 1
v
r
Δ
et 2 v
r
Δet quel que soit l’intervalle de temps Δt sont reliées par
2211 vmvm
r
r
Δ
−
=
Δ ou 21 vkv
r
r
Δ
−
=
Δ
où k=m2/m1 , et les quantités m1 et m2 sont des scalaires positifs et ne dépendent pas de la nature des interactions
entrent les deux points matériel (1) et (2) ; c'est-à-dire le coefficient k est le même pour chaque pair de
particules. Les coefficients m1 et m2, qui ne dépendent que des points matériels du système, sont appelés masses
d’inertie des points matériels (1) et (2). Donc, par définition le rapport des masses des deux points matériels est
égale au rapport des modules des accroissements que prennent les vitesses de ces points matériels. Pour passer
du rapport des deux masses aux masses elles mêmes, il faut choisir un corps de référence, dont sa masse est
‘’l’étalon de masse’’. L’unité fondamentale de masse est le kilogramme, c’est la masse d’un poids étalon en
alliage irridium-platine déposé au Bureau International des poids et mesure à Sèvres en France.
Remarque : 1 kg est approximativement la masse d’un décimètre cube d’eau pure dont la température est de
4°C.
b. Quantité de mouvement et principe de sa conservation
b.1 Quantité de mouvement
La quantité de mouvement d’une particule, notée par p
r
, est définie comme le produit de sa masse par sa
vitesse : vmp
r
r
=
Avec cette notion importante, qui caractérise l’état dynamique de la particule, on peut énoncer la loi d’inertie de
la manière suivante : ‘’ un point matériel libre se déplace toujours avec une quantité de mouvement constante :
ecstp
r
r
=.
Remarque :
Pour un système composé de plusieurs points matériel de masse mi et de vitesse i
v
r
, la quantité de mouvement
totale est donnée par :
∑
=+++=
ii
ppppp
r
r
r
r
r
.........
321
b.2. Principe de conservation de la quantité de mouvement
Prenons la relation donnant les variations des vitesses pour un système isolé formé de deux particules ;
2211 vmvm rr Δ−=Δ et écrivons la sous la forme :
21 pp
r
r
Δ
−
=
Δ
où
1
'
11 ppp
r
r
r
−=Δ : la variation de la quantité de mouvement de la particule (1)
et 2
'
22 ppp
r
r
r
−=Δ : la variation de la quantité de mouvement de la particule (2)
alors )( 2
'
21
'
1pppp
r
r
r
r
−−=− , ce qui donne
21
'
2
'
1pppp
r
r
r
r
+=+
cette relation montre que la quantité du mouvement du système à l’instant t est égale à celle du système à
l’instant t’ ; c'est-à-dire elle reste constante : ecstpp
r
r
r
=
+
21 .
La quantité de mouvement totale d’un système composé de deux points matériels soumises uniquement à leurs
interactions mutuelles est constante ; c’est le principe da la conservation de mouvement.
Exemples :
1. le recul d’une arme à feu : initialement, le système fusil plus balle est au repos et la quantité de
mouvement totale est nulle. Après le tir, le fusil recul pour contrebalancer la quantité de mouvement
prise par la balle.
2. Quand un noyau se désintègre en émettant un électron et un neutrino, par exemple, la quantité de
mouvement de l’électron, de neutrino et du noyau résultant est égale à zéro, car initialement le système
était immobile. Si dans une expérience, ce principe est violé, on cherche une particule inconnue ou
cachée qui peut être derrière cette violation.

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Remarque :
La forme donnée à la loi de conservation de la quantité de mouvement est valable pour les mouvements
lents ; mécanique non relativiste (c'est-à-dire de vitesse v très inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide c ;
v << c). Par contre, en mécanique relativiste ; (c’est à dire pour les mouvements rapides), la quantité de
mouvement est donnée par vmp
r
r
=, mais la masse m de la particule est donnée par : 22
0
/1 cv
m
m−
=, où
m0 est la masse de la particule au repos et qui coïncide avec la masse d’inertie qui intervient en mécanique non
relativiste et m est la masse en mouvement ou la masse relativiste.
III.-4. Deuxième loi de Newton et force
La deuxième loi de Newton constitue le principe fondamental de la dynamique (PFD) et s’énonce comme suit :
‘’ relativement à un référentiel galiléen, Rg, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un
point matériel est égale à la somme des forces appliquées à ce système’’
∑
=F
dt
pd
r
r
Le principe fondamental de la dynamique, dans la formulation newtonienne de la mécanique classique représente
le théorème de la quantité de mouvement. Comme la quantité de mouvement d’un point matériel est égale à vm
r
,
alors
∑
=)(
/MmF g R
γ
r
r
Le principe fondamental de la dynamique représente le moyen qui relie la cause du mouvement au mouvement
lui même. Comme la description du mouvement se ramène à la détermination des coordonnées des points
matériels en fonction du temps, le PDF nous permet d’obtenir les expressions donnant les variations des
coordonnées en fonction du temps ; équations différentielles du mouvement, sont des équations différentielles du
second ordre, une fois intégrées le mouvement est déterminé.
Exemple :
Une particule se déplace dans l’espace sous l’effet d’une force
F
r
. Appliquons le principe fondamental de la
dynamique, on obtient :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇒=
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
z
y
x
Fzm
Fym
F
F
dtrd
m
xm
2
2r
r
Il est important de noter que les conditions initiales, )0(ret )0(
.
r
r
r, c'est-à-dire les valeurs du vecteur
position et du vecteur vitesse à l’instant t=0, jouent un rôle très important dans la détermination du mouvement
car elles servent à déterminer les constantes arbitraires qui apparaissent dans les solutions des équations
différentielles du mouvement.
Remarque :
1. le PFD sert à déterminer les coordonnées des points matériels si les forces sont connues.
2. Il sert à déterminer la force si le mouvement est connu.
Pour éclaircir ces deux points, considérons le système composé d’une masse m attachée à un ressort.
1. Détermination de la force :
Le mouvement est décrit par une sinusoïde (un mouvement harmonique)
Tt
Ax
π
2
cos
= ; où A et T sont respectivement l’amplitude et
la période du mouvement. L’accélération est donnée par
Tt
A
T
x
π
π
2
cos)
2
(2
.. −= , multiplions les deux membres de cette relation
par la masse m, on obtient : kxxm −=
..
, où k=(2π/T)2m. Figure III-2. Système masse ressort
x
m

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Comparons la relation précédente avec Fxm =
..
, on trouve la force F=-kx et le coefficient k est appelée le
coefficient d’élasticité ou la constante de raideur du ressort.
2. Détermination de x (du mouvement)
0
2
0
.... =+⇒−= xxkxxm
ω , cette relation est l’équation différentielle du mouvement, qui est du second ordre
à coefficients constants et elle admet comme solution x=Acos(ωt+φ) , donc la masse effectue un mouvement
harmonique.
III.5. Troisième loi de newton (principe des actions réciproques)
Soient deux points matériels (1) et (2), à tout instant, la force 12
F
r
exercée par le point matériel (1) sur la
particule (2) est l’opposée de la force 21
F
r
exercée par le point matériel (2) sur le point matériel (1). Ces forces
sont protées par la droite qui les joint, avec :
0Met 12212112
r
r
r
r
r
=∧−= FMFF
Selon newton, l’une de ces forces est appelée action et l’autre réaction et ce principe s’annonce comme suit : A
toute action correspond une réaction et de sens opposé.
Figure III-3. Action et réaction
Remarque :
Pour un système matériel composé de n points matériels qui interagissent deux à deux. Soient ik F
r
la force avec
laquelle le point matériel i agit sur le point matériel k et ki
F
r
la force avec laquelle le point matériel k agit sur le
point matériel i, alors la 3ème loi de newton affirme que : kiik FF
r
r
−= . Dans ce contexte on peut diviser
l’ensemble des forces agissant sur les points matériels d’un système en forces intérieures et extérieures. Les
forces intérieures sont les forces d’interaction entre les points matériels du système par contre les forces
extérieures sont mes forces qu’exercent sur les points matériels du système les corps qui l’entourent. La somme
géométrique des forces intérieures est nulle :
0....... )()(
3
)(
2
)(
1
r
r
r
r
r=+++ i
n
iii FFFF
Exemple : système composé de trois points matériels
0
)(
3
)(
2
)(
1
231332122131
r
43421
r
r
43421
r
r
43421
r
r
rrr
=+++++
iii FFF
FFFFFF
Figure III-4. Somme des forces intérieures est nulle.
M2
21
F
r
12 F
r
M1 0
2112
r
r
r
=+ FF
31
F
r
13
F
r
23
F
r
32
F
r
12
F
r
21
F
r
(1)
(
3
)
(2)