1 Chapitre III Dynamique d`un point matériel

Phys 1, mécanique du point matériel : Pr. Badis Bennecer
Chapitre III
Dynamique d’un point matériel
III.1 Introduction
Dans le chapitre précèdent, nous avons étudié le mouvement et nous avons défini les grandeurs qui
entrent dans la description du mouvement d’une particule. Ce chapitre est consacré à l’exposé des lois
fondamentales de la dynamique, partie de la mécanique ‘’classique’’ qui a pour but l’étude des mouvements en
tenant compte des causes qui les produisent, ces dernières sont appelées forces. La force agissant sur un corps
sert comme un outil de mesure des interactions de ce corps sur les objets matériels qui l’entourent (autres corps
matériels ou champs de force) et on peut distinguer des forces à distance et des forces de contact. Nous
cherchons à comprendre pourquoi au voisinage de la surface de la terre, les corps tombent-ils avec une
accélération constante ? Pourquoi la terre se déplace-t-elle autour du soleil sur une orbite elliptique ? Pourquoi
un ressort oscille-t-il après avoir été étiré ?
Les lois de la dynamique ont été établies par Sir Isaac Newton en 1687 et porte donc son nom. Comme tous
les principes fondamentaux de la physique, les lois de la dynamique sont des généralisations des faits
expérimentaux.
Un peu d’histoire : Newton, en 1665, eut l’idée qu’il y avait un lien entre les lois de la chute des corps de
Galilée (1610) et les lois des mouvements des planètes de Kepler (1618). Il lui fallut plus de vingt années pour
réaliser concrètement ce lien en déterminant une relation générale entre cause et mouvement (2ème loi de
Newton).
Nous considérons d’abord les lois relatives au mouvement d’un point matériel, lois connues sous le nom de
1ere et 2ème loi de Newton. La première ou principe d’inertie, a été publiée par Galilée en 1632, dans la deuxième
loi, plus connue sous le nom de loi fondamentale de la dynamique, Newton introduit déjà la notion de la quantité
de mouvement, notion qui regroupe la vitesse et la masse. La 3ème loi est la loi d’opposition des actions
réciproques entrent deux points matériels. La quatrième loi de Newton concerne la gravitation. Nous donnons
aussi quelques types de force. Nous présentons aussi la définition du moment cinétique, le théorème du moment
cinétique ainsi que la conservation du moment cinétique et la loi des aires.
III.2 Première loi de Newton ou principe d’inertie
a. principe d’inertie
La première loi de Newton n’est autre que la loi d’inertie de Galilée ; celui-ci fut le premier à montrer
que : tout corps (ou point matériel) éloigné de tout autre corps ( non soumis à des actions extérieurs) se trouve
soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme. Un tel corps est dit libre ou isolé et son mouvement est
dit libre ou mouvement d’inertie.
D’après le chapitre précèdent, le mouvement est relatif, par conséquent, l’énoncé de la loi d’inertie doit
être accompagné par : à qui ou à quoi est rapporté le mouvement de la particule libre. La loi d’inertie pose avec
acuité la question du choix d’un système de référence. Un seul et même mouvement se présente différemment
dans différents référentiels. Si dans un certain référentiel le mouvement d’un corps est rectiligne et uniforme,
dans un autre référentiel qui se déplace avec accélération par rapport au premier référentiel, le mouvement du
corps sera différent. Par conséquent, la loi d’inertie ne peut pas être vérifiée dans tous les systèmes de références
et elle n’a aucun sens si on n’indique pas les référentiels utilisés.
La mécanique classique postule qu’il existe un référentiel dans lequel tous les corps libres ont un
mouvement rectiligne et uniforme. Ce référentiel est appelé référentiel d’inertie ou référentiel galiléen.
Remarques :
1. Il est important de noter, que les lois de Newton ont été énoncées dans l’hypothèse où toutes les
mesures ou observations sont faites par rapport à un référentiel fixe dans l’espace.
2. Il est possible de montrer que si les lois de Newton sont valables dans un repère, elles le sont dans tout
autre repère animé d’un mouvement de translation uniforme par rapport au premier. Galilée fut le
premier à s’en apercevoir ‘’ transformation de galilée’’ et c’est la raison pour laquelle on appelle tous
ces repères : repères galiléens. Pour des observateurs placés dans ces repères, l’accélération (par
conséquent la force subit par le point matériel) du point matériel est la même.
L’hypothèse de l’existence d’un référentiel galiléen est une généralisation d’une énorme masse de faits
expérimentaux. Ce n’est qu’en procédant aux expériences qu’on peut décider quels systèmes sont inertiels et
quels autres ne le sont pas. Ceci veut dire qu’en pratique, peu de référentiels sont véritablement galiléens, dans la
majorité des cas ce sont des référentiels ‘’supposés galiléens’’ avec une bonne approximation.
Voici quelques exemples de référentiels communément utilisés :
1
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a. Référentiel de Copernic, Rc
Ce référentiel, déjà défini dans le chapitre précédent, est constitué d’un repère d’espace d’origine le centre
d’inertie C du système solaire, dont les axes pointent vers étoiles fixées et d’un repère du temps. Pratiquement,
ce référentiel est un système d’inertie du système solaire.
b. Référentiel de Kepler (ou héliocentrique), Rs
C’est un repère de Copernic qui a comme origine le centre d’inertie du soleil (le soleil représente à lui seul
99,87% de la masse du système solaire) et des fois, il est utilisé à la place de Rc.
d. Référentiel géocentrique, RG
Il est constitué d’un repère en mouvement de translation par rapport au référentiel de Kepler, et d’origine le
centre d’inertie T de la terre ( le repère géocentrique est pratiquement en mouvement de translation circulaire par
rapport au référentiel héliocentrique)
Trajectoire de la terre
Référentiel
héliocentrique
S
Référentiel
géocentrique
T
Figure III-1 : Référentiel géocentrique et héliocentrique
c. Référentiel terrestre, RT
Il est constitué d’un repère dont l’origine est située en un point à la surface de la terre, et dont les axes sont liés à
la terre. Le référentiel terrestre est animé par rapport au référentiel géocentrique d’un mouvement de rotation
autour de l’axe des pôles (pôle nord et pole sud). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen, sauf si les
effets de la rotation de la terre sur elle-même peuvent être appréciables
III-3. La masse et la loi de conservation de la quantité de mouvement
a. Masse
Lorsqu’on veut mettre un corps en mouvement, modifier (en module ou en direction) sa vitesse, celui-ci oppose
une résistance. Cette aptitude des corps à s’opposer aux changements de leurs états de repos ou de mouvement
s’appelle l’inertie. Par exemple, il est plus facile de conférer la même accélération à un camion vide qu’à un
camion chargé. La grandeur physique caractérisant l’inertie d’un objet s’appelle masse d’inertie d’un objet.
Une conséquence de la loi d’inertie est qu’un point matériel n’est plus libre (c’est-à-dire en interaction avec
d’autres objets) si sa vitesse ne reste pas constante ; le point matériel subit une accélération. Pour donner une
définition quantitative précise de la masse, prenons le cas d’un système isolé ou fermé, constitué de deux
particules en interaction mutuelle. En raison de leurs interactions leurs vitesses ne sont pas constantes, mais
r
r'
r
r'
varient avec le temps. Soient v1 la vitesse du point (1), v 2 la vitesse du point (2) à l’instant t et v1 et v 2 à un
instant ultérieur t’. La variation de la vitesse du point matériel (1) quand elle se déplace de A à A’ (voir figure
III-3) dans l’intervalle de Δt=t’-t est
(1)
(2)
r
v1
r
v 2'
r
v1
r
v2
Figure III-3 : Interaction des deux points matériels
2
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r r r
Δv1 = v1' − v1
de même pour le point matériel (2) lorsqu’il se déplace de B à B’
r
r
r r
Δv 2 = v 2' − v 2
r
L’expérience a montré que Δv1 et Δv 2 et quel que soit l’intervalle de temps Δt sont reliées par
r
r
r
r
m1 Δv1 = − m2 Δv 2 ou Δv1 = −kΔv 2
où k=m2/m1 , et les quantités m1 et m2 sont des scalaires positifs et ne dépendent pas de la nature des interactions
entrent les deux points matériel (1) et (2) ; c'est-à-dire le coefficient k est le même pour chaque pair de
particules. Les coefficients m1 et m2, qui ne dépendent que des points matériels du système, sont appelés masses
d’inertie des points matériels (1) et (2). Donc, par définition le rapport des masses des deux points matériels est
égale au rapport des modules des accroissements que prennent les vitesses de ces points matériels. Pour passer
du rapport des deux masses aux masses elles mêmes, il faut choisir un corps de référence, dont sa masse est
‘’l’étalon de masse’’. L’unité fondamentale de masse est le kilogramme, c’est la masse d’un poids étalon en
alliage irridium-platine déposé au Bureau International des poids et mesure à Sèvres en France.
Remarque : 1 kg est approximativement la masse d’un décimètre cube d’eau pure dont la température est de
4°C.
b. Quantité de mouvement et principe de sa conservation
b.1 Quantité de mouvement
r
La quantité de mouvement d’une particule, notée par p , est définie comme le produit de sa masse par sa
vitesse :
r
r
p = mv
Avec cette notion importante, qui caractérise l’état dynamique de la particule, on peut énoncer la loi d’inertie de
la manière suivante : ‘’ un point matériel libre se déplace toujours avec une quantité de mouvement constante :
r
r
p = cste .
Remarque :
r
Pour un système composé de plusieurs points matériel de masse mi et de vitesse vi , la quantité de mouvement
r
r
r
r
totale est donnée par : p = p1 + p 2 + p 3 + ......... =
r
∑p
i
i
b.2. Principe de conservation de la quantité de mouvement
Prenons la relation donnant les variations des vitesses pour un système isolé formé de deux particules ;
r
r
m1 Δv1 = − m2 Δv 2 et écrivons la sous la forme :
r
r
Δp1 = −Δp 2
où
r
r
r
Δp1 = p1' − p1 : la variation de la quantité de mouvement de la particule (1)
r
r
r
et
Δp 2 = p 2' − p 2 : la variation de la quantité de mouvement de la particule (2)
r
r
r
r
alors
p1' − p1 = −( p 2' − p 2 ) , ce qui donne
r
r
r
r
p1' + p 2' = p1 + p 2
cette relation montre que la quantité du mouvement du système à l’instant t est égale à celle du système à
r
r
r
l’instant t’ ; c'est-à-dire elle reste constante : p1 + p 2 = cste .
La quantité de mouvement totale d’un système composé de deux points matériels soumises uniquement à leurs
interactions mutuelles est constante ; c’est le principe da la conservation de mouvement.
Exemples :
1. le recul d’une arme à feu : initialement, le système fusil plus balle est au repos et la quantité de
mouvement totale est nulle. Après le tir, le fusil recul pour contrebalancer la quantité de mouvement
prise par la balle.
2. Quand un noyau se désintègre en émettant un électron et un neutrino, par exemple, la quantité de
mouvement de l’électron, de neutrino et du noyau résultant est égale à zéro, car initialement le système
était immobile. Si dans une expérience, ce principe est violé, on cherche une particule inconnue ou
cachée qui peut être derrière cette violation.
3
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Remarque :
La forme donnée à la loi de conservation de la quantité de mouvement est valable pour les mouvements
lents ; mécanique non relativiste (c'est-à-dire de vitesse v très inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide c ;
v << c). Par contre, en mécanique relativiste ; (c’est à dire pour les mouvements rapides), la quantité de
mouvement est donnée par
r
r
p = mv , mais la masse m de la particule est donnée par : m =
m0
1− v2 / c2
, où
m0 est la masse de la particule au repos et qui coïncide avec la masse d’inertie qui intervient en mécanique non
relativiste et m est la masse en mouvement ou la masse relativiste.
III.-4. Deuxième loi de Newton et force
La deuxième loi de Newton constitue le principe fondamental de la dynamique (PFD) et s’énonce comme suit :
‘’ relativement à un référentiel galiléen, Rg, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un
point matériel est égale à la somme des forces appliquées à ce système’’
r
r
dp
= ∑F
dt
Le principe fondamental de la dynamique, dans la formulation newtonienne de la mécanique classique représente
r
le théorème de la quantité de mouvement. Comme la quantité de mouvement d’un point matériel est égale à mv ,
alors
r
r
∑ F = mγ
/ Rg
(M )
Le principe fondamental de la dynamique représente le moyen qui relie la cause du mouvement au mouvement
lui même. Comme la description du mouvement se ramène à la détermination des coordonnées des points
matériels en fonction du temps, le PDF nous permet d’obtenir les expressions donnant les variations des
coordonnées en fonction du temps ; équations différentielles du mouvement, sont des équations différentielles du
second ordre, une fois intégrées le mouvement est déterminé.
Exemple :
r
Une particule se déplace dans l’espace sous l’effet d’une force F . Appliquons le principe fondamental de la
dynamique, on obtient :
⎧ ⋅⋅
⎪m x⋅⋅ = Fx
2r
r
d r
⎪
m 2 = F ⇒ ⎨m y = F y
dt
⎪ ⋅⋅
⎪ m z = Fz
⎩
r.
r
Il est important de noter que les conditions initiales, r (0) et r (0) , c'est-à-dire les valeurs du vecteur
position et du vecteur vitesse à l’instant t=0, jouent un rôle très important dans la détermination du mouvement
car elles servent à déterminer les constantes arbitraires qui apparaissent dans les solutions des équations
différentielles du mouvement.
Remarque :
1. le PFD sert à déterminer les coordonnées des points matériels si les forces sont connues.
2. Il sert à déterminer la force si le mouvement est connu.
Pour éclaircir ces deux points, considérons le système composé d’une masse m attachée à un ressort.
1. Détermination de la force :
Le mouvement est décrit par une sinusoïde (un mouvement harmonique)
x = A cos
2πt
; où A et T sont respectivement l’amplitude et
T
la période du mouvement. L’accélération est donnée par
2π
2πt
, multiplions les deux membres de cette relation
x = −( ) 2 A cos
T
T
m
..
x
..
par la masse m, on obtient : m x = − kx , où k=(2π/T)2m.
4
Figure III-2. Système masse ressort
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..
Comparons la relation précédente avec m x = F , on trouve la force F=-kx et le coefficient k est appelée le
coefficient d’élasticité ou la constante de raideur du ressort.
2. Détermination de x (du mouvement)
..
..
m x = − kx ⇒ x + ω 02 x = 0 , cette relation est l’équation différentielle du mouvement, qui est du second ordre
à coefficients constants et elle admet comme solution x=Acos(ωt+φ) , donc la masse effectue un mouvement
harmonique.
III.5. Troisième loi de newton (principe des actions réciproques)
r
Soient deux points matériels (1) et (2), à tout instant, la force F12 exercée par le point matériel (1) sur la
r
particule (2) est l’opposée de la force F21 exercée par le point matériel (2) sur le point matériel (1). Ces forces
sont protées par la droite qui les joint, avec :
r
r
r
r
r
F12 = − F21 et M 1 M 2 ∧ F12 = 0
Selon newton, l’une de ces forces est appelée action et l’autre réaction et ce principe s’annonce comme suit : A
toute action correspond une réaction et de sens opposé.
M2
r
F21
r
F12
M1
r
r
r
F12 + F21 = 0
Figure III-3. Action et réaction
Remarque :
r
Pour un système matériel composé de n points matériels qui interagissent deux à deux. Soient Fik la force avec
r
laquelle le point matériel i agit sur le point matériel k et Fki la force avec laquelle le point matériel k agit sur le
r
r
point matériel i, alors la 3ème loi de newton affirme que : Fik = − Fki . Dans ce contexte on peut diviser
l’ensemble des forces agissant sur les points matériels d’un système en forces intérieures et extérieures. Les
forces intérieures sont les forces d’interaction entre les points matériels du système par contre les forces
extérieures sont mes forces qu’exercent sur les points matériels du système les corps qui l’entourent. La somme
géométrique des forces intérieures est nulle :
r
r
r
r
r
F1( i ) + F2( i ) + F3( i ) ....... + Fn( i ) = 0
Exemple : système composé de trois points matériels
r
r
r
r
r
r
r
F31 + F21 + F12 + F32 + F13 + F23 = 0
1
42
4
3 1
42
4
3 1
42
4
3
r
r
r
F1( i )
F2( i )
F3( i )
r
F13
r
F31
(1)
r
F23
r
F21
Figure III-4. Somme des forces intérieures est nulle.
r
F12
r
F32
(2)
5
(3)
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Si nous désignons les forces extérieures par
dynamique on peut écrire :
r
r
F1( e ) , F2( 2 ) ........... , conformément au principe fondamental de la
r
dp1 r ( i ) r ( e )
= F1 + F1
dt
r
r
r
dp 2
= F2(i ) + F2( e )
dt
.
.
.
r
r
r
dp n
= Fn( i ) + Fn( e )
dt
r
r
r
r
r
d r
( p1 + p 2 + ..... p n ) = F1( e ) + F2( e ) + ..... + Fn( e )
dt
r
dp r (e )
=F
dt
où
n
r
r
p = ∑ pi : La quantité de mouvement totale
i =1
et
n r
r
F ( e ) = ∑ Fi ( e ) : La résultante de toutes les forces extérieures.
i =1
r (e) r r
r
Si ∑ Fi = 0 , p = cste , c'est-à-dire la quantité de mouvement se conserve.
n
i =1
III-6. Quatrième loi de Newton (interaction gravitationnelle)
a. la loi d’interaction gravitationnelle
Après son énoncé des lois de mouvement, la plus importante contribution de newton au développement de la
mécanique fut la découverte de la loi de l’interaction de gravitation (Newton 1867) qui s’énonce comme suit :
Tout point matériel de masse m1 attire tout point matériel de masse m2 avec une force dirigée le long de la droite
qui les relie. Cette force varie comme l’inverse du carré de la distance r qui les sépare et le produit de leurs
masses gravitationnelles.
r
Soit u12 le vecteur unitaire dirigé du point (1) vers le point (2), r12 la distance entre les deux points, la
exercé par le point (1) sur le point (2) a pour expression :
r
F12
r
mm r
F12 = −G 1 2 2 u12 .
r12
La constante G est appelée constante de gravitation et dans le système international SI elle a comme valeur :
G = 6.672 10-11 N m2 Kg-2
(2)
r
F12
m2
r
u12
(1)
r12
m1
Figure III.5. Interaction gravitationnelle
r
Soit N points matériels de masse m1, m2, …, mn ,le champ gravitationnelle G en un point quelconque M et à un
instant t est :
6
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r
N
r
mi u i
G = −G ∑ 2
i =1 ri
C’est le champ de gravitationnelle crée en un point M par une distribution de N masses ponctuelles de masse mi
r
située aux points Ni. le vecteur u i est le vecteur unitaire allant des points Pi où se trouve l’une des N sources de
champ vers le point M où on calcule le champ et ri la distance entre les points Pi et M. Une fois le champ de
r
gravitation G est calculé on peut trouver la force
r
r
r
F qui subit une masse m placée au point M : F = mG
r
ui
M
mi
m2
m1
m3
Figure III-6. Champ gravitationnel crée par un ensemble de points.
Remarque
Bien que la notion de champ soit apparue avant newton, celui-ci ne l’a pas adopté dans ces développements
théoriques. Pour newton, l’interaction gravitationnelle est décrite comme interaction à distance ne faisant
intervenir que les deux corps en présence. Ainsi, une force apparaît lorsqu’on introduit un corps à une certaine
distance d’un autre. Par contre pour le physicien Faraday, qui a étudié l’interaction électrique et magnétique
entre deux corps, chacun d’eux a son propre champ. Une charge électrique q située en un point p crée un champ
électrique en tout point M donné par :
r
r
r
qu r
E (M ) = k 2
r
Où u r est un vecteur unitaire et k est une constante et r est la distance qui sépare la charge et le point où on
calcule le champ.
Poids d’un corps :
On appelle poids d’un corps en un lieu à la surface de la terre, la force
r
r
r
r
p telle que p = mg , où g est
r r
appelée champ de pesanteur ou accélération due à la pesanteur, et dans ce cas g ≈ G . On calcule le champ de
r
gravitation G de la terre grâce au théorème de Gauss (voir réf. 1 page 66-67).
r r
Remarque : si on est dans un référentiel galiléen, g ≈ G , mais si on est dans un référentiel non galiléen
r r r r
g = G − γ e ( γ e étant l’accélération d’entraînement de ce référentiel par rapport à un référentiel galiléen).
III-7. Quelques exemples de forces
Il existe quatre types d’interactions fondamentales dans l’univers ; l’interaction nucléaire fortes (de courte
portée 10-15 m), l’interaction électromagnétique, elle est de portée infinie, agissant sur toute particule possédant
une charge électrique, l’interaction nucléaire faible (de portée 10 -18 à 10 -17 m) et l’interaction gravitationnelle.
En mécanique, on a généralement affaire aux forces de gravitation, aux forces élastiques et aux forces de
frottement. Parfois on rencontre des problèmes sur le mouvement des corps portants des charges électriques dans
des champs électrique ou magnétique. Donc, on doit ajouter aux forces précédentes les forces
électromagnétiques.
Forces d’action de contact
Les forces d’action de contact sont des interactions macroscopiques qui résultent d’interactions
microscopiques. Lorsqu’un corps est en contact avec un solide ou un fluide, il existe alors, en plus des actions à
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distance des actions de contact. Les dernières sont généralement sous formes d’expressions phénoménologiques
assez simples, tirées de l’expérience et valide seulement dans un certain contexte expérimental.
a- Action exercée par un support solide :
A chaque fois que deux corps sont en contact, comme dans le cas d’une brosse qui se déplace sur une table,
l’un des deux corps considéré comme ‘support’ exerce des forces dites de contact sur l’autre corps. Les lois
relatives aux forces de contact entre solides sont phénoménologiques et elles ont été étudiées par Coulombs (un
célèbre physicien du 18iéme siècle).
r
Les actions de contact d’un solide S2 sur un solide S1 (voir figure III-6) sont représentées par une force R
appliquée au point de contact, est appelée réaction du support, que l’on peut décomposer en une force normale
r
au support Rn et une force tangente
r
r r
r
R f , appelée force de frottement de glissement : R = Rn + R f .
Les lois de Coulomb pour le frottement et le glissement sont :
-
r
r
En l’absence de frottement et glissement, R = Rn et
r
r
Rf = 0 .
En présence de frottement de glissement et si le point matériel est immobile, alors :
le facteur de frottement statique.
-
En présence de frottement de glissement et si S1 se déplace sur S2 :
frottement dynamique,
r
r
R f et v sont de sens opposés.
r
r
R f ≤ μ 0 Rn , μ 0 est
r
r
R f = μRn , μ est le facteur de
Remarque : La valeur de μ0 est en général supérieur à μ ; mais on suppose généralement que ces deux valeurs
sont égales pour simplifier.
r
Rn
r
R
S1
r
Rf
S2
Figure III-7. Le support S2 exerce sue le solide S1 une force appelée réaction du support.
b- Action exercée par un fluide sur un solide :
Les actions de contact d’un fluide sur un solide en mouvement sont généralement très complexes. Pour exprimer
les forces résultantes des actions de contact, on distinguera les forces de pression, normales à la surface de
contact et les forces de frottement visqueux qui sont tangentes à ces mêmes éléments de surface.
b-1. Action des forces de pression :
r
Les actions des forces de pression sur un corps immergé dans un fluide sont représentées par une force A
appelée poussée d’Archimède, dirigée selon la verticale ascendante (c'est-à-dire vers le haut) est égale en module
au poids du fluide déplacé par le corps :
r
r
A = −m f g (mf : masse du fluide déplacé).
b-2. Action des forces de frottement d’un fluide (frottement visqueux) :
L’action de ces forces sur un corps est représentée par une force qui peut être décomposée en deux
composantes traînée
r
r
FT : de sens opposé à la vitesse relative v du corps par rapport aux fluides, celle-ci peut se mettre
r
r
sous la forme linéaire pour les faibles vitesses ( FT = −λv ), ou les formes quadratique pour les
•
vitesses plus élevées (pour les vitesses plus grandes, il n’y a pas de relation simple).
•
La portance
r
F p : elle est orthogonale à la vitesse relative du corps par rapport au fluide ; celle-ci
est responsable de la sustentation des ailes d’avions.
c. action exercée par un fil tendu :
L’action exercée par un fil (ou un câble) inextensible tendu sur un objet auquel il est attaché est équivalent à
r
une force F , appelée ‘’tension’’, appliquée au point d’attache, dirigée suivant le fil dans le sens objet → fil.
Locomotive
Wagon
r
F
Câble
Figure III-8 : Le câble exerce sur le Wagon une force de tension appliquée au point d’attache
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d. action exercée par un ressort :
L’action exercée par un ressort élastique sur un objet auquel il est attaché est équivalente à une force
r
r
F = −kΔl , appelée force de rappel, appliquée au point d’attache, proportionnelle et de sens opposé à son
r
r r r
allongement Δl ; Δl = (l − l 0 ) (voir figure III-9)étant la différence entre la longueur du ressort avec l’objet
attaché, l, et sa longueur à vide, l0. la constante k est appelée constante raideur ou constante de rappel du ressort
r
l0
r
l
r
r
F = −kΔl
r
Δl
x
m
Figure III-9 : La force de rappel d’un ressort élastique
III.8. Moment cinétique et force centrale
r On appelle moment cinétique en un point O d’un point matériel de masse m, situé en M et animér de la rvitesse
v Par rapport au référentiel Rg, le moment en O de son vecteur quantité de mouvement : p = mv , soit
r
r r
LO = OM ∧ p , l’unité du moment cinétique est le kg.m2.s-1.
Théorème du moment cinétique en un point fixe :
Dans un référentiel galiléen Rg, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique en un point fixe O d’un
point matériel, est égale au moment, en ce point, de la somme des force appliquées, soit :
r
r
r
dL0
) Rg = M 0 (∑ Fi )
dt
i
Démonstration :
r
r r
r
r dpr
r
r
dL0
r
r
r
d
d
) Rg = (OM ∧ p) Rg = (OM ) Rg ∧ p + OM ∧ ) Rg = v / Rg ( M ) ∧ mv / Rg ( M ) + OM ∧ ∑ Fi
dt
dt
dt
dt
i
Le premier terme est nul et le second terme, obtenu en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, n’est
autre que le moment en O des forces appliquées au point matériel M.
Remarque :
L’application du théorème du moment cinétique en un point fixe bien choisi permet dans certains cas de
déterminer plus rapidement (c'est-à-dire en réduisant le calcul) l’équation différentielle du mouvement, qu’en
utilisant la relation fondamentale du mouvement.
On va éclaircir ce point, en cherchant l’équation différentielle du pendule simple ; ce système est composé par
une masse m suspendue à un point fixe à l’aide d’un fil (sans masse).
θ
l
r
T
r
mg
9
r
uθ
θ
r
mg cos θu l
r
− mg sin θuθ
Phys 1, mécanique du point matériel : Pr. Badis Bennecer
Figure III.10: Pendule simple.
Le principe fondamental :
.. r
r r
ml θ uθ = mg + T
..
..
r
Projetons sur uθ : ml θ = −mg sin θ ⇒ ml θ + mg sin θ = 0
r
0=mgcosθ-T
Projetons sur u l :
Le théorème du moment cinétique :
.. r
r r
r
r r
r
Lo = lu l ∧ ml θ uθ = ml 2 k ; k est un vecteur unitaire perpendiculaire à u l et uθ (sortant)
r
r
r
r
dL0
r
r
r
= M O (mg ) = lu l ∧ mg = − mgl sin θk et projetons sur k on obtient :
dt
..
..
ml θ = −mg sin θ ⇒ ml θ + mg sin θ = 0 .
Théorème du moment cinétique en un point mobile:
Calculons le moment cinétique par rapport à un point mobile O1 :
r
dLO1
dt
Ce qui donne :
r
dLO1
dt
) Rg
r r
r dpr
d
= (O1 M ∧ p ) + O1 M ∧
dt
dt
r
r
r
d (O1O + OM ) r r
=
∧ p + M O1 (∑ Fi )
dt
r
r
dOO1 r r r
=−
∧ p + 0 + M O1 (∑ Fi )
dt
i
r
r
r r
) Rg = −v Rg (O1 ) ∧ p + M O1 (∑ Fi )
i
Principe de conservation du moment cinétique, forces centrales et loi des aires :
Quand le moment des forces appliquées à un point matériel par rapport à un point O est nul,
r
r
dLO r
r
= 0 ⇒ L O = cste ; le moment cinétique du point matériel se conserve.
dt
r
r
r
r r
Il faut noter que si M O1 (∑ Fi ) = 0 , soit ∑ Fi = 0
i
i
r
Soit ∑ Fi (la résultante) passe par O.
i
C’est le cas des forces centrales.
Force centrales et loi des de aires :
r
Si une force F passe par un point O, appelé centre des forces, est dite centrale. Le moment de cette force
rapport à O est nul, ce qui donne :
r
dLO r
=0
dt
r
F par
r
r
L O = cste
r r
r
Par définition, L O est toujours perpendiculaire au plan (OM , v ) . Si le moment cinétique est conservé (c'est-àr
r r
dire L O est constant) la trajectoire du point matériel est une courbe dans un plan (OM , v ) fixe.
et
Calculons maintenant l’aire balayée entre deux instants t et t+dt. D’après la figure ci-contre, l’aire du triangle de
hauteur ρ et de de base ρdθ donne:
10
Phys 1, mécanique du point matériel : Pr. Badis Bennecer
ds 1 2 dθ 1 2 .
= ρ
= ρ θ
dt 2
dt 2
r
k
r
LO
O
M’
dθ
ρ
M
r
Le moment cinétique est donné par : L O = mρ
2
.
r
θk
, alors
ds 1 2 . 1 LO
= ρ θ=
; S’appelle la vitesse aréolaire qui est constante.
dt 2
2 m
Ce résultat indique que le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des temps égaux. C’est ce qui se passe
avec les planètes, la force d’attraction qui agit sur les planètes est toujours dirigée vers le soleil (force centrale).
Donc leur trajectoire est plane et leur mouvement obéit au li des aires.
III-9 : Principe fondamental dans un repère non galiléen
La loi de composition de l’accélération (voir chapitre II) permet d’exprimer le vecteur accélération
D’un point matériel M dans R1 (non galiléen) au vecteur accélération
quelconque.
r
r
r
r
r
γ / R (M )
1
γ / R ( M ) dans un repère galiléen
1
r
γ / R (M ) = γ / R (M ) − γ e − γ c
1
avec
r
γe =
et
r
dv01
dt
)R +
r
dΩ R1 / R
dt
r
r r
r
r
∧ O1 M + Ω R1 / R ∧ (Ω R1 / R ∧ O1 M )
r
r
γ c = 2Ω R / R ∧ v r
1
Le principe fondamental de la dynamique dans R1 s’écrit :
r
r
r
r
mγ / R1 ( M ) = mγ / R ( M ) − mγ e − mγ c
r
r
r
r
mγ / R1 ( M ) = F − mγ e − mγ c
r
F est la force qui agit sur le point matériel M. Donc dans R1 , il s’introduit deux termes supplémentaires :
r
− mγ e : la force d’inertie d’entraînement
r
− mγ c : : la force d’inertie de Coriolis
où
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