Nombres relatifs : somme et différences

Nombres relatifs : somme et différences, succession d'opérations
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I. Activité d’introduction : Le carré magique
Un carré est dit magique lorsque la somme des nombres sur chaque colonne, chaque
ligne ou chaque diagonale est égale.
Carré n°1
Carré n°2
Carré n°3
Carré n°4
8
1
6
18
3
24
2
7
0
19
4
7
3
5
7
21
15
9
1
3
5
-2
10
22
4
9
2
6
27
12
6
-1
4
13
16
1
Somme = 15
Somme = 45
Somme = 9
Somme = 30
Pour obtenir le nombre -1 au carré n°3 :
7 + 3 + … = 9 10 + … = 9 … = 9 – 10 = (9 – 9) – (10 - 9) = 0 – 1
Il a été décidé de noter -1 le nombre : 0 - 1
Pour obtenir le nombre -2 au carré n°4 :
22 + 10 + … = 30
32 + … = 30
… = 30 – 32 = (30 – 30) – (32 - 30) = 0 – 2
Il a été décidé de noter -2 le nombre : 0 - 2
Dans les carrés 3 et 4, on découvre de nouveaux nombres, -1 et -2
Les nombres -1 et -2 sont appelés nombres relatifs négatifs.
Les mathématiques ont donné du sens à la soustraction d’un nombre et d’un nombre plus
grand. Cette idée a donné naissance à la notion de nombre négatif.
II. Nombres décimaux relatifs
1. Définition
Un nombre relatif est formé d’une partie numérique et d’un signe :
 Si le signe est « + » on dit que le nombre est positif.
 Si le signe est « - » on dit que le nombre est négatif.
Les nombres négatifs et les nombres positifs constituent les nombres relatifs
2. Exemple : + 7,12 est un nombre positif
-15,37 est un nombre négatif
3. Convention : Un nombre positif peut s’écrire sans son signe
+6 = 6 +12,1 = 12,1

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III. Nombres opposés
1. Définition
On dit que deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro
2. Exemples
4,7 + … = 0 … = 0 – 4,7 … = -4,7
(-4,7) + 4,7 = 0 donc -4,7 est l’opposé de 4,7
L’opposé de –5,2 est +5,2 ou 5,2
3. Remarques
 Pour obtenir l’opposé d’un nombre, il suffit de changer son signe.
 Le nombre 0 est son propre opposé.
IV. Addition des nombres relatifs
1. Addition de deux nombres relatifs de même signe
1275 
2,82,53 
1275 
3,152,71,8 
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
 On prend le signe commun aux deux nombres.
 On additionne les parties numériques.
2. Addition de deux nombres relatifs de signes contraires
275 
275 
3,45,72,3 
4,99,175,8 
Pour additionner deux nombres relatifs de signe contraires :
 On prend le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique
 On fait la différence des parties numériques.

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V. Soustraction de deux nombres relatifs
6410410 
63939 
77070 
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
VI. Convention d’écriture
 On écrit un nombre positif avec ou sans son signe
(+7) = 7 mais (-7) = -7
 Dans une somme on peut supprimer les signes des additions et les parenthèses et si
le premier terme est positif, on supprime son signe :
7 4 7 4     
2 4 8 2 4 8       
5 4 8 3 7 5 4 8 3 7             
Les expressions simplifiées s’appellent des sommes algébriques
Exemples de calculs de sommes algébriques :
3 7 4 ; 7 3 10 ; 8 4 12 ; 8,5 4,1 12,6            
 Dans une suite d’opérations :
 On transforme toutes les soustractions en additions.
 On supprime les signes + des additions et les parenthèses
 Si le premier nombre est positif, on supprime son signe.
Exemples
 73849
 73849
9112073849 
 15169412
 15169412
24421615169412 
VII. Calculs avec parenthèses
On effectue d’abord les calculs entre parenthèses
Exemples : calculer
7 ( 4 6) (1 5) 3 7 2 ( 4) 7 2 4 9             
(6,5 7,9) (2 3,1) (8 5,4) 1,4 ( 1,1) ( 2,6) 1,4 1,1 2,6 0,1              