Série 7 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Jeudi 07 novembre 2013
EPFL
Série 7 (Corrigé)
Exercice 1
Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc :
a)







0 1 3
1 0



 1 0 4  0 1 
0 1 1
1 1
b)
0 1 2
1 1 2
!
0 1 2
1 1 2
!
1 2


 3 4 
0 1
c)
1 2


 3 4 
0 1
Sol.:
a)
On a
A1 A2
A3 A4
!
B1
B2
!
A1 B1 + A2 B2
A3 B1 + A4 B2
=


!
,
donc
3 4


 5 4 .
1 2
b)

On a
A1 A2 A3

B1


 B2  = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 ,
B3
donc
3 6
4 8
c)
On a
A1
A2
!
B1 B2
A1 B1 A1 B2
A2 B1 A2 B2
=
1
!
,
donc
3 6
4 8
!
.
!
.
Exercice 2
a) Montrer qu’une matrice partitionnée triangulaire inférieure
!
A11 0
A=
,
A21 A22
avec A11 matrice de taille n × n et A22 matrice de taille m × m, est inversible si et
seulement si A11 et A22 sont inversibles.
b) Montrer que les matrices partitionnées
I 0
U=
X I
!
I Y
V =
0 I
et
!
,
où I est la matrice identité n × n, sont toujours inversibles. Donner l’inverse.
Sol.:
a) En utilisant une des charactérisations des matrices inversibles nous déduisons (respectant la forme triangulaire de A)
la matrice A de taille (n + m) × (n + m) est inversible
⇔ la matrice A a n positions pivots dans les n premières lignes
et m positions pivots dans les m dernières lignes
⇔ la matrice A a n positions pivots dans le bloc A11
et m positions pivots dans les m dernières lignes
⇔ la matrice A a n positions pivots situées dans le bloc A11
et m positions pivots situées dans le bloc A22
⇔ A11 de taille n × n, A22 de taille m × m sont inversibles
b) Première partie: U est une matrice partitionnée triangulaire inférieure que l’on a
étudiée dans la partie a) de cet exercice. Comme A11 = A22 = I, la matrice identité
de taille n × n, on déduit directement que U est inversible (comme la matrice identité
est inversible). Calculons encore l’inverse
I 0
X I
!
!
!
!
B1
B2
I 0
B1 B2
!
=
=
,
B3 B4
XB1 + B3 XB2 + B4
0 I
donc on déduit successivement que B1 = I, B2 = 0, B3 = −X et B4 = I. Finalement,
on obtient
!−1
!
I
0
I 0
=
.
X I
−X I
Deuxième partie: Nous observons que V T a la forme de la matrice U étudiée dans la
partie précedente de cet exercice donc
(V
−1 T
T −1
) = (V )
I 0
=
YT I
!−1
!
I
0
=
.
−Y T I
Nous concluons que
V −1
I −Y
=
0 I
2
!
.
Exercice 3
Soient A11 et A22 des matrices carrées.
a) On suppose que A11 est inversible. Déterminer X, Y et S satisfaisant
!
A11 A12
I 0
A=
=
A21 A22
X I
!
A11 0
0 S
!
I Y
0 I
!
,
où le produit matriciel de droite est compatible avec la multiplication par bloc.
b) On suppose que A11 et A sont inversibles. Montrer que S est inversible.
Remarque :
Sol.:
La matrice S est appelée le complément de Schur.
a) Admettons que A11 est une matrice de taille n × n et A22 de taille m × m. Donc, la
matrice A est de taille (m + n) × (m + n), A21 de taille m × n et A12 de taille n × m.
On calcule que
I 0
X I
!
A11 0
0 S
!
I Y
0 I
!
I 0
=
X I
!
A11 A11 Y
0
S
!
!
A11
A11 Y
=
.
XA11 XA11 Y + S
Successivement, on peut déduire que Y est de taille n × m, X de taille m × n et S de
taille m × m. De plus, on remarque que
Y = A−1
11 A12 ,
X = A21 A−1
11 ,
S = A22 − A21 A−1
11 A12 .
b) D’abord, comme A11 est inversible, la décomposition de la partie a) est bien définie.
En utilisant, l’exercice précédent on obtient
!
I
0
I −Y
A
−X I
0 I
!
!
A11 0
=
,
0 S
où la partie gauche de l’équation est un produit de matrices inversibles, donc la partie droite de l’équation est également inversible. Par l’exercice 2, il est pour cela
nécessaire que la matrice S soit inversible.
Exercice 4
i) Calculer le déterminant suivant :
6
0
3
4
0
0
2
3
5
0
1
2
.
0
1
0
1
ii) Calculer les déterminants suivants :
a
b
a
b
a
b
a+b a+b a+b
3
,
a
b
0 a a + b c .
a
b
a iii) Calculer le déterminant des matrices suivantes. Comment le déterminant dépend t-il
de l’angle ϕ ? Pourquoi ?
!
cos ϕ − sin ϕ
A=
sin ϕ cos ϕ



iv) Soit A = 

4 3 0 1
2 1 4 0
4 18 17 23
49 1 72 10






et B = 



0
2
1
3
1 18 0
0 1 0
0 12 0
4 1 18



.

Calculer det (AB).
Sol.:
i) 11. Il est plus simple de développer par rapport à la deuxième ligne.
ii) Premier déterminant: 0 car la troisième ligne est la somme des deux premières, second
déterminant: a3 .
iii) det (A) = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1, est indépendant de l’angle ϕ . Toutes les matrices de
rotation vérifient la propriété det A = 1 (voir aussi l’exercice 5)c)).
iv) det (B) = 0, donc det (AB) = det (A) det (B) = 0.
Exercice 5
Calculer le déterminant des matrices élémentaire suivantes. Indiquer à quelles opérations
élémentaires chaque matrice correspond.


A=


1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
α
0
0
0
1



,



B=


0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



,



C=


α
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



.

Sol.:
|A| = 1, A ajoute à la quatrième ligne la troisième ligne multipliée par α, |B| = −1, B
échange les lignes 1 et 2, |C| = α, C multiplie la première ligne par α.
Exercice 6
Soit A une matrice n×n. Montrer que si deux lignes de A sont identiques, alors det (A) = 0.
Que peut-on dire si deux colonnes sont identiques?
Sol.: Deux lignes de A sont identiques ssi deux colonnes de AT sont identiques. Si deux
colonnes de AT sont les même,
les colonnes sont linéairement dépendantes, ainsi AT
alors
est non inversible, c-à-d det AT = det (A) = 0. On peut donc conclure dans tous les cas
det (A) = 0.
Méthode 2: Échanger deux lignes (ou colonnes) de A multiplie le déterminant de A par −1.
En échangeant deux lignes identiques (ou colonnes) de A, la matrice A ne change pas. On
a donc: det (A) = − det (A). Ainsi det (A) = 0.
4
Exercice 7
Soit




A=
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44



.

a) Calculer les cofacteurs C13 , C31 , C41 , C24 .
b) Développer le déterminant en cofacteurs par rapport à la troisième ligne.
Sol.:
a)
C13 = + 1 · det A13
= + 1 · (−a24 a32 a41 + a22 a34 a41 + a24 a31 a42 − a21 a34 a42 − a22 a31 a44 + a21 a32 a44 ) .
C31 = + 1 · det A31
= + 1 · (−a14 a23 a42 + a13 a24 a42 + a14 a22 a43 − a12 a24 a43 − a13 a22 a44 + a12 a23 a44 ) .
C41 = − 1 · det A41
= − 1 · (−a14 a23 a32 + a13 a24 a32 + a14 a22 a33 − a12 a24 a33 − a13 a22 a34 + a12 a23 a34 ) .
C24 = + 1 · det A24
= + 1 · (−a13 a32 a41 + a12 a33 a41 + a13 a31 a42 − a11 a33 a42 − a12 a31 a43 + a11 a32 a43 ) .
b)
det (A) =a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 + a34 C34
= + a31 det A31 − a32 det A32 + a33 det A33 − a34 det A34 .
Exercice 8
Montrer:
a) Si A est une matrice inversible, alors det (A−1 ) =
1
.
det A
b) Si A et Q sont des matrices inversibles de taille n × n alors det (QAQ−1 ) = det A.
c) Si U est une matrice carrée telle que U T U = I alors det U = ±1.
d) Si A est une matrice carrée telle que det (A3 ) = 0 alors A est non inversible.
Sol.:
a) Soit I la matrice identité de taille n × n. Alors 1 = det I = det (A−1 A) = (det A−1 ) ·
(det A). Ainsi det A−1 = det1 A .
b) C’est une conséquence de a):
det QAQ−1 = (det Q) · (det A) · det Q−1 = (det Q) · (det A) ·
5
1
= det A.
det Q
c) (De telle matrices
U s’appellent des matrices orthogonales). On a 1 = det (I) =
det U T U = det U T det (U ) = det (U )2 . Ainsi (det U )2 = 1 d’où det U = ±1.
d) On a det (A3 ) = (det A)3 . Ainsi (det A)3 = 0 ssi det A = 0 ce qui équivaut au fait
que la matrice A est non inversible.
Exercice 9 (preuve du Thm. 1 Sect. 3.2 du cours)
Soit A une matrice carrée de taille n et E une matrice élémentaire de taille n. Montrer
det (EA) = det E · det A, où


1





si E est l’operation "addition sur une ligne de
A un multiple d’une autre ligne de A”;
det E =


−1 si E permute deux lignes de A;




α
si E multiplie une ligne de A par α.
Sol.:
On démontre le théoreme par récurrence
! sur la taille de la matrice. On vérifie d’abord
a b
le résultat pour une matrice A =
de taille 2 × 2. Les matrices élémentaires sont
c d
E1 =
0 1
1 0
!
, E2 =
1 0
0 α
!
, E3 =
α 0
0 1
!
, E4 =
1 α
0 1
!
, E5 =
1 0
α 1
!
.
!
c d
On calcule: det (E1 A) = det
= cb−ad = − det A. On vérifie de manière similaire
a b
le résultat pour les autres matrices élémentaires E2 , . . . , E5 .
On suppose que le résultat est vrai pour des matrices de taille k × k où k ≥ 2. Soit
n = k + 1 et A une matrice carrée de taille n. L’opération associée à E modifie au plus
deux lignes de la matrice A. Comme n ≥ 3, il existe une ligne i de A qui n’est pas modifiée
par l’opération E.
On note Aij la matrice obtenue à partir de A en supprimant la ligne i et la colonne j,
et de même, on note Bij la matrice obtenue à partir de EA en supprimant la ligne i et la
colonne j. On développe en cofacteurs le déterminant de la matrice EA par rapport à la
ligne i:
det(EA) = ai1 (−1)i+1 det Bi1 + ... + ain (−1)i+n det Bin
On observe que la matrice Bij s’obtient à partir de Aij en effectuant une opération élémentaire. Par hypothèse de récurrence, on a donc det Bij = ζ det Aij , avec ζ = 1, −1 ou α
respectivement selon la matrice E. Ainsi,
det(EA) = ζai1 (−1)i+1 det Ai1 + ... + ζain (−1)i+n det Ain
= ζ det A.
En prenant en particulier A = In , on obtient det E = −1, 1 ou α respectivement. Le résultat
det(EA) = det E · det A est donc démontré pour des matrices de taille n, ce qui achève la
démonstration par récurrence.
6
Exercice 10
Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant la règle de Cramer:
a)
x1 − 2x2 + x3 =
0
2x2 − 8x3 =
8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
b)
x1 + 4x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 + x3 = 2
3x1 + 7x2 + 2x3 = 1
Sol.:
a) On écrit le système linéaire sous la forme Ax = b. On a det A = 2, donc le système possède une unique solution, que l’on calcule de la façon suivante. Les trois
i (b)|
, où Ai (b) est la matrice de taille 3 × 3
composantes xi sont données par xi = |A|A|
obtenue à partir de A en remplaçant la ième colonne
 deA par le vecteur b.
29


58
32
6
On obtient x1 = 2 , x2 = 2 et x3 = 2 . D’où x =  16  .
3
b) On procède de la même manière. Cependant, det A = 0, donc la matrice est non
inversible et la règle de Cramer ne peut pas être appliquée.
Exercice 11
i) Montrer que si A est une matrice de taille 2 × 2, alors l’aire du parallélogramme
déterminé par les colonnes de A est égale à | det A|.
Indication: Faire des opérations sur les colonnes de A (ou les lignes de AT ).
ii) Soit a1 et a2 deux vecteurs non nuls de R2 . Montrer que l’aire du parallélogramme
délimité par les vecteurs a1 et a2 est la même que l’aire du parallélogramme délimité
par a1 et a2 + c · a1 , où c ∈ R est un scalaire.
Sol.:
!
a 0
i) Pour une matrice diagonale de taille 2 × 2 de la forme à = (u, v) =
0 d
on a det à = |ad| et |ad| est clairement l’aire du rectangle associé. Alors on doit
démontrer qu’on peut transformer toutes les matrices A de taille 2 × 2 en une matrice
diagonale sans changer l’aire du parallélogramme associé ou |det A|. On sait que
les opérations élémentaires utilisées pour transformer A en une matrice diagonale
(opérations de types I et II) ne changent pas |det A|. Il suffit donc de démontrer
l’assertion de la question ii).
7
ii) L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur. Les parallélogrammes ont la même base et une hauteur identique, donc la même aire:
a2+ca1
a2
a1
Exercice 12
a) Montrer que l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, a0 +a1 t+...+an tn ,
où a0 , ..., an ∈ R est un espace vectoriel.
b) Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients réels est un espace vectoriel.
c) Montrer que l’ensemble des polynômes de degré 2 n’est pas un espace vectoriel.
d) Montrer que l’ensemble des suites (..., y−3 , y−2 , y−1 , y0 , y1 , y2 , ...) avec yk ∈ R muni de
l’addition et la multiplication par un scalaire (comme définies en cours) est un espace
vectoriel.
e) Montrer que l’espace vectoriel défini en a) et b) est un sous-espace vectoriel de l’espace
des fonctions f : R → R muni de l’addition et la multiplication par un scalaire (comme
définies en cours).
f) Montrer que C (R) est un espace vectoriel (muni de l’addition et la multiplication par
un scalaire, comme définies en cours).
g) Montrer que C 1 (R) = {f : R → R, f est dérivable de dérivée continue} est un sousespace vectoriel de C (R) (muni de l’addition et la multiplication par un scalaire,
comme définies en cours).
Sol.:
Un espace vectoriel réel est un ensemble non vide V d’objets (appelés vecteurs) sur
lesquels sont définies deux opérations: l’addition
V ×V → V
(u, v) 7→ u + v
et la multiplication par un scalaire
R×V → V
(a, u) 7→ au.
Ces deux opérations doivent satisfaire les axiomes suivants pour tout u, v, w ∈ V et
c, d ∈ R.
8
1. u + v = v + u
2. (u + v) + w = u + (v + w)
3. Il existe un élément zéro 0 dans V tel que u + 0 = u pour tout u
4. Il existe un élément −u ∈ V tel que u + (−u) = 0
5. c (u + v) = cu + cv
6. (c + d) u = cu + du
7. c (du) = (cd) u
8. 1u = u.
a) On doit vérifier les 8 axiomes ci-dessus.
Pour l’addition, on considère deux polynômes u et v donnés par a0 + a1 t + ... + an tn
et b0 + b1 t + ... + bn tn . Alors u + v = (a0 + a1 t + ... + an tn ) + (b0 + b1 t + ... + bn tn ) =
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) t + ... + (an + bn ) tn ce qui est bien un polynôme de degré ≤ n.
L’élément zéro de l’axiome 3 est donné par le polynôme nul u ≡ 0 (c-à-d u = 0 ∀x).
Les autres propriétés s’obtiennent de la même manière par calcul direct.
Note: Par convention, le degré du polynôme nul est −∞, (ceci pour avoir la propriété
degré(ab) = degré(a) + degré(b)).
b) On doit de nouveau montrer que les 8 axiomes ci-dessus sont vérifiés.
Pour l’addition, on considère deux polynômes u et v donnés par a0 + a1 t + ... et
b0 +b1 t+.... Alors u+v = (a0 + a1 t + ...)+(b0 + b1 t + ...) = (a0 + b0 )+(a1 + b1 ) t+...
qui est de la même forme que u et donc un polynôme à coefficients réels.
L’élément zéro de l’axiome 3 est donné par le polynôme nul u ≡ 0. Les autres propriétés s’obtiennent de la même manière par calcul direct.
c) Il suffit de montrer qu’on moins un des 8 axiomes ci-dessus n’est pas vérifié.
L’élément zéro devrait être le polynôme nul u ≡ 0, qui n’est pas un polynôme de degré
2, et donc n’appartient pas à l’espace, ce qui contredit l’axiome 3.
Autre solutions. Montrons que l’addition n’est pas à valeurs dans V (on dit que
l’ensemble n’est pas fermé par addition). On considère deux polynômes u et v de degrés 2 donnés par a0 + a1 t + a2 t2 et b0 + b1 t + b2 t2 . L’ensemble de ces polynômes n’est
pas fermé par addition, comme le montre l’exemple suivant: le polynôme
x + x2 + x − x2 = 2x
est un polynôme de degré 1 et non 2 et par conséquent il n’appartient pas à l’espace.
d) On doit à nouveau vérifier les 8 axiomes ci-dessus.
Pour l’addition, on considère deux suites u := (..., y−1 , y0 , y1 , ...) et v := (..., z−1 , z0 , z1 , ...).
Alors u+v = (..., y−1 , y0 , y1 , ...)+(..., z−1 , z0 , z1 , ...) = (..., y−1 + z−1 , y0 + z0 , y1 + z1 , ...)
qui est une suite de la même forme que u et v. L’élément zéro est donné par la suite
nulle v := (..., 0, 0, 0, ...). L’opposé de u est −u := (..., −y−1 , −y0 , −y1 , ...). Les autres
axiomes s’obtiennent immédiatement avec la même technique.
9
e) Un sous-ensemble H d’un espace vectoriel V est un sous-espace vectoriel si les propriétés suivantes sont vérifiées
i) Le vecteur nul de V est dans H.
ii) H est fermé pour la addition. C-à-d, pour tout u et v dans H, la somme u + v
est dans H.
iii) H est fermé pour la multiplication par un scalaire. C-à-d pour tout u ∈ H et
c ∈ R le vecteur cu est dans H.
D’abord, l’espace des fonctions polynomiales est un sous-ensemble de l’espace des
fonctions. Ensuite, on doit vérifier la propriété i), les autres propriétés ii) et iii)
ayant déjà été vérifiées. L’élément zéro de l’espace des fonctions f : R → R est
donné par la fonction nulle f ≡ 0, qui peut être vue comme le polynôme nul, qui
appartient bien à l’espace des polynômes.
f) On doit encore vérifier les 8 axiomes. Par le cours d’analyse, on sait que la somme
de deux fonctions continues est continue, de même pour le produit d’une fonction
continue par un scalaire. L’élément nul est donné par la fonction nulle f ≡ 0 qui est
bien continue, et les autres axiomes sont vérifiés de la même manière.
g) On doit encore vérifier les propriétés énoncées au e).
i) Le vecteur nul de C (R) est donné par la fonction nulle f ≡ 0, qui est différentiable et donc aussi dans C 1 (R).
ii) H est fermé pour l’addition. On sait par le cours d’analyse que la somme de
deux fonctions de C 1 (R) est encore dans C 1 (R).
iii) De même, H est fermé pour la multiplication par un scalaire.
Exercice 13
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
(a) Si B est obtenue en intervertissant deux lignes de A, alors det B = det A.
(b) Si les colonnes de A sont linéairement dépendantes, alors det A = 0.
(c) Le déterminant de A est le produit des éléments diagonaux de A.
(d) Soit A une matrice carrée telle que det(A13 ) = 0. Alors A est inversible.
Sol.: Vrai: (b). Faux: (a), (c), (d).
Exercice 14
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
(a) Si deux lignes d’une matrice de taille 7 × 7 sont les mêmes, alors det A = 0.
(b) Si A est une matrice carrée dont le déterminant vaut 2, alors det(A3 ) = 6.
10
(c) Si A et B sont des matrices de taille n × n telles que det A = 2 et det B = 5, alors
det(A + B) = 7.
(d) Si A est une matrice carrée triangulaire inférieure, alors A est inversible.
Sol.: Vrai: (a). Faux: (b), (c), (d).
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: D.C. Lay. Algèbre linéaire : théorie,
exercices et applications. De Boeck, Bruxelles, 2005.
11