Série 7 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 7 (Corrigé)
Exercice 1
Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc :
a)
0 1 3
1 0 4
0 1 1 
1 0
0 1
1 1 
b)
012
112!
1 2
3 4
0 1 
c)
0 1 2
1 1 2 !
1 2
3 4
0 1 
Sol.:
a)
On a A1A2
A3A4! B1 B2!= A1B1+A2B2 A3B1+A4B2!,donc 
3 4
5 4
1 2 
.
b)
On a A1A2A3
B1
B2
B3
=A1B1+A2B2+A3B3,donc 3 6
4 8 !.
c)
On a A1
A2!B1B2= A1B1A1B2 A2B1A2B2!,donc 3 6 4 8 !.
1

Exercice 2
a) Montrer qu’une matrice partitionnée triangulaire inférieure
A= A11 0
A21 A22!,
avec A11 matrice de taille n×net A22 matrice de taille m×m, est inversible si et
seulement si A11 et A22 sont inversibles.
b) Montrer que les matrices partitionnées
U= I0
X I!et V= I Y 0I!,
où Iest la matrice identité n×n, sont toujours inversibles. Donner l’inverse.
Sol.:
a) En utilisant une des charactérisations des matrices inversibles nous déduisons (re-
spectant la forme triangulaire de A)
la matrice Ade taille (n+m)×(n+m)est inversible
⇔la matrice Aanpositions pivots dans les npremières lignes
et mpositions pivots dans les mdernières lignes
⇔la matrice Aanpositions pivots dans le bloc A11
et mpositions pivots dans les mdernières lignes
⇔la matrice Aanpositions pivots situées dans le bloc A11
et mpositions pivots situées dans le bloc A22
⇔A11 de taille n×n, A22 de taille m×msont inversibles
b) Première partie: Uest une matrice partitionnée triangulaire inférieure que l’on a
étudiée dans la partie a) de cet exercice. Comme A11 =A22 =I, la matrice identité
de taille n×n, on déduit directement que Uest inversible (comme la matrice identité
est inversible). Calculons encore l’inverse
I0
X I! B1B2 B3B4!= B1B2 XB1+B3XB2+B4!!
= I0
0I!,
donc on déduit successivement que B1=I,B2= 0,B3=−Xet B4=I. Finalement,
on obtient I0
X I!−1
= I0
−X I!.
Deuxième partie: Nous observons que VTa la forme de la matrice Uétudiée dans la
partie précedente de cet exercice donc
(V−1)T= (VT)−1= I0
YTI!−1
= I0
−YTI!.
Nous concluons que
V−1= I−Y
0I!.
2

Exercice 3
Soient A11 et A22 des matrices carrées.
a) On suppose que A11 est inversible. Déterminer X, Y et Ssatisfaisant
A= A11 A12
A21 A22!= I0 X I! A11 0 0S! I Y 0I!,
où le produit matriciel de droite est compatible avec la multiplication par bloc.
b) On suppose que A11 et Asont inversibles. Montrer que Sest inversible.
Remarque : La matrice Sest appelée le complément de Schur.
Sol.:
a) Admettons que A11 est une matrice de taille n×net A22 de taille m×m. Donc, la
matrice Aest de taille (m+n)×(m+n),A21 de taille m×net A12 de taille n×m.
On calcule que
I0
X I! A11 0 0S! I Y 0I!= I0 X I! A11 A11Y 0S!= A11 A11Y XA11 XA11Y+S!.
Successivement, on peut déduire que Yest de taille n×m,Xde taille m×net Sde
taille m×m. De plus, on remarque que
Y=A−1
11 A12, X =A21A−1 11 , S =A22 −A21A−1 11 A12.
b) D’abord, comme A11 est inversible, la décomposition de la partie a) est bien définie.
En utilisant, l’exercice précédent on obtient
I0
−X I!A I−Y 0I!= A11 0 0S!,
où la partie gauche de l’équation est un produit de matrices inversibles, donc la par-
tie droite de l’équation est également inversible. Par l’exercice 2, il est pour cela
nécessaire que la matrice Ssoit inversible.
Exercice 4
i) Calculer le déterminant suivant :
6 0 5 0
0 0 0 1
3 2 1 0
4 3 2 1
.
ii) Calculer les déterminants suivants :
a b a
b a b
a+b a +b a +b
,
a b 0
a a +b c
a b a
.
3

iii) Calculer le déterminant des matrices suivantes. Comment le déterminant dépend t-il
de l’angle ϕ? Pourquoi ?
A= cos ϕ−sin ϕ
sin ϕcos ϕ!
iv) Soit A=
4301
2140
4 18 17 23
49 1 72 10
et B=
0 1 18 0
2 0 1 0
1 0 1
20
3 4 1 18
. Calculer det (AB).
Sol.:
i) 11. Il est plus simple de développer par rapport à la deuxième ligne.
ii) Premier déterminant: 0 car la troisième ligne est la somme des deux premières, second
déterminant: a3.
iii) det (A) = cos2ϕ+ sin2ϕ= 1, est indépendant de l’angle ϕ. Toutes les matrices de
rotation vérifient la propriété det A= 1 (voir aussi l’exercice 5)c)).
iv) det (B) = 0, donc det (AB) = det (A) det (B)=0.
Exercice 5
Calculer le déterminant des matrices élémentaire suivantes. Indiquer à quelles opérations
élémentaires chaque matrice correspond.
A=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 α1
, B =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, C =
α0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
Sol.:
|A|= 1,Aajoute à la quatrième ligne la troisième ligne multipliée par α,|B|=−1,B
échange les lignes 1et 2,|C|=α,Cmultiplie la première ligne par α.
Exercice 6
Soit Aune matrice n×n. Montrer que si deux lignes de Asont identiques, alors det (A)=0.
Que peut-on dire si deux colonnes sont identiques?
Sol.: Deux lignes de Asont identiques ssi deux colonnes de ATsont identiques. Si deux
colonnes de ATsont les même, alors les colonnes sont linéairement dépendantes, ainsi AT
est non inversible, c-à-d det AT= det (A) = 0. On peut donc conclure dans tous les cas
det (A)=0.
Méthode 2: Échanger deux lignes (ou colonnes) de Amultiplie le déterminant de Apar −1.
En échangeant deux lignes identiques (ou colonnes) de A, la matrice Ane change pas. On
a donc: det (A) = −det (A). Ainsi det (A)=0.
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Exercice 7
Soit
A=
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
.
a) Calculer les cofacteurs C13, C31, C41, C24.
b) Développer le déterminant en cofacteurs par rapport à la troisième ligne.
Sol.:
a)
C13 =+1·det A13
=+1·(−a24a32a41 +a22a34a41 +a24a31a42 −a21a34a42 −a22a31a44 +a21a32a44).
C31 =+1·det A31
=+1·(−a14a23a42 +a13a24a42 +a14a22a43 −a12a24a43 −a13a22a44 +a12a23a44).
C41 =−1·det A41
=−1·(−a14a23a32 +a13a24a32 +a14a22a33 −a12a24a33 −a13a22a34 +a12a23a34).
C24 =+1·det A24
=+1·(−a13a32a41 +a12a33a41 +a13a31a42 −a11a33a42 −a12a31a43 +a11a32a43).
b)
det (A) =a31C31 +a32C32 +a33C33 +a34C34
= + a31 det A31 −a32 det A32 +a33 det A33 −a34 det A34.
Exercice 8
Montrer:
a) Si Aest une matrice inversible, alors det (A−1) = 1
det A.
b) Si Aet Qsont des matrices inversibles de taille n×nalors det (QAQ−1) = det A.
c) Si Uest une matrice carrée telle que UTU=Ialors det U=±1.
d) Si Aest une matrice carrée telle que det (A3) = 0 alors Aest non inversible.
Sol.:
a) Soit Ila matrice identité de taille n×n. Alors 1 = det I= det (A−1A) = (det A−1)·
(det A). Ainsi det A−1=1
det A.
b) C’est une conséquence de a):
det QAQ−1= (det Q)·(det A)·det Q−1= (det Q)·(det A)·1
det Q= det A.
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