Aide mémoire NUMERATION de la 6ème à la 3ème

A i de mé mo i r e N U M E R A T IO N de la 6 è m e à l a 3 è m e
divisibilité
___________________________________________________________________
Un nombre est divisible par un autre quand le reste de la division est nulle.
450 = 45 × 10 + 0
 450 est divisible par 10 et 10 est un diviseur de 450
par 2 Un nombre entier est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 468 = 234 × 2 + 0
par 5 Un nombre entier est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5
625 = 105 × 5 + 0
par 3 Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
4236:
4 + 2 + 3 + 6 = 15
15 = 5 × 3 + 0
par 9 Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
6 408:
6 + 4 + 0 + 8 = 18
18 = 2 × 9 + 0
par 4 Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est
divisible par 4
5 736:
36 = 9 × 4 + 0
chiffres et nombres
→0
,
1
,2
,
3
,4
,
5
,6
,
7
,8e
t9s
o
n
tde
sc
h
i
f
f
r
e
s
.
→ Oné
c
r
i
tde
snombr
e
sà l'aide des chiffres (5 698).
les opérations
enchaînement d'opérations:
opération
addition
soustraction
multiplication
division
addition
signe
+


ou :
commutativité:
soustraction
résultat
action
somme
ajouter des termes
différence
soustraire des termes
produit
multiplier des facteurs
quotient avec un reste (= diviser un dividende par un
diviseur
ou de 0)
a+b = b+a
a+0=a
3+5=5+3=8
3+0=3
a –b = c  b + c = a
5 –2 = 3  2 + 3 = 5
multiplication
0 × a = 0 et a × 0 = a
1 × a = a et a × 1 = a
communtativité a × b = b × a
associativité
(a × b) × c = a × (b × c)
0 × 5 = 0 et 5 × 0 = 0
1 × 3 = 3 et 3 × 1 = 3
3×2=2×3=6
(3 × 2) × 5 = 6 × 5 = 3 × (2 × 5) = 3 × 10 = 30
Pour calculer une expression avec ( ), on effectue d'abord les calculs entre ( ) en commençant par
les ( ) les plus intérieures. Les calculs entre ( ) sont prioritaires.
A = ( 8 × 3 ) : [ ( 6 –4 ) × 3 ] = 24 : [ 2 × 3 ] = 24 : 6 = 4
Calculer une expression avec quotient revient à calculer une expression avec ( ).
10+5
B =
= ( 10 + 5 ) : 5 = 15 : 5 = 3
5
On calcule une expression sans ( ) avec additions et soustractions de la gauche vers la droite.
C = 15 –7 –6 + 5 = 8 –6 + 5 = 2 + 5 = 7
On calcule une expression sans ( ) avec multiplications et divisions de la gauche vers la droite.
D = 15 : 3 × 8 : 2 = 5 × 8 : 2 = 40 : 2 = 20
Por calculer une expression sans ( ), on effectue d'abord les multiplications et les divisions.
E = 6 : 3 + 5 × 2 –1 = 2 + 10 –1 = 12 –1= 11
quotient:
Soient a et b deux nombres avec b 0
Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
numérateur
a
22
On note a : b ou
écriture fractionnaire
22 : 4 =
= 5,5
b
4
dénominateur
a
= a:b
b
alors
Si
24
= 24 : 2
2
= nombre entier,
a est un multiple de b
a est divisible par b
b est un diviseur de a
24 est un multiple de 2
24 est divisible par 2
2 est un diviseur de 24
nombres décimaux:
→ L'
é
c
r
i
t
u
r
eà virgule d'un nombre s'appelle son écriture décimale.
56,98
partie entière , partie décimale (nombre fini de chiffres non nul)
→u
nno
mbr
ee
n
t
i
e
re
s
tu
nno
mbr
edé
c
i
ma
ldo
ntl
apa
r
t
i
edé
c
i
ma
l
ee
s
tnulle: 175 = 175,0000
Pr ► Onn
ec
h
a
ng
ep
a
sunnombr
ed
é
c
i
ma
ls
io
na
j
o
u
t
eo
us
io
ne
nl
ève:
» des 0 avant la partie entière: 00,58 = 0,58 050,56 = 50,56
» des 0 après la partie décimale: 67,800 = 67,8 5,00 = 5
→ Ler
a
ngde
sc
h
i
f
f
r
e
sd
'
u
nno
mbr
edé
c
i
mal est la position qu'il occupe par rapport à la virgule
comparaison de nombres
Partie entière
Partie décimale
,
Classe des
millions
Classe
des mille
Classe
des
unités
,
dixième
centième
c d u
c d u
c d u
,
2 0
3 2 7
8 6 0
,
4
0
5 6
,
9
8
millième
dixmillième
"a est inférieur à b"
"a est égal à b"
8 < 12
12 = 8
♣ <
♣ =♣
a>b
"a est supérieur à b"
12 > 8
♣> ♣
» nombres décimaux:
172,3859
2
→ Éc
r
i
t
ur
ef
r
a
c
t
i
o
n
n
a
i
r
ed'
u
nno
mb
r
edé
c
i
ma
l
:
Le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000, 10 000, ...) et le numérateur n'a pas
de virgule.
56,98 =
♣
a<b
a=b
172,3837
>
partie identique
5 698
100
5 > 3
rangement de nombres
Pr ► Unn
ombr
edé
c
i
ma
la
dme
tpl
us
i
e
ur
sé
c
r
i
t
ures fractionnaires:
56,98 =
ordre croissant = du plus petit au plus grand: 3 < 6 < 78 < 189
ordre décroissant = du plus grand au plus petit: 45,6 > 6,89 > 5
5 698 56 980 569 800
=
=
...
100
1 000
10 000
encadrement de nombres
→ Dé
c
ompo
s
i
t
i
o
n:
Encadrer un nombre: écrire ce nombre entre deux valeurs, l'une inférieurs, l'autre supérieure.
23 < 28,56 < 54
Intercaler un nombre entre deux nombres a et b, c'est trouver un nombre entre a et b.entre 2,8 et 2,9 [on
peut avoir 2,8 < 2,87 < 2,9]
56,98 = (5 × 10) + (6 × 1) + (9 × 0,1) + (8 × 0,01)
= 50 + 6 +
9
8
+
10 100
valeur approchée
Valeur approchée:
26 < 26,343 < 27
demi-droite graduée
26 < 26,343 < 27
origine:
A
B
C
26,3 < 26,343 < 26,4
c'est 26
c'est 27
c'est 26,3
c'est 26,4
par défaut
par excès
par défaut
par excès
à l'unité près.
à l'unité près.
au dixième près.
au dixième près.
troncature
0
1
3
sens →
On supprime tout ce qui se trouve après la virgule :
3,63 → 3
,
63 → 3
unité de longueur
Pr ► Un point est repéré par un nombre appelé son abscisse. (C a pour abscisse 3)
A chaque nombre (abscisse) correspond un point.
arrondi :
L’
a
r
r
o
nd
ia
udi
x
i
è
me
,
c
’
e
s
tl
eno
mbr
eàu
ns
e
ulc
h
i
f
f
r
ea
pr
è
sl
av
i
r
g
ul
el
epl
uspr
o
c
he
.
arrondi au dixième de 3,63 → 3
,
6
3 → 3
,
6
multiplier par:
× 10
× 100
× 1000
× 0,1
× 0,01
× 0,001
→
→
→
→
→
→
1 rangs vers la droite
2 rangs vers la droite
3 rangs vers la droite
1 rang vers la gauche
2 rangs vers la gauche
3 rangs vers la gauche
a
division euclidienne
=
q
×
0,54 × 10
0,54 × 100
0,54 × 1000
0,54 × 0,1
0,54 × 0,01
0,54 × 0,001
b + r
=
=
=
=
=
=
5,4
54
540
0,54
0,054
0,0054
avec r < b
dividende = quotient entier × diviseur + reste avec reste < diviseur
420 =
17
× 24 + 12 avec 12 < 24
division
Soit a un nombre décimal et b un nombre entier non nul.
On appelle quotient de a par b le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Le quotient de a par b se note a : b et correspond au résultat de la division de a par b.
On a ( a : b) × b = a
22,41 × 2 = 44,82 donc 44,82 : 2 = 22,41
et
( 44,82 : 2 ) × 2 = 22,41 × 2 = 44,82
On peut toujours déterminer une fraction égale au quotient de deux nombres décimaux:
3,5
3,5 x 2
7
=
=
6
6x2
12
Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par une fraction:
3
3
J'ai colorié les des 100 cartes de Noël:
× 100 (= 75)
4
4
Pour multiplier la fraction
a
× c
b
a
par c, on peut:
b
15
× 7 = 3 × 7 = 21
5
105
a x c 15 x 7
=
= 21
b
5
5
Pour diviser un nombre par 10, on le multiplie par 0,1
Pour diviser un nombre par 100, on le multiplie par 0,01
15
7
c
× a
× 7 = × 15 = 1,4 × 15 = 21
b
5
5
630 : 10 = 630 × 0,1 = 63
630 : 100 = 630 × 0,01 = 6,3
ordre de grandeur
Pour prévoir un résultat ou vérifier le résultat d'une opération sans calculatrice
234,7 + 78,7 + 987,654 ≈2
3
0+ 80 + 1000 ≈1
3
1
0
21,68 × 60,98 ≈ 2
0× 6
0≈ 12
0
0
simplification
a
axk
=
b
bxk
2 2 x 5 10
=
=
3 3 x 5 15
a
a÷k
=
b
b÷k
fraction
fraction irréductible: on ne peut plus simplifier
Soit a et b deux nombres, avec b 0, le quotient a : b peut s'écrire
a
b
20
20 ÷ 5
4
=
=
35
35 ÷ 5
7
si a et b sont entiers, on a une fraction.
a
écriture fractionnaire
b
22
3,5
est une fraction.
n'est pas une fraction.
4
7
Une fraction est un quotient de deux nombres entiers:
3
8
Si k 0, alors
même dénominateur, on compare les numérateurs:
13
34
<
51
51
ou
34 13
>
51 51
même numérateur, ordre inverse des dénominateurs:
71
71
<
23
70
ou
71
71
<
70
23
addition:
a numérateur
a
b
b dénominateur
Pr ► Si k 0, alors
comparaison:
a
b
a+b
+
=
c
c
c
soustraction
2 4
2+4
6
+ =
=
5 5
5
5
a b
a-b
=
c c
c
7 3
7-3
4
- =
=
5 5
5
5
a
axk
=
b
bxk
3
3x5
15
=
=
2
2x5
10
(Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire qui n'ont pas le même
dénominateur, on doit d'abord les réduire au même dénominateur).
a
a÷k
=
b
b÷k
12
12 ÷ 4
3
=
=
8
8÷4
2
fraction d'un nombre: a ×
Pr ► Simplifier une fraction, c'est donner une fraction égale avec un numérateur et un
dénominateur plus petits.
48
6x8
6
=
=
56
7x8
7
b
axb
=
c
c
Les deux tiers des 24 élèves:
multiplication:
a
c
axc
×
=
b
d
bxd
3
2
3x2
6
× =
=
4
3
4x3
12
2
2 x 24 48
× 24 =
=
= 16
3
3
3
Puissance d'un nombre relatif:
Réduire au même dénominateur:
an = a × a × a × ....... × a se lit "a puissance n" ou "a exposant n"
a
c
et
On cherche un nombre multiple de b et d
b
d
3
5
et
4
6
Notations:
Somme de nombres en écriture fractionnaire:
même dénominateur:
a b a+b
+ =
c c
c
a5 = a × a × a × a × a
n fois
3 3x3 9
5 5x2 10
=
=
et =
=
4 4x3 12
6 6x2 12
12 = 4×3 et 6×2
3 5 3+5 8
+ =
=
4 4
4
4
a × a = a²
" a au carré "
3 × 3 = 3² = 9
a × a × a = a3
" a au cube "
5 × 5 × 5 = 53 = 125
dénominateurs différents: on réduit d'abord au même dénominateur:
L'inverse de a c'est a-1
3 5
9 10 9 + 10
19
+ =
+
=
=
4 6
12 12
12
12
L'inverse de an c'est a-n =
Inverse d'un nombre relatif 0:
L'inverse de a, c'est
l'inverse de -7 est
a × a-1 = a ×
1
an
an × a-n
1
= 1
a
= an ×
3² × 3-2 = 3² ×
1
1
car a × = 1
a
a
1
1 -7x1
-7
car -7 × =
=
= 1
-7
-7
-7
7
a1 = a
31 = 3
a0 = 1
30 = 1
3 et 3-1 3 ×
1
= 1
3
1
= 1
an
1
1
= 9 ×
= 1
3²
9
a
b
a b
L'inverse de , c'est car × = 1
b
a
b a
2
3
2 3 2x3 6
l'inverse de , c'est car × =
= =1
3
2
3 2 3x2 6
Quotient de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
an × am = an+m
3²
3×3
3×3
9
an
= an-m
am
35
= 35-2 = 33 = 3×3×3 = 27
32
a c a d
: = ×
b d b c
4 3 4 4 4 x 4 16
: = × =
=
7 4 7 3 7 x 3 21
Calculer un quotient en simplifiant:
5 4 5x4 5x2x2
× =
=
=
6 7 6x7 2x3x7
32+3
35
3×3×3×3×3
243
243
Puissances de 10:
a
est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
b
3
est irréductible car PGCD ( 3 ; 4 ) = 1
4
Simplifier:
=
=
=
=
=
35
3x3x3x3x3
=
= 3×3×3 = 33 = 35 -2 = 27
32
3x3
5 x 2 x 2 10
=
2 x 3 x 7 21
Fractions irréductibles:
Une fraction
×
33
× 3×3×3
× 3×3×3
×
27
243
60 5 x 3 x 4 4
4
=
=
PGCD ( 4 ; 3 ) = 1 donc est irréductible.
45 5 x 3 x 3 3
3
10n = 10×10×10× ..... ×10
n fois
=
1000....0
105 = 100 000
n chiffres 0
L' i n v e r s e d e 1 0 n c ' e s t 1 0 - n e t 1 0 - n =
1
= 0,0000...1
10n
1
= 0,00001
105
n décimales
Nombres relatifs:
101 = 10
100 = 1
Un nombre relatif est un nombre positif ( + 6 ) ou négatif ( - 6 ).
10m × 10n = 10m+n
103 × 104 = 103+4 = 107
10-6 × 104 = 10-6+4 = 10-2
10m
= 10m-n
10n
105
103
A
= 105-3 = 10²
-5
-4
-3
B
O
-2
-1
0
1
2
3
4
10-5
= 10-5-8 = 10-13
108
abscisses négatives
(105)2 = 105×2 = 1010
(10m )n = 10m×n
Distance à zéro:
(103)-4 = 103×(-4) = 10-12
abscisses positives
du nombre + 2 est la longueur du segment [OB], c'est-à-dire 2
du nombre - 3 est la longueur du segment [OA], c'est-à-dire 3
Nombres relatifs opposés: même distance à 0 et signes contraires + 4 et - 4
Racine carrée d'un nombre positif:
a nombre positif, la racine carrée de a est le nombre ≥0do
n
tl
ec
a
r
r
ée
s
ta
.Onno
t
ea
a ≥0 ( a )² = a
2
de deux nombres positifs:
9 3
3 9
3
=
car 
2  = 4 et 2 ≥ 0
4 2

16 = 4 car 4² = 16 et 4 ≥0
Comparaison:
de deux nombres de signes opposés:
de deux nombres négatifs:
Équations de la forme x² = a
a ≥0
Si a > 0
Si a = 0
x² = a l'équation a deux solutions:
a et – a
x² = 5 l'équation a deux solutions:
5 et – 5
x² = 0 l'équation a une seule solution: 0
Attention: le carré d'un nombre est toujours positif: x² = –16 est impossible.
Opérations
Multiplication:
a ≥0e
tb≥0a
l
or
s a× b =
ab
9× 4=
9x4 =
Division:
a ≥0e
tb>0a
l
o
r
s
a
=
b
a
b
9
=
4
9
3
=
4
2
36 car 3 × 2 = 6
le plus petit a la plus petite distance à 0
2<3
le plus petit est toujours le nombre négatif
-2<3
le plus petit a la plus grande distance à 0
- 3<-2
Pour suppri mer des parent hèses:
Opérations sur les nombres relatifs.
Addition:
a, b, c et d distances à 0
+
+ c
+ 6
- d
- 3
+ a
+ 5
+ (a+c)
+ (5+6) =
+11
a + ( + b ) =
a + b
3 +(+5)=3+5=8
a –( + b ) =
a –b
3 - ( +5 ) = 3 –5 = - 2
a + ( - b ) =
a –b
3 +(-5)= 3-5=-2
a - ( - b ) =
a + b
3 - ( -5 ) = 3 + 5 = -+8
- b
- 7
+ ( c –b ) s i
c>b
- (b-c) si b>c
- (7-6) = -1
+ (a-d) si a>d
- (b+d)
+ (5-3) = +2 -(7+3) = - 10
- (d-a) si d>a
-
-
-
+
P r o d u i t d e n o mb r e s r e l a t i f s :
Multiplication
Soustraction:
a, b, c et d distances à 0
+
+
+
ou
divi sion
Règle des signes (astuce mnémotechnique)
-
+ c
+ 6
- d
- 3
×
+ a
+ 5
- b
- 7
- (c-a) si c>a
+ (a+d)
- ( 6 –5 ) = - 1 + ( 5 + 3 ) = + 8
+ (a-c) si a>c
- (b+c)
- (7 + 6) = 13
- (b-d) si b>d
- (7-3) = -4
+ (d-b) si
b>d
+
ami
+4
–
ennemi
–3
Pour calculer une expression:
on regroupe les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux
on ajoute les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux
on calcule la somme des deux termes restants
-12,5 + 3 –14 –0,5 + 15
3 + 15 –12,5 –14 –0,5
18 –27
–9
+
–
ami
+4
ennemi
–3
+
Le s a m i s d e m e s
ami s sont mes amis.
(+4)×(+4) = +16
–
Le s a m i s d e m e s
ennemi s sont mes
ennemi s.
( + 4 ) × ( –3 ) = –1 2
–
Les ennemi s de mes
am is sont mes
ennemis.
( –3 ) × ( + 4 ) = –1 2
+
Les ennemi s de mes
ennemi s sont mes
amis.
( –3 ) × ( –3 ) = + 9
Produits de p lusi eurs nombres relatifs:
App liquer la règle des signes par deux nombres à la fois:
a + x = b
8 + x = –6
a l o r s a –a + x = b –a
a l o r s 8 –8 + x = –6 –8
kx = a
alors
kx
a
=
k
k
3x
-12
alors
=
3
3
(-4) × (+5) × (-2) × (-3) =
(-20)
×
(+6)
3 x = –1 2
=
a l o r s x = b –a
a l o r s x = –1 4
alors x =
a
k
a l o r s x = –4
- 120
(Astuce:
-
compter le nombre de bâtons des signes: - + - - soit 5 bâtons.
redessiner les signes sans dépasser le nombre de bâtons: + + l e s i g n e d e l ' o p é r a t i o n e s t l e d e r n i e r s i g n e d e s s i n é , s o i t –) .
Quo tient de no mbres relatifs:
+24
= –3
-8
+24
= + 3
+8
Produits en croix
Si
a
c
=
alors ad = bc
b
d
a
c
=
b
d
2
4
=
alors 2×6 = 3×4 = 12
3
6
mêmes règles que le produit
-24
= –3
+8
-24
= +
-8
Exemple:
4
6
20
10
=
alors 6x = 4×5 = 20 alors x =
=
x
5
6
3
É c r i t u r e s c i e n t i f i q u e d ' u n n o m b r e r e la t i f :
Sous la forme a × 10n avec a nombre décimal ayant un seul chiffre non nul
avant la virgule et n un entier relatif
x
5
20
=
alors 9x = 4×5 = 20 alors x =
4
9
9
Repérage dans le plan:
Si A = 4 655,76 × 10-7 alors A = 4,65576 × 103 × 10-7
= 4,65576 × 103+(- 7) = 4,65576 × 10-4
Le p oint A a pour abscisse
+3 et pour ordonnée +2 .
A a pour coordonnées
(+3;+2).
Encadrement par des puissances de 10:
+3
x = a × 10n
avec a en éc rit ure scientifique
10n < x < 10n+1
x = 56,34 × 104 x = 5,634 × 105
105 < 5,634 × 105 < 106
Ord re de grandeu r:
Le p oint B a pour abscisse
-3 et pour ordonnée -1 .
B a pour coordonnées
(-3;-1).
x = a × 10n ord re d e grandeur c'est b × 10n, avec b arrondi à l'unité de a
x = 56,34 × 104
x = 5,634 × 105 ordre de grandeur: 6 × 105
+1
-3
É gali tés et opérations :
S i a = x a l o r s a –x = 0
S i a –x = 0 a l o r s a = x
S i 3 = x a l o r s 3 –x = 3 –3 = 0
S i 4 –x = 0 a l o r s x = 4
Si a = x, alors a + c = x + c
S i a = x , a l o r s a –c = x –c
Si 3 = x alors 3 + 5 = x + 5
S i 4 = x a l o r s 4 –7 = x –7
Si a = x, alors a×k = x×k
Si 3 = x alors 3×5 = x×5 ou 15 = 5x
4
x
Si 4 = x alors 4:9 = x:9 ou
=
9
9
Si a = x, alors a:k = x:k
Résoudre une équation:
A
+2
B
-2
-1
o
+1
+2
+3
- 1axe des
abscisses
-2
axe des
ordonnées
- 3-
C
Le point C a pour absci sse +3
et pour ordonnée -3 .
C a pour coordonnées (+3;-3).
3×x = 3x
3×(x+2) = 3(x+2)
–1 × 4 = –4
–1 × ( x + 3 ) = –( x + 3 )
Expressions littérales (des nombres sont désignés par des lettres):
- Développer
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
k×(a+b)=k×a+k×b
(4+5)(2+3) = 4×2 + 4×3 + 5×2 + 5×3
9
5 × ( x + 2 ) = 5 × x + 5 × 2 = 5x + 10
× 5 =
45
autres exemples: (2 x+3)(x+4 )
k × ( a –b ) = k × a –k × b
8
=
+ 12 + 10 + 15
45
= 2x×x + 2x×4 + 3×x + 3×4
= 2x² + 8x + 3x + 12
= 2x² + 11x + 12
6 × ( y –3 ) = 6 × y –6 × 3 = 6y - 18
(3 x-4)(-x+2)
- Factoriser
= 3 x × ( - x ) + 3 x × 2 - 4 ( - x ) –4 × 2
= - 3 x ² + 6 x + 4 x –8
= - 3 x ² + 1 0 x –8
Développement:
k×a+k×b=k×(a+b)
5x + 10 = 5 × x + 5 × 2 = 5 × ( x + 2 )
Développer un produit, c'est l'écrire sous forme d'une somme (ou d'une différence):
k (a + b) = k a + k b
5 (x + 2) = 5x + 10
k×a-k×b=k×(a-b)
6y –18 = 6 × y –6 × 3 = 6 × ( y –3 )
k (a –b) = k a –k b
5 (x –2) = 5x –10
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
(x + 3) (x +5) = x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15
(a –b)² = a² –2ab + b²
(x –3)² = x² - 6x + 9
(a + b) (a –b) = a² - b²
(x + 3) (x –3) = x² - 9
Identités remarquables:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(x + 3)² = x² + 6x + 9
Factorisation:
Notations:
Factoriser une somme (ou une différence), c'est l'écrire sous forme d'un produit.
a×x =ax
2×x = 2x
k a + k b = k (a + b)
(x + 2) (3x –1) + 3 (x + 2) = (x + 2) (3x –1 + 3) = (x + 2) (3x + 2)
b×(x+c)= b(x+c)
4 × ( x + 2 ) = 4 ( x + 2)
k a –k b = k (a –b)
(x + 2) (3x –1) –3 (x + 2) = (x + 2) (3x –1 –3) = (x + 2) (3x –4)
Identités remarquables:
Égalité:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
x² + 6x + 9 = x² + 2 × 3 × x + 3² = (x + 3)²
a² –2ab + b² = (a –b)²
x² - 6x + 9 = x² - 2 × 3 × x + (-3)² = (x –3)²
a² - b² = (a + b) (a –b)
x² - 9 = x² - 3² = (x - 3) (x + 3)
Une égalité est constituée de deux nombres séparées par le signe =
3x+2x =5x
Équation du premier degré à une inconnue:
Écriture littérale:
a×x = ax
a×(x+b) = a(x+b)
–1 × x = –x
–1 × ( x + b ) = –( x + b )
Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c'est résoudre l'équation sous la forme
ax=b
3x + 2 = x –1
3x –x + 2 –2 = x –x –1 –2
3
x= –
2
2x = - 3
diviseurs de 8: 1, 2, 4 et 8
diviseurs de 12: 1, 2, 3, 4, 6 et 12
diviseurs communs à 8 et 12: 1, 2 et 4
Equation de la forme (ax + b) (cx + d) = 0
L'un au moins des facteurs du produit est nul. les solutions sont tels que ax + b = 0 et cx + d = 0
5
3x + 5 = 0 donc x = –
3
(3x + 5) (x –8) = 0
x –8 = 0
et
donc x = 8
PGCD (8 ; 12) = 4
Si PGCD (a ; b) = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
2 et 3 sont premiers entre eux car PGCD (2 ; 3) = 1
8 et 12 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (8 ; 12) = 4 1
Algorithme d'Euclide et recherche du PGCD:
r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b < a), alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
Inéquation du premier degré à une inconnue:
a ; b
C'est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu.
Résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que
l'inégalité soit vraie.
.0
2x ≤ 6 a
l
o
r
sx≤3
.
.
3.
.
a ← b
b ← r
–x + 1 < 4 alors –x < 3 alors x > –
3
.
.-3
.
.
0.
.
Trou ver le reste r de
la division de a par b
.
non
Système de deux équations à deux inconnues:
Il est de la forme:
3x

2x
+y=2
−3
y=5
r = 0 ?
oui
où x et y sont les deux inconnues
PGC D = b
Résoudre un système: on se ramène à la résolution d'équations à une inconnue.
exemple: PGCD ( 1078 ; 322 ) ?
Exemple:
3x

2x
+y=2
−3
y=5
y = 2 –3x
2x –3 (2 –3x) = 5
2x –6 + 9x = 5
11x = 11 x = 1
y = 2 –3×1 = 2 –3 = –1
x = 1 et y = –1
a
b
restes
1078
322
112
1078 = 3 × 322 + 112
étapes
322
112
98
322 = 2 × 112 + 98
112
98
14
112 = 1 × 98 + 14
98
14
0
98 = 7 × 14 + 0
Diviseurs communs à deux entiers:
Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
2 est un diviseur commun à 8 et 12 car 8 : 2 = 4 et 12 : 2 = 6
Remarque: 1 est toujours diviseur commun à a et b.
PGCD Plus Grand Commun Diviseur. On peut le noter PGCD (a ; b)
PGCD ( 1078 ; 322 ) = PGCD ( 322 ; 112 ) = PGCD ( 112 ; 98 ) = PGCD ( 98 ; 14 ) = 14
6
Inégalités:
a < b c ' e s t a –b < 0
a > b c ' e s t a –b > 0
c ' e s t 5 –6 , 7 < 0
c ' e s t 8 –3 > 0
5 < 6,7
8 > 3
- 1,7 < 0
5 > 0
5
4
Comparer deux fractions:
On réduit au même dénominateur et on compare les numérateurs.
7
6
49
48
7
6
et
on compare
et
>
8
7
56
56
8
7
3
2
1
Encadrement:
soit x un nombre:
a ≤ x< bestunencadr
ement
5 ≤ 6,
5< 7
0
0
Ordre:
s i a < b a lo r s a + c < b + c
s i a < b a lo r s a –c < b –c
3 < 5 alors 3+4 < 5+4
3 < 5 alors 3-4 < 5-4
si a < b et k>0 alors ka < kb
3 < 5 alors 4×3 < 4×5
-10 < -6 alors 4×(-10) < 4×(-6)
si a < b et k<0 alors ka > kb
3 < 5 alors -4×3 > -4×5
-10 < -6 alors -4×(-10) > -4×(-6)
1
2
(7<9)
(-1<1)
(12<20)
(-40 > -24)
3
4
5
6
0
OUI
0
NON
NON
Pourc entage:
Proportion d'une quantité par rapport à une autre quantité, évalu é sur 100.
(-12 > -20)
(40 > 24)
L' é l è v e a 6 5 % d e r é u s s i t e s e n f r a n ç a i s . S u r 1 0 0 e x e r c i c e s , i l e n a r é u s s i 6 5 .
In d i c e :
Nombre exprimant un rapport entre deux grandeurs (ex indice des prix).
P rop ortionnalité et tab leaux:
Di re que l'indice en 2008, de base 100 en 1998, du prix d'un scooter est de
1 2 3 v e u t d i r e q u e s i u n s c o o t e r c o û t a i t 1 0 0 €en1998,al
or
si
lcoû t e 1 2 3 €
en 2008.
Proportionnalité et tableaux:
Dans un tableau, il y a situation de proportionnalité quand on passe de la
1 è r e l i g n e à la 2 è m e l i g n e e n m u l t i p l i a n t t o u j o u r s p a r l e m ê m e n o m b r e
(coefficient de proportionnalité).
× 4
3
7
8
12
28
32
P r i x e n 1 9 9 8 ( e n e u r o s €) 1 0 0
P r i x e n 2 0 0 8 ( e n e u r o s €) 1 2 3
123
p
=
100
1260
donc p =
1260
1549,80
123 x 1260
= 1549,80
100
V i t e s s e mo y e n n e :
Proportionnalité et graphiques:
Dans un repère de plan: il y a proportionnalité si les points sont alignés
avec l'origine du repère et inversement.
v =
d
t
vites s e moyenne =
dist ance parcourue d
durée t nécessai re pour parcouri r la distance
v =
90 km
1 h
se note
v = 90 km/h
ou
90 km.h-1
v =
8 m
1 s
se note
v = 8 m/s
ou
8 m.s-1
Si les valeurs de y sont proportionnelles aux valeurs de x, alors il existe un nombre "fixe" a tel
que y = ax
S'il existe un nombre "fixe" a tel que y = ax, alors les valeurs de y sont proportionnelles aux
valeurs de x.
y = 4x 4 est un nombre "fixe"
Propriété: d = v × t la distance parcouru e est égale au produit de la
vitess e moyenne par la durée nécessai re pou r parcourir cett e di stance.
x 0,4 3
10,5 20
× 4
y 1,6 12 42
Agrandi sse ment:
80
Un objet est un agrandiss ement d'un autre objet quand leurs longueurs s ont
proportionnelles. Le coefficient d e p roportionna lité est un c oeffi cient
d'agrandiss em ent. Il est strictem ent supérieu r à 1. Coef > 1
Fonctions linéaires
4 cm
ex: un carré
Fonction linéaire de coefficient a:
2 cm
4 cm = 2 × 2 cm
a nombre "fixe", la fonction linéaire de coefficient a, c'est associer à chaque nombre
x son produit ax. On dit que a x est l'image de x.
coeff = 2 et 2 > 1
agrandissement
Fonction linéaire de coefficient a
×a
Réduction:
nombre
Un objet est une réduction d'un autre obj et quand leurs longueurs sont
proportionnelles. Le coefficient de prop ortionnalité est un coeffi cient
de
r é d u c t i o n . Il e s t s t r i c t e m e n t i n f é r i e u r à 1 . C o e f < 1
image
x
ax
on note f (x) = ax
4 cm
2 cm =
2 cm
1
× 4 cm
2
= 0,5 × 4
1
coeff =
2
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire de coefficient a est la
droite qui passe par l'origine O du repère, et par le point A de coordonnées (1 ; a ).
coeff < 1
On dit que y = ax est une équation de la droite qui représente graphiquement la fonction
linéaire de coefficient a. a est appelé le coefficient directeur de cette droite.
réduction
Fonctions linéaires:
Proportionnalité et relation y = a x
Représentation graphique d'une fonction linéaire:
a < 0
y = -2x
la direction "descend"
4
y
de la droite vers la gauche
3
a > 0
5
y = 4x
B
la direction "monte" de
y
1
la gauche vers la droite
A
4
2
-4
3
-3
-2
-1 0
1
2
3
4x
-1
2
-2
A
1
-3
-5
-4
-3
-2
-1 0
1
2
3
4
5x
-4
-1
-2
Fonctions affines
-3
-4
a et b nombres "fixes". Une fonction affine associe à chaque nombre x le nombre ax + b
On dit que ax + b est l'image de x.
B
-5
On dit que x → a
xe
s
tl
af
o
nc
t
i
o
nl
i
né
a
i
r
ea
s
sociée à la fonction affine x → a
x+b
Fonction affine ax + b
y = 4x
×a
x
a = 0
y = 0 x
la droite est l'axe des abscisses
3
+b
ax
nombre
x
ax + b
image
ax + b
y
on note f(x) = ax + b
2
Représentation graphique d'une fonction affine ax + b:
1
La droite d passe par B (0 ; b) et elle est parallèle à d' de la fonction affine ax
-3
- 2 B- 1 0
-1
-2
-3
1
2A
3x
On dit que y = ax + b est une équation de la droite d.
a est le coefficient directeur de la droite d
b est l'ordonnée à l'origine de la droite d.
4
a > 0 avec a = 2
y = 2x + 1
y
4
y
a < 0 avec a = -2
y = -2x + 1
3
A
3
2
2
1 B
1 B
-4
-4
-3
-2
-1 0
1
2
3
-3
-2
-1 0
4x
1
2
3
4x
-1
A
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
Proportionnalité des accroissements:
Soit une fonction affine ax + b. Quand x varie (augmente ou diminue)
d'un certain nombre h, alor s son image ax + b vari e de ah.
y = 2x + 3 Si x = 1, y = 5
h = 6 alors x = 7 (= 1 + 6), y = 17 ( = 5 + 12 ) 10 = 2×6
4
y
a=0
y=2
3
proportionnalité
2 B
y=2
Utilisation de tableaux:
1
Méthode additive:
-4
-3
-2
-1 0
1
2
3
+
4x
-1
-2
-3
Nombre de crayons
Prix de vente (en €)
10
20
25
50
-4
+
35
70
Méthode multiplicative:
pourcentage
× 2
Nombre de crayons
Prix de vente (en €)
10
20
20
40
Nombre d'élèves du collège
60
120
100
350
24
100
×
× 2
Nombre d'élèves en 6ème
24
84
► Coe
f
f
i
c
i
e
n
tdepr
o
po
r
t
i
o
n
na
l
i
t
é
:
Nombre de crayons
Prix de vente (en €)
10
20
1
5
2
10
50
×2
Soit p un nombre donné. Pour calculer le p % d'un nombre, on multiplie ce nombre par
Pour calculer 24 % de 350, on a 350 ×
100
p
100
24
= 350 × 0,24 = 84
100
Statistiques:
On peut passer d'un nombre de la première ligne au nombre correspondant de la seconde ligne en
multipliant toujours par le même nombre × 2.
Ce nombre est le coefficient de proportionnalité.
échelle
Longueur sur le plan (en cm) 1
×
1
200
Longueur réelle (en cm)
2
3
0,5
×2 0 0
200 400 600 100
Lorsque les longueurs sur un plan sont proportionnelles aux longueurs réelles, on dit que le plan est à
l'échelle.
1
1 cm sur le plan = 200 cm (ou 2 m), le plan est à l'échelle
200
Définitions:
- L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où la valeur apparaît.
- La fréquence se calcule en divisant l'effectif de cette valeur par l'effectif total.
- Dans un tableau dont les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant:
→l
'
e
f
f
e
c
t
i
fc
umul
éc
r
o
i
s
s
a
n
td'
unev
a
l
e
ure
s
tl
as
o
mmede
l'effectif de cette valeur et des effectifs des valeurs
précédentes.
→l
af
r
é
que
nc
ec
umul
é
ec
r
o
i
s
s
a
n
t
ed'
u
ne valeur est la somme de la fréquence de
cette valeur et des fréquences de toutes les valeurs précédentes.
D ans une c lasse de 5è me de 25 élèves, les notes su r 20 sont réparties:
15-11-7-14-9-10-9-13-15-6-7-7-11-13-14-10-9-16-15-11-10-14-11-13-9
Note
Effectif
E ffectif cumulé croi ssant
Fréqu ence
Fréqu ence cumulée
croissante
Fréqu ence cumulée
croissante en %
3 élèves ont eu la note 10
6
1
1
0,04
7
3
4
0,12
9
4
8
0,16
10
3
11
0,12
11
4
15
0,16
13
3
18
0,12
14
3
21
0,12
15
3
24
0,12
16
1
25
0,04
0,04
0,16
0,32
0,44
0,60
0,72
0,84
0,96
1
4%
16%
32%
44%
60%
72%
84%
96%
100%
la f réquence des élèves ayant eu 10 est 0,12 ou
12%
effectif total: 25
Moyenne:
On aj oute toutes les va leurs et on divis e par l'effecti f total.
J'ai obtenu 6 notes: 12 - 14,5 - 8 - 12,5 - 20 et 6,5 en interro coef 1.
ma moyenne est de:
12+14,5+8+12,5+20+6,5
= 12,25
6
Moyenne pondérée:
On aj oute tous les produits des va leu rs par leurs effectifs et on divi se par
l'effectif total.
Résultats d'une interro dans une classe de 24 élèves:
Note
Effectif
La m o y e n n e M =
5
3
7
5
10
6
12
6
15
2
16
2
5x3+7x5+10x6+12x6+15x2+16x2
242
=
= 10,08
3+5+6+6+2+2
24