INITIATION À L`ARITHMÉTIQUE ET À L`ALGÈBRE

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INITIATION À L’ARITHMÉTIQUE ET À L’ALGÈBRE
Les règles du calcul littéral prennent appui sur celles du calcul élémentaire avec les nombres naturels.
Il nous semble donc illusoire qu’un élève puisse espérer s’approprier le langage algébrique, s’il n’est
pas suffisamment familiarisé avec l’usage des propriétés des opérations de base sur les naturels.
L’objectif de ce recueil est de permettre aux élèves de :
- développer une aisance en calcul réfléchi, en élaborant des stratégies de calcul variées,
- donner du sens aux propriétés des opérations en les interprétant géométriquement,
- créer un environnement mental favorable à l’appropriation de l’algèbre.
Pour les enseignants l’objectif est de proposer un fil conducteur à travers l’enseignement de
l’arithmétique avec en arrière fond la préoccupation de permettre aux élèves de développer
progressivement des outils algébriques nécessaires à la résolution de questions arithmétiques.
Ce n’est qu’à l’usage, en récoltant les remarques des différents utilisateurs que nous pourrons estimer
la distance qui nous sépare des buts que nous souhaitions atteindre.
Exercices d’arithmétique 7e année
Exercice 1.
Place des parenthèses afin de faciliter au maximum le calcul, puis effectue les sommes :
Exemple : 67 + 78 + 12 = 67 + (78 + 12) = 67 + 90 = 157
1) 23 + 45 + 55 2) 32 + 68 + 56 3) 123 + 145 + 155
4) 87 + 123 + 321 5) 525 + 650 + 350 6) 435 + 345 + 354
7) 170 + 400 + 1600 8) 101 + 109 + 191 9) 23 + 120 + 69 + 11
Justification. Mesurer la longueur totale de trois rubans rouge, bleu et jaune peut être effectué soit
en mesurant la somme des longueurs rouge et bleu, puis en y ajoutant la jaune, ou bien en ajoutant à
la rouge, la somme des longueurs bleu et rouge. Le résultat reste inchangé.
Illustration.
Étant donné trois rubans : le rouge de longueur a,
le bleu de longueur b et
le jaune de longueur c
Alors
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Une opération qui vérifie cette propriété s’appelle associative.
Attention, la soustraction n’est pas une opération associative. Exemple : (9 – 5) – 3 ≠ 9 – (5 – 3)
Exercice 2.
Effectue astucieusement les sommes ci-dessous en permutant si nécessaire les termes, comme dans
l’exemple ci-contre : 56 + 87 + 44 = 56 + 44 + 87 = (56 + 44) + 87 =100 + 87 = 187
1) 34 + 95 + 66 2) 64 + 41 + 59 3) 68 + 83 + 32 4) 38 + 62 + 72 5) 39 + 141 + 87
6) 98 + 82 + 78 7) 69 + 35 + 65 8) 32 + 33 + 145 9) 815 + 95 + 85 10) 94 + 95 + 96

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Justification. Mesurer la longueur totale de deux ficelles, rouge et bleue mises bout à bout ne dépend
pas de l’ordre dans lequel on les place, la rouge à gauche de la bleue ou la bleue à gauche de la
rouge :
L’addition est ainsi dite commutative. Algébriquement cela se traduit par l’identité a + b = b + a
Remarque. La procédure que tu as apprise pour additionner en colonne deux nombres repose sur les
deux propriétés précédentes (associativité et commutativité). En effet, pour calculer par exemple 27
38+
on effectue d’abord 7 + 8 = 15 qu’on écrit sous la forme 10 + 5 et que l’on formule par « 7 + 8 = 5
plus une dizaine que l’on retient », puis on effectue 5 + (10 + 20 + 30) qui vaut évidemment 65.
Exercice 3.
Les deux propriétés de l’addition mises en évidence dans les exercices précédents (commutativité et
associativité) ont aussi lieu pour la multiplication. On peut les résumer par la formulation suivante :
le produit de plusieurs facteurs ne dépend ni de l’ordre dans lequel sont écrit les facteurs, ni de
l’ordre dans lequel on choisit d’effectuer les produits. Sous forme d’identités algébriques cela se
traduit par a·b = b·a et (a·b)·c = a·(b·c) quels que soient les nombres a, b et c.
Bien exploitées, ces propriétés te permettront de calculer plus facilement certains produits.
Exemples. (Les parties grisées ci-dessous sont effectuées oralement et non par écrit.)
1) 600 · 50 = (6 · 100) · (5 · 10) = (6 · 5) · (10 · 100) = 30 · 1000 = 30’000
2) 12 · 35 = (6 · 2) · (5 · 7) = 6 · 2 · 5 · 7 = (6 · 7) · (2 · 5) = 42 · 10 = 420
Détermine les produits ci-dessous en t’inspirant de la méthode de calcul ci-dessus.
1) 55 · 18 2) 70 · 800 3) 15 · 15 · 4 4) 16 · 25
5) 2 · 3 · 4 · 5 6) 5 · 7 · 8 7) 25 · 25 · 16 8) 500 · 20
9) 125 · 32 10) 175 · 24 11) 225 · 48 12) 250 · 36
Prolongement.
A. La notation puissance.
Comme 6 = 2·3 et 12 = 2·2·3 le produit 6·12 peut s’écrire (2·3)·(2·2·3). Une manière plus commode
d’écrire ce produit est de rassembler les mêmes facteurs, puis d’utiliser la notation puissance :
6·12 = (2·3)·(2·2·3) = (2·2·2)·(3·3) = 23 · 32 (en français : deux au cube fois trois au carré)
Inspire toi de l’exemple ci-dessus pour compléter les pointillés
1) 16 · 9 = 2 ..... · 3 ...... 2) 20 · 18 = 2 ..... · 3 ..... · 5 ..... 3) 14 · 15 = 2 ..... · 3 ...... · 5 ..... · 7 ......
4) 27 · 28 = 2 ..... · 3 ...... · 7 ...... 5) 15 · 16 = 2 ..... · 3 ...... · 5 ..... 6) 10 · 15 = 2 ..... · 3 ..... · 5 .....
7) 15 · 45 = 3 ...... · 5...... 8) 25 · 125 = 5 ..... 9) 49 · 56 = 2 ..... · 7 ......
10) 35 · 63 = 3 ...... · 5...... · 7 ...... 11) 24 · 36 = 2 ..... · 3 ..... 12) 40 · 50 = 2 ..... · 5 ......
B. Exercice oral. Décompose en produits de facteurs premiers tous les nombres composés ≤ 120.
Exemple. 120 = 12· 10 = (3 · 4) · (2 · 5) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5
Rappel. Un nombre est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs.
Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ...
Un nombre est dit composé s’il admet plus de deux diviseurs.

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C. Les propriétés de la multiplication utilisées jusqu’à présent sont aussi vraies pour les nombres
décimaux. Utilise-les pour calculer oralement les produits suivants :
1) 3 · 2,5 · 9 · 4 2) 0,5 · 123 · 2 3) 0,5 · 0,15 · 400 4) 0,16 · 25000
5) 0,3 · 0,4 · 500 6) 50 · 70 · 0,08 7) 0,25 · 0,25 · 16 8) 50’000 · 0,002
Exercice 4.
Détermine le plus petit multiple de 7 supérieur à 250, noté le (p.p.m. de 7) > 250
puis le plus grand multiple de 7 inférieur à 250, noté le (p.g.m. de 7) < 250
Exemple. Comme 30 · 7 = 210 et 6 · 7 = 42 alors 30·7 + 6·7 = 36 · 7 = 252 est le ppm et
252 – 7 = 245 est le pgm
1) (p.p.m. de 8) > 350 2) (p.g.m. de 6) < 500 3) (p.g.m. de 9) < 250
4) (p.p.m. de 13) > 200 5) (p.g.m. de 12) < 500 6) (p.p.m. de 16) > 500
7) (p.g.m. de 12) < 400 8) (p.g.m. de 21) < 500 9) (p.p.m. de 7) > 3000
10) (p.p.m. de 11) > 100 11) ( p.p.m. de 13 ) > 400 12) ( p.g.m. de 19 ) < 600
Justification : La somme de 30 rangées de 7 et de 6 rangées de 7 n’est autre que (30 + 6) rangées de
7. Cette règle de calcul, 30·7 + 6·7 = (30 + 6) · 7 s’appelle la distributivité de la multiplication sur
l’addition. Dans le cas ci-dessus, elle te permet de localiser puis calculer mentalement le multiple de
7 recherché.
Algébriquement cette propriété s’écrit a·(b + c) = a·b + a·c quels que soient les entiers a,b et c
Elle reste valable aussi bien pour la soustraction : 30·7 – 6·7 = (30 – 6) · 7
Exercice 5.
Calcule oralement en utilisant la distributivité, voire aussi la commutativité et l’associativité.
1) 18·9 + 12·9 2) 9·17 + 21·17 3) 24·7 – 14·7
4) 23·8 + 27·8 5) 14·5 + 16·5 6) 13·15 + 15·13
7) 11·26 + 26·19 8) 26·8 – 16·8 9) 6·14 + 6·16
10) 23·8 + 23·12 11) 24·9 + 16·9 12) 94·7 + 6·7
QUELQUES PROBLÈMES D’ARITHMÉTIQUE 7e
A. Imagine que la lettre a représente un nombre naturel donné.
Utilise la distributivité (voire même la commutativité) pour écrire sous forme de produits les sommes
ci-dessous, comme dans l’exemple ci-contre : 2·a + 3·a = (2 + 3)·a = 5·a
1) 7·a + 5·a 2) 9·a + 21·a 3) 24·a – 18·a
4) 8·a + 4·a 5) a·25 – 16·a 6) 13·a + a·13
B. Si a est un nombre naturel fixé alors {1·a ; 2·a ; 3·a ; 4·a ; 5·a ; 6·a ; ...} est l’ensemble des
multiples de a. Cet ensemble se note Ma.
Exemple. L’ensemble M3 des multiples de 3, est constitué des éléments {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; ...}.

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On peut le représenter graphiquement par les points rouges sur la droite numérique comme ci-
dessous.
Est-il vrai que la somme (ou la différence) de deux multiples de 3 est encore un multiple de 3 ?
Si oui, pourquoi ? Sinon, donne un contre-exemple.
C. Sachant qu’un nombre est pair signifie qu’il appartient aux multiples de 2, justifie la raison pour
laquelle la somme de deux nombres pairs est paire.
Indication. Un nombre pair quelconque peut s’écrire sous la forme 2·n, où n est un nombre naturel.
Un autre nombre pair quelconque s’écrit 2·m, où m est un nombre naturel. Effectue leur somme puis
utilise la distributivité afin de montrer que cette dernière est bien un multiple de 2.
D. Si l’on remplace n par 0, 1, 2, 3, ... est-il vrai que 2·n2 + 11 est toujours un nombre premier ?
E. Par quels chiffres (donne toutes les solutions possibles) faut-il remplacer les lettres a, b, c et d
pour que les nombres :
1) 23a5 soit divisible par 3 ?
2) 789b soit divisible par 2, mais pas par 4 ?
3) 364c soit divisible par 2 et par 3 ?
4) 9876d soit divisible par 2, par 3, par 4 et par 5 ?
F. À l’aide d’allumettes on construit la suite des figures ci-contre :
Combien en faut-il pour la 4e figure de la suite ? pour la 10e ? pour la 20e ?
Trouve une formule générale te permettant d’exprimer le nombre d’allumettes pour la figure n-ième.
Si l’on rassemble toutes les allumettes appartenant à deux figures quelconques de la suite est-il
possible de construire à l’aide de ces allumettes (ni plus ni moins) une figure de la suite ? Et en
rassemblant trois figures ? et quatre figures ?
G. Activité 2.1 Suite de points du classeur maître 7e (Calcul littéral)
Complément théorique sur les nombres décimaux
Question. Pourquoi multiplier un nombre décimal par 10 revient à décaler sa virgule d’une
position vers la droite ?
Derrière cette astuce de calcul figurent deux concepts fondamentaux :
- l’écriture à position en base 10
- la distributivité (de la multiplication sur l’addition)
Lorsqu’on écrit 432,56 se cache en fait le nombre 4·102 + 3·10 + 2·1 + 5·0,1 + 6·0,01
(4 centaines + 3 dizaines + 2 unités + 5 dixièmes + 6 centièmes).
Multiplier par 10, puis appliquer la distributivité revient à ce que chaque ‘position’ devienne 10 fois
plus grande. En détaillant le calcul on obtient :
432,56 · 10 = (4·102 + 3·10 + 2·1 + 5·0,1 + 6·0,01) · 10
= 4·102·10 + 3·10·10 + 2·1·10 + 5·0,1·10 + 6·0,01·10
= 4·103 + 3·102 + 2·10 + 5·1 + 6·0,1 qui n’est autre que
4 milliers + 3 centaines + 2 dizaines + 5 unités + 6 dixièmes ou 4325,6.
En résumé
Comme 100 = 10·10 alors, multiplier un nombre décimal par 100 revient à décaler sa virgule de
deux positions vers la droite. Et comme 1000 = 10·100 alors on voit comment généraliser la règle.
Inversement, si multiplier un nombre décimal par 10 revient à décaler sa virgule d’une position vers
la droite, alors diviser un nombre décimal par 10 (c’est-à-dire multiplier par 0,1) revient à décaler sa
virgule d’une position vers la gauche. Il va de soi alors que diviser un nombre décimal par 100
(c’est-à-dire multiplier par 0,01) revient à décaler sa virgule de deux positions vers la gauche.
Remarque. Il importe d’effectuer un nombre suffisant d’exercices de drill pour automatiser ces
règles de calcul.
0 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 1
5

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Exercices d’arithmétique 8e année
Exercice de révision
Calcule oralement le plus petit multiple de 7 supérieur à 250, noté le (p.p.m. de 7) > 250,
puis le plus grand multiple de 7 inférieur à 250, noté le (p.g.m. de 7) < 250
Exemple de résolution.
Comme 30 · 7 = 210 et 6 · 7 = 42 alors 30·7 + 6·7 = 36 · 7 = 252 est le ppm et
252 – 7 = 245 est le pgm recherché.
Justification : La somme de 30 rangées de 7 et de 6 rangées de 7 n’est autre que 30 + 6 rangées de 7.
Cette règle de calcul, 30·7 + 6·7 = (30 + 6)·7, s’appelle la distributivité de la multiplication sur
l’addition. Elle reste valable aussi bien pour la soustraction : 30·7 – 6·7 = (30 – 6)·7.
Exercice. Détermine les entiers naturels suivants
1) (p.p.m. de 8) > 350 2) (p.g.m. de 6) < 500 3) (p.g.m. de 9) < 250
4) (p.p.m. de 17) > 500 5) (p.g.m. de 12) < 500 6) (p.p.m. de 16) > 500
7) (p.g.m. de 19) < 400 8) (p.g.m. de 23) < 500 9) (p.p.m. de 7) > 3000
10) (p.p.m. de 11) < 2420 11) ( p.p.m. de 13 ) > 400 12) ( p.p.m. de 16 ) > 21000 + 2
D’une manière plus générale. Si a, b et c sont des nombres entiers, alors b·a et c·a sont des
multiples de a et la règle suivante est vraie: b rangées de a ajoutées à c rangées de a égalent (b + c)
rangées de a ou sous forme de formule algébrique : a·(b + c) = a·b + a·c
Si a, b et c sont des nombres positifs quelconques l’identité reste valable et l’interprétation
géométrique est que l’aire d’un rectangle dont la longueur vaut b + c et de largeur a est la même que
la somme des aires de deux rectangles de largeur a et de longueurs respectives b et c.
Rappel
Pour un nombre naturel fixé a l’ensemble des multiples de a, noté Ma est l’ensemble {1·a ; 2·a ; 3·a ;
4·a ; ...}. Un multiple de a quelconque s’écrit sous la forme m·a, où m est un nombre entier positif.
Prolongement
A) Prouve que la somme (et la différence) de deux multiples de a est encore un multiple de a.
B) Sachant que a, b et c sont des entiers, factorise au maximum les sommes ci-dessous
1) 68aa⋅+⋅ 2) 713bb+ 3) 12 16ac⋅+ ⋅ 4) 316aa⋅+⋅
5) 2
37aa+ 6)
14 21bb+⋅ 7) 22
21 28cc+ 8)
22
34aa⋅+⋅
C) Complète pour obtenir des égalités vraies.
1)
()
2000
2 6 2 ....... ........+=⋅ + 2)
()
500
60 12 12 ........ ........+=⋅ + 3)
()
500
12 8 8 ....... ........+=⋅ +
D. Si l’on remplace n par 0, 1, 2, 3, ... est-il vrai que n2 – n + 41 est toujours un nombre premier ?
E) Énonce puis justifie chacun des critères de divisibilité par 4, 8 et 16 sur des exemples spécifiques.
F) Les nombres a = 2360 – 1 et b = 21110 + 1 sont divisibles par 13. Est-il vrai que a + b est un
multiple de 13 ?
a = +
b + c b c