Rapport de stage M2 - Université de Strasbourg

Mémoire de Master 2 : Base semicanonique et involution de
Schützenberger
Arnaud Demarais
Printemps/Eté 2014
1
Table des matières
1 Introduction
3
2 Carquois, algèbre de chemins et algèbre préprojective.
4
3 Modules de l’algèbre de chemins et grassmannienne de carquois
6
3.1
P -modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Modules simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Enveloppe injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.4
Grassmannienne de carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Variétés de carquois
10
5 Liens entre les variétés de carquois et les grassmanniennes de carquois
12
6 Fonctions constructibles
15
6.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2
Fonctions constructibles sur les grassmanniennes de carquois
6.3
Fonctions constructibles sur les variétés nilpotentes de Lusztig . . . . . . . . . . . . . . . 17
. . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Isomorphisme entre fonctions constructibles sur les grassmaniennes et espace de
plus haut poids
19
8 Isomorphisme entre algèbre enveloppante et certaines fonctions constructibles, base
semicanonique.
21
8.1
Retour sur la variété ⇤V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.2
Fonctions fZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9 Involution de Schützenberger
25
9.1
Modules projectifs et action du groupe de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.2
Grassmannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.3
Liens entre les constructions projectives et injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10 Liens entre la base semicanonique, les modules irréductibles et l’involution de
Schützenberger
28
2
1
Introduction
J’ai effectué mon stage de M2 à l’université de Strasbourg de Avril à Juillet 2014. Je tiens à remercier
Pierre Baumann pour ses conseils et le temps qu’il a investi dans ce mémoire, en particulier, dans les
explications sans lesquelles la compréhension du sujet aurait été impossible ainsi que dans la relecture
du présent manuscrit. Je remercie aussi Marie-Christine Demarais ainsi que Poulpy 1 pour la relecture
finale.
L’objectif de ce mémoire est de définir la base semicanonique de l’algèbre enveloppante supérieure
U (n+ ) d’une algèbre de Lie g et d’en étudier certaines propriétés, telle que la stabilité des vecteurs de
cette base par l’involution de Schützenberger ainsi que le transfert dans les modules simples.
Pour ce faire, on commence par s’intéresser, dans la partie 2, aux objets mathématiques que sont les
carquois : pour un carquois Q, on définit son algèbre de chemins ainsi que son algèbre préprojective
P . Puis, dans la partie 3, on s’intéresse aux P -modules de façon à pouvoir définir dans la partie 4
plusieurs variétés algébriques. Essentiellement, ce seront les variétés nilpotentes de Lusztig ainsi que
les variétés lagrangiennes de Nakajima que nous y étudierons, puis leurs liens avec les P -modules dans
la partie 5.
Ensuite, dans la partie 6, on s’intéressera aux fonctions constructibles afin d’étudier les fonctions
constructibles sur les variétés nilpotentes de Lusztig et les variétés Lagrangiennes de Nakajima. Dans
les parties 7 et 8 on réalisera ces fonctions constructibles comme l’algèbre enveloppante supérieure
de l’algèbre de Kac-Moody associée au graphe du carquois et les représentations de cette algèbre, en
particulier les U (g)-modules simples. Cette identification nous permettra de construire une nouvelle
base de l’algèbre enveloppante supérieure
La partie 9 s’intéresse à l’involution de Schützenberger, dans le cadre des fonctions constructibles.
Dans la partie 10, qui constitue le travail original de ce mémoire, on s’intéressera à la construction de
la base semicanonique dans les modules simples L( ), en transportant la base semicanonique de U (n+ )
dans les L( ) via, dans le vocabulaire des fonctions constructibles, une application de restriction.
Cette application se réalise alors comme étant la surjection canonique U (n+ ) ! L( ). Dès lors on
pourra prouver la stabilité par l’involution de Schützenberger, qui n’est autre que la composition de
nos fonctions constructibles par un homéomorphisme de variétés algébriques.
1. mon ami
3
2
Carquois, algèbre de chemins et algèbre préprojective.
Dans cette partie nous allons définir les concepts de carquois, y attacher des algèbres, regarder les
modules sur ces algèbres et certaines de leurs propriétés.
Définition :
– Un carquois est la donnée d’un couple Q = (Q0 , Q1 ) où Q0 est l’ensemble des sommets et Q1
l’ensemble des flèches, ainsi que deux applications s (respectivement t) de Q1 dans Q0 qui à une
flèche, associe son point de départ (respectivement d’arrivée).
– Un chemin dans Q est la donnée d’une suite ⇢1 , ..., ⇢m d’éléments de Q1 où l’on a s(⇢i ) = t(⇢i+1 ).
– La longueur d’un chemin est définie comme le nombre de flèches constituant ce chemin.
– Pour tout i 2 Q0 , on définit le chemin trivial (de longueur 0) ei tel que s(ei ) = t(ei ) = i.
– On étend évidemment les fonctions s et t aux chemins comme les fonctions qui à un chemin, associe
son point de départ (respectivement d’arrivée).
– Un carquois est de type fini si le graphe sous-jacent de chaque composante connexe est un diagramme
de Dynkin.
Maintenant, on va associer à un carquois donné son algèbre des chemins puis on va étudier certaines
propriété de cette algèbre.
Définition :
L’algèbre des chemins d’un carquois Q est le C-espace vectoriel dont une base est indexée par les
chemins de Q et munie de la multiplication suivante :
(
xy si t(y) = s(x)
Si x et y sont deux chemins alors x.y =
.
0
sinon
On la note CQ.
Soit Q un carquois et A son algèbre des chemins.
Propriété :
On a les propriétés suivantes :
2
– eP
i .ej = 0 si i 6= j et ei = ei .
–
i ei est le neutre de l’algèbre A.
– Aei (respectivement ej A) sont des espaces vectoriels ayant pour base les chemins commençant en i
(respectivment terminant en j).
– A = i Aei .
– Si X est un A-module à gauche HomA (Aei , X) ' ei X.
– Si f 2 Aei et g 2 ei A sont non nuls alors f g est non nul.
– Les ei sont primitifs. 2
– Si ej 2 Aei A alors i = j.
– Si i 6= j alors Aei n’est pas isomorphe à Aej .
2. ie Aei est indécomposable en tant que A-module à gauche
4
Démonstration :
La preuve de ces assertions se trouve dans [[CB], paragraphe 1].
⇤
L’algèbre des
Pchemins d’un carquois Q est évidemment graduée par la longueur des chemins et on a
alors CQ = n2N CQn où CQn est l’espace vectoriel engendré par les chemins de longueur n.
Par la suite, pour un carquois donné, on ne s’intéresse pas exactement à son algèbre de chemins mais
à l’algèbre de chemins d’un autre carquois : le carquois double.
Définition :
Si Q = (Q0 , Q1 ) est un carquois alors on définit Q̃ = (Q0 , Q̃1 ).
Où Q̃1 = [a2Q1 {a, ā} et où pour chaque arrête a, ā est une arrête opposée telle que s(ā) = t(a) et
t(ā) = s(a) .
On va alors définir l’algèbre préprojective à partir de l’algèbre des chemins du carquois double.
Définition :
On définit l’algèbre préprojective d’un carquois Q et l’on note P = P (Q) l’algèbre CQ̃/(
P
a2Q1
aā āa).
Comme l’idéal par lequel on quotiente est homogène, elle hérite de la graduation de CQ̃ et on note
P (Q) = P (Q)n .
En particulier, on a P0 =
Cei = CQ0 .
5
3
3.1
Modules de l’algèbre de chemins et grassmannienne de carquois
P -modules
Définition :
– Un P0 -module est un espace vectoriel V P0 -gradué, en d’autres termes, il s’agit juste d’une collection
d’espaces vectoriels indexée par les sommets de Q, on note V = i2Q0 Vi .
P
– Soit V un P0 -module, alors le vecteur dimension de V , noté dimQ0 V 2 NQ0 est le vecteur i2Q0 dim(Vi )i
.
– On définit EndP0 (V, W ) = ⇧i2Q0 HomC (Vi , Wi ) et GV = ⇧i2Q0 GL(Vi ). Il s’agit donc des morphismes de C-espace vectoriel de V dans W dont la restriction à Vi s’envoie dans Wi pour tout
i 2 Q0 .
– Un P -module est évidemment un P0 -module.
– Un morphisme de P -modules est evidemment un morphisme de P0 -modules.
– On représentera explicitement un P0 -module en écrivant à la place de chaque sommet de Q0 , le
C-espace vectoriel correspondant.
Exemple :
Si Q0 ={1, 2} et V = C
C2 alors dimQ0 V =
✓ ◆
1
.
2
Définition :
Si A est une algèbre telle que A = n An et V est un A module, alors V est dit nilpotent si il existe
N > 0 tel que pour tout k > N Ak .V = 0.
Si pour tout v 2 V , il existe Nv > 0 tel que pour tout k > Nv Ak .v = 0, alors V est dit localement
nilpotent.
On va maintenant donner quelques propriétés de l’algèbre préprojective et de ses modules :
Proposition :
Les conditions suivantes sont équivalentes :
– P (Q) est de dimension finie.
– Les P (Q)-modules de dimension finie sont nilpotents.
– Les P (Q)-modules de dimension finie sont localement nilpotents.
– Q est de type de représentation fini.
Démonstration :
La preuve de ces équivalences se trouve dans [Reiten : “Dynkin diagrams and the representation theory
of algebras”], [Crawley-Boevey : “Geometry of the moment map for representations of quivers”] et
[Lusztig : “Quivers, perverse sheaves, and quantized enveloping algebras”].
⇤
6
3.2
Modules simples
On va maintenant étudier les P -modules simples.
Définition :
Soit Q un carquois et i 2 Q0 alors on définit si par (si )j = 0 si j 6= i et (si )i = C.
si est alors aussi un P -module.
Lemme :
Les si sont les CQ̃-modules simples localement nilpotents et les P -modules simples localement nilpotents. En particulier, si Q est de type fini alors ce sont les P -modules simples.
Démonstration :
Soit M un P -module simple (respectivement CQ̃-modules simples) localement nilpotent et soit m 2 M
non nul.
Comme M est simple P.m = M (respectivement CQ̃.m = M ).
Comme M est localement nilpotent il existe N tel que pour tout k > N on a Pk .m = 0 (respectivement
CQ̃k .m = 0).
Donc M = P.m =< P0 .m, ..., PN .m > (respectivement M = CQ̃.m =< CQ̃0 .m, ..., CQ̃N .m >). Or
Pj (respectivement CQ̃j ) est de dimension finie pour tout j , donc M est de dimension finie, et par
conséquent, M est nilpotent.
Cela implique que P+ .M 6= M (respectivment CQ̃+ .M 6= M ) or P+ .M (respectivment CQ̃+ .M ) est
un sous P -module (respectivement CQ̃-module) donc P+ .M = 0 (respectivment CQ̃+ .M = 0). Donc
les P -modules (respectivement CQ̃-modules) simples nilpotents sont des P0 -modules simples et donc
sont de la forme si .
La seconde assertion provient de la proposition précédente.
⇤
3.3
Enveloppe injective
Intéressons nous d’abord à ce qu’est l’enveloppe injective d’un module.
Définition :
– Soit A une algèbre et Q un A-module, on dit alors que Q est un module injectif si et seulement si
pour tout N et M A-modules tel que l’on ait une injection i : N ! M et tout morphisme f : N ! Q
il existe g : M ! Q tel que le diagramme suivant commute :
QO `
g
f
N
i
/M
– Soit A une algèbre, V et E des A-module. On dit que E est une extension essentielle de V si V est
un sous module de E et que tout sous module non trivial de E intersecte V .
– Si A est une algèbre et V est un A-module, une enveloppe injective de V est un A-module injectif
E qui est aussi une extension essentielle de V .
7
Le théorème de Baer énoncé dans [[Ja], (page 159)] assure de l’existence d’enveloppes injectives pour
les P -modules et en particulier pour les si . Dans le cas du type fini on va donner une description
explicite de l’enveloppe injective.
Définition :
Si Q est un carquois de type fini alors pour i 2 Q0 , on pose :
q i = HomC (ei P, C)
La structure de P -module à gauche de q i étant donnée par a.f (x) = f (x.a) pour tout a 2 P , f 2 q i et
x 2 ei P .
On peut voir si comme un sous P module de q i de la façon suivante, posons :
s˜i = V ectC (g)
Où g est la forme linéaire envoyant ei sur 1 et tout vecteur de la base indexé par des chemins de
longueur strictement positive sur 0.
Alors s˜i est un C-espace vectoriel de dimension 1, on a ei .s˜i = s˜i et ej .s˜i = 0. De plus a.s˜i = 0 pour
tout vecteur a 2 P de la base indexé par un chemin de longueur strictement positive.
On a donc s˜i ' si .
Proposition :
Si Q est de type fini alors les {q i }i2Q0 sont des modules injectifs indécomposables, et plus particulièrement, pour tout i 2 Q0 , q i est l’enveloppe injective de si .
Démonstration :
La preuve de ce résultat est faite dans [[SaTi], Lemme 2.8].
On va alors définir des P -modules important pour tout w 2 NQ0 .
⇤
Définition :
P
Soit w = i2Q0 wi i 2 NQ0 , on définit alors les modules :
– sw = i2Q0 (si )wi .
– q w = i2Q0 (q i )wi .
Remarque :
Il est immédiat de voir que q w est l’enveloppe injective du P -module semi simple sw .
8
3.4
Grassmannienne de carquois
Dans cette section, on va faire le lien entre l’algèbre étudiée jusqu’avant (avec les P -modules) et la
géométrie, en introduisant certaines grassmanniennes.
Définition :
Soit V un P -module, on définit alors :
– GrP (V ) comme l’ensemble des sous P -modules de V .
– On a la décomposition naturelle GrP (V ) = tu2NQ0 GrP (V, u).
Où GrP (V, u) est l’ensemble des sous P -modules de V de dimension u.
Remarque :
GrP (u, V ) est un sous ensemble fermé de la grassmannienne usuelle des sous espaces de dimension u
de V . Par conséquent, GrP (u, V ) est une variété projective.
Définition :
On définit alors une action de AutP (V ) sur GrP (u, V ) de la manière suivante :
g.U = g(U ) pour tous g 2 AutP (V ) et U 2 GrP (u, V ).
9
4
Variétés de carquois
Dans toute cette partie, on se donne un carquois Q = (Q0 , Q1 ) et on note P son algèbre préprojective.
Soit V un P0 -module.
Définition :
L
– On définit RepQ̃ V = a2Q˜1 HomC (Vs(a) , Vt(a) ).
– Pour un chemin = al ...a1 dans Q̄ et x = (xa )a2Q˜1 2 RepQ̃ V on définit x = xal ...xa1 .
P
P
– Pour un élément j cj j 2 C˜(Q) on définit xPj cj j par j cj x j .
– On dit que x 2 RepQ̃ V est nilpotent si il existe N tel que x = 0 dès que la longueur de excède
N.
Tout élément de RepQ̃ V définit donc une structure de Q̃ module sur V et n’importe quelle structure
de Q̃ module sur V correspond
P à un élément de Rep
P Q̃ V . Et donc, tout élément de RepQ̃ V vérifiant
les équations préprojectives ( a2Q1 ,t(a)=i xa xā
a2Q1 ,s(a)=i xā xa = 0 pour tout i 2 I) définit une
structure de P module sur V et n’importe quelle structure de P -module sur V correspond à un
élément de RepQ̃ V vérifiant les équations préprojectives.
Definition :
– On définit ⇤(V ) comme l’ensemble des structures nilpotentes de P module sur V . Plus précisemment :
P
P
⇤(V ) ={x 2 RepQ̃ V | a2Q1 ,t(a)=i xa xā
a2Q1 ,s(a)=i xā xa = 0 pour tout i 2 I et x est nilpotent }.
On appelle ⇤(V ) la variété nilpotente de Lusztig.
– Si W est aussi un P0 -module, on définit ⇤(V, W ) = ⇤(V )⇥HomP0 (V, W ). On dit que (x, t) 2 ⇤(V, W )
est stable si il n’existe pas de P0 module x-stable non trivial inclus dans le noyau de t. On note les
points stables par ⇤(V, W )st .
Lemme :
Tout élément de ⇤V définit une unique structure de P -module sur V et réciproquement toute structure
de P -module sur V définit un unique élément de ⇤V .
Démonstration :
– Soit x 2 ⇤V et soit a1 , ..., an un chemin avec ai 2 Q̃1 pour tout i 2 N.
Soit v 2 V . On cherche à donner un sens à a1 ...an .v pour se faire on pose :
a1 ...an .v = ✏t(a1 ) xa1 ...xan (⇡s(an ) (v)) où pour tout i 2 Q0 :
✏i :
(
Vi
vi
!
V
et ⇡i :
7
!
(0, ..., vi , ..., 0)
(
V
v
!
7
!
Vi
.
vi
On étend alors par linéarité et on a une structure de P -module . En réalité on n’a qu’une structure
de CQ̃-module mais comme x 2 ⇤V alors on a les relations quadratiques par définition et donc une
structure de P -module.
– Si on a une structure de P -module sur V , alors on se donne pour tout a 2 Q̃1 :
(
Vs(a) ! Vt(a)
xa :
v
7! a.v
10
Où a est vu comme l’élément de P correspondant.
⇤
Proposition :
Soit (x, t) 2 ⇤(V, W ), alors (x, t) est stable si et seulement
si pour tout i 2 I, Ker(x, t) |Vi = 0 où
L
Ker(x, t) |Vi = Ker(x) \ Ker(t) \ Vi et où Ker(x) = a2Q˜1 Ker(xa ) et Ker(t), quant à lui, est juste
le noyau du morphisme de P0 -modules t.
Démonstration :
(
Ker((x, t) |Vi ) si j = i
et on pose U = j2Q0 Uj
0
sinon
. C’est un P0 -module, x-stable, et contenu dans le noyau de t. C’est donc c’est 0 et chacun des
Ker((x, t) |Vi ) = 0.
)) Soit i 2 Q0 , pour tout j 2 Q0 , on pose Uj =
() Supposons que (x, t) n’est pas stable. Il existe alors dans Ker(t) un P0 -module, x-stable de dimension minimale. Notons le U . Alors U est un P module simple car s’il contenait un sous P module cela
contredirait sa minimalité ! Donc il existe i 2 Q0 tel que U est de la forme Si donc U ⇢ Ker(x, t) |Vi
alors Ker(x, t) |Vi 6= 0.
⇤
On va définir une action naturelle de GV sur ⇤V . Soit g 2 GV et x 2 ⇤V , alors on note g = (gi )i2Q0
et x = (xa )a2Q˜1 .
1
On définit g.x = (x0a )a2Q˜1 avec x0a = gt(a) xa gs(a)
. On notera O(x) l’orbite d’un point x.
Si y 2 O(x) on dit que y et x sont isomorphes.
On étend alors l’action de GV à ⇤(V, W ) et posant g.(x, t) = (g.x, g.t) où g.t = tog
1
.
Lemme :
Or maintenant si l’on restreint l’action de GV à ⇤(V, W )st alors cette action est libre . On note [x, t]
la GV orbite d’un point (x, t).
Démonstration :
Soit (x, t) 2 ⇤(V, W )st et soit g 2 Stab((x, t)). On veut montrer que g = e.
On sait que g.(x, t) = (x, t). Soit iL
2 Q0 et vi 2 Vi alors on a t g 1 (vi ) = t gi 1 (vi ) = t(vi ) et donc
1
vi gi (vi ) 2 Ker(t) \ Vi . Alors i Ker(gi igVi ) est un P0 -module inclus dans Ker(t). Or g.x = x
et donc ce P0 -module est x-stable et alors, d’après la proposition précédente, est nul et donc gi = Id .
Comme ceci est valable pour tout i 2 Q0 , on a g = e.
⇤
Définition :
Si V et W sont des P0 -modules, on définit la variété Lagrangienne de Nakajima par L(V, W ) =
⇤(V, W )st /GV . Comme deux P0 -modules de même dimension se trouvent dans la même GV orbite,
elle ne dépend que des dimensions de V et W . On aura donc tendance à noter L(v, w) au lieu de
L(V, W ).
11
5
Liens entre les variétés de carquois et les grassmanniennes de
carquois
On va maintenant s’intéresser à certaines grassmanniennes de carquois isomorphes (en tant que variétés
algébriques) aux variétés Lagrangiennes de Nakajima. On commencera par une proposition technique
dont la preuve est indispensable à la démonstration principale de cette partie.
Proposition :
On suppose que A = n2N An est une algèbre graduée et que V est un A-module localement nilpotent.
On prends S un A-module semi-simple localement nilpotent et on on note E une enveloppe injective
de S. ◆ est l’injection essentielle de S dans E.
– Soit ⇡ : E ! S une rétraction A0 -linéaire de ◆ (c’est à dire ⇡ ◆ = idS ) et on se donne⌧ : V ! S un
morphisme de A0 -modules. Alors il existe un unique morphisme de A-modules : V ! E tel que le
diagramme suivant commute :
?E
⇡
V
⌧
✏
/S
– Si on a deux rétractions A0 linéaires ⇡1 et ⇡2 alors il existe un unique
fixe alors S point par point.
2 AutA (E) tel que ⇡2 = ⇡1 .
Démonstration :
Pour le premier point :
Comme V est localement nilpotent, on a :
0 = V (0) ⇢ V (1) = Soc(V ) ⇢ ... ⇢
Où V (n) ={m 2 V | A
morphisme de A-modules
= 0}. On montre alors par récurrence sur n qu’il existe un unique
: V (n) ! E tel que le diagramme suivant commute :
n .m
n
=E
n
V (n)
⇡
✏
/S
⌧n
Où ⌧n désigne la restriction de ⌧ à V (n) .
– Dans le cas où n = 1 :
Comme V (1) = Soc(V ) , que A+ .Soc(V ) = 0 et que l’image par un morphisme de A-modules du socle
s’envoie dans le socle et que le socle de E n’est autre que S.⇡
= 1 et donc on prend 1 = ◆ ⌧1 .
– On suppose le résultat vrai pour n = k :
Comme E est injectif, il existe un morphisme de A-modules ˆk+1 tel que le diagramme suivant commute :
V (k+1)
O
ˆk+1
k
V
?
(k)
12
/E
<
On pose alors
k+1
= ˆk+1
ˆk+1 + ◆ ⌧ .
◆ ⇡
Alors quand on compose par ⇡ à gauche les deux premiers termes s’annulent et on a bien le diagramme
commutatif :
;E
k+1
⇡
V (k+1) ⌧k+1
✏
/S
Remarquons aussi que lorque l’on restreint k+1 à V (k) , on trouve k . En effet le premier terme vaut
k et les deux suivants s’annulent entre eux. Cependant, il n’est pas clair que k+1 soit un morphisme
de A-modules (pour l’instant, on a seulement un morphisme de A0 -modules).
Il faut vérifier que
k+1
commute à l’action de A+ :
Soit r 2 A+ et m 2 V (k+1) . On sait que r.m 2 V (k) et que A+ .S = 0.
Calculons :
r.
k+1 (m)
=
=
=
=
=
r.(ˆk+1 (m)
r.ˆk+1 (m)
ˆk+1 (r.m)
k (r.m)
k+1 (r.m)
◆o⇡oˆk+1 (m) + ◆o⌧ (m))
Il manque juste à vérifier l’unicité :
0
Supposons que k+1
est un autre morphisme qui convient. Par hypothèse de récurrence on a
(k+1)
on a :
k+1 |V (k) et pour tout r 2 A+ et m 2 V
r.
k+1 (m)
Donc r.(
=
k+1 (r.m)
k+1 (m)
=
0
k+1 (r.m)
0
k+1 (m))
= r.
= 0 et alors
0
k+1 (m)
0
k+1 (m)
k+1 (m)
Par conséquent :
k+1 (m)
0
k+1 (m)
La récurrence est terminée et on prend
0
k+1 |V (k) =
=
=
=
=
2 S.
0
⇡( k+1 (m)
k+1 (m))
0
⇡( k+1 (m)) ⇡( k+1
(m))
⌧ (m) ⌧ (m)
0
la limite des
k.
Pour le second point :
On utilise le premier point, il existe : E ! E morphisme de A-modules tel que ⇡2 = ⇡1 et de même
il existe ˜ : E ! E morphisme de A-modules tel que ⇡1 = ⇡2 et ˜ = ˜ = idE pour unicité dans le
premier point et donc est un A-automorphisme de E.
⇤
On va maitenant définir une nouvelle grassmannienne qui va être isomorphe à ⇤(v, w)st
13
Définition :
ˆ P (v, q w ) la variété des injections de P0 -modules de
Soit V un P0 -module de dimension v. On définit Gr
w
w
V ! q dont l’image est un sous P -module de q .
On arrive alors au résultat principal de cette section :
Théorème :
ˆ P (v, w) dans ⇤(v, w)st et une
Soient v et w 2 NQ0 alors il existe une bijection GV -équivariante de Gr
w
bijection de GrP (v, q ) dans L(v, w).
Démonstration :
ˆ P (v, w) définit
Soit V un P0 -module de dimension v et soit ⇡ : q w ! sw une retraction. Un point 2 Gr
un plongement de V dans q w et par conséquent une sutructure de P -module sur V (en rapatriant celle
sur q w ) et donc un élément de ⇤V , ⇡
est un morphisme à valeurs dans sw (qui est un P0 -module
de dimension w) vérifiant la condition de stabilité, et donc on a un élément de ⇤(v, w)st .
Pour voir que la condition de stabilité est satisfaite, comme est injective, on voit V comme un sous
module de q w et on oublie dans les calculs. On note x l’élément de ⇤V correspondant :
On a alors (si )wi = \h2Q̃1 |s(h)=i Ker(xh ) et donc Ker(x) ⇢ sw mais ⇡ vaut l’identité sur sw et donc
ker(x, ⇡) = 0.
Plus exactement le point de ⇤(v, w)st que l’on considère est ( 1 xw , ⇡ ), où xw est l’élément de
RepQ̃ q w (q w vu comme P0 -module) correspondant au P -module q w .
On a donc un morphisme de variétés algébriques :
ˆ P (v, w) ! ⇤(v, w)st et la proposition précédente ( si (x, t) 2 ⇤(v, w)st alors 9! tel que ⇡ = t)
◆ : Gr
assure que c’est une bijection. On vérifie facilement qu’elle est GV équivariante et alors en passant au
quotient on obtient ¯◆ : GrP (v, q w ) ! L(v, w).
De plus ¯◆ est un homéomorphisme puisque elle est continue et que comme les variétés impliquées sont
projectives, l’application est fermée.
⇤
14
6
6.1
Fonctions constructibles
Généralités
On considère un espace topologique X, et l’on s’intéresse, afin de construire les fonctions constructibles
sur cet ensemble, les ensembles que l’on va dire constructibles.
Définition :
– Un sous ensemble U ⇢ X est dit constructible s’il est obtenu à partir d’unions, d’intersections, et
de complémentations d’un nombre fini d’ouverts.
– Une fonction f : X ! C est dite constructible si elle est combinaison linéaire d’indicatrices d’ensembles constructibles.
– On note alors M (X) le C-espace vectoriel des fonctions constructibles sur X et pose M (;) = 0.
Si on se donne un second espace topologique X 0 ainsi qu’une application continue p : X ! X 0 , on va
maintenant définir 2 opérations très utiles pour la suite des développements.
Définition :
On se donne p : X ! X 0 une application continue. Définissons :
– p⇤ M (X 0 ) ! M (X) où p⇤ (f 0 )(x) =P
f 0 (p(x)) pour tout f 0 2 M (X 0 ) et x 2 X.
0
0
– p! M (X) ! M (X ) où p! (f )(x ) = a2C a (p 1 (x) \ f 1 (a)) pour tout f 2 M (X) et x0 2 X 0 .
Où désigne la caractéristique d’Euler à support compact.
Lemme :
On suppose que X est un sous ensemble constructible d’un espace topologique Y et on note ◆ l’injection
de X dans Y .
Alors on a :
– ◆⇤ (f ) = f |(
X
f (x) si x 2 X
– ◆! (f )(x) =
0
si x 2
/X
Démonstration :
La première assertion est triviale ◆ étant l’identité.
Pour la seconde assertion, si x 2
/ X alors pour tout a 2 C on a ◆
0 car la caractéristique d’Euler de l’ensemble vide est 0.
1
(x) \ f
1
(a) = ; et donc on trouve
Si x 2 X et a 6= f (x) alors ◆ 1 (x) \ f 1 (a) = ; . Lorsque a = f (x) et a 6= f (x) ◆ 1 (x) \ f
On trouve bien ◆! (f )(x) =f (x), la caractéristique d’Euler d’un singleton valant 1.
1
(a) ={x}.
⇤
On va maintenant s’intéresser aux valeurs que peuvent prendre ces fonctions constructibles. En effet
une fonction constructible peut prendre beaucoup de valeurs complexes différentes, mais elle prendra
une valeur dite générique sur chaque composante irréductible de X.
15
Lemme :
Si X est irréductible et si on a une décomposition X = A1 t ... t Ak en ensembles constructibles alors
il existe un unique i tel que Ai contient un ouvert dense de X.
Si Z est une composante irréductible de X et f 2 M (X) alors on a :
Z = tm2C (Z \ f
1
(m).
En vertu du lemme qui précède, il existe un ouvert dense sur lequel f est constante, la valeur prise par
f sur cet ouvert est alors appelée la valeur générique de f sur Z.
Définition :
On définit alors ⇢Z : M (X) ! C qui à une fonction, lui associe sa valeur générique sur Z.
On va aussi définir une intégrale sur l’espace des fonctions constructibles : si f 2 M (X) et A ⇢ X on
pose :
´
6.2
x2A
f (x) =
P
a2C
a (f
1
(a) \ A).
Fonctions constructibles sur les grassmanniennes de carquois
Dans toute cette partie V désigne un P -module. On se donne deux vecteurs dimension u et u0 2 NQ0
avec ui  u0i pour tout i 2 Q0 .
On peut alors définir un nouvelle variété :
Définition :
– GrP (u, u0 , V ) ={(U, U 0 ) 2 GrP (u, V ) ⇥ GrP (u0 , V ) | U ⇢ U 0 }
– On définit alors les projections ⇡1 et ⇡2 :
(
(
GrP (u, u0 , V ) ! GrP (u, V )
GrP (u, u0 , V ) ! GrP (u0 , V )
⇡1 :
et
⇡
:
2
(U, U 0 ) 7! U
(U, U 0 ) 7! U 0
On va alors définir grâce à ⇡1 et ⇡2 des opérateurs qui vont permettre de relier les fonctions constructibles sur certaines variétés, à l’algèbre de Kac-Moody, associée au graphe du carquois.
Définition :
On définit
( alors :
M (GrP (u + i, V ))
– Êi :
f
! M (GrP (u, V ))
7
!
(⇡1 )! (⇡2⇤ (f ))
16
– F̂i :
(
M (GrP (u, V ))
f
! M (GrP (u + i, V ))
7
!
(⇡2 )! (⇡1⇤ (f ))
Dans les parties suivantes, on travaillera dans le cas où V = q w et alors dans ces cas précis on notera
Ei et Fi à la place de Êi et F̂i .
Remarque :
Avec les notations de la section précédente on remarque que :
Êi (f )(x) =
6.3
´
y2⇡2 1 (x)
f (⇡1 (y))
Fonctions constructibles sur les variétés nilpotentes de Lusztig
On se replace dans le cadre des variétés nilpotentes de Lusztig que l’on avait nommées ⇤V . On
avait aussi défini une action de GV sur ces variétés et on va s’intéresser aux fonctions constructibles
constantes sur les GV -orbites.
Définition :
On note M (⇤V )GV les fonctions constructibles sur ⇤V , constantes sur les GV orbites.
On se donne alors V, V 0 et V 00 des P0 -modules tels que dimP0 V = dimP0 V 0 + dimP0 V 00 et on va alors
définir une application bilinéaire de M (⇤V 0 )GV 0 ⇥ M (⇤V 00 )GV 00 ! M (⇤V )GV .
Définition :
Soit x 2 ⇤V , on définit Vx comme l’ensemble des sous P0 -modules de V x stables de dimension
dimP0 V 00 et pour U 2 Vx on note xU un élément de ⇤V 00 obtenu en transportant la loi de U par
isomorphisme. De même, on note xV /U un élément de ⇤V 0 obtenu en transportant la loi de V /U par
isomorphisme. Ces éléments xU etxV /U dépendent évidemment de l’isomorphisme considéré mais deux
isomorphismes différents vont donner deux points différents mais dans la même GV orbite. Comme
nos fonctions sont invariantes sur les GV orbites, cela ne pose aucun problème.
On définit alors pour f 0 2 M (⇤V 0 )GV 0 et f 00 2 M (⇤V 00 )GV 00 :
(f 0 ⇤ f 00 )(x) =
´
U 2Vx
f 0 (xV /U )f 00 (xU )
Comme la définition implique plusieurs vecteurs dimensions il est alors naturel de s’intéresser à la
somme directe sur les vecteurs dimensions de ces fonctions constructibles :
Définition :
– On pose M̃ = V 2NQ0 M (⇤V )GV .
La loi ⇤ munit alors M̃ d’une structure d’algèbre associative NQ0 graduée.
17
– On note Z[i] la variété ⇤V lorsque dimQ0 V = i .
– On définit alors M comme la sous algèbre engendrée par les fonctions du type 1Z[i] et on notera
MV = M \ M (⇤V )GV .
Remarque :
Avec les notations précédentes, Z[i] est la variété réduite à un point : c’est {si }
18
7
Isomorphisme entre fonctions constructibles sur les grassmaniennes et espace de plus haut poids
L
On a déjà construit pour tout i 2 Q0 ,L
deux actions sur u M (GrP (u, q w ). On les avait appelées Ei
et Fi . Pour définir une action deg sur u M (GrP (u, q w ), intuitivement, il nous manque l’action de la
sous algèbre de Cartan. On va donc définir une troisième action Hi .
Définition :
Soit g l’algèbre de Kac-Moody associée au graphe de Dynkin de Q et soit C la matrice de Cartan
associée. Pour tout i 2 Q0 , on définit :
Hi :
(
M (GrP (v, q w ))
f
M (GrP (v, q w ))
(w C.v)i .f
!
7
!
On a maintenant tous les outils nécessaires pour voir
Proposition :
L
M (GrP (u, q w ) comme un U (g)-module.
u
Les opérateurs Ei , Fi et Hi définissent une action de g sur
Démonstration :
L
u
M (GrP (u, q w ).
On commence par définir :
F̃ ((v, w; i) ={(x, t, Z) | (x, t) 2 ⇤(V, W )st , Z ⇢ V est x-stable de dimension v
i}).
Puis on pose F (v, w; i) = F̃ ((v, w; i)/GV .
En utilisant l’isomorphisme entre GrP (v, q w ) et L(v, w) on obtient :
F̃ ((v, w; i) '{( , Z)|
ˆ P (v, q w ), Z ⇢ V est de dimension v
2 Gr
i et P . (Z) ⇢ (Z)}.
ˆ P (v, q ), Z ⇢ V est de dimension v
2 Gr
On définit alors une application de {( , Z) |
P. (Z) ⇢ (Z)} dans GrP (v i, v, q w ) par :
w
( , Z) 7! ( (Z), (V )) et par conséquent en passant au quotient par GV , on a :
F (v, w; i) ' GrP (u
i, u, q w )
Par conséquent le diagramme suivant commute :
i, q w ) o
GrP (v
L(v
✏
⇡1
'
i, w) o
i, v, q w )
GrP (v
✏
⇡1
⇡2
'
/ GrP (v, q w )
'
F (v, w; i)
⇡2
✏
/ L(v, w)
Où les projections ⇡1 et ⇡2 de la ligne du bas sont définies comme ceci :
⇡1 :
(
F (v, w; i)
([x, t], Z)
! L(v i, w)
et ⇡2 :
7
!
[xZ , t |Z ]
19
(
F (v, w; i)
([x, t], Z)
! L(v, w)
7
!
[x, t]
i et
On a donc le résultat d’après [[Na], Proposition 10.12].
⇤
On va maintenant définir ce qui sera notre espace de plus haut poids !w .
Définition :
– On note ↵ la fonction constanteLégale à 1 sur GrP (0, q w ).
– On pose alors Lw = U (n .↵ ⇢ v M (GrP (v, q w )).
– On définit aussi Lw (v) = Lw \ M (GrP (v, q w )).
On a alors le théorème principal de cette section :
Théorème :
Lw est stable par les opérateurs Ei ,L
Fi et Hi et Lw est isomorphe au module irréductible de plus haut
poids !w . Lorsque l’on écrit Lw = v Lw (v) on a Lw (v) qui est un espace de poids dont le poids est
!w ↵ v .
Démonstration :
C’est le [ [Na] , Théorème 10.14].
⇤
20
8
8.1
Isomorphisme entre algèbre enveloppante et certaines fonctions constructibles, base semicanonique.
Retour sur la variété ⇤V
L’existance de la base semicanonique est directement liée à un autre résultat fondamental pour notre
étude : l’isomorphisme entre U (n+ ) et l’algèbre M . Pour se faire nous allons définir de nouvelles variétés
ainsi qu’en étudier certaines propriétés.
Définition :
Pour tout i 2 Q0 et tout p 2 N, on définit :
⇤V,i,p ={(xh ) 2 ⇤V | codimVi (
P
h2Q̃1 ,t(h)=i
Im(xh )) = p}.
En d’autres termes, x 2 ⇤V est dans ⇤V,i,p si la somme de toutes les images de toutes les flèches
arrivant en i est un sous espace vectoriel de Vi de codimension p.
Remarque :
Pour un i 2 Q0 fixé, on a une décomposition de ⇤V en parties constructibles : ⇤V = tp
0 ⇤V,i,p .
Par conséquent, si on note Irr(⇤V ) l’ensemble des composantes irréductibles de ⇤V alors pour tout
Z 2 Irr(⇤V ) et tout i 2 Q0 , il existe un unique p 2 N tel que ⇤V,i,p \ Z contienne un ouvert dense de
Z. On appelle cet entier ti (Z).
(
Irr(⇤V ) !
N
On a donc défini pour tout i 2 Q0 une fonction ti :
.
Z
7! ti (Z)
Soit i 2 Q0 et V et V 00 des P0 -modules tels que| V |=| V 00 | +pi. Soit x 2 ⇤V,i,p . Alors il existe un
unique sous P0 -module V de V , x-stable, de dimension | V 00 |.
Alors x induit un élément de⇤V,i,0 qui par isomorphisme de P0 -modules entre V et V 00 induit un
élément de ⇤V 00 ,i,0 dont la GV 00 orbites ne dépend que de x et plus de l’isomorphisme considéré. Donc
pour tout x 2 ⇤V,i,p on a une GV 00 -orbite O(x) de ⇤V 00 ,i,0 . Alors on a :
– Si Z 2 Irr(⇤V,i,p ) on pose Z 00 = [x2Z O(x) 2 Irr(⇤V 00 ,i,0 ).
– Si Z 00 2 Irr(⇤V 00 ,i,0 ) alors Z ={x 2 ⇤V,i,p | O(x) 2 Z 00 }2 Irr(⇤V,i,p ).
– Les applications Z 7! Z 00 et Z 00 7! Z 0 sont des bijections entre les composantes irréductibles de Z
et celles de Z 00 .
8.2
Fonctions fZ
L
Tout d’abord, rappelons que l’algèbre U (n+ ) est NQ0 graduée. En effet, on a U (n+ ) = ⌫2NQ0 U (n+ )⌫ .
Où U (n+ )⌫ est le sous espace de U (n+ ) engendré par les monômes ei1 ...ein où pour tout i 2 Q0 , i
apparaît ⌫i fois parmi i1 , ..., in .
Dans toute cette partie si V est un P0 -module, on notera | V | à la place de dimQ0 V le vecteur
dimension.
21
Théorème :
Pour tout V P0 -module, on peut définir une application Q-linéaire :
V : U (n+ )|V | ! M (⇤V )GV tel que les deux conditions suivantes soient réalisées :
– Pour tous V , V 0 et V 00 P0 -modules tels que | V |=| V 0 | + | V 00 |, le diagamme suivant commute :
U (n+ )|V 0 | ⇥ U (n+ )|V 00 |
V
V 0 ⇥V 00
M (⇤V 0 )GV 0
/ U (n+ )|V |
✏
⇥ M (⇤V 00 )GV 00
✏
/ M (⇤V )GV
Où la flèche horizontale du haut estLla multiplication dans l’algèbre enveloppante et la flèche horizontale
du bas est la multiplication dans V M (⇤V )GV .
ep
– Soit i 2 Q0 et p 2 N, soit V tel que | V |= pi. Alors V ( p!i ) est la fonction qui vaut 1 sur le point
⇤V .
Démonstration :
On définit les applications V comme ceci :
P
Si ⌫ L
2 NQ0 est de la forme i ⌫i i on pose V ⌫ le P0 -module tel que Vi⌫ = C ... C ⌫i fois. On sait
que V M (⇤V )GV est muni d’une structure
Lde Q algèbre associative. D’après [[Lu], 12.11] il existe un
unique morphisme d’algèbre : U (n+ ) ! V M (⇤V )GV tel que (ei ) est la fonction valant 1 sur le
point ⇤V i . En restreignant à U (n+ )⌫ on obtient V ⌫ .
⇤
Nous avons besoin de deux définitions supplémentaires :
Définition :
On définit :
ep
– U (n+ )Z comme le sous anneau de U (n+ ) engendré par les p!i pour tout i 2 Q0 et tout p 2 N.
– U (n+ )Z,⌫ = U (n+ )Z \ U (n+ )⌫ .
– MZ (⇤V )GV comme les fonctions constructibles sur ⇤V constantes sur les GV -orbites et dont toutes
les valeurs sont dans Z.
Remarque :
L
– On a évidemment V MZ (⇤V )GV qui est stable par multiplication .
– V (U (n+ )Z,|V | ) ⇢ MZ (⇤V )GV .
– Si Z est une composante irréductible de ⇤V alors ⇢Z (MZ (⇤V )GV ) ⇢ Z.
On donne maintenant un lemme qui va assurer l’existence de la base semicanonique :
Lemme :
Soit Z une composante irréductible de ⇤V . Alors il existe f 2 V (U (n+ )Z,|V | ) telle que ⇢Z (f ) = 1 et
⇢Z 0 (f ) = 0 pour toute autre composante irréductible de ⇤V que Z.
Démonstration :
On va démontrer le résultat par récurrence sur la dimension de V .
Lorsque V = 0 le résultat est trivial, on prend V (1).
22
On suppose alors que la dimension de V est supérieure ou égale à 1 et que le résultat est vrai pour
tout P0 -module V 00 de dimension inférieure à dimC (V ). Soit i 2 Q0 , on va prouver que le lemme est
vrai pour tout Z tel que ti (Z) > 0.
On va donc faire une récurrence descendante sur ti (Z). En effet ti (Z)  dimC (Vi ) donc on peut
supposer que ti (Z) = p et que le résultat est vrai pour tout ˜(Z) 2 Irr(⇤V ) tel que ti (Z̃) > p.
Soient V 0 et V 00 des P0 -modules tels que | V |=| V 0 | + | V 00 | et | V 0 |= pi.
On sait que Z1 = Z \⇤V,i,p contient un ouvert dense de Z. Par conséquent Z1 2 Irr(⇤V,i,p ) correspond
00
avec les notations de la partie précédente à Z100 2 ⇤V 00 ,i,0 , on note alors Z¯1 l’adhérence de Z100 dans
00
⇤V 00 . On sait que Z¯1 2 Irr(⇤V 00 ).
Par la première hypothèse de récurrence, comme la dimension de V 00 est inférieure à celle de V (ti (Z) >
0), il existe g 2 V 00 (U (n+ )Z,|V 00 | ) tel que ⇢Z¯1 00 (g) = 1 et ⇢Z¯2 00 (g) = 0 pour toute autre composante
irréductible de ⇤V 00 .
On définit alors g̃ : ⇤V, i, p ! Z par g̃(x) = g(x00 ) où x00 désigne n’importe quel élément de O(x) ⇢
⇤V,i,0 . g̃ est bien définie puisque g est constante sur les GV 00 -orbites.
Soit f˜ = 1 ⇤ g. où 1 désigne la fonction constante égale à 1 sur le point ⇤V 0 . On a alors :
– f˜ |⇤V,i,p = g̃.
– f˜(x) 6= 0 ) x 2 ⇤V,i,p0 où p0 p .
La définition de  avec le diagramme commutatif assure que f˜ 2 V (U (n+ )Z,|V | ).
On voit alors que ⇢Z (f˜) = 1 et que ⇢Z 0 (f˜) = 0 pour toute autre composante irréductible de ⇤V telle
que ti (Z 0 ) = p et toute composante irréductible de ⇤V telle que ti (Z 0 ) < p.
La seconde hypothèse de récurrence assure l’existence de fZ0 2 V (U (n+ )Z,|V | ) dont la valeur générique
sur Z 0 est 1 et 0 sur toutes les autres composantes irréductibles dès que ti (Z 0 ) > p.
On pose alors :
f = f˜
P
Z 0 2Irr(⇤V ),ti (Z 0 )>1
⇢Z 0 (f˜)fZ 0 . 3
La fonction f ainsi définie est dans V (U (n+ )Z,|V | ) et le Lemme est démontré.
Il reste cependant à démontrer que pour tout Z, composante irréductible de ⇤V , il existe i 2 Q0 tel
que ti (Z) > 0. C’est le [[Lu2], Corollaire 1.6].
⇤
Lemme :
Pour tout P0 -module V on a : dim(U (n+ )|V | ) =| Irr⇤V |.
Démonstration :
La démonstration de ce résultat se trouve dans [Lu2].
⇤
On arrive mainteant au théorème principal de cette partie, celui qui va nous donner à la fois l’isomorphisme entre les fonctions constructibles et l’algèbre enveloppante d’une part, mais qui d’autre part
nous donne explicitement la base semicanonique.
3. Dans le cas où ti (Z) = dimC Vi la somme ici présente est vide et la fonction f˜ convient. C’est pourquoi il n’y a pas
eu d’initialisation de la deuxième récurrence.
23
Théorème :
Soit V un P0 -module et soit ⌫ =| V |. Alors on a :
– 1) Pour tout Z 2 Irr(⇤V ) il existe un unique fZ 2 V (U (n+ )Z,⌫ ) tel que ⇢Z (fZ ) = 1 et ⇢Z 0 (fZ ) = 0
pour toute autre composante irréductible Z 0 de ⇤V .
– 2) Les fonctions {fZ | Z 2 Irr(⇤V )} forment une base du Q-espace vectoriel V (U (n+ )⌫ ).
– 3)V : U (n+ )⌫ ! V (U (n+ )⌫ ) est un isomorphisme.
– 4) Soit [Z] 2 U (n+ )⌫ définit par V (U (n+ )⌫ ) = fZ . Alors {[Z] | Z 2 Irr(⇤V )} est une Q-base de
U (n+ )⌫ .
Démonstration :
Notons Q[Irr(⇤V )] le Q-espace vectoriel dont une base est {[Z] | Z 2 Irr(⇤V )}.
Considérons les applications a et b suivantes :
U (n+ )⌫
a
/ V (n+ )⌫ )
Où a est la restriction de V et b est l’application f 7!
b
P
/ Q[Irr(⇤V )]
Z
⇢Z (f )[Z].
Par définition a est surjective et on a démontré que b était surjective. Par conséquent b a est surjective.
D’après le Lemme précédent b a est une surjection entre deux Q-espaces vectoriels de même dimension
donc b a est un isomorphisme et alors a et b sont des isomorphismes.
Le théorème est donc démontré.
⇤
La base {[Z] | Z 2 Irr(⇤V )} est alors appelée base semicanonique de U (n+ )⌫ et en prenant l’union pour
tous les vecteurs dimension ⌫, on obtient une base de U (n+ ) que l’on appelle aussi base semicanonique.
24
9
Involution de Schützenberger
Dans cette partie, il conviendra de définir certains P -modules ainsi que certaines variétés qui ne seront
utilisées que dans cette partie .
9.1
Modules projectifs et action du groupe de Weyl
Définition :
Pour tout i 2 Q0 , on définit le P -module à gauche pi = P.ei .
Remarque :
Avec les notations des parties précédentes, pi est le dual de q i .
Comme dans les parties précédentes, on note g l’algèbre de Kac-Moody associée au graphe de Q et on
note W son groupe de Weyl muni de l’ordre de Bruhat .
Définition :
Pour chaque w 2 NQ0 , on définit une action de W sur ZQ0 de la manière suivante :
Soit v 2 ZQ0 et
2 W. On définit alors .w .v = u où u est l’unique élément de ZQ0 vérifiant :
(!w
↵ v ) = !w
↵u
On dit alors que v 2 NQ0 est w extrémal si v 2 W.w 0.
Proposition :
Les assertions suivantes sont équivalentes :
– v est w-extrémal.
– L(v, w) est réduit à un point.
– GrP (v, q w ) est réduit à un point .
– Il existe un unique sous P -module de q w de dimension v.
Démonstration :
Les équivalences (ii) , (iii) , (iv) sont déjà connues : elles proviennent de l’isomorphisme entre
L(v, w) et GrP (v, q w ).
L’équivalence (i) , (ii), quant à elle, est démontrée dans [[Sa], proposition 5.1]
⇤
9.2
Grassmannienne
Définition :
– Soit V un P -module, on définit :
˜ P (V ) ={U 2 GrP (V ) | Pn .V ⇢ U pour un n 2 N}
Gr
En d’autres mots, il s’agit des sous P -modules U de V tels que le quotient V /U est nilpotent.
25
˜ P (u, V ) ={U 2 Gr
˜ P (V ) | dimQ (V /U ) = u}
– Pour u 2 NQ0 , on définit : Gr
0
On va maitnenant donner une proposition qui va nous fournir toute une famille d’isomorphismes
indispensables pour définir l’involution de Schützenberger.
Proposition :
˜ P (v, pw ) en tant que variété algébrique.
Fixons v et w 2 NQ0 . Alors L(v, w) est isomorphe à Gr
Démonstration :
La preuve de cette proposition se trouve dans [[Shi], Corollaire 3.2].
⇤
On a alors, comme dans la partie précédente, la propostion suivante :
Proposition :
Les assertions suivantes sont équivalentes :
– v est w-extrémal.
– L(v, w) est réduit à un point.
˜ P (v, pw ) est réduit à un point .
– Gr
– Il existe un unique sous P -module V de pw de codimension v, tel que pw /V est nilpotent.
Démonstration :
Les équivalences (ii) , (iii) , (iv) sont déjà connues : elles proviennent de l’isomorphisme entre
˜ P (v, pw ).
L(v, w) et Gr
L’équivalence (i) , (ii), quant à elle, est démontrée dans [[Sa], proposition 5.1]
⇤
9.3
Liens entre les constructions projectives et injectives
On suppose toujours que Q est de type fini et que g est l’algèbre de Kac-Moody associée au graphe de
Q. Comme on est en type fini, il existe un unique élément du groupe de Weyl de longueur maximale.
On le note 0 .
Il existe alors une unique permutation de Q0 , que l’on note ✓, et telle que :
0 (↵i )
On étend ✓ au réseau des racines
L
i2Q0
= ↵✓(i) .
Z↵i . On l’étend aussi en une involution 4 de NQ0 .
Définition :
On définit l’involution de Chevalley ⇣ : g ! g par :
⇣(Ei ) = Fi ,
4. car étant unique de longueur maximale
⇣(Fi ) = Ei ,
0
est égal à son inverse
26
⇣(Hi ) =
Hi
Définition :
Soit
un poids dominant de g. On considère le module simple de plus haut poids
que l’on note L( ).
On va définir l’isomorphisme d’espace vectoriel suivant :
s:
(
L( )
v
! L( )
où
7
!
v 0( )
s(Ei .v) = E✓(i) .s(v)
s(Fi .v) = F✓(i) .s(v)
0
est le plus long élément du groupe de Weyl et s est tel que :
pour tout i 2 Q0 et tout v 2 L( ).
On appelle s involution de Schützenberger.
Proposition :
Si Q est un carquois de type fini, on a l’isomorphisme de variétés algébriques suivant : GrP (u, q w ) '
˜ P (( 0 .0) u, p✓(w) )
Gr
Démonstration :
Notons (x, V ) la représentation de carquois associée auP -module q w et soit v = dimQ0 (v) = 0 .w 0.
[[SaTi], Proposition 7.10] nous assure que (x, V ) correspond aussi à la représentation de carquois
associée au P -module p✓(w) . Or, en utilisant [[SaTi], Remarque 2.10] , on obtient que Pn .pw = 0 pour
n suffisemment grand. Alors on a :
GrP (u, q w )
=
=
'
{U ⇢ V | x(U ) ⇢ U et dimQ0 (U ) = u}
{U ⇢ V | x(U ) ⇢ U et dimQ0 (V /U ) = u}
˜ P (v u, p✓(w) )
Gr
⇤
On note désormais w (u) l’isomorphisme
˜ P (( 0 .w 0)
phisme ✓(w) : GrP (u, q w ) ' Gr
On a alors le théorème suivant :
: GrP (u, q w ) ! L(u, w). De même on dénote l’isomoru, p✓ (w)) ! L(( 0 .w 0) u, ✓(w)).
w (u)
Théorème :
Pour tout a g on a :
ao(
✓(w) o w
1 ⇤
) =(
✓(w) o w
1 ⇤
) o⇣(a)
Démonstration :
La preuve de ce résultat se trouve dans [[SaTi], Théorème 7.13]
⇤
La composition des fonctions régulières de Lw par ✓(w) o w 1 est à valeurs dans ⇣ L✓(w) ' L 5 et envoie
la fonction constante égale à 1 sur L(0, w) sur la fonction constante égale à 1 sur L( 0 .w .0, ✓(w)) .
On peut identifier cette composition avec l’involution de Schützenberger .
5. Module L✓(w) où l’action de g est trodue par ⇣
27
10
Liens entre la base semicanonique, les modules irréductibles
et l’involution de Schützenberger
Nous avons étudié les objets suivants : V M (⇤V )GV et v M (L(v, w)) et nous avons réalisé les objets
bien connus que sont U (n ) et L(w) comme des sous modules de V M (⇤V )GV et v M (L(v, w) que
l’on a noté M et Lw .
Nous allons chercher comment transporter la base semicanonique de U (n ) dans L(w) et nous allons
vérifier sa stabilité par l’involution de Schützenberger.
Soit f 2 M (⇤V )GV . La GV équivariance de f entraîne l’existence d’une fonction g : L(v, w) ! C telle
que g([x, t]) = f (x) pour tout (x, t) 2 ⇤(V, W )st .
Avec ces notations, on notera D̃ : M (⇤V )GV ! M (L(v, w) qui envoie f sur g.
En d’autres termes :
D̃ :
(
M (⇤V )GV
f
! ( M (L(v, w))
L(v, w) ! C
7!
[x, t] 7! f (x)
On prolonge cette application en prenant la somme directe sur les P0 -modules afin d’obtenir la fonction :
D̄ :
V
M (⇤V )GV !
v M (L(v, w))
L’application D̄ vérifie alors la propriété suivante :
Proposition :
Soit V 2 P0 mod, soit i 2 I et soit f 2 M (⇤V )GV alors on a : D̄(1Z[i] ⇤ f ) = Fi .D̄(f )
Démonstration :
Soit (x, t) 2 ⇤(v + i, w)st . Soit Vx la variété des sous modules de x de dimension | V |, c’est à dire
l’ensemble des sous espaces vectoriels de V + Ci , x stables et de dimension v.
D’une part on a :
D̄(1Z[i] ⇤ f )([x, t]) = 1Z[i] ⇤ f (x) =
´
U 2Vx
f (xU )
On remarque que dès que l’on a un sous module de x de dimension V alors le quotient est forcément
isomorphe au module simple si et que par conséquent il ne reste que f dans l’intégrale et xU , quant à
lui, désigne un élément de ⇤V obtenu en transportant la loi de U dans ⇤V par isomorphisme 6 .
D’autre part on a :
Fi .D̄(f )([x, t])
= (⇡2 )! (⇡1⇤ (D̄(f )))([x, t])
´
= [x,t,Z]2⇡ 1 ([x,t]) D̄(f )(⇡1 ((x, t, Z))) or comme x et t sont fixés, Seuls les espaces vectoriels Z varient.
2
Or la première projection dans L(v, w) n’est autre que [xZ , t0 ] où xZ est la loi sur Z transportée dans
⇤V et t0 est la restriction du morphisme t.
´
= [x,t,Z]2⇡ 1 ([x,t]) f (xZ )
2
6. Ici xU dépend de l’isomorphisme que l’on choisit mais la classe de xU sous l’action de GV non, or f est GV
équivariante donc f (xU ) dans l’intégrale a bien un sens.
28
Or il faut décrire ⇡2 1 ([x, t]) plus en détail pour terminer le calcul :
Il s’agit de la variété F ={(y, t0 , Z) | (y, t0 ) 2 ⇤(v +i, w)st et Z est un sous espace y stable de dimension
v } 7 quotientée par GV +Ci or F peut se réécrire : {(y, t0 , Z) | (y, t0 ) 2 ⇤(v + i, w)st et Z 2 Vy }
Ici on fixe la classe de [y, t0 ] à [x, t] et, la classe d’un élément Z 2 Vx est une collection de Z 0 2 Vg.x
pour g 2 GV +Ci .
Ainsi, on choisit comme représentant d’une classe, l’élément qui se trouve dans Vx .
Plus précisemment on a :
(
Vx ! ⇡2 1 ([x, t])
:
qui est bijective.
Z 7! [x, t, Z]
En effet cette application est clairement surjective par définition de F et si on a Z et Z 0 2 Vx tels que
(Z) = (Z 0 ) alors on a :
[x, t, Z] = [x, t, Z 0 ] ce qui signifie qu’il existe g 2 GV +Ci tel que (g.x, g.t, g.Z 0 ) = (x, t, Z) donc on a
g.(x, t) = (x, t) et g 2 stab((x, t)) or l’action de GV +Ci sur ⇤(v + i, w)st est libre donc g = e et Z = Z 0 .
Donc est injective .
Finalement, on a :
Fi .D̄(f )([x, t]) =
´
Z2Vx
f (xZ )
Donc les deux intégrales sont égales et D̄(1Z[i] ⇤ f ) = Fi .D(f ).
⇤
Remarque :
La fonction D̄ envoie la fonction constante égale à 1 sur ⇤0 sur la fonction constante égale à 1 sur
L(0, w).
Par conséquent on peut restreindre l’application D̄ au départ à M et à l’arrivée à Lw . On appelle cette
restriction fonction D. On a alors le Corollaire suivant :
Corollaire :
L’application D se réalise comme la surjection usuelle
(
U (n )
a
! L(w)
.
7
!
a.vw
Démonstration :
On sait que M est isomorphe à U (n ) et Lw est isomorphe à L(w), le module de plus haut poids
associé au poids w.
La remarque préliminaire au corollaire permet de conclure la démonstration puisque la fonction
constante égale à 1 sur L(0, w) est le vecteur de plus haut poids de ce U (g) module.
⇤
L’application D permet alors de transporter la base semicanonique de U (n ) vers Lw , nous allons donc
nous intéresser à l’image de la base semicanonique par cette application.
7. Il s’agit de la variété F̃ (v + i, w, i) définie page 18
29
Remarque :
Il est connu que le noyau de l’application usuelle
<↵V
i |w>+1
dré par les fi
(
U (n )
a
! L(w)
est l’idéal à gauche engen7
!
a.vw
pour tout i 2 I et et donc, via le corollaire précédent, le noyau de l’application
<↵V |w>+1
D est l’idéal à gauche engendré par les fonctions 1Z[i]i
.
Intéressons-nous aux composantes irréductibles de L(v, w).
Nous partons des composantes irréductibles de ⇤V , on sait que ⇤(V, W ) = ⇤V ⇥ Hom(V, W ) donc
les composantes irréductibles de ⇤(V, W ) sont indexées par celles de ⇤V . Or la condition de stabilité
est une condition ouverte et donc certaines composantes irréductibles disparaissent puis lorsqu’on
quotiente par GV , comme GV est connexe et que le quotient est submersif (voir [[Mu]Théorème 1.10]),
on a le même nombre de composantes irréductibles dans ⇤(V, W )st et dans L(v, w).
Proposition :
Si Z est une composante irréductible de L(v, w) alors il existe une unique fonction gZ 2 Lw telle que
⇢Z (gZ ) = 1 et ⇢Z 0 (gZ ) = 0 pour toute autre composante irréductible Z 0 de L(v, w).
Démonstration :
Pour l’existence, on relève Z dans ⇤V en Z̃ et on prend gZ = D(fZ̃ ), on a bien une fonction ayant les
propriétés requises d’après la remarque qui précède.
Pour l’unicité supposons que l’on ait une fonction h 2 Lw qui fonctionne, alors par surjectivité de D,
il existe h̃ 2 MV telle que D(h̃) = h.
Notons Z˜1 , ...Z˜n , H1 , ..., Hm les composantes irréductibles de ⇤V où les Z̃i sont des composantes irréductibles qui subsistent à la condition de stabilité et les Hi sont celles qui ne subsistent pas, quitte à
réindexer on peut supposer que Z˜1 = Z̃.
Alors h̃ aP
pour valeur générique 1 sur Z1 et 0 sur les autres Zi , notons ↵i sa valeur générique sur Hi .
˜
Alors h̃
0 sur toutes les autres composantes irréductibles.
i ↵i fHi a pour valeur générique 1 sur Z1 etP
Par unicité de la base semicanonique, on a donc h̃
i ↵i fHi = fZ˜1 .
Or en utilisant [[Lu2], Corollaire 3.10] on sait que les fHi sont dans le noyau de D car l’image par D
des vecteurs ne s’envoyant pas sur 0 forment une base et alors on aurait une relation de liaison.
Donc D(h̃) = D(fZ˜1 ) = gz = h et on a l’unicité.
⇤
Définition :
On peut donc définir la base semicanonique de Lw comme (gZ )Z2Irr(L(v,w)),v où gZ est la fonction
valant 1 génériquement sur Z et 0 génériquement sur toute autre composante irréductible que Z.
Corollaire :
La base semicanonique de M s’envoie sur la base semicanonique de Lw
Démonstration :
La fonction valant génériquement 1 sur une composante irréductible Z de ⇤V est envoyée sur une
fonction valant génériquement 1 sur la composante irréductible de L(v, w) associée si elle est préservée,
30
et sur la fonction nulle sinon. Par unicité de ces fonctions, d’après la proposition précédente, et d’après
la définition de la base semicanonique de Lw la base semicanonique de M s’envoie bien sur la base
semicanonique de Lw .
⇤
Maintenant il reste à examiner la stabilité de la base semicanonique par l’involution de Schützenberger.
Remarque :
Rappelons que cette involution est donnée par la composition à droite par un isomorphisme entre
L(u, w) et L( 0 .w 0 u, ✓(w)). Or cet isomorphisme étant un homéomorphisme pour la topologie
analytique mais aussi pour la topologie de Zariski (admis). Il envoie les composantes irréductibles
d’une variété sur celles de l’autre et, dès lors, la base semicanonique de Lw est envoyée sur la base
semicanonique de ⇣ L✓(w) .
Proposition :
La base semicanonique est stable par l’involution de Schützenberger.
Démonstration :
C’est la remarque qui précède.
⇤
31
Références
[Na]
Nakajima : Instantons on ale spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras.
[Mu]
Mumford-Fogarty-Kirwan : Geometric Invarient Theory
[CB]
William Crawley-Boevey : Lectures on Representations of Quivers
[SaTi] Alister Savage and Peter Tingley : Quiver grassmannians, quiver varieties and the preprojective
algebra
[Ja]
Jacobson : Basic Algebra
[Lu]
Lustig : Quivers, perverse sheaves, and quantized enveloping algebras
[Lu2] Lusztig : Semicanonical bases arising from enveloping algebras
[Lu2] Lustig : Affine quivers and canonical bases
[Sa]
Savage : quiver varieties and Demazure modules
[Shi]
Shipman : On representation schemesand grassmannians of finite dimensional algebras and a
construction of Lusztig
32