Rapport de stage M2 - Université de Strasbourg

Mémoire de Master 2 : Base semicanonique et involution de
Schützenberger
Arnaud Demarais
Printemps/Eté 2014
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Table des matières
1 Introduction 3
2 Carquois, algèbre de chemins et algèbre préprojective. 4
3 Modules de l’algèbre de chemins et grassmannienne de carquois 6
3.1 P-modules............................................ 6
3.2 Modulessimples ........................................ 7
3.3 Enveloppeinjective....................................... 7
3.4 Grassmanniennedecarquois.................................. 9
4 Variétés de carquois 10
5 Liens entre les variétés de carquois et les grassmanniennes de carquois 12
6 Fonctions constructibles 15
6.1 Généralités ........................................... 15
6.2 Fonctions constructibles sur les grassmanniennes de carquois . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 Fonctions constructibles sur les variétés nilpotentes de Lusztig . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Isomorphisme entre fonctions constructibles sur les grassmaniennes et espace de
plus haut poids 19
8 Isomorphisme entre algèbre enveloppante et certaines fonctions constructibles, base
semicanonique. 21
8.1 Retour sur la variété ⇤V.................................... 21
8.2 Fonctions fZ.......................................... 21
9 Involution de Schützenberger 25
9.1 Modules projectifs et action du groupe de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.2 Grassmannienne ........................................ 25
9.3 Liens entre les constructions projectives et injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10 Liens entre la base semicanonique, les modules irréductibles et l’involution de
Schützenberger 28
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1 Introduction
J’ai effectué mon stage de M2 à l’université de Strasbourg de Avril à Juillet 2014. Je tiens à remercier
Pierre Baumann pour ses conseils et le temps qu’il a investi dans ce mémoire, en particulier, dans les
explications sans lesquelles la compréhension du sujet aurait été impossible ainsi que dans la relecture
du présent manuscrit. Je remercie aussi Marie-Christine Demarais ainsi que Poulpy 1pour la relecture
finale.
L’objectif de ce mémoire est de définir la base semicanonique de l’algèbre enveloppante supérieure
U(n+)d’une algèbre de Lie get d’en étudier certaines propriétés, telle que la stabilité des vecteurs de
cette base par l’involution de Schützenberger ainsi que le transfert dans les modules simples.
Pour ce faire, on commence par s’intéresser, dans la partie 2, aux objets mathématiques que sont les
carquois : pour un carquois Q,ondéfinitsonalgèbredecheminsainsiquesonalgèbrepréprojective
P.Puis,danslapartie3,ons’intéresseauxP-modules de façon à pouvoir définir dans la partie 4
plusieurs variétés algébriques. Essentiellement, ce seront les variétés nilpotentes de Lusztig ainsi que
les variétés lagrangiennes de Nakajima que nous y étudierons, puis leurs liens avec les P-modules dans
la partie 5.
Ensuite, dans la partie 6, on s’intéressera aux fonctions constructibles afin d’étudier les fonctions
constructibles sur les variétés nilpotentes de Lusztig et les variétés Lagrangiennes de Nakajima. Dans
les parties 7 et 8 on réalisera ces fonctions constructibles comme l’algèbre enveloppante supérieure
de l’algèbre de Kac-Moody associée au graphe du carquois et les représentations de cette algèbre, en
particulier les U(g)-modules simples. Cette identification nous permettra de construire une nouvelle
base de l’algèbre enveloppante supérieure
La partie 9 s’intéresse à l’involution de Schützenberger, dans le cadre des fonctions constructibles.
Dans la partie 10, qui constitue le travail original de ce mémoire, on s’intéressera à la construction de
la base semicanonique dans les modules simples L(),entransportantlabasesemicanoniquedeU(n+)
dans les L()via, dans le vocabulaire des fonctions constructibles, une application de restriction.
Cette application se réalise alors comme étant la surjection canonique U(n+)!L().Dèslorson
pourra prouver la stabilité par l’involution de Schützenberger, qui n’est autre que la composition de
nos fonctions constructibles par un homéomorphisme de variétés algébriques.
1. mon ami
3

2 Carquois, algèbre de chemins et algèbre préprojective.
Dans cette partie nous allons définir les concepts de carquois, y attacher des algèbres, regarder les
modules sur ces algèbres et certaines de leurs propriétés.
Définition :
–Uncarquoisestladonnéed’uncoupleQ=(Q0,Q
1)où Q0est l’ensemble des sommets et Q1
l’ensemble des flèches, ainsi que deux applications s(respectivement t)deQ1dans Q0qui à une
flèche, associe son point de départ (respectivement d’arrivée).
–UnchemindansQest la donnée d’une suite ⇢1, ..., ⇢
md’éléments de Q1où l’on a s(⇢i)=t(⇢i+1).
–Lalongueurd’uncheminestdéfiniecommelenombredeflèchesconstituantcechemin.
–Pourtouti2Q0,ondéfinitlechemintrivial(delongueur0)eitel que s(ei)=t(ei)=i.
–Onétendévidemmentlesfonctionsset taux chemins comme les fonctions qui à un chemin, associe
son point de départ (respectivement d’arrivée).
–Uncarquoisestdetypefinisilegraphesous-jacentdechaquecomposanteconnexeestundiagramme
de Dynkin.
Maintenant, on va associer à un carquois donné son algèbre des chemins puis on va étudier certaines
propriété de cette algèbre.
Définition :
L’algèbre des chemins d’un carquois Qest le C-espace vectoriel dont une base est indexée par les
chemins de Qet munie de la multiplication suivante :
Si xet ysont deux chemins alors x.y =(xy si t(y)=s(x)
0sinon .
On la note CQ.
Soit Qun carquois et Ason algèbre des chemins.
Propriété :
On a les propriétés suivantes :
–ei.ej=0si i6=jet e2
i=ei.
–Pieiest le neutre de l’algèbre A.
–Aei(respectivement ejA)sontdesespacesvectorielsayantpourbaselescheminscommençanteni
(respectivment terminant en j).
–A=iAei.
–SiXest un A-module à gauche HomA(Aei,X)'eiX.
–Sif2Aeiet g2eiAsont non nuls alors fg est non nul.
–Leseisont primitifs. 2
–Siej2AeiAalors i=j.
–Sii6=jalors Aein’est pas isomorphe à Aej.
2. ie Aeiest indécomposable en tant que A-module à gauche
4

Démonstration :
La preuve de ces assertions se trouve dans [[CB], paragraphe 1].
⇤
L’algèbre des chemins d’un carquois Qest évidemment graduée par la longueur des chemins et on a
alors CQ=Pn2NCQnoù CQnest l’espace vectoriel engendré par les chemins de longueur n.
Par la suite, pour un carquois donné, on ne s’intéresse pas exactement à son algèbre de chemins mais
àl’algèbredecheminsd’unautrecarquois:lecarquoisdouble.
Définition :
Si Q=(Q0,Q
1)est un carquois alors on définit ˜
Q=(Q0,˜ Q1).
Où ˜ Q1=[a2Q1{a, ¯a}etoùpourchaquearrêtea,¯aest une arrête opposée telle que s(¯a)=t(a)et
t(¯a)=s(a).
On va alors définir l’algèbre préprojective à partir de l’algèbre des chemins du carquois double.
Définition :
On définit l’algèbre préprojective d’un carquois Qet l’on note P=P(Q)l’algèbre C˜ Q/(Pa2Q1a¯a¯aa).
Comme l’idéal par lequel on quotiente est homogène, elle hérite de la graduation de C˜ Qet on note
P(Q)=P(Q)n.
En particulier, on a P0=Cei=CQ0.
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