Algèbres de Hopf combinatoires

Algèbres de Hopf combinatoires
Loïc Foissy1
Laboratoire de Mathématiques - FRE3111, Université de Reims
Moulin de la Housse - BP 1039 - 51687 REIMS Cedex 2, France
1e-mail: [email protected]; webpage: http://loic.foissy.free.fr/pageperso/accueil.html

Table des matières
1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels 5
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriétés du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Base et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Associativité et unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Sommes et intersections de produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Volte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Algèbre tensorielle et algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Produit tensoriel d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Algèbres, cogèbres, bigèbres 15
2.1 Axiomes des algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Coidéaux et sous-cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Morphismes de cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Produit tensoriel de cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Bigèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Sous-bigèbres et quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 Bigèbres tensorielles et bigèbres symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Convolution et algèbres de Hopf 28
3.1 Définition des algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Idéaux de Hopf et morphismes d’algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Propriétés de l’antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 bigèbres opposées et coopposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Compatibilités de l’antipode avec les structures de bigèbres . . . . . . . . 30
3.2.3 Antipode d’une algèbre de Hopf (co)commutative . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4 Eléments de type groupe et éléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Algèbres de Hopf T(V)et S(V)............................ 33
3.3.1 Antipode d’une algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Antipode d’une algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2

4 Graduations 35
4.1 Espaces gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Séries formelles de Poincaré-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 Dual gradué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.4 Algèbres, cogèbres, bigèbres graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Dual gradué d’une algèbre de Hopf tensorielle ou symétrique . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Dual d’une algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Dual d’une algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Connexité 45
5.1 Algèbres de Hopf connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.2 Existence d’un antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Générateurs et éléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.1 Espaces des générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2 Eléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Algèbres de Lie et algèbres enveloppantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Axiomes des algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 Algèbres enveloppantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Théorème de Cartier-Quillen-Milnor-Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.1 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.2 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Groupe des caractères d’une algèbre de Hopf graduée connexe . . . . . . . . . . . 55
5.5.1 Groupe des caractères et algèbre de Lie des caractères infinitésimaux . . . 55
5.5.2 Cas d’une algèbre de Hopf graduée connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Un exemple d’algèbre de Hopf combinatoire : l’algèbre des fonctions symé-
triques 60
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.2 Antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2 Algèbre de Lie et groupe associés à Sym ....................... 61
6.2.1 Caractères infinitésimaux de Sym ....................... 61
6.2.2 Groupe des caractères de Sym ........................ 62
6.2.3 Elements primitifs de Sym .......................... 63
7 Algèbre des arbres enracinés 64
7.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.1 Arbres enracinés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.2 Opérateur de greffe sur une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.3 Graduation de HR............................... 65
7.2 Algèbre de Hopf HR.................................. 66
7.2.1 Définition du coproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2 Antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.3 Propriété universelle de l’algèbre de Hopf HR................ 70
7.3 Dual gradué de HR................................... 72
7.4 Structure de HR.................................... 73
7.4.1 Opération de greffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3

8 Algèbres des arbres enracinés plans 78
8.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.1 Arbres enracinés plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.2 Opérateur de greffe sur une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.3 Graduation de HP R .............................. 79
8.2 Algèbre de Hopf HP R ................................. 79
8.2.1 Définition du coproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2.2 Propriété universelle de l’algèbre de Hopf HP R ............... 80
8.3 Dual gradué de HP R .................................. 80
8.3.1 Application γ.................................. 81
8.3.2 Autodualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3.3 Applications : couplage de Hopf et base duale . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Notations
1. Dans tout ce texte, Kdésigne un corps commutatif quelconque. Tous les espaces vectoriels,
algèbres, etc, de ce texte seront pris sur le corps K. On ne considèrera par ailleurs que des
algèbres non nulles.
2. Si Vest un espace vectoriel et si (ei)i∈Iest une base de V, alors (e∗
i)i∈Iest la famille de
V∗définie par :
e∗
i:V−→ K
ej−→ δi,j.
Il s’agit d’une famille libre. Lorsque Vest de dimension finie, il s’agit d’une base de V∗,
appelée la base duale de (ei)i∈I.
3. Soient Vet Wdeux espaces. L’ensemble des applications linéaires de Vdans West noté
Hom(V, W ).
4

Chapitre 1
Produit tensoriel d’espaces vectoriels
Soient Vet Wdeux espaces vectoriels et soit f:V−→ Wune application linéaire. Sa
transposition est une application linéaire f∗:W∗−→ V∗(on a "inversé le sens de la flêche").
Soient maintenant V1, V2et Wdes espaces vectoriels et soit f:V1×V2−→ Wune application
bilinéaire. Comment transposer f? Il faut d’abord linéariser f, en remplaçant V1×V2par un
espace vectoriel V1⊗V2. Nous nous limitons ici au produit tensoriel sur un corps K. Pour des
résultats plus généraux (sur un anneau quelconque), voir par exemple [2] ou le premier chapitre
de [19], ou encore [14].
1.1 Définition
Lemme 1 Soit Xun ensemble quelconque. Il existe un espace vectoriel KX de base Xet
cet espace est unique à un isomorphisme fixant Xprès.
Preuve. Existence. Soit F=KX, ensemble des applications de Xdans K. Cet ensemble est
naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel. Pour tout x∈X, on considère :
fx:X−→ K
y−→ δx,y.
Alors la famille (fx)x∈Xest libre. Soit Ele sous-espace vectoriel de Fengendré par ces éléments.
Ainsi, Eest un espace vectoriel ayant une base indexée par les éléments de X. Pour obtenir une
espace vectoriel dont une base est indexée par X, on pose KX = (E− {fx/ x ∈X})∪X. Cet
ensemble est en bijection avec Ede la manière suivante :
E−→ KX
fx(x∈X)−→ x,
f /∈ {fx|x∈X} −→ f.
Comme Eest un espace vectoriel, via cette bijection il en est de même pour KX. Comme (fx)x∈X
est une base de E, son image Xpar cette bijection est une base de KX.
Unicité. Soit Vun autre espace vectoriel ayant Xpour base. Alors il existe une unique
application linéaire envoyant x∈X⊆KX sur x∈Vpour tout x. Cette application envoie une
base sur une base, donc c’est un isomorphisme. 2
Proposition 2 Soient V1, V2deux espaces vectoriels. Il existe un couple (V, ⊗), tel que V
soit un espace vectoriel et ⊗une application bilinéaire :
⊗:V1×V2−→ V
(v1, v2)−→ v1⊗v2,
5