TD 5-6 : Viabilité, complétude, couverture dans des

Université Paris VI
Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054)
TD 5-6 : Viabilité, complétude, couverture dans des modèles à
temps discret
On rappelle que proba risque neutre est synonyme de mesure martingale équivalente à
la mesure µ.
1. Portefeuille auto-financé. On considère un espace mesuré (Ω, F, µ) muni d’une
filtration IF = (Fn )n≥0 supposée complète, vérifiant F0 = {∅, Ω} et F∞ = F. On considère
une marché discret comportant un actif sans risque B et d actifs risqués S = (S 1 , . . . , S d )
où S est IF -adapté : pour tout i ∈ {1, . . . , d}, pour tout n ≥ 0, Sni est la valeur de l’actif
S i au soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la
valeur initiale). La dynamique de B est donnée par B0 = 1 et Bn = (1 + rn )Bn−1 où
r = (rn )n≥0 est positif IF -prévisible : pour tout n ≥ 0, Bn est la valeur de l’actif B au
soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la valeur
initiale). La vie d’un portefeuille est modélisé par un processus IF -prévisible (β, α)n≥1 à
valeurs dans R × Rd : βn (resp. αni ) est la quantité d’actif sans risque (resp. d’actif risqué
S i ) détenue sur la période allant du matin du n-ème jour (avant ouverture de la bourse)
au matin suivant. On note A l’ensemble des portefeuilles auto-financés.
1. Montrer que la condition d’autofinancement détermine entièrement β en fonction
de α et de la valeur initiale du portefeuille x, et que pour tout processus prévisible (α)
à valeurs dans Rd , on peut trouver un processus prévisible β à valeur dans R tel que
(β, α) ∈ A de valeur initiale x.
2. Donner, pour n ≥ 0, la valeur Ṽnx,α du portefeuille le soir du n-ème jour actualisée
à l’instant 0 (qui est sa valeur initiale si n = 0) en fonction de x, de (α) et des prix
actualisés des actifs risqués sur l’intervalle [0, n].
3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n,
l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de Ṽnx,α à un instant k < n (i.e.
sachant Fk ) ?
Solution :
< ., . > désigne le produit scalaire canonique de Rd .
1. La valeur du portefeuille au matin du premier jour est sa valeur initiale x, et elle
au aussi égale à B0 β1 + < α1 , S0 >. Donc β1 est déterminé par x et α1 .
Soit n ≥ 1. La valeur du portefeuille au soir du n-ème jour (après fermeture de la
bourse) est βn Bn + < αn , Sn >. Le lendemain matin, avant ouverture de la bourse, le
portefeuille est recomposé, et sa valeur devient βn+1 Bn + < αn+1 , Sn >. On a donc, en
auto-financement,
βn Bn + < αn , Sn >= βn+1 Bn + < αn+1 , Sn >,
ce qui implique que
βn+1 = βn + < αn − αn+1 , S̃n >,
1
avec S̃n = Sn /Bn (valeur actualisée à l’instant 0 de Sn ).
Ainsi, par récurrence, βn est déterminé par x et (α).
2. On déduit de ce qui précède que que pour tout n ≥ 1,
x,α
Ṽnx,α − Ṽn−1
=< αn , S̃n − S̃n−1 >,
d’où pour tout n ≥ 0,
Ṽnx,α
=x+
n
X
< αt , S̃t − S̃t−1 > .
t=1
3. Le marché étant viable, il existe une mesure martingale. Sous cette mesure, le
processus (Ṽnx,α ) est une martingale. On en déduit que l’espérance conditionnelle est Ṽkx,α .
2. Etude d’un modèle simple de marché. On considère un marché à cinq états
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ω5 }, deux périodes et trois actifs : un actif sans risque B de prix 1, de
taux d’intérêt r = 0 et deux actifs risqués S a et S b . On fait les hypothèses suivantes sur
les dynamiques de chaque actif risqué :
a. S0a = 6 et
((S1a , S2a )(ωi ))i=1,...,5 = ((5, 3), (5, 4), (5, 8), (7, 6), (7, 8)).
b. S0b = 3.75 et
((S1b , S2b )(ωi ))i=1,...,5 = ((3, 2), (3, 3), (3, 4), (4.5, 4), (4.5, 5)).
On note F = P(Ω) et P une probabilité non redondante sur Ω (i.e. telle que pour tout i,
P({ωi }) > 0).
1. Représenter les dynamiques de prix sous forme d’arbre. On note, pour n ∈ {0, 1, 2},
Fn = σ{(Bi , Sia , Sib ), i ≤ n}.
Déterminer F0 , F1 et F2 .
2. Déterminer l’ensemble des probabilités risque-neutre pour ce marché. Que dire du
marché ?
3. On considère un actif dérivé F2 -mesurable H : Ω 7→ R+ (c’est un un contrat assurant
à son détenteur le flux H à la date terminale 2). Il est dit réplicable (ou simulable) s’il
existe un portefeuille autofinancé Φ telle que V2Φ = H. On note H la variable aléatoire
définie sur Ω par :
H(ω1 ) = 0, H(ω2 ) = 0.25, H(ω3 ) = 4.25, H(ω4 ) = 1.5, H(ω5 ) = 3.5.
3.a. Déterminer le prix de l’actif aux dates 0 et 1, i.e. la valeur du portefeuille associé à
une stratégie autofinancée Φ permettant de dupliquer l’actif dérivé H.
3.b. Déterminer explicitement une telle stratégie (stratégie de couverture pour l’actif dérivé H).
4. On suppose maintenant que S1a (ωi ) = 3 pour i = 1, 2, 3 mais que les autres hypothèses
sont toujours satisfaites. Le marché est-il toujours viable sous ces conditions ?
Solution :
2
1. On ne représente pas l’évolution des prix de B, qui est fixe.
t=0
t=1
t=2
(S2a , S2b ) = (3, 2)
kk5
kkk
k
kω1
kk
kkk
(S1a , S1b ) = (5, 3)
:
uu
uu
u
u
uu
uu
u
ω1,2,3
u
uu
u
u
uu
uu
uu
ω2
SSS
SSS
ω
3
/ (S a , S b )
2
2
= (4, 3)
SSS
SSS
)
(S2a , S2b ) = (8, 4)
(S0a , S0b ) = (6, 3.75)
II
II
II
II
II
I
ω4,5I
(S2a , S2b ) = (6, 4)
II
II
II
II
II
$
ω
kkk 4
kkk
5
kkk
kkk
(S1a , S1b ) = (7, 4.5)
SSS
SSS
ω
5
SSS
SSS
)
(S2a , S2b ) = (8, 5)
F0 = {Ω, ∅}, F1 = {Ω, ∅, {ω1 , ω2 , ω3 }, {ω4 , ω5 }}, F2 = P(Ω).
2. Soit p = (p1 , . . . , p5 ) ∈ R5 . p est une proba risque neutre pour ce marché si et
seulement si p ∈ (R+∗ )5 , p1 + · · · + p5 = 1, et sous p, les prix actualisés (i.e. les prix, car
r = 0) des trois actifs sont des martingales. B est toujours une martingale, S a est une
martingale si et seulement si
6 = 5(p1 + p2 + p3 ) + 7(p4 + p5 ), 5 =
6p4 + 8p5
3p1 + 4p2 + 8p3
,7 =
.
p1 + p2 + p 3
p4 + p5
S b est une martingale si et seulement si
3.75 = 3(p1 + p2 + p3 ) + 4.5(p4 + p5 ), 3 =
2p1 + 3p2 + 4p3
4p4 + 5p5
, 4.5 =
.
p 1 + p2 + p3
p4 + p5
Il existe une unique solution, donnée par p1 = p2 = p3 = 1/6, p4 = p5 = 1/4.
Le fait qu’il existé une proba risque neutre nous dit que le marché est viable, le fait
qu’elle soit unique nous dit que le marché est complet.
3.a. Le marché étant complet, on sait qu’il existe un portefeuille Φ dupliquant H.
La valeur (VtΦ )t est alors une martingale. D’où V0Φ = E(H|F0 ) = E(H) = 2 et V1Φ =
E(H|F1 ) = 1.5 sur {ω1 , ω2 , ω3 } et 2.5 sur {ω4 , ω5 }.
3.b. Notons, pour i = 1, 2, βi , αia et αib les quantités resp. de B, S a , S b détenues le
matin du i-ème jour dans cette stratégie. Ces v.a. sont Fi−1 -mesurables.
3
On a donc β1 , α1a et α1b déterministes (car F0 = {Ω, ∅}),
β1 + S0b α1a + S0b α1b = V0Φ
et
β1 + S1a α1a + S1b α1b = V1Φ ,
ce qui donne

b
a

β1 + 6α1 + 3.75α1 = 2,
β1 + 5α1a + 3α1b = 1.5,


β1 + 7α1a + 4.5α1b = 2.5.
On en déduit facilement β1 , α1a et α1b .
On a aussi β2 , α2a et α2b F2 -mesurables, donc ne prenant que 2 valeurs, respectivement
x, y, z sur {ω1 , ω2 , ω3 } et x0 , y 0 , z 0 sur {ω4 , ω5 }.
On a alors


x + 5y + 3z = 1.5,





x0 + 7y 0 + 3.75z 0 = 2.5,





x + 3y + 2z = 0,
x + 4y + 3z = 0.25,



x + 8y + 4z = 4.25,





x0 + 6y 0 + 4z 0 = 1.5,



x0 + 8y 0 + 5z 0 = 3.5.
On résout facilement.
2 +8p3
4. Dans ces conditions, on doit avoir 3 = 3pp11+4p
, ce qui implique, avec le fait que
+p2 +p3
les pi soient positifs, que p1 = 1 et p2 = p3 = 0, le marché n’est donc plus viable.
3. Modèle trinômial. On considère un modèle d’échéance T ∈ N∗ à deux actifs : un
actif sans risque de prix B (de taux r) et un actif risqué de prix St ayant la dynamique
suivante :
S0 = s0 > 0 et St+1 = St (1 + Ut+1 ) ∀t ∈ {0, . . . , T − 1}
où les Ut sont des variables aléatoires représentant les rendements successifs de l’actif
risqué S. Elles sont définies de la manière suivante sur l’espace Ω = {b, 0, h}T muni de la
tribu grossière F = P(Ω) et d’une probabilité P non redondante :
Ut : Ω → {b, 0, h}
ω = (ωt )t∈{1,...,T } 7→ ωt .
On supposera que −1 < b < 0 < h. On note F0 la tribu triviale et Ft = σ(U1 , . . . , Ut ). S̃
désignera le prix actualisé de l’actif risqué.
A.1. Montrer que FT = F puis que Ft = σ(S1 , . . . , St ) pour tout t ∈ {0, . . . , T }.
A.2. Montrer qu’il y a des arbitrages possibles si r ∈]b,
/ h[.
On suppose dans la suite que r ∈]b, h[.
B. On suppose dans cette partie que T = 1.
4
B.1. Montrer que le marché est viable mais non complet.
B.2. Construire une base de l’ensemble des actifs réplicables puis retrouver le fait que le
marché n’est pas complet.
B.3. On note Q l’ensemble des probabilités équivalentes à P sous lesquelles S̃ est une
martingale. Calculer
1
EQ [(K − S1 )+ ]
sup
Q∈Q 1 + r
lorsque K ∈]s0 (1 + b), s0 [. Comment interprète-t-on cette valeur ?
B.4. On introduit un nouvel actif noté S 0 sur le marché. Il s’agit d’un put européen sur
l’actif S de prix d’exercice K ∈]s0 (1 + b), s0 [ (et d’échéance T = 1). On note p0 > 0 le
prix de ce put à la date 0. Ainsi, S00 = p0 et ST0 = (K − S1 )+ .
B.4.a. Montrer que tout actif dérivé k est réplicable si et seulement si, il existe α, β, γ ∈ R
tels que k = α(1 + r) + βS1 + γS10 .
B.4.b. Montrer que tout actif est réplicable. Peut-on affirmer que le marché est complet ?
B.4.c. On note (b, 0, h) = (ω1 , ω2 , ω3 ) et k = (k(ω1 ), k(ω2 ), k(ω3 )) un actif dérivé. Montrer
que son prix de duplication1 c(k) s’écrit sous la forme
c(k) =
1
(q(ω1 )k(ω1 ) + q(ω2 )k(ω2 ) + q(ω3 )k(ω3 ))
1+r
où l’on déterminera
P3 les q(ωi ) en fonction de s0 , h, b, r, p0 et K.
B.4.d. Calculer i=1 q(ωi ) et déterminer une condition nécessaire et suffisante sur p0 pour
laquelle q(ω1 ), q(ω2 ) et q(ω3 ) sont strictement positifs.
B.4.e. À quelle condition le marché est-il complet ? Comment peut-on interprêter q(ω1 ),
q(ω2 ) et q(ω3 ) ?
C. On suppose maintenant que T ∈ N∗ et on souhaite retrouver la propriété B.1.
C.1. Supposons que Q soit une probabilité équivalente à P. Montrer que S̃ est une (Ft )martingale par rapport à Q si et seulement si EQ [Ut+1 /Ft ] = r pour tout t ∈ {0, . . . , T −1}.
C.2. Soient u, v, w appartenant à ]0,1[ tels que u + v + w = 1. On note p l’application
définie sur {b, 0, h} par p(b) = u, p(0) = v et p(h) = w. Soit Q une mesure de probabilité
sur Ω satisfaisant :
Q(U1 = x1 , . . . , UT = xT ) =
T
Y
p(xt ),
∀(x1 , . . . , xT ) ∈ {b, 0, h}T .
t=1
C.2.a. Montrer que Q peut être construite comme une probabilité équivalente à P. Montrer
que la suite (Ut ) est une suite de v.a. indépendantes sous Q et que
Q(U1 = b) = u,
Q(U1 = 0) = v
Q(U1 = h) = w.
C.2.b. Déterminer une condition sur u, v et w sous laquelle S̃ est une (Ft )-martingale par
rapport à Q.
C.2.c. En déduire que le marché est viable mais non complet.
1
Valeur à l’instant t = 0 de la stratégie introduite dans la question précédente donnant k à l’instant
t = 1.
5
Solution :
A.1. On a clairement FT ⊂ F et tout singleton {(a1 , . . . , aT )} de Ω est de la forme
{U1 = a1 , . . . , UT = aT }, donc tout élément de F, union finie de singletons, est dans FT .
Pour montrer que σ(S1 , . . . , St ) ⊂ σ(U1 , . . . , Ut ) (resp. que σ(U1 , . . . , Ut ) ⊂ σ(S1 , . . . , St )),
il suffit de montrer que pour tout t, St est σ(U1 , . . . , Ut )-mesurable (resp. que Ut est
σ(S1 , . . . , St )-mesurable), ce qui est évident.
A.2. Si r ≥ h (resp. ≤ b), alors on réalise un arbitrage avec la stratégie suivante : on
vend (resp. achète) l’actif S en 0, place sans risque (resp. emprunte) les S0 euros reçus
(resp. à payer), et neutralise notre position en 1, récupérant S0 (r − U1 ) (resp. S0 (U1 − r))
≥ 0 avec proba > 0 d’être > 0.
B.1. Soit p = (pb , p0 , ph ) ∈ R3 . p est une proba risque neutre ssi p ∈ (R+∗ )3 , pb + p0 +
1
1+b
pb + 1+r
p0 + 1+h
p = 1, i.e.
ph = 1 et 1+r
1+r h


pb , p0 , ph > 0
pb + p0 + ph = 1,


bpb + hph = r,
i.e.

r−b
r

 h < ph < h−b
h
pb = r−hp
b


b−r+ph (h−b)
p0 =
b
on a une infinité de solutions, donc le marché est viable mais pas complet.
B.2. Les actifs réplicables sont les combinaisons linéaires de B1 et de S1 , donc ont pour
base (B1 , S1 ) : c’est un sous-ev strict de RΩ , qui est de dimension 3.
B.3. On a (K − S1 )+ = K − s0 (1 + b) si K = s0 (1 + b) et 0 sinon, donc on s’approche
du sup lorsque pb tend vers le sup de ses valeurs possibles, qui est h − r. Le sup vaut donc
(h − r)(K − s0 (1 + b))
.
1+r
C’est la plus grande valeur que dans un univers risque neutre on peut oser payer pour
acheter S 0 en 0.
B.4.a. Un actif réplicable est un actif pour lequel il existe un portefeuille auto-financé
de valeur finale égale à celle de l’actif. Tout actif combi linéaire de B1 , S10 , S1 est donc
réplicable. Réciproquement, tout actif réplicable est du type α(1 + r) + βS1 + γS10 , avec
α, β, γ F0 -mesurables i.e. constants.
B.4.b. S10 n’est pas combinaison linéaire de S1 et B1 , donc l’ensemble des actifs réplicables est un ev de dimension 3, donc égal à RΩ . On ne peut pas pour autant affirmer que
le marché est complet, car on n’a pas montré qu’il est viable.
B.4.c. Considérons un actif réplicable k = α(1 + r) + βS1 + γS10 . c(k) est la valeur
initiale du portefeuille réplicant k, i.e. α + βs0 + γp0 .
Il faut donc exprimer α, β, γ en fct des valeurs de k en ω1 , ω2 , ω3 .
On a


k(ω1 ) = α(1 + r) + βs0 (1 + b) + γ(K − s0 (1 + b))
k(ω2 ) = α(1 + r) + βs0


k(ω3 ) = α(1 + r) + βs0 (1 + h)
6
ce qui donne


α =
β=


γ=
k(ω2 )(1+h)−k(ω3 )
(1+r)h
k(ω3 )−k(ω2 )
s0 h
k(ω1 )+k(ω2 )(b−h)/h−bk(ω3 )/h
K−s0 (1+b)
(h−b)p0
−bp0
On aboutit à q(ω1 ) = K−sp00(1+b) , q(ω2 ) = 1 − h(K−s
, q(ω3 ) = h(K−s
.
0 (1+b))
0 (1+b))
B.4.d. On a q(ω1 ) + q(ω2 ) + q(ω3 ) = 1. Ils sont tous strictement positifs ssi
0 < p0 <
h(K − s0 (1 + b))
.
h−b
B.4.e. Le marché est complet ssi il existe une unique proba risque neutre. Ceci est
équivalent au fait qu’il existe p = (p1 , p2 , p3 ) ∈ (R+∗ )3 telle que p1 + p2 + p3 = 1 et sous
p, les trois actifs actualisés sont des martingales, i.e. tel que p1 + p2 + p3 = 1 et sous p,
E(S1 ) = (1 + r)s0 et E(S10 ) = (1 + r)p0 , ce qui est équivalent au fait que les q(ωi ) soient
> 0. Le marché est complet ssi
0 < p0 <
h(K − s0 (1 + b))
.
h−b
Ces trois coefficients sont ceux de l’unique proba risque neutre du marché.
C.1. S̃ est une (Ft )-martingale par rapport à Q si et seulement si EQ [St+1 /Ft ] =
St (1 + r) pour tout t ∈ {0, . . . , T − 1}, i.e. si et seulement si EQ [Ut+1 /Ft ] = r pour tout
t ∈ {0, . . . , T − 1}.
C.2.a. Q et P ont toutes les deux des densités par rapport à la mesure uniforme sur Ω
strictement positives, elles sont donc équivalentes.
Par définition de Q, la loi image des Ut est la loi produit, donc on a indépendance.
C.2.b. Sous Q, Ut est indep de Ft , donc la condition de C.1. devient ub + wh = r.
C.3.c. On a une infinité de solutions (u, v, w) ∈ R+∗ au système
(
u+v+w =1
ub + wh = r,
donc le système est bien viable, mais non complet.
7