TD 5-6 : Viabilité, complétude, couverture dans des

Université Paris VI
Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054)
TD 5-6 : Viabilité, complétude, couverture dans des modèles à
temps discret
On rappelle que proba risque neutre est synonyme de mesure martingale équivalente à
la mesure µ.
1. Portefeuille auto-financé. On considère un espace mesuré (Ω,F, µ)muni d’une
filtration IF = (Fn)n≥0supposée complète, vérifiant F0={∅,Ω}et F∞=F. On considère
une marché discret comportant un actif sans risque Bet dactifs risqués S= (S1, . . . , Sd)
où Sest IF -adapté : pour tout i∈ {1, . . . , d}, pour tout n≥0,Si
nest la valeur de l’actif
Siau soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la
valeur initiale). La dynamique de Best donnée par B0= 1 et Bn= (1 + rn)Bn−1où
r= (rn)n≥0est positif IF -prévisible : pour tout n≥0,Bnest la valeur de l’actif Bau
soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la valeur
initiale). La vie d’un portefeuille est modélisé par un processus IF -prévisible (β, α)n≥1à
valeurs dans R×Rd:βn(resp. αi
n) est la quantité d’actif sans risque (resp. d’actif risqué
Si) détenue sur la période allant du matin du n-ème jour (avant ouverture de la bourse)
au matin suivant. On note Al’ensemble des portefeuilles auto-financés.
1. Montrer que la condition d’autofinancement détermine entièrement βen fonction
de αet de la valeur initiale du portefeuille x, et que pour tout processus prévisible (α)
à valeurs dans Rd, on peut trouver un processus prévisible βà valeur dans Rtel que
(β, α)∈ A de valeur initiale x.
2. Donner, pour n≥0, la valeur ˜ Vx,α
ndu portefeuille le soir du n-ème jour actualisée
à l’instant 0(qui est sa valeur initiale si n= 0) en fonction de x, de (α)et des prix
actualisés des actifs risqués sur l’intervalle [0, n].
3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n,
l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de ˜ Vx,α
nà un instant k < n (i.e.
sachant Fk) ?
Solution :
< ., . > désigne le produit scalaire canonique de Rd.
1. La valeur du portefeuille au matin du premier jour est sa valeur initiale x, et elle
au aussi égale à B0β1+< α1, S0>. Donc β1est déterminé par xet α1.
Soit n≥1. La valeur du portefeuille au soir du n-ème jour (après fermeture de la
bourse) est βnBn+< αn, Sn>. Le lendemain matin, avant ouverture de la bourse, le
portefeuille est recomposé, et sa valeur devient βn+1Bn+< αn+1, Sn>. On a donc, en
auto-financement,
βnBn+< αn, Sn>=βn+1Bn+< αn+1, Sn>,
ce qui implique que
βn+1 =βn+< αn−αn+1,˜ Sn>,
1

avec ˜ Sn=Sn/Bn(valeur actualisée à l’instant 0de Sn).
Ainsi, par récurrence, βnest déterminé par xet (α).
2. On déduit de ce qui précède que que pour tout n≥1,
˜
Vx,α
n−˜
Vx,α
n−1=< αn,˜
Sn−˜ Sn−1>,
d’où pour tout n≥0,
˜
Vx,α
n=x+
n
X
t=1
< αt,˜ St−˜ St−1> .
3. Le marché étant viable, il existe une mesure martingale. Sous cette mesure, le
processus (˜ Vx,α
n)est une martingale. On en déduit que l’espérance conditionnelle est ˜
Vx,α
k.
2. Etude d’un modèle simple de marché. On considère un marché à cinq états
Ω = {ω1, ω2, . . . , ω5}, deux périodes et trois actifs : un actif sans risque Bde prix 1, de
taux d’intérêt r= 0 et deux actifs risqués Saet Sb. On fait les hypothèses suivantes sur
les dynamiques de chaque actif risqué :
a. Sa
0= 6 et
((Sa
1, Sa 2)(ωi))i=1,...,5= ((5,3),(5,4),(5,8),(7,6),(7,8)).
b. Sb
0= 3.75 et
((Sb
1, Sb 2)(ωi))i=1,...,5= ((3,2),(3,3),(3,4),(4.5,4),(4.5,5)).
On note F=P(Ω) et Pune probabilité non redondante sur Ω(i.e. telle que pour tout i,
P({ωi})>0).
1. Représenter les dynamiques de prix sous forme d’arbre. On note, pour n∈ {0,1,2},
Fn=σ{(Bi, Sa
i, Sb i), i ≤n}.
Déterminer F0,F1et F2.
2. Déterminer l’ensemble des probabilités risque-neutre pour ce marché. Que dire du
marché ?
3. On considère un actif dérivé F2-mesurable H: Ω 7→ R+(c’est un un contrat assurant
à son détenteur le flux Hà la date terminale 2). Il est dit réplicable (ou simulable) s’il
existe un portefeuille autofinancé Φtelle que VΦ
2=H. On note Hla variable aléatoire
définie sur Ωpar :
H(ω1) = 0, H(ω2) = 0.25, H(ω3) = 4.25, H(ω4)=1.5, H(ω5) = 3.5.
3.a. Déterminer le prix de l’actif aux dates 0 et 1, i.e. la valeur du portefeuille associé à
une stratégie autofinancée Φpermettant de dupliquer l’actif dérivé H.
3.b. Déterminer explicitement une telle stratégie (stratégie de couverture pour l’actif dé-
rivé H).
4. On suppose maintenant que Sa
1(ωi) = 3 pour i= 1,2,3mais que les autres hypothèses
sont toujours satisfaites. Le marché est-il toujours viable sous ces conditions ?
Solution :
2

1. On ne représente pas l’évolution des prix de B, qui est fixe.
t= 0 t= 1 t= 2
(Sa
2, Sb 2) = (3,2)
(Sa
1, Sb 1) = (5,3)
ω1
k
k
k
k
k
k
55
k
k
k
k
k
k
ω2//
ω3
S
S
S
S
S
S
))
S
S
S
S
S
S
(Sa
2, Sb 2) = (4,3)
(Sa
2, Sb 2) = (8,4)
(Sa
0, Sb 0) = (6,3.75)
ω1,2,3
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
::
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
ω4,5
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
$$
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I(Sa
2, Sb 2) = (6,4)
(Sa
1, Sb 1) = (7,4.5)
ω4
k
k
k
k
k
k
55
k
k
k
k
k
k
ω5
S
S
S
S
S
S
))
S
S
S
S
S
S
(Sa
2, Sb 2) = (8,5)
F0={Ω,∅},F1={Ω,∅,{ω1, ω2, ω3},{ω4, ω5}},F2=P(Ω).
2. Soit p= (p1, . . . , p5)∈R5.pest une proba risque neutre pour ce marché si et
seulement si p∈(R+∗)5,p1+· · · +p5= 1, et sous p, les prix actualisés (i.e. les prix, car
r= 0) des trois actifs sont des martingales. Best toujours une martingale, Saest une
martingale si et seulement si
6 = 5(p1+p2+p3) + 7(p4+p5),5 = 3p1+ 4p2+ 8p3
p1+p2+p3
,7 = 6p4+ 8p5
p4+p5
.
Sbest une martingale si et seulement si
3.75 = 3(p1+p2+p3)+4.5(p4+p5),3 = 2p1+ 3p2+ 4p3
p1+p2+p3
,4.5 = 4p4+ 5p5
p4+p5
.
Il existe une unique solution, donnée par p1=p2=p3= 1/6, p4=p5= 1/4.
Le fait qu’il existé une proba risque neutre nous dit que le marché est viable, le fait
qu’elle soit unique nous dit que le marché est complet.
3.a. Le marché étant complet, on sait qu’il existe un portefeuille Φdupliquant H.
La valeur (VΦ
t)test alors une martingale. D’où VΦ 0=E(H|F0) = E(H)=2et VΦ 1=
E(H|F1) = 1.5sur {ω1, ω2, ω3}et 2.5sur {ω4, ω5}.
3.b. Notons, pour i= 1,2,βi,αa
iet αb iles quantités resp. de B, Sa, Sbdétenues le
matin du i-ème jour dans cette stratégie. Ces v.a. sont Fi−1-mesurables.
3

On a donc β1, αa
1et αb 1déterministes (car F0={Ω,∅}),
β1+Sb
0αa 1+Sb 0αb 1=VΦ 0
et
β1+Sa
1αa 1+Sb 1αb 1=VΦ 1,
ce qui donne
β1+ 6αa
1+ 3.75αb 1= 2,
β1+ 5αa
1+ 3αb 1= 1.5,
β1+ 7αa
1+ 4.5αb 1= 2.5.
On en déduit facilement β1, αa
1et αb 1.
On a aussi β2, αa
2et αb 2F2-mesurables, donc ne prenant que 2valeurs, respectivement
x, y, z sur {ω1, ω2, ω3}et x0, y0, z0sur {ω4, ω5}.
On a alors 
x+ 5y+ 3z= 1.5,
x0+ 7y0+ 3.75z0= 2.5,
x+ 3y+ 2z= 0,
x+ 4y+ 3z= 0.25,
x+ 8y+ 4z= 4.25,
x0+ 6y0+ 4z0= 1.5,
x0+ 8y0+ 5z0= 3.5.
On résout facilement.
4. Dans ces conditions, on doit avoir 3 = 3p1+4p2+8p3
p1+p2+p3, ce qui implique, avec le fait que
les pisoient positifs, que p1= 1 et p2=p3= 0, le marché n’est donc plus viable.
3. Modèle trinômial. On considère un modèle d’échéance T∈N∗à deux actifs : un
actif sans risque de prix B(de taux r) et un actif risqué de prix Stayant la dynamique
suivante :
S0=s0>0et St+1 =St(1 + Ut+1)∀t∈ {0, . . . , T −1}
où les Utsont des variables aléatoires représentant les rendements successifs de l’actif
risqué S. Elles sont définies de la manière suivante sur l’espace Ω = {b, 0, h}Tmuni de la
tribu grossière F=P(Ω) et d’une probabilité Pnon redondante :
Ut: Ω → {b, 0, h}
ω= (ωt)t∈{1,...,T }7→ ωt.
On supposera que −1<b<0< h. On note F0la tribu triviale et Ft=σ(U1, . . . , Ut).˜ S
désignera le prix actualisé de l’actif risqué.
A.1. Montrer que FT=Fpuis que Ft=σ(S1, . . . , St)pour tout t∈ {0, . . . , T }.
A.2. Montrer qu’il y a des arbitrages possibles si r /∈]b, h[.
On suppose dans la suite que r∈]b, h[.
B. On suppose dans cette partie que T= 1.
4

B.1. Montrer que le marché est viable mais non complet.
B.2. Construire une base de l’ensemble des actifs réplicables puis retrouver le fait que le
marché n’est pas complet.
B.3. On note Ql’ensemble des probabilités équivalentes à Psous lesquelles ˜ Sest une
martingale. Calculer
sup
Q∈Q
1
1 + rEQ[(K−S1)+]
lorsque K∈]s0(1 + b), s0[. Comment interprète-t-on cette valeur ?
B.4. On introduit un nouvel actif noté S0sur le marché. Il s’agit d’un put européen sur
l’actif Sde prix d’exercice K∈]s0(1 + b), s0[(et d’échéance T= 1). On note p0>0le
prix de ce put à la date 0. Ainsi, S0
0=p0et S0
T= (K−S1)+.
B.4.a. Montrer que tout actif dérivé kest réplicable si et seulement si, il existe α, β, γ ∈R
tels que k=α(1 + r) + βS1+γS0
1.
B.4.b. Montrer que tout actif est réplicable. Peut-on affirmer que le marché est complet ?
B.4.c. On note (b, 0, h)=(ω1, ω2, ω3)et k= (k(ω1), k(ω2), k(ω3)) un actif dérivé. Montrer
que son prix de duplication1c(k)s’écrit sous la forme
c(k) = 1
1 + r(q(ω1)k(ω1) + q(ω2)k(ω2) + q(ω3)k(ω3))
où l’on déterminera les q(ωi)en fonction de s0,h,b,r,p0et K.
B.4.d. Calculer P3
i=1 q(ωi)et déterminer une condition nécessaire et suffisante sur p0pour
laquelle q(ω1),q(ω2)et q(ω3)sont strictement positifs.
B.4.e. À quelle condition le marché est-il complet ? Comment peut-on interprêter q(ω1),
q(ω2)et q(ω3)?
C. On suppose maintenant que T∈N∗et on souhaite retrouver la propriété B.1.
C.1. Supposons que Qsoit une probabilité équivalente à P. Montrer que ˜ Sest une (Ft)-
martingale par rapport à Qsi et seulement si EQ[Ut+1/Ft] = rpour tout t∈ {0, . . . , T −1}.
C.2. Soient u, v, w appartenant à ]0,1[ tels que u+v+w= 1. On note pl’application
définie sur {b, 0, h}par p(b) = u,p(0) = vet p(h) = w. Soit Qune mesure de probabilité
sur Ωsatisfaisant :
Q(U1=x1, . . . , UT=xT) =
T
Y
t=1
p(xt),∀(x1, . . . , xT)∈ {b, 0, h}T.
C.2.a. Montrer que Qpeut être construite comme une probabilité équivalente à P. Montrer
que la suite (Ut)est une suite de v.a. indépendantes sous Qet que
Q(U1=b) = u, Q(U1= 0) = vQ(U1=h) = w.
C.2.b. Déterminer une condition sur u, v et wsous laquelle ˜ Sest une (Ft)-martingale par
rapport à Q.
C.2.c. En déduire que le marché est viable mais non complet.
1Valeur à l’instant t= 0 de la stratégie introduite dans la question précédente donnant kà l’instant
t= 1.
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