Mars, 1995 Probl eme 1.- D eterminer toutes les suites de nombres r

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Mars, 1995
Temps alloue: 4hrs.
Aucune calculatrice autorisee.
Chaque probleme porte une valeur de 7 points.
Probleme 1.- Determiner toutes les suites de nombres reels a1 ; a2 ; : : : ; a1995 qui satisfassent:
p
2 a ; (n ; 1) a +1 ; (n ; 1), pour n = 1; 2; : : : ; 1994,
de plus que
p
2 a1995 ; 1994 a1 + 1.
Probleme 2.- Soit a1 ; a2 ; : : : ; a une suite de nombres entiers dont les valeurs se situent
n
n
n
entre 2 et 1995 et telle que:
i) les ai soient relativement premiers.
ii) chaque ai soit lui-m^eme premier ou alors un produit de nombres premiers dierents.
Determiner la plus petite valeur de n de sorte que la suite contienne necessairement un
nombre premier.
Probleme 3.- Soit PQRS un quadrilatere cyclique (c.-a-d. P , Q, R, S sont tous sur
un cercle) tel que les droites PQ et RS ne soient pas paralleles. Considerons maintenant l'ensemble des cercles contenant P et Q, et l'ensemble des cercles contenant R
et S . Determiner l'ensemble A des points de tangence des cercles de ces deux ensembles.
Probleme 4.- Soit C un cercle de rayon R et centre O, et S un point xe a l'interieur
de C . E tant donne un point A sur le cercle, formons les cordes perpendiculaires AA et
BB passant par S , et nalement les rectangles SAMB, SBN A , SA M B , et SB NA.
Trouver l'ensemble de tous les points M , N , M , et N lorsque A se deplace completement
autour du cercle.
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Probleme 5.- Trouver le plus petit entier positif k tel qu'il existe une fonction f de
l'ensemble Z de tous les nombres entiers a f1; 2; : : : ; kg ayant la propriete que f (x) 6= f (y)
chaque fois que jx ; yj 2 f5; 7; 12g.
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