Série 4

EPFL
Section de Math´ ematiques
Introduction `a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 15.03.2010
S´erie 4
Exercice 1. Sommes de 2 carr´es.
1. Lorsque cela est possible, ´ecrire chaque nombre premier suivant comme somme de deux
carr´es :
2 13 31 41 47 61 113.
2. (a) Soit pun nombre premier divisant a2+b2, o`u aet bsont deux entiers premiers entre
eux. Montrer : p≡1 (mod 4).
(b) En d´eduire l’existence d’une infinit´e de nombres premiers du type 8k+5, avec k∈N.
Indication : on pourra consid´erer l’entier n= 325272· · · p2+ 22.
3. Montrer que 21 ≡1 (mod 4) mais que 21 ne s’´ecrit pas comme somme de deux carr´es.
4. L’objectif de cette question est de montrer la r´eciproque du r´esultat suivant, vu en cours :
Soit n≥1un entier. Si tout diviseur premier de nde la forme 4k+ 3 n’apparaˆıt qu’`a
une puissance paire dans sa d´ecomposition en produit de nombres premiers, alors nest
somme de deux carr´es.
Si nest un entier positif de la forme n=a2+b2, avec a, b ≥0, nous allons montrer que
tout diviseur premier de ncongru `a 3 modulo 4 est d’exposant pair dans la d´ecomposition
de nen produit de facteurs premiers.
Soit donc pun facteur premier de n, tel que p≡3 (mod 4).
(a) Montrer que pdivise aet b.
(b) En d´eduire que p2divise net que le quotient n/p2est encore somme de deux carr´es.
(c) Conclure que pest d’exposant pair dans la d´ecomposition de nen produit de facteurs
premiers.
(d) Application. Pour chaque entier suivant, d´eterminer s’il s’´ecrit comme somme de 2
carr´es et donner cette ´ecriture le cas ´ech´eant :
35 ; 49 ; 234.

Exercice 2. Sommes de 3carr´es.
1. Montrer que tout entier positif nde la forme 8k+ 7 ne peut pas s’´ecrire comme somme
de 3 carr´es.
Indication : on pourra raisonner modulo 8...
2. Montrer que si nest un entier positif tel que 4nest somme de 3 carr´es, alors nl’est aussi.
Indication : apr`es avoir ´ecrit 4ncomme somme de 3carr´es, on pourra ´etudier la parit´e
de chacun des termes de la somme et raisonner modulo 4.
3. ` A l’aide des deux questions pr´ec´edentes, deviner une condition qui empˆeche un entier
positif de s’´ecrire comme somme de 3 carr´es.
Exercice 3. Id´eaux bilat`eres maximaux.
Soit (A, +,·) un anneau non commutatif.
On rappelle qu’un id´eal `a gauche (resp. `a droite) de Aest un sous-groupe a⊂Atel que
α·a⊂a(resp. a·α⊂a) pour tout α∈A.
Un id´eal `a gauche (resp. `a droite) m⊂Aest dit maximal si m6=Aet s’il n’existe aucun id´eal
`a gauche (resp. `a droite), autre que A, contenant strictement m.
Un id´eal bilat`ere est `a la fois un id´eal `a gauche et `a droite : c’est un sous-groupe a⊂Atel
que α·a·β⊂a, pour tous α, β ∈A.
Un id´eal bilat`ere m⊂Aest dit maximal si m6=Aet s’il n’existe aucun id´eal bilat`ere, autre
que A, contenant strictement m.
1. Soit aun id´eal `a gauche de A, diff´erent de {0}et de A. Existe-t-il une structure d’anneau
sur l’ensemble quotient A/a={α+a, α ∈A}telle que la surjection canonique AA/a
soit un homomorphisme d’anneaux ?
2. Mˆeme question si aest un id´eal bilat`ere de l’anneau A.
3. Soit aun id´eal bilat`ere de l’anneau A. Montrer que l’anneau quotient A/aest un corps
si et seulement si aest un id´eal bilat`ere maximal.