Série 4

EPFL
Section de Mathématiques
Introduction à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 15.03.2010
Série 4
Exercice 1. Sommes de 2 carrés.
1. Lorsque cela est possible, écrire chaque nombre premier suivant comme somme de deux
carrés :
2 13 31 41 47 61 113.
2. (a) Soit p un nombre premier divisant a2 + b2 , où a et b sont deux entiers premiers entre
eux. Montrer : p ≡ 1 (mod 4).
(b) En déduire l’existence d’une infinité de nombres premiers du type 8k +5, avec k ∈ N.
Indication : on pourra considérer l’entier n = 32 52 72 · · · p2 + 22 .
3. Montrer que 21 ≡ 1 (mod 4) mais que 21 ne s’écrit pas comme somme de deux carrés.
4. L’objectif de cette question est de montrer la réciproque du résultat suivant, vu en cours :
Soit n ≥ 1 un entier. Si tout diviseur premier de n de la forme 4k + 3 n’apparaı̂t qu’à
une puissance paire dans sa décomposition en produit de nombres premiers, alors n est
somme de deux carrés.
Si n est un entier positif de la forme n = a2 + b2 , avec a, b ≥ 0, nous allons montrer que
tout diviseur premier de n congru à 3 modulo 4 est d’exposant pair dans la décomposition
de n en produit de facteurs premiers.
Soit donc p un facteur premier de n, tel que p ≡ 3 (mod 4).
(a) Montrer que p divise a et b.
(b) En déduire que p2 divise n et que le quotient n/p2 est encore somme de deux carrés.
(c) Conclure que p est d’exposant pair dans la décomposition de n en produit de facteurs
premiers.
(d) Application. Pour chaque entier suivant, déterminer s’il s’écrit comme somme de 2
carrés et donner cette écriture le cas échéant :
35 ;
49 ;
234.
Exercice 2. Sommes de 3 carrés.
1. Montrer que tout entier positif n de la forme 8k + 7 ne peut pas s’écrire comme somme
de 3 carrés.
Indication : on pourra raisonner modulo 8...
2. Montrer que si n est un entier positif tel que 4n est somme de 3 carrés, alors n l’est aussi.
Indication : après avoir écrit 4n comme somme de 3 carrés, on pourra étudier la parité
de chacun des termes de la somme et raisonner modulo 4.
3. À l’aide des deux questions précédentes, deviner une condition qui empêche un entier
positif de s’écrire comme somme de 3 carrés.
Exercice 3. Idéaux bilatères maximaux.
Soit (A, +, ·) un anneau non commutatif.
On rappelle qu’un idéal à gauche (resp. à droite) de A est un sous-groupe a ⊂ A tel que
α · a ⊂ a (resp. a · α ⊂ a) pour tout α ∈ A.
Un idéal à gauche (resp. à droite) m ⊂ A est dit maximal si m 6= A et s’il n’existe aucun idéal
à gauche (resp. à droite), autre que A, contenant strictement m.
Un idéal bilatère est à la fois un idéal à gauche et à droite : c’est un sous-groupe a ⊂ A tel
que α · a · β ⊂ a, pour tous α, β ∈ A.
Un idéal bilatère m ⊂ A est dit maximal si m 6= A et s’il n’existe aucun idéal bilatère, autre
que A, contenant strictement m.
1. Soit a un idéal à gauche de A, différent de {0} et de A. Existe-t-il une structure d’anneau
sur l’ensemble quotient A/a = {α+a, α ∈ A} telle que la surjection canonique A A/a
soit un homomorphisme d’anneaux ?
2. Même question si a est un idéal bilatère de l’anneau A.
3. Soit a un idéal bilatère de l’anneau A. Montrer que l’anneau quotient A/a est un corps
si et seulement si a est un idéal bilatère maximal.