M2A – Théorie algébrique des nombres 2012

M2A – Théorie algébrique des nombres
2012-2013
Fiche 2
Discriminant
Exercice 1 — Soit f ∈ Z[X] un polynôme sans facteur carré. On note ∆(f ) son
discriminant. Soit α un entier algébrique, f on polynôme minimal, de degré n, et
K = Q(α).
1. Montrer que ∆(Z[α]) = ∆(f ), et que ∆(f ) = (−1)n(n−1)/2 NK/Q (f 0 (α)).
2. Montrer que ∆(Z[α]) = [OK : Z[α]]2 ∆K .
3. En déduire que si ∆(f ) est sans facteur carré alors OK = Z[α].
4. Supposons maintenant qu’un premier p vérifie p2 |∆(f ). Montrer que vp (∆(f )) =
vp (∆K ) si et seulement si Z[α] est p-maximal. Plus généralement, montrer que
vp (∆K ) = vp (∆(R)) pour tout ordre R de OK qui est p-maximal.
Exercice 2 — Calculer OK et ∆K pour les corps K suivants :
1. Q(α), où le polynôme minimal de α est X 3 + X + 1.
2. Q(α), où le polynôme minimal de α est X 3 − X − 1.
√
3. Q( 3 2)
√
4. Q( 3 20)
√
5. Q( 3 −19)
√
6. Q( 4 −19)
7. Q(α), où le polynôme minimal de α est X 3 + X 2 − 2X + 8. On pourra montrer
que OK = Z[α, β] où β = (α + α2 )/2.
Exercice 3 — Soit K un corps de nombre, et p premier. On dit que p est un
diviseur inessentiel du discriminant si p divise pgcdα [OK : Z[α]] pour α parcourant
l’ensemble des éléments de OK tels que Q(α) = K.
1. Montrer qu’il existe α tel que p ne divise pas [OK : Z[α]] si et seulement si
OK /(p) est une Fp -algèbre monogène.
2. En déduire que les diviseurs inessentiels du discriminant sont exactement les
p tels que OK /(p) n’est pas monogène.
3. On considère K = Q(α), où le polynôme minimal de α est X 3 + X 2 − 2X + 8.
Montrer que 2 est un diviseur inessentiel du discriminant (et c’est le seul).
4. Montrer que si p ≥ [K : Q] alors OK /(p) est monogène, et p n’est donc pas
un diviseur inessentiel du discriminant (Hasse-Zylinski).
Corps cyclotomiques
Exercice 4 — Soit n > 0 un entier, et K = Q(ζn ).
1. Montrer que OK = Z[ζn ].
2. Calculer le discriminant de K.
3. Quels premiers sont ramifiés dans K ?
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Groupe de classes
Exercice 5 — Soit R un anneau intègre. On dit qu’un idéal I est inversible s’il
existe un idéal J tel que IJ est un idéal principal non nul. On met une relation
d’équivalence sur les idéaux inversibles de R par I ∼ J si et seulement si il existe x
et y non nuls dans R tels que xI = yJ.
1. Vérifier que c’est bien une relation d’équivalence. On note Pic(R) l’ensemble
quotient. Vérifier que Pic(R) est muni d’une structure de groupe commutatif qui est
le passage au quotient de la multiplication des idéaux.
2. On suppose maintenant que R est un anneau de Dedekind. Montrer que tout
idéal non nul est inversible et que Pic(R) est canoniquement isomorphe à Cl(R).
Exercice 6 — Pour chacun des corps suivants, calculer son anneau des entiers,
son discriminant, sa constante de Minkowski MK , et la factorisation dans OK des
premiers p < MK . En déduire le groupe de classe de K.
√
1. Q( −d) pour d = 1, 2, 3, 5, 6, 19, 41, 47, 163.
√
2. Q( d) pour d > 0 sans facteur carré, d ≤ 10.
3. les corps de l’exercice 2.
Exercice 7 — Soit X un ensemble fini d’idéaux premiers de l’anneau de Dedekind
R.
1. On se donne un entier nx pour tout x ∈ X. Montrer qu’il existe a ∈ K =
Frac(R) tel que vx (a) = nx pour tout x de X, et vx (a) ≥ 0 pour tout x 6∈ X.
2. On se donne maintenant en plus un élément ax ∈ K ∗ pour tout x ∈ X.
Montrer qu’il existe a ∈ K ∗ tel que vx (a − ax ) = nx si x ∈ X, et vx (a) ≥ 0 si x 6∈ X.
Exercice 8 — Soit X un ensemble fini d’idéaux premiers de OK . Montrer que le
groupe des classes de K est engendré par les idéaux premiers qui ne sont pas dans
X.
Exercice 9 — Résoudre les équations diophantiennes suivantes :
1. x2 + 1 = y 3
2. x2 + 2 = y 3
3. x2 + 19 = y 3
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