M2A – Théorie algébrique des nombres 2012

M2A – Th´eorie alg´ebrique des nombres 2012-2013
Fiche 2
Discriminant
Exercice 1 — Soit f∈Z[X] un polynˆome sans facteur carr´e. On note ∆(f) son
discriminant. Soit αun entier alg´ebrique, fon polynˆome minimal, de degr´e n, et
K=Q(α).
1. Montrer que ∆(Z[α]) = ∆(f), et que ∆(f) = (−1)n(n−1)/2NK/Q(f0(α)).
2. Montrer que ∆(Z[α]) = [OK:Z[α]]2∆K.
3. En d´eduire que si ∆(f) est sans facteur carr´e alors OK=Z[α].
4. Supposons maintenant qu’un premier pv´erifie p2|∆(f). Montrer que vp(∆(f)) =
vp(∆K) si et seulement si Z[α] est p-maximal. Plus g´en´eralement, montrer que
vp(∆K) = vp(∆(R)) pour tout ordre Rde OKqui est p-maximal.
Exercice 2 — Calculer OKet ∆Kpour les corps Ksuivants :
1. Q(α), o`u le polynˆome minimal de αest X3+X+ 1.
2. Q(α), o`u le polynˆome minimal de αest X3−X−1.
3. Q(3
√2)
4. Q(3
√20)
5. Q(3
√−19)
6. Q(4
√−19)
7. Q(α), o`u le polynˆome minimal de αest X3+X2−2X+ 8. On pourra montrer
que OK=Z[α, β] o`u β= (α+α2)/2.
Exercice 3 — Soit Kun corps de nombre, et ppremier. On dit que pest un
diviseur inessentiel du discriminant si pdivise pgcdα[OK:Z[α]] pour αparcourant
l’ensemble des ´el´ements de OKtels que Q(α) = K.
1. Montrer qu’il existe αtel que pne divise pas [OK:Z[α]] si et seulement si
OK/(p) est une Fp-alg`ebre monog`ene.
2. En d´eduire que les diviseurs inessentiels du discriminant sont exactement les
ptels que OK/(p) n’est pas monog`ene.
3. On consid`ere K=Q(α), o`u le polynˆome minimal de αest X3+X2−2X+ 8.
Montrer que 2 est un diviseur inessentiel du discriminant (et c’est le seul).
4. Montrer que si p≥[K:Q] alors OK/(p) est monog`ene, et pn’est donc pas
un diviseur inessentiel du discriminant (Hasse-Zylinski).
Corps cyclotomiques
Exercice 4 — Soit n > 0 un entier, et K=Q(ζn).
1. Montrer que OK=Z[ζn].
2. Calculer le discriminant de K.
3. Quels premiers sont ramifi´es dans K?
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Groupe de classes
Exercice 5 — Soit Run anneau int`egre. On dit qu’un id´eal Iest inversible s’il
existe un id´eal Jtel que IJ est un id´eal principal non nul. On met une relation
d’´equivalence sur les id´eaux inversibles de Rpar I∼Jsi et seulement si il existe x
et ynon nuls dans Rtels que xI =yJ.
1. V´erifier que c’est bien une relation d’´equivalence. On note Pic(R) l’ensemble
quotient. V´erifier que Pic(R) est muni d’une structure de groupe commutatif qui est
le passage au quotient de la multiplication des id´eaux.
2. On suppose maintenant que Rest un anneau de Dedekind. Montrer que tout
id´eal non nul est inversible et que Pic(R) est canoniquement isomorphe `a Cl(R).
Exercice 6 — Pour chacun des corps suivants, calculer son anneau des entiers,
son discriminant, sa constante de Minkowski MK, et la factorisation dans OKdes
premiers p<MK. En d´eduire le groupe de classe de K.
1. Q(√−d) pour d= 1, 2, 3, 5, 6, 19, 41, 47, 163.
2. Q(√d) pour d > 0 sans facteur carr´e, d≤10.
3. les corps de l’exercice 2.
Exercice 7 — Soit Xun ensemble fini d’id´eaux premiers de l’anneau de Dedekind
R.
1. On se donne un entier nxpour tout x∈X. Montrer qu’il existe a∈K=
Frac(R) tel que vx(a) = nxpour tout xde X, et vx(a)≥0 pour tout x6∈ X.
2. On se donne maintenant en plus un ´el´ement ax∈K∗pour tout x∈X.
Montrer qu’il existe a∈K∗tel que vx(a−ax) = nxsi x∈X, et vx(a)≥0 si x6∈ X.
Exercice 8 — Soit Xun ensemble fini d’id´eaux premiers de OK. Montrer que le
groupe des classes de Kest engendr´e par les id´eaux premiers qui ne sont pas dans
X.
Exercice 9 — R´esoudre les ´equations diophantiennes suivantes :
1. x2+ 1 = y3
2. x2+ 2 = y3
3. x2+ 19 = y3
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