Devoir #2

PHY6580P, hiver 2011 !!!!!!!!!!!Devoir #2
distribué mardi le 1er février
à remettre vendredi 11 février
Corrélations dans H2:
Considérons la molécule H2 dans son état fondamental. Si on observe un électron sur lʼun des atomes, quelles sont les probabilités
dʼobserver lʼautre électron sur le même atome et de lʼobserver sur lʼautre atome? Si ces probabilités sont différentes, il y a donc
corrélation. Si on sépare les deux atomes dʼhydrogène de beaucoup, quelques mètres ou une année-lumière, et quʼon observe un
électron sur un atome, dans ce cas lʼautre électron devrait être sur lʼautre atome! Cʼest clairement un cas de corrélation.
La formulation quantique de ce problème devrait refléter cette situation.
Considérons lʼorbitale 1s localisée sur lʼun des atomes, disons A, et sur lʼautre atome, disons B. Un état quantique composé de
deux électrons, lʼun de spin up sur lʼatome A et lʼautre de spin down sur lʼatome B, peut être identifié comme
|A↑B↓�
. On
peut aussi décrire cet état à lʼaide des opérateurs de création: !
c†
A↑c† B↓|0�
! .
•Énumérez tous les états de deux particules possibles. Ces états sont les configurations possibles.
Les électrons de la molécule H2 interagissent avec le potentiel généré par les atomes et par répulsion coulombienne. Si on fixe
lʼénergie de lʼorbitale 1s sur son atome à zéro, lʼinteraction dʼune orbitale avec lʼatome voisin est un terme de saut, «hopping», que
lʼon peut décrire par lʼhamiltonien suivant:
!Lʼinteraction coulombienne peut être écrite de la forme:
!
HCoul =U(nA↑nA↓+nB↑nB↓),
!
ou !!
nA↑=c†
A↑cA↑
! et ainsi de suite.
•Écrivez la matrice dʼinteraction entre les différentes configurations. Trouvez les états propres de ce système en diagonalisant
cette matrice.
•Supposons que !
|t|�U
!, cette situation serait valide lorsque les atomes sont très près, trouvez lʼétat fondamental de ce
système. Vous nʼavez quʼà mettre
U=0
dans la matrice précédente.
•Montrez que si on redéfinit les orbitales en état liant, cʼest-à-dire :
!
d†
l↑=c† A↑+c† B↑
!,
de même pour !
d†
l↓
!, !
dl↑
! et !
dl↓
!, on peut écrire lʼétat fondamental de cette situation comme !
d†
l↑d† l↓|0�
!. Puisque cet état
sʼécrit par un seul déterminant de Slater, il nʼy a pas de corrélation électronique.
•Montrez, quʼeffectivement, pour lʼétat fondamental décrit plus haut, si on observe un électron sur lʼatome A, les probabilités
dʼobserver lʼautre électron sur lʼatome A ou B sont égales. Nous avons donc 50% des chances de retrouver deux électrons sur
le même atome. La probabilité de trouver un électron sur un atome ou sur lʼautre est indépendante de la position de lʼautre
électron.
•Quelle est la forme de la solution pour lʼétat antiliant?
•Supposons maintenant que
U�|t|
, cette situation serait valide lorsque les deux atomes sont beaucoup éloignés, montrez
que pour lʼétat fondamental si on observe un électron sur un atome, lʼautre est nécessairement sur lʼautre atome. De plus, si le
premier électron est de spin up, la probabilité de trouver lʼautre électron de spin up ou down dépend de lʼétat initial. Notez aussi
quʼil est impossible de redéfinir les orbitales afin de réécrire cet état comme un seul déterminant de Slater. Il y a nécessairement
corrélation. Pour ce problème, vous pouvez assigner
t=0
.
•Pour
U�|t|
mais conservant
t
, montrez que lʼalignement des spins sur les atomes est anti-ferromagnétique.
!! !! !! !!
Hint =−t
s
c†
A,scB,s +c† B,scA,s