Sur la fonction «nombre de facteurs premiers de n

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
PAUL E RDÖS
J EAN -L OUIS N ICOLAS
Sur la fonction « nombre de facteurs premiers de n »
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no 32, p. 1-19
20, no 2 (1978-1979),
<http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1978-1979__20_2_A9_0>
© Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres
(Secrétariat mathématique, Paris), 1978-1979, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres »
implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU
(Théorie
année, 1978/79,
20e
32-01
nombres)
des
n°
32, 19
SUR LA FONCTION "NOMBRE DE FACTEURS PREMIERS DE
par Paul
ERDÖS
et Jean-Louis NICOLAS
[Budapest
(jL)(n)
Résume. 2014 Soit
n
===~
et,
premiers
de
est le nombre de facteurs
"
(*)
premiers
de
On dit que
n.
Q~(x)
quantité
La
exp(c2 log X) .
Q(n)
si
n
Limoges ]
o)(m) ~ ~(n) .
vérifie
X
et
le nombre de facteurs
w-largement composé
juin 1979
11
p.
est
n
de tels nombres
On démontre aussi
comptés
n
avec
leur
multipli-
cité
On étudie les nombres
et
on
démontre qu’il existe
fonction
w(n) ,
n -
Introduction. n .
n
On définit
w(n)
était
résultaty
En
1939,
Ensuite,
log log
en
=
n
=
k
p.... p03B1k
Q(n)
et
f
(cf. [Har])
En
n .
d’étranglement nk
1934,
=
o~.
la
+
décomposition
~?
+
...
est additive si
ont démontré
en
en
facteurs premiers de
+ ~ . Les fonctions
(m ~ n) 1 entratne
0
et
1917 que la valeur moyenne de
P. TURAN donnait
une
démonstration simple de
ce
ERDOS
ERDÖS démontraient (cf. [Kac]) :
([Erd
et L. G. SATHE
([Sat])
s’intéressaient
_
_
_
aux
entiers
__
Texte reçu le 11 juin 1979.
ERDÖS, Akademia
(Hongrie), et
Paul
123
w
=
_
~’~~
pour la
prouvant (cf.
M. KAC et P.
P.
infinité de points
une
sont additivesi Une fonction
HARDY et RAMANUJAN
définis par
c’est-à-dire vérifiant
Soit
w(n)
03C9-intéressants,
rue
Matematikai Intezete, 13-15 Realtanoda u. i H.1053 BUDAPEST
Jean-Louis
Département de Mathématiques, UER des Sciences,
Albert Thomas, 87060 LIMOGES CEDEX.
la "formule de
F(z)
où
soit de l’ordre de
avec
permet d’obtenir plus simplement
précision
la
([Sel])
A. SELBERG
x .
donnait
le
p~
hautement
[Del 2]).
et
k-ième nombre premier y et posons
composé
si
est la suite
m
n
~
n
tel que
w(m)
w(n) .
déduit que, lorsque
A~ _ 2. 3... , ~pk .
w(n)
=
k . On dit que
La suite des nombres
Ce nombre
est
n
A-
w-
w-hautement
com-
A, .
A l’ aide du théorème des nombres
et
les résultats de SATHE et d’éva-
quantité
est le plus petit entier naturel
posés
log log
Selberg" :
(cf. proposition 3, [Del 1],
Soit
c
est la fonction entière
Cette formule
luer
w(n)
tels que
n ,~ x
n
2014~ co ~
premiers,
(cf.
le nombre de nombres
on a
ch.
log
A.k ~ ’" k
log k ;9
on en
XVIII )1
w-hautement
composés
au
plus égaux à X véri-
fie
On dit maintenant que
Ak ,
n
Q~(X)
Ak+1 ,
n
le nombre de
n
est
w-largement
composée
si
m ~
n
w(n) .
===~
Si
03C9-largement composé siy et seulement si, w(n) = k . Soit
nombres
w-largement composés X . Nous démontrerons le théoest
rème suivant :i
THEOREME 1. - Il existe deux constantes
0
c1
c2
telles que
Nous démontrerons ensuite le théorème suivant.
Entre les résultats obtenus par la formule de Selberg et le théorème
trou à boucher,y pour estimer par exemple card~n x ;
w(n) > (log
2, il y
a un
x)~) ,
KOLESNIK et STRAUSS
(cf.
qui fournit partiellement
Nous
nous
ont donné
une
solution à
intéresserons ensuite
aux
une
ce
formule
asymptotique
assez
compliquée
problème.
valeurs extrêmes de
f(n)
+
f(n
+
1) ,
pour
f. Nous démontrerons
quelques fonctions arithmétiques
particulier
en
le résultat
suivant.
THÉORÈME 3. -
paragraphe 4,
Au
n ~
pour
nous
premiers y
en
les
~ ,
nombre
qu’un
disons
Cette définition caractérise
teurs
+
une
comparant
famille de nombres
avec
des nombres
n
qui ont beaucoup
plus grands que
m
composés).
rement à la définition des nombres hautement
priétés
03C9-intéressant si
est
n
Nous donnons
n
de fac-
(contrai-
quelques
pro-
de ces nombres.
Enfin, dans le dernier paragraphe,
glement en n, si
on
dit
qu’une
f
fonction
a un
point d’étran-
Interprétation géométrique : Le graphe de f , contenu dans l’angle droit de sommet (n, t(n)) et de côtes parallèles aux axes, s’étrangle en n . Nous démontreenfin le théorème suivant.
rons
THEOREME 4. - La fonction
~-~r
n
n -
w(n)
a une
infinité de points d~étrangle--
ment.
Pour
tel
un
point
coup de facteurs
teurs
juste avent
n y il existe
premiers, et juste après
une
n,y
une
plage
de nombres
plage
de nombres
ayant
ayant
beau-
peu de fac-
premiers.
1. Démonstration du
théorème~
1.
D’après le théorème de Selberg, (cf. [Sel 2~j et [rJic]) pour toute
f(x) croissante, vérifiant f(x) > x et telle que f(x)/x décroisse
vers
0 , il exis te , entre ( 1 -- 2e)log X et (1 - e)log X un nombre x
Minoration. fonction
et tende
tel que
f(x) ==
On choisit
c
log
x .
Soit
k
tel que
x
pk+1 . On
considère la
famille de nombres :
où
q~ , ... ,
y
des nombres
De tels nombres vérifient
03C9(n) =
premiers choisis parmi
k ?
et il y
en a
pk-~1. ’
2s . De plus ,
"’
’y
pk+s ’
ils vérifient
On choisit
que
s
f(x)
de
façon que
On
a
Si l’on choisit
seront
1.~’V~2 9
c
La
majoration
LEMME 1. - Soit
f(x)
+
on aura
donc
On
Q ^ ~X~
de
p1 = 2 , p2 = 3 ,
Ak
nombre
Nous
S(n)
est basée
... , pk
SZEKERES donnent la
est
n==q 1
n ~ Ek ,
et
n~
carré,
~E *
E’k =
et
n
nombres
ces
n
,
sur
le
le lemme suivant.
k-ième nombre premier, et soit
l’équation
une
formule [Roth]
fonction croissante de
n .
On
a
alors
T(x) ~
proposons de majorer le nombre d’éléments de l’ensemble
Soit
avec
de telle sorte
partitions de n en sommants premiers et distincts. Le
S(n) peut être évalué par le théorème taubérien de Ramanujan
T(x~ -et~ n.Çx
ROTH et
nous
f(x)
de
(cf. [Ram])y
et montrent que
x -
donc
aura
Démonstration. - Le nombre de solutions de
S(n)
p -S ~
l’inéquation
le nombre de s olutions de
est le nombre
et
alors :
w-largement composés et .$ X .
Majoration. -
T(x)
x
p+8
{n ;
Maintenant si
n
n E
...
q, "k
Déplus
E’k
9
Le nombre d’éléments de
n
Ek
n’
le nombre
p~ .
facteur
sans
;
carré’
On
03C9(n)
a
.- k
==q. q2
...
q-.
est sans facteur
donc
9
n
Ak+1} .
s’écrit
est donc
majoré
par le nombre de solutions de l’iné-
On
en
Soit
déduit
R
le
card
plus grand nombre
tel que
r
l’inéquéàtion
nombre de solutions de
On coupe
2pk .
p.
l’inéquation (03BE1)
deux
en
est
Le nombre de variables de
nombre de variables
non
qui
valable pour
en
fait
fini,
et
de solutions de
N"
majoré
par
p. p..
majoré par
majoré par
est
(~)
est
assure
Il résulte de
On
en
nulles d’une solution de
2 . Le nombre
log
ce
Ni::::
avec
1
l’inégalité
de Brun-Titchmarsh
(cf.
1]
et
~r ~ x , que
déduit que, pour
Toute solution de
(sI)
r
R ,9
on a
est donc solution de
l’inéquation
«
et, diaprés
le lemme
précédente
et le nombre de solutions de
p
on a
vérifie
On démontre de même que le nombre
N~
log
Ni
=
de solutions de
(~)
vérifie
Le
Ceci entraîne
a~
Finalement, l’ensemble
tité Ql(X)
de tels nombres
Remarque. calcule la
le
des nombres
"2’!
premiers
.S X
03C9-largement composés est
vérifie,
en
posant
la quan-
X
Ak0
Ak0+1 ,
On
peut conjecturer que log
constante
c~ dans la majoration ci-dessus ,
En
on
trouve
qui
Ce
en-
effet,
c
=
2TT
~-(l+e)
venant de la formule de Brun-Titschmarsh. Si l’on
suppose les nombres
très bien répartis autour de
on peut assimiler
à
lo~
p~ ,
et le nombre
de
E~
serait le nombre de solutions de
l’inéquation
Le
2.
logarithme de
Démonstration
ce
nombre de solutions est
équivalent
à
du théorème 2.
Minoration. - Posons
e(x) =
où
est la fonction de
fient
On
a
>
(cf.
log
Il
Ak
vient,
(c log x)/(log
§ 57)
=
en
Majoration. ou
[Hal 2],
p.
03B8(pk)
=
pk
posant ~
En
=
log
on
Il y
pk)
+
log
développant
147),
x) .
obtient
x ~ ~
Les
=
=
en a
k(log
de
[x/A~]
k
+
qui
log log
A~
sont inférieurs à
k - 1
+
x .
o(l)) .
log log x ,
par la formule multinomiale
(cf. [Corn],
t,
1,
p.
38,
On
donc,
a
pour
k ~
N,
en
désignant
l’ensemble des nombres
S
par
facteur
sans
carrés,
Evaluons maintenant le nombre d’entiers
exactement
p.
~1
, p.
~2
n ~
p..On doit
y ... ~
dont les facteurs
x
premiers sont
avoir
~k
Ceci entraine
Or le nombre de solutions de cette
répétition
On
un
nombre de combinaisons
avec
et vaut
On utilise la
qUe
est
donc
a
pour
inéquation
(k
a
03A3px 1 p
+
1)majoration
. On sait d’autre part
log i°C
x +
et
B ,
on
~~~~ ~~~~ ~
28) qu’il
(cf.
~~~~ ’
existe
valable
B
tel
choisit
On obtient alors
et,y
ce
en
remplaçant
qui achève
log k !
par
k
log k
+
0
(k) ,
on
obtient
la démonstration du théorème 2.
+ f(n + 1) .
3.
1° Fonction
=
somme
des diviseurs de
n . -
On remarque d~ abord que,
lorsque
autrement
n
De tels
et
dit, les facteurs premiers supérieurs à log
facteurs , il y en a au plus log n/log log n ;
ne
modifient
guère
o-(n) .
0
ce
Ensuite,
donc, pour
+
(2).
qui démontre
on a
pour tout
n,
~ , le nombre
n=
a(n)
tout
part 2)
de facteurs
et pour
n,
o(n
+
4p2 p3
l) >~
+
+
pk
...
n .
(1 - e)
premiers inférieurs à
On obtient les grandes valeurs de
sulte de
Comme
où
y
donne,
(2)
que
P1
et
a(n)
sont
P2
est la constante
pour tout
Q~n
+
+
1~ ~ n(l
+
supérieurs
Inversement,
est tel que
1
pair,
n
o(n
+
n+
log n ,
1)
+
+
1
On
a
tendant
vers
n’ont pas
(à
et donc vérifie
de la
P2)
k
pour
et
n
n .
façon suivante : Il ré..
avec
égaux à 1 , P1 + P2 P1 P2 + 1 . Mais
ou
d’Euler, d’après
la formule de
MERTENS (cf.
Cela
n ?
Ce résultat est le meilleur
possible puisque,
une
pour
infinité de
n ~
on a
(cf.
[Wril])
Pour que la
P2
voisin de
majoration P1
N ==~
o’(n)
un
nombre
o~(l’~i ) )
2° Indicateur d’Euler
et que, pour
Pour les
comme
une
bonne,
a(n)
et de
hautement abondant
a(n - I~ ) _
cp . - On
précédemment
infinité de
petites
N
soit
il faut prendre
max(o-(n) +
( c’ es t-à-dire
vérifiant
vérifie
+
On démontre
+ 1
P2
1 . L’examen des tables de
montre que s ouvent
n
+
valeurs de
~.)
+
a une
re lation analogue
que, pour tout
n,9
n ~
9(n)
+
ou
~(n
+
1) ,
on a
on a
+
à (2)
1)
+
c’ ( hT ) .
P
1))
ou
Cette
Soit
inégalité
k >4 .
Pk’ Pk ; on pose
est
une
On pose
P,
égalité
+
-L/p) *
==
R
alors
k ~
pour les
==
p1 p2
03C6(R) R 03C6(S) S(1 +o(l)) y
~ ,
=
n
et l’on
k’
Soit
pk’ ;
...
construits de la façon suivante :
S
le
==
prend pour
plus grand entier tel que
on a, lorsque
la plus petite solution
...
n
des congruences
3° Ponction
£1 . Démonstration du théorème 3.
PROPOSITION 1. - Soit
est le
produit
àes facteurs
~’~~
~~
0 , et k
premiers
£ >
~~~ ~
Le théorème 3 résulte de cette
Etant
donné ;
p
>
0 . 0n écrit
n(n
+
1)
où
Uk Vk
=
£)
k . Alors il existe n0(k ,
Uk
tel que,
°
proposition puisque
il suffit donc de choisir e
assez
petit
et
k
assez
grand
pour obtenir
La
nous
proposition 1 résulte
l’a précisé
PROPOSITION 2
Q1 , Q2 ,
s
...q
fini de nombres
de la
proposition
2
(cf.
et
[3ch],
th.
4-F)
comme
(RIDOUT). - Soit 6 un nombre algébrique ~ 0 . Soit P1,P2,...,Ps ,
Qt des nombres premiers distincts, e t 03B4 > 0 . Il y a un nombre
rationnels a/b de la forme :
p
Démonstration de
ait
n 1~p .
>
n
=
Ps
Uk
ni
P~
n
6
1 ~
et
tels que
On écrit
9
proposition 1. Supposons que, pour
peut partager les nombres premiers
On
...,
té de
la
=
=
s/3 .
Qi Q2 ,
Y
k
infinité de
en
de telle sorte
CL ,
... ,
une
deux
qu’il
on
n .
’
parties
y ait
infini-
une
et tels que
>
,.,
P~
(n
et
Il y aurait alors
l)
+
=
n"
et l’on choisit
...
infinité de nombres rationnels
une
(n+l)/n,
solution de :1
n’ n"
puisque
V~ ~ n "~
=
Les valeurs de
n"~ ,
+
n ~ 300 000
ce
qui contredirait la proposition 2.
vérifiant
m
n
û(m(m + l)) Q(n(n + l)) sont
l)) ) :: 2(2) ? 3(3) ; 7(4) .
F
(avec, entre parenthèses la valeur de Q(n(n +
8(5) ~ 15(6) ; 32(7) ? 63(9) ; 224(10) ; 255(11) ; 512(13) ;
4095(17) ~ 14436(18) ~ 32768(l9) ~ 65535(20) ~ 180224(22) ~ 262143(24).
3968(l4) ~
On constate que les nombres
2"
(- 1 , 0 ,
+
facteurs
+
l) , lorsque n a de nombreux
cette table.
Malheureusement, la
premiers, figurent en bonne place dans
proposition 2 n’est pas effective, et il n’est pas possible
méthode que la table
contient
en
4° Fonction w . - Nous
une
infinité.
rappelé
avons
de montrer par cette
dans l’introduction que,
lorsque
n
-~
ce ,
on a
On
a
1 l
2
impossible
de le
de
façon évidente. On
démontrer.
La suite des nombres
2,
lier
5~
714
14,
=
65,
2.3.7.17
tels que
n
209 ,
et
714,
715
a-t-elle des solutions > 714
petites
valeurs de
finité de nombres premiers
que, pour
une
infinité de
p,
n,
probablement l
n
=~
w(m(m
+
7314 ,
l))
1,
=
w(n(n
28570, 254540,
5.11.13 . L’équation
=
n(n
Pour les
m
a
+
1)
=
mais il semble
+
l))
etc. On
est
a en
1,
particu-
2.3.5.....p
(cf. [Nel]) ?
w(n)
on a.
on a
+
,.(n
1) , le résultat de Chen (pour une in+ 1)
2 , ci. [Hal 1], chap 11) montre
+
(Q(2p
L’ultime amélioration du résultat de Chen
4
placer
par 3
Si l’on
nombres
a
+
~ 2P (n + 1 =
=
produira
se
1
avec
22k
+
particulier
2,
=
et
n
des deux étant
particulier
en
premier)
p
1) .
1)
+
premiers. L’un
situation
un cas
est le meilleur résultat
qui
ou
si
pair,
de
rem-
~2 ,
pour
doivent être des
puissances de
être puissance de 2. Cette
doit donc
si
n
est
un
nombre
premier de Mersenne
n +
1
est
un
nombre
premier de Fermat
D’autre
de
l) ==: 1) permettrait
possible
1
n +
+
part,9 l’équation
Inéquation de Catalan,
pa
1 =
n’admet
est
a ~ 2 , qui
avec
qu’un nombre
fini de solutions
(cf.
L’existence d’une infinité d’entiers
donc
équivalente
n, tels que
w(n)
à l’existence d’une infinité de nombres
+
w(n
I~_ 2,
+
premiers
est
de Mersenne
ou
de
Fermat.
4.
Nombres w-intéressants.
_
Définition. - On dit que
n
Interprétation géométrique :
la droite
k
En
k ,
si
effet,
==k+
A~
PROPRIÉTÉ
alors
n
a>0 y
2. -Soit
est
bien
on a
>
ny le
point
a
(m ~ ~(m))
est situé sous
(n , 03C9(n)) .
le nombre
on a
on a
bien
alors
Ak = 2.3. ... .pk
03C9(m)/m 03C9(Ak)/Ak
m>A 3~
pour
est
m
(03C9-intéressant.
> Ak .
Et si
et
vérifiant
n
~intéressant.
Démonstration. - Soit
ou
1 ,
m
pour
joignant l’origine à
PROPRIETE 1. - Pour
03C9-intéressant si l’on
est
n
m
m
> n .
Ak+1 ,
Ou bien
on a
et cela entraîne
m ~
A
et, d’après
k
tel que
propriété ],
k/n = 03C9(n)/n .
PROPRIÉTÉ 3. -. Pour une infinité de valeurs de k , il
existe un
et ayant k - 1 facteurs premiers.
intéressant, plus grand que Ak p
Démonstration. -
la
03C9-
Alors,
n
2.3* ’* .pi. i(pi,-
=
l’on
Remarquons d’abord que
diaprés la propriété 2y
vérifie
~intéressant.
est
Ak
a
n’
n
k -
.
1 ~
et que, pour
= A-
03C9-intéressant.
est
on a
n
n
n’
~-)
+
si
Ensuite, 03C9(n)
vérifie
m
k -
==
n~ ~
k
1 ;
si
2 ,
m
on a
my
d’après 1 t hypo thès e.
On sait
(cf.
et
existe
qu’il
~.57~.
p.
n’existe
aucun
situation
infinité de
==
Remarque
(k - l)
Désignons
n"
par
facteurs premiers. On
majoration
(u
n"
de
P(u y r)
le
y
r)
a
grand.
assez
1)
il est facile de voir
A~
et
peut
n~
donc
==
Cette
A-
conjecturer
A-
qu’il
et
que, pour
A-
véri-
Hi-~ (p-~. Pi..
+
et soit
t
tel que
t
==
et
A.
=
Considérons le produit
p. ~ ~
q
r
+
si
t) .
divise
u ~
(cf.
r
Il doit avoir
p- Pi-
facteur
un
premier
t . Alors le nombre
+
facteurs premiers~ et l’on
2.3.
*"
’pT,.~~(pT,.
iPi-+~)
.:
p ) . Le résul tat de RAMACHANDRA (c f. [Ramac ] ) "Si
log " ,
r3/2 u rlog
(8
peu , r) r1+203BB avec 03BB
permet
0
montrer qu’il existe 03B1
tel que
Ak(1 1/p1+03B1k) . On peut prendre
n
a k - 1
=
>
on a
de
~
=
>
==
03C9(n)
(k - l)
+
donc
t >
un
03C9-intéressant,
nombre
qu’un
n
(k - l)
03C9-intéressant compris
nombre
Ak . Alors
entre
A- et Ak+1
facteurs premiers.
Démonstration. - Soit
a
n
k . Cela entraîne
plus de
On
+
-
0,000974 .
PROPRIETE 4. - Soit
a
a
+
n
p~
ayant
+
n" n
1-/pk) . Il est possible d’obtenir
de la façon suivante : Le théorème de Sylvesterplus grand facteur premier du produit
plus grand que
q >
k
plus petit entier suivant
le
est
...
log
k .
Schur affirme que
l)
k . On
pour
(03C9-intéressants compris entre
les nombres
k ,
2. -
meilleure
+
(3)
pk/(k -
p - Pk+1 - pk
infinité de
une
pour
pk+~-~p~.> 2
on aura
{~-intéressant compris entre
nombre
produit
se
fient
(u
nombres,
ces
vérifie
k
1. - Si
Remarque
une
Pour
log k y cela entraîne la relation
comme
une
infinité de nombres premiers tels que
une
n >
(k - l) A.
k . Ce nombre
n
ne
vérifiant
peut
pas être
o)(n) ~
k -
1 ;
on
écrit
03C9-intéressant puisque
Conjecture. - Peut-on remplacer
e(k)
(k - l)
03C9-largement composes :
l’ensemble des nombres
posés non 03C9-intéressants (exemple :
propriété 3 fournit un exemple de la
5~ Démonstration du
théorème~
lorsque
~ +
x
x] x>
log log
ou
(y) désigne
Pour
0
F(03B1) 1 - 03B1) pourestimrcad{nx;03C9(n)03B1log x
(l
e(k)) A.
+
avec
la
1
03B1
Démonstration
=
y
co
n
une
infinité de nombres
(p.. -
==
Les deux ensembles ont
l) A
par la
in-
une
03C9-largement
propriété 2)
com-
et la
situation inverse.
4.
N.(x)
PROPOSITION 3. - Posons
a,
$:
n
par
03C9-intéressants coïncide presque
voit que l’ensemble des nombres
on
finité de points communs, mais il existe
on
A-
=0 ?
Finalement,y
avec
n ~
(avec
=
card{n
(ju(n) > k) . Pour 03B1 fixé,
lintroduction),
x ;
les notations de
03B1 >
1 ,
1 203C0 0-1 03B11/2+ {03B1 log logx}x(1+0(1/loglogx)(logx)1-03B1403B1log03B1loglogx),
partie fractionnaire
de
y .
la formule ci-dessus est valable
(communiquée
par H.
DELANGE). -
(en remplaçant
} .
Soit
P
(z)
==
1
n%r
F(03B1) 03B1 - 1
z03C9(n) .
par
Le
théorème des résidus montre que
-
où
’~
où
H(z , r)
log log
Est
x
un
cercle de centre 0
_
et de rayon
est bornée uniformément pour
z
E
~
,.
r >
y,
1 , On
1
applique la formule de
ri
r s
r~ .
On pose
= ~ . On obtient
On choisit
r =
de telle sorte que le coefficient de
G’ (r) s ’annule,
et
(cf.
par
[Dieu ],
exemple,
ch.
IV).
On
en
déduit que
et finalement
On
[03B1
k =
p rend
G(r) = G(03B1)(1
0(1 l)) ,
+
0
on
x
1 !
a
on
de sorte que
évalue chacun
kq
Stirling:
par la formule de
Lorsque
lo lo
~ k e-k 203C0k
suit la même
r =
k l = 03B1
méthode,
et
en
x.
0
lo
ci-dessus en
des termes
),
+
on
On
a
donc
particulier ko
obtient la proposition 3.
intégrant
sur un
cercle de rayon
r=~~ 1 .
PROPOSITION 4. -
En
A
So t
A) =
(n0 ,
particulier cette dernière
1 . Alors
somme
on
a,
ni,
avec,
"))
est
lorsque
==
Démonstration. - La formule
nombres pour
lesquels
Or les nombres
n =
n~
+
yA
=
0
n
’
sur
d) .
(ii)
a
est
une
log log
x
conséquence immédiate
de
2~~~ ~
vérifient
(i) :
soit
lesquels s’effectue cette dernière sommation vérifient
Si
~A , d) == 1 y
y
cette congruence
a une
solution,
~ 1 , pour
chaque intervalle de longueur d . Si (A y d)
cette congruence ait une solution, on doit avoir (A ,
d’où
il n!y a donc pas de solutions. Finalement, il y a au plus une solution
intervalle de longueur d, et la somme est inférieure ou égale à
seule,
en
y
Les
dans
d~ ~ ~~O ,
(A,n ~ ~ o
dans
et
une
que
1 ;
chaque
Remarque. -
Dans le
même exposant pour
A
cas
log
=
1 ~
~
=
que dans la
x
dans l’estimation
2 ,y on trouve
proposition 3.
Ceci est dû
(ii)
le
(cf.
fait que
au
[AndD
Par des
ration du
techniques plus compliquéesy il
même ordre en log x que celle
leurs de
~>1 .
LEMME 2. - Soit
cients dans
un
ments de la
n -
03A3mi=1 L.
M
=
(a..)
K. Soit
corps
i-ème ligne de
(P . On
dans
P
une
lignes et
m
partie
de
le nombre d’éléments de la
une
majo-
pour toutes les
et soit
Il ,
(ii)
va-
colonnes à coeffi-
n
qui sont dans P . Alors il
dont tous les éléments sont
C.
pour
proposition 3,
M
colonnes
Démonstration. - Soit
de la
matrice à
une
possible d’avoir
est
le nombre d’élé-
L.
a
y
j-ième
au
moins
colonne
qui sont
a
PROPOSITION 5. -
Supposons qu’il
existe
k
> 0 et j
n
tels que
(i) k$(~n) ,
(ii) w(n) $ j ,
(iii)
(iv)
Alors,
s=
pour
pour
n
assez
1 ,y 2 ,y ... y j-1 ~
r=
pour
grand,
1 , 2 ,
n
est
... ,
un
[2
point d’étranglement
pour la fonction
n~2014)-n-(ju(n) .
Dénonstration. - Soit
Ou bien
m
n .
et, diaprés
n - j
on a
n-j~n -~(n) .
m-
Ou bien
on a
m== n-r
(ii),
et
avec
m -~(m)~m-j~m-~(n)
Soit maintenant
Ou bien
on a
m
n -
et
(ii)
donnent
w(n) .
> n .
m > n + .2
~(m) -~ ~ ~ 2 ~ ?
(iii)
log
on
et,
obtient,
n
en
que pour tout entier
remarquant
est
assez
on a
grande
log n) >n > n - w(n)
m-
par la croissance de la fonction
m
x )2014~
x - ~- log
x .
Ou bien
a m ~
on
n
+ [2
n~ ,
log
et
(iv)
donne alors
qui entraîne
ce
Démonstration du théorème 4. - La méthode suivante est celle de
Pour assurer les
d’être solution du
hypothèses (i) et (iii) de
système de congruences :
proposition 5,
la
[Erd 2J.
... ,
produit de k nombres premiers, et
de j nombres premiers tous distincts. On pose A = BO B1 9 ... ,
le théorème chinois, les solutions de ce système de congruences sont
où
est
B
B .~~
un
n =
On
On
donne
se
prend
3 log
miers. On
a
tenues
nes
y
la
0 ~ nG A
et
[3
log
grand. On choisit
ce
de
k =
... ,
Bj-1
qui es t pos sib le d’après
1 ~ s ~ 2 log x , grâce
pour
n~
proposition 4,
supérieurs
pour
avec
des
de la forme
[6
log
log x] .
distincts et compris entre
le
à
théorème des nombres pre-
choix des facteurs
premiers
de
A ~
des congruences,
la
3 log log
lesquelles
au
s-ième ligne de
x .
Diaprés
ce
le lemme
tableau contient
2, il y
a
((1
au
+
n
produits
D’après
donc
a, pour la solution
D’après
yA
premiers
4 log x ,
Maintenant,
on
assez
les facteurs
et
x
x
+
nO
demander à
on va
plus
o(1~~
colon-
Pour
de
une
et est donc
position 5
On
peut
~
n
n -
d(n)
=
conjecturer
n~
vrai pour
encore
voir que , pour
n
=
E
pas de résultats
u)(n +
tel que
t
non
pour
n >
nO ’
il existe
m -
ce
qui montrerait
tout
n >
n - 2 ~
n.. y
un
et
est
n
logarithme :
question beaucoup
une
point d’étranglement
un
n) ~ "~ .
pour la
Il semble vraisemblable que ,
n , et même
exp(log n) y
m -
~~~.i ~.? ~ " d(m) ~ n - 2 ~
parce que
au
2.3.....p. ~
résultat. C’est
ce
tel que
Enfin, il est facile de voir que toute
de points d’étranglement est croissante,
nelle
le
points d’étranglement
m > n
log log
question suivante : Majorer
m -
n -
que le nombre de
existe-t-il
(~(n)
point d’étranglement. On ne peut pas
point d’étranglement : La raison en est
(log
avec
la fonction
aucun
triviaux pour la
w(n)
> n
m
n -
t) ~ k .
alors
y
w(n) .
=
Il n’est pas difficile de montrer que, si
n -
de la pro-
d’étranglement, mais il semble peu vrais1 . Diaprés le théorème des nombres
malheureusement, nous ne pouvons améliorer
plus importante que l’étude de n -
fonction
petit,
assez
e
2.3.....p- ,
n’a pas de
n -
+
que, pour
et donc cette fonction n’a
démontrer que
qu’il n’y a
plus petit
soit
ce
n
yy
infinité de points
a une
peut
on
négatif,
est
un
raisonnablement
semblable que
premiers,
yA vérifie les 4 hypothèses
point d’étranglement de la fonction n ~ n -
valeurs de
ces
est fini.
d(m)
n -
mais
on ne
fonction additive
La démonstration suivante
a
été
(On
2
a
ce
qui possède
et
proposée
pour
besoin de
sai t
(cf. [Erd 3]
et donc
Peut-étre,y
une
sujet).
infinité
proportion-
par D. BERNARDI et
W. NARKIEWICZ.
Soit
f
additive
d’étranglement,
valle
et
[nk/b , nk/a]
ayant
suite infinie
une
b . On
a
un
nombre
peut trouver y
premier à
c
ca
ce
n~
qui entraine
f(a)
ab;
n.
...
assez
on aura
...
grande’
de
points
dans l’inter-
alors
cb ,y
.
f(c)
et
ni n 2
pour n,
+
f(a)
f(n~)
f(c)
+
f(b)
f(b) .
REFERENCES
[And]
ANDERSON
(I.). -
On
1967, p. 137-148.
[Com]
(L.). -
primitive sequences, J. London math. Soc., t. 42,
COMTET
Analyse combinatoire. Tomes 1 et 2. versitaires de France, 1970 (Collection SUP. "Le
Presses UniMathématicien", 4 et 5).
Paris,
(H.). -
[Del 1]
DELANGE
2e série, t.
[Del 2]
DELANGE
Sur des formules dues à A.
83, 1959, p. 101-111.
(H.). -
t. 19, 1971,
Sur des formules de A.
Bull. Sc.
Selberg,
Acta
Selberg,
math.,
Arithm., Warszawa,
105-146.
p.
DIEUDONNÉ (J.). - Calcul infinitésimal. - Hermann, Paris, 1968 (Collection
Méthodes).
[Erd 1] ERDÖS (P.). - On the integers having exactly k prime factors, Annals of
[Dieu]
Series
Math.,
[Erd 2] ERDÖS (P.). math.
Soc.,
2,
t.
49, 1948,
On arithmetical
t. 12, 1948, p.
53-66.
p.
properties of Lambert series, J. Indian
63-66.
[Erd 3] ERDÖS (P.). -
On the distribution function of additive
Series 2, t. 47, 1946, p. 1-20.
Math.,
[Hal 1]
(H.)
HALBERSTAM
Press, 1974
[Hal 2]
Ann. of
(H. E.). - Sieve methods. - London, Academic
mathematical Society Monographs, 4).
and RICHERT
(London
(H.)
HALBERSTAM
functions,
(K. F.). - Sequences. - Oxford,
and ROTH
at the Clarendon
Press, 1966.
[Har]
HARDY (G. H.) and RAMANUJAN
The normal number of prime factors of
a number
J.
of
t.
Quart
n ,
Math.,
48, 1917, p. 76-92 ; "Collected
of
papers
Ramanujan", p. 262-275. - Cambridge, at the University Press,
(S.). -
1927.
[Kac 1] ERDÖS (P.)
additive
[Kac 2] ERDÖS (P.)
additive
[Kol]
[Land]
(M.). -
On the Gaussian law of errors in the theory of
Proc. Nat. Acad. Se., t. 25, 1939, p. 206-207.
(M.). -
functions,
The Gaussian law of errors in the theory of
Amer. J. Math., t. 62, 1940, p. 738-742.
and STRAUSS
(E. G.). - On the distribution
(à paraître).
(E.). -
LANDAU
Handbuch der Lehre von der
Chelsea publishing Company, 1953.
(M.). -
LANGEVIN
Sur la fonction
Delange-Pisot-Poitou, 16e
[Mon]
MONTGOMERY
London,
(H. L.)
t.
20, 1973,
1974/75,
(R. C.). -
n°
On the
[Nic]
NICOLAS
(C.),
[Ramac]
[Ram]
[Rid]
[Roth]
PISOT
large sieve, Mathematika,
(C.). -
(J.-L.). - Répartition
(C.)
p.
119-134.
p.
Delange-Pisot-Poitou,
Warszawa, t. 34, 1979,
der Primzahlen. - New
G22, 29
NELSON
PENNEY (D. E.) and POMERANCE
recreational Mathematics, t. 7, 1974, p. 87-89.
[Pra]
integers with
plus grand facteur premier, Séminaire
année,
and VAUGHAN
Verteilung
[Nel]
[Pis]
of
given number of prime factors
York,
[Lan]
and KAC
(G.)
KOLESNIK
a
and KAC
functions,
19e
des nombres
année,
1977/78,
714
and
J.
715 ,
largement composés, Séminaire
n°
41,
10 p. ; et Acta
Arithm.,
p. 379-390.
and SCHOENBERG
(I. J.). -
Arithmetic problems concerning
Cauchy’s functional equation, Illinois J. of Math., t. 8, 1964, p. 40-56.
PRACHAR (K.). - Primzahlverteilung. - Berlin,
Springer-Verlag, 1957
(Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 91).
RAMACHANDRA (K.). - A note on numbers with a large prime
factor, II, J.
Indian math. Soc., t. 34, 1970, p. 39-48.
HARDY (G. H.) and RAMANUJAN (S.). - Asymptotic formulae for the distribution of integers of various types, Proc. London math.
Soc., Series 2,
t. 16, 1917, p. 112-132 ; and "Collected papers", Vol. 1, p. 277-293.
RIDOUT (D.). - Rational approximations to algebraic
numbers, Mathematika,
London, t. 4, 1957, p. 125-131.
ROTH
of
(K. F.)
and SZEKERES
partitions, Quart. J.
(G.). -
Some
asymptotic formulae in the theory
Series 2, t. 5, 1954, p. 241-259.
math., Oxford,
32-19
[Sat]
SATHE
(L. G.). -
On a problem of Hardy on the distribution of integers
given number of prime factors, I, II, III, IV, J. Indian math.
Soc., t. 17, 1953, p. 63-141 et t. 18, 1954, p. 27-81.
having
[Sch]
SCHMIDT
a
(W. M.). -
Genève,
t.
Approximation
17, 1971,
(Monographies
[Sel 1] SELBERG (A.). - Note
1972
t.
p.
de l’
on a
to
algebraic numbers, Enseign. math.
Genève, Enseignement mathématique,
Enseignement mathématique, 19).
187-253 ;
paper
et
by L. G. Sathe, J. Indian math. Soc.,
18, 1954, p. 83-87.
[Sel 2]
SELBERG
On the normal density of primes in small intervals and the
difference between consecutive primes, Arch. Math. Naturvid., t. 47,
1943, fasc. 6, p. 87-105.
[Tij]
TIJDEMAN
t. 29,
[Tur]
(A.). -
TURAN
(R.). 1976,
(P.). -
t. 9, 1934,
[Wri]
HARDY
(G. H.)
Of the
equation
of Catalan. - Acta
Arithm., Warszawa,
p. 197-209.
On
a
theorem of
Hardy
and
Ramanujan,
J. London math.
Soc.,
p. 274-276.
and WRIGHT
(E. M.). -
numbers, 4th edition. - Oxford,
An introduction to the theory of
at the Clarendon Press, 1960.