Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres PAUL E RDÖS J EAN -L OUIS N ICOLAS Sur la fonction « nombre de facteurs premiers de n » Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome exp. no 32, p. 1-19 20, no 2 (1978-1979), <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1978-1979__20_2_A9_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1978-1979, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU (Théorie année, 1978/79, 20e 32-01 nombres) des n° 32, 19 SUR LA FONCTION "NOMBRE DE FACTEURS PREMIERS DE par Paul ERDÖS et Jean-Louis NICOLAS [Budapest (jL)(n) Résume. 2014 Soit n ===~ et, premiers de est le nombre de facteurs " (*) premiers de On dit que n. Q~(x) quantité La exp(c2 log X) . Q(n) si n Limoges ] o)(m) ~ ~(n) . vérifie X et le nombre de facteurs w-largement composé juin 1979 11 p. est n de tels nombres On démontre aussi comptés n avec leur multipli- cité On étudie les nombres et on démontre qu’il existe fonction w(n) , n - Introduction. n . n On définit w(n) était résultaty En 1939, Ensuite, log log en = n = k p.... p03B1k Q(n) et f (cf. [Har]) En n . d’étranglement nk 1934, = o~. la + décomposition ~? + ... est additive si ont démontré en en facteurs premiers de + ~ . Les fonctions (m ~ n) 1 entratne 0 et 1917 que la valeur moyenne de P. TURAN donnait une démonstration simple de ce ERDOS ERDÖS démontraient (cf. [Kac]) : ([Erd et L. G. SATHE ([Sat]) s’intéressaient _ _ _ aux entiers __ Texte reçu le 11 juin 1979. ERDÖS, Akademia (Hongrie), et Paul 123 w = _ ~’~~ pour la prouvant (cf. M. KAC et P. P. infinité de points une sont additivesi Une fonction HARDY et RAMANUJAN définis par c’est-à-dire vérifiant Soit w(n) 03C9-intéressants, rue Matematikai Intezete, 13-15 Realtanoda u. i H.1053 BUDAPEST Jean-Louis Département de Mathématiques, UER des Sciences, Albert Thomas, 87060 LIMOGES CEDEX. la "formule de F(z) où soit de l’ordre de avec permet d’obtenir plus simplement précision la ([Sel]) A. SELBERG x . donnait le p~ hautement [Del 2]). et k-ième nombre premier y et posons composé si est la suite m n ~ n tel que w(m) w(n) . déduit que, lorsque A~ _ 2. 3... , ~pk . w(n) = k . On dit que La suite des nombres Ce nombre est n A- w- w-hautement com- A, . A l’ aide du théorème des nombres et les résultats de SATHE et d’éva- quantité est le plus petit entier naturel posés log log Selberg" : (cf. proposition 3, [Del 1], Soit c est la fonction entière Cette formule luer w(n) tels que n ,~ x n 2014~ co ~ premiers, (cf. le nombre de nombres on a ch. log A.k ~ ’" k log k ;9 on en XVIII )1 w-hautement composés au plus égaux à X véri- fie On dit maintenant que Ak , n Q~(X) Ak+1 , n le nombre de n est w-largement composée si m ~ n w(n) . ===~ Si 03C9-largement composé siy et seulement si, w(n) = k . Soit nombres w-largement composés X . Nous démontrerons le théoest rème suivant :i THEOREME 1. - Il existe deux constantes 0 c1 c2 telles que Nous démontrerons ensuite le théorème suivant. Entre les résultats obtenus par la formule de Selberg et le théorème trou à boucher,y pour estimer par exemple card~n x ; w(n) > (log 2, il y a un x)~) , KOLESNIK et STRAUSS (cf. qui fournit partiellement Nous nous ont donné une solution à intéresserons ensuite aux une ce formule asymptotique assez compliquée problème. valeurs extrêmes de f(n) + f(n + 1) , pour f. Nous démontrerons quelques fonctions arithmétiques particulier en le résultat suivant. THÉORÈME 3. - paragraphe 4, Au n ~ pour nous premiers y en les ~ , nombre qu’un disons Cette définition caractérise teurs + une comparant famille de nombres avec des nombres n qui ont beaucoup plus grands que m composés). rement à la définition des nombres hautement priétés 03C9-intéressant si est n Nous donnons n de fac- (contrai- quelques pro- de ces nombres. Enfin, dans le dernier paragraphe, glement en n, si on dit qu’une f fonction a un point d’étran- Interprétation géométrique : Le graphe de f , contenu dans l’angle droit de sommet (n, t(n)) et de côtes parallèles aux axes, s’étrangle en n . Nous démontreenfin le théorème suivant. rons THEOREME 4. - La fonction ~-~r n n - w(n) a une infinité de points d~étrangle-- ment. Pour tel un point coup de facteurs teurs juste avent n y il existe premiers, et juste après une n,y une plage de nombres plage de nombres ayant ayant beau- peu de fac- premiers. 1. Démonstration du théorème~ 1. D’après le théorème de Selberg, (cf. [Sel 2~j et [rJic]) pour toute f(x) croissante, vérifiant f(x) > x et telle que f(x)/x décroisse vers 0 , il exis te , entre ( 1 -- 2e)log X et (1 - e)log X un nombre x Minoration. fonction et tende tel que f(x) == On choisit c log x . Soit k tel que x pk+1 . On considère la famille de nombres : où q~ , ... , y des nombres De tels nombres vérifient 03C9(n) = premiers choisis parmi k ? et il y en a pk-~1. ’ 2s . De plus , "’ ’y pk+s ’ ils vérifient On choisit que s f(x) de façon que On a Si l’on choisit seront 1.~’V~2 9 c La majoration LEMME 1. - Soit f(x) + on aura donc On Q ^ ~X~ de p1 = 2 , p2 = 3 , Ak nombre Nous S(n) est basée ... , pk SZEKERES donnent la est n==q 1 n ~ Ek , et n~ carré, ~E * E’k = et n nombres ces n , sur le le lemme suivant. k-ième nombre premier, et soit l’équation une formule [Roth] fonction croissante de n . On a alors T(x) ~ proposons de majorer le nombre d’éléments de l’ensemble Soit avec de telle sorte partitions de n en sommants premiers et distincts. Le S(n) peut être évalué par le théorème taubérien de Ramanujan T(x~ -et~ n.Çx ROTH et nous f(x) de (cf. [Ram])y et montrent que x - donc aura Démonstration. - Le nombre de solutions de S(n) p -S ~ l’inéquation le nombre de s olutions de est le nombre et alors : w-largement composés et .$ X . Majoration. - T(x) x p+8 {n ; Maintenant si n n E ... q, "k Déplus E’k 9 Le nombre d’éléments de n Ek n’ le nombre p~ . facteur sans ; carré’ On 03C9(n) a .- k ==q. q2 ... q-. est sans facteur donc 9 n Ak+1} . s’écrit est donc majoré par le nombre de solutions de l’iné- On en Soit déduit R le card plus grand nombre tel que r l’inéquéàtion nombre de solutions de On coupe 2pk . p. l’inéquation (03BE1) deux en est Le nombre de variables de nombre de variables non qui valable pour en fait fini, et de solutions de N" majoré par p. p.. majoré par majoré par est (~) est assure Il résulte de On en nulles d’une solution de 2 . Le nombre log ce Ni:::: avec 1 l’inégalité de Brun-Titchmarsh (cf. 1] et ~r ~ x , que déduit que, pour Toute solution de (sI) r R ,9 on a est donc solution de l’inéquation « et, diaprés le lemme précédente et le nombre de solutions de p on a vérifie On démontre de même que le nombre N~ log Ni = de solutions de (~) vérifie Le Ceci entraîne a~ Finalement, l’ensemble tité Ql(X) de tels nombres Remarque. calcule la le des nombres "2’! premiers .S X 03C9-largement composés est vérifie, en posant la quan- X Ak0 Ak0+1 , On peut conjecturer que log constante c~ dans la majoration ci-dessus , En on trouve qui Ce en- effet, c = 2TT ~-(l+e) venant de la formule de Brun-Titschmarsh. Si l’on suppose les nombres très bien répartis autour de on peut assimiler à lo~ p~ , et le nombre de E~ serait le nombre de solutions de l’inéquation Le 2. logarithme de Démonstration ce nombre de solutions est équivalent à du théorème 2. Minoration. - Posons e(x) = où est la fonction de fient On a > (cf. log Il Ak vient, (c log x)/(log § 57) = en Majoration. ou [Hal 2], p. 03B8(pk) = pk posant ~ En = log on Il y pk) + log développant 147), x) . obtient x ~ ~ Les = = en a k(log de [x/A~] k + qui log log A~ sont inférieurs à k - 1 + x . o(l)) . log log x , par la formule multinomiale (cf. [Corn], t, 1, p. 38, On donc, a pour k ~ N, en désignant l’ensemble des nombres S par facteur sans carrés, Evaluons maintenant le nombre d’entiers exactement p. ~1 , p. ~2 n ~ p..On doit y ... ~ dont les facteurs x premiers sont avoir ~k Ceci entraine Or le nombre de solutions de cette répétition On un nombre de combinaisons avec et vaut On utilise la qUe est donc a pour inéquation (k a 03A3px 1 p + 1)majoration . On sait d’autre part log i°C x + et B , on ~~~~ ~~~~ ~ 28) qu’il (cf. ~~~~ ’ existe valable B tel choisit On obtient alors et,y ce en remplaçant qui achève log k ! par k log k + 0 (k) , on obtient la démonstration du théorème 2. + f(n + 1) . 3. 1° Fonction = somme des diviseurs de n . - On remarque d~ abord que, lorsque autrement n De tels et dit, les facteurs premiers supérieurs à log facteurs , il y en a au plus log n/log log n ; ne modifient guère o-(n) . 0 ce Ensuite, donc, pour + (2). qui démontre on a pour tout n, ~ , le nombre n= a(n) tout part 2) de facteurs et pour n, o(n + 4p2 p3 l) >~ + + pk ... n . (1 - e) premiers inférieurs à On obtient les grandes valeurs de sulte de Comme où y donne, (2) que P1 et a(n) sont P2 est la constante pour tout Q~n + + 1~ ~ n(l + supérieurs Inversement, est tel que 1 pair, n o(n + n+ log n , 1) + + 1 On a tendant vers n’ont pas (à et donc vérifie de la P2) k pour et n n . façon suivante : Il ré.. avec égaux à 1 , P1 + P2 P1 P2 + 1 . Mais ou d’Euler, d’après la formule de MERTENS (cf. Cela n ? Ce résultat est le meilleur possible puisque, une pour infinité de n ~ on a (cf. [Wril]) Pour que la P2 voisin de majoration P1 N ==~ o’(n) un nombre o~(l’~i ) ) 2° Indicateur d’Euler et que, pour Pour les comme une bonne, a(n) et de hautement abondant a(n - I~ ) _ cp . - On précédemment infinité de petites N soit il faut prendre max(o-(n) + ( c’ es t-à-dire vérifiant vérifie + On démontre + 1 P2 1 . L’examen des tables de montre que s ouvent n + valeurs de ~.) + a une re lation analogue que, pour tout n,9 n ~ 9(n) + ou ~(n + 1) , on a on a + à (2) 1) + c’ ( hT ) . P 1)) ou Cette Soit inégalité k >4 . Pk’ Pk ; on pose est une On pose P, égalité + -L/p) * == R alors k ~ pour les == p1 p2 03C6(R) R 03C6(S) S(1 +o(l)) y ~ , = n et l’on k’ Soit pk’ ; ... construits de la façon suivante : S le == prend pour plus grand entier tel que on a, lorsque la plus petite solution ... n des congruences 3° Ponction £1 . Démonstration du théorème 3. PROPOSITION 1. - Soit est le produit àes facteurs ~’~~ ~~ 0 , et k premiers £ > ~~~ ~ Le théorème 3 résulte de cette Etant donné ; p > 0 . 0n écrit n(n + 1) où Uk Vk = £) k . Alors il existe n0(k , Uk tel que, ° proposition puisque il suffit donc de choisir e assez petit et k assez grand pour obtenir La nous proposition 1 résulte l’a précisé PROPOSITION 2 Q1 , Q2 , s ...q fini de nombres de la proposition 2 (cf. et [3ch], th. 4-F) comme (RIDOUT). - Soit 6 un nombre algébrique ~ 0 . Soit P1,P2,...,Ps , Qt des nombres premiers distincts, e t 03B4 > 0 . Il y a un nombre rationnels a/b de la forme : p Démonstration de ait n 1~p . > n = Ps Uk ni P~ n 6 1 ~ et tels que On écrit 9 proposition 1. Supposons que, pour peut partager les nombres premiers On ..., té de la = = s/3 . Qi Q2 , Y k infinité de en de telle sorte CL , ... , une deux qu’il on n . ’ parties y ait infini- une et tels que > ,., P~ (n et Il y aurait alors l) + = n" et l’on choisit ... infinité de nombres rationnels une (n+l)/n, solution de :1 n’ n" puisque V~ ~ n "~ = Les valeurs de n"~ , + n ~ 300 000 ce qui contredirait la proposition 2. vérifiant m n û(m(m + l)) Q(n(n + l)) sont l)) ) :: 2(2) ? 3(3) ; 7(4) . F (avec, entre parenthèses la valeur de Q(n(n + 8(5) ~ 15(6) ; 32(7) ? 63(9) ; 224(10) ; 255(11) ; 512(13) ; 4095(17) ~ 14436(18) ~ 32768(l9) ~ 65535(20) ~ 180224(22) ~ 262143(24). 3968(l4) ~ On constate que les nombres 2" (- 1 , 0 , + facteurs + l) , lorsque n a de nombreux cette table. Malheureusement, la premiers, figurent en bonne place dans proposition 2 n’est pas effective, et il n’est pas possible méthode que la table contient en 4° Fonction w . - Nous une infinité. rappelé avons de montrer par cette dans l’introduction que, lorsque n -~ ce , on a On a 1 l 2 impossible de le de façon évidente. On démontrer. La suite des nombres 2, lier 5~ 714 14, = 65, 2.3.7.17 tels que n 209 , et 714, 715 a-t-elle des solutions > 714 petites valeurs de finité de nombres premiers que, pour une infinité de p, n, probablement l n =~ w(m(m + 7314 , l)) 1, = w(n(n 28570, 254540, 5.11.13 . L’équation = n(n Pour les m a + 1) = mais il semble + l)) etc. On est a en 1, particu- 2.3.5.....p (cf. [Nel]) ? w(n) on a. on a + ,.(n 1) , le résultat de Chen (pour une in+ 1) 2 , ci. [Hal 1], chap 11) montre + (Q(2p L’ultime amélioration du résultat de Chen 4 placer par 3 Si l’on nombres a + ~ 2P (n + 1 = = produira se 1 avec 22k + particulier 2, = et n des deux étant particulier en premier) p 1) . 1) + premiers. L’un situation un cas est le meilleur résultat qui ou si pair, de rem- ~2 , pour doivent être des puissances de être puissance de 2. Cette doit donc si n est un nombre premier de Mersenne n + 1 est un nombre premier de Fermat D’autre de l) ==: 1) permettrait possible 1 n + + part,9 l’équation Inéquation de Catalan, pa 1 = n’admet est a ~ 2 , qui avec qu’un nombre fini de solutions (cf. L’existence d’une infinité d’entiers donc équivalente n, tels que w(n) à l’existence d’une infinité de nombres + w(n I~_ 2, + premiers est de Mersenne ou de Fermat. 4. Nombres w-intéressants. _ Définition. - On dit que n Interprétation géométrique : la droite k En k , si effet, ==k+ A~ PROPRIÉTÉ alors n a>0 y 2. -Soit est bien on a > ny le point a (m ~ ~(m)) est situé sous (n , 03C9(n)) . le nombre on a on a bien alors Ak = 2.3. ... .pk 03C9(m)/m 03C9(Ak)/Ak m>A 3~ pour est m (03C9-intéressant. > Ak . Et si et vérifiant n ~intéressant. Démonstration. - Soit ou 1 , m pour joignant l’origine à PROPRIETE 1. - Pour 03C9-intéressant si l’on est n m m > n . Ak+1 , Ou bien on a et cela entraîne m ~ A et, d’après k tel que propriété ], k/n = 03C9(n)/n . PROPRIÉTÉ 3. -. Pour une infinité de valeurs de k , il existe un et ayant k - 1 facteurs premiers. intéressant, plus grand que Ak p Démonstration. - la 03C9- Alors, n 2.3* ’* .pi. i(pi,- = l’on Remarquons d’abord que diaprés la propriété 2y vérifie ~intéressant. est Ak a n’ n k - . 1 ~ et que, pour = A- 03C9-intéressant. est on a n n n’ ~-) + si Ensuite, 03C9(n) vérifie m k - == n~ ~ k 1 ; si 2 , m on a my d’après 1 t hypo thès e. On sait (cf. et existe qu’il ~.57~. p. n’existe aucun situation infinité de == Remarque (k - l) Désignons n" par facteurs premiers. On majoration (u n" de P(u y r) le y r) a grand. assez 1) il est facile de voir A~ et peut n~ donc == Cette A- conjecturer A- qu’il et que, pour A- véri- Hi-~ (p-~. Pi.. + et soit t tel que t == et A. = Considérons le produit p. ~ ~ q r + si t) . divise u ~ (cf. r Il doit avoir p- Pi- facteur un premier t . Alors le nombre + facteurs premiers~ et l’on 2.3. *" ’pT,.~~(pT,. iPi-+~) .: p ) . Le résul tat de RAMACHANDRA (c f. [Ramac ] ) "Si log " , r3/2 u rlog (8 peu , r) r1+203BB avec 03BB permet 0 montrer qu’il existe 03B1 tel que Ak(1 1/p1+03B1k) . On peut prendre n a k - 1 = > on a de ~ = > == 03C9(n) (k - l) + donc t > un 03C9-intéressant, nombre qu’un n (k - l) 03C9-intéressant compris nombre Ak . Alors entre A- et Ak+1 facteurs premiers. Démonstration. - Soit a n k . Cela entraîne plus de On + - 0,000974 . PROPRIETE 4. - Soit a a + n p~ ayant + n" n 1-/pk) . Il est possible d’obtenir de la façon suivante : Le théorème de Sylvesterplus grand facteur premier du produit plus grand que q > k plus petit entier suivant le est ... log k . Schur affirme que l) k . On pour (03C9-intéressants compris entre les nombres k , 2. - meilleure + (3) pk/(k - p - Pk+1 - pk infinité de une pour pk+~-~p~.> 2 on aura {~-intéressant compris entre nombre produit se fient (u nombres, ces vérifie k 1. - Si Remarque une Pour log k y cela entraîne la relation comme une infinité de nombres premiers tels que une n > (k - l) A. k . Ce nombre n ne vérifiant peut pas être o)(n) ~ k - 1 ; on écrit 03C9-intéressant puisque Conjecture. - Peut-on remplacer e(k) (k - l) 03C9-largement composes : l’ensemble des nombres posés non 03C9-intéressants (exemple : propriété 3 fournit un exemple de la 5~ Démonstration du théorème~ lorsque ~ + x x] x> log log ou (y) désigne Pour 0 F(03B1) 1 - 03B1) pourestimrcad{nx;03C9(n)03B1log x (l e(k)) A. + avec la 1 03B1 Démonstration = y co n une infinité de nombres (p.. - == Les deux ensembles ont l) A par la in- une 03C9-largement propriété 2) com- et la situation inverse. 4. N.(x) PROPOSITION 3. - Posons a, $: n par 03C9-intéressants coïncide presque voit que l’ensemble des nombres on finité de points communs, mais il existe on A- =0 ? Finalement,y avec n ~ (avec = card{n (ju(n) > k) . Pour 03B1 fixé, lintroduction), x ; les notations de 03B1 > 1 , 1 203C0 0-1 03B11/2+ {03B1 log logx}x(1+0(1/loglogx)(logx)1-03B1403B1log03B1loglogx), partie fractionnaire de y . la formule ci-dessus est valable (communiquée par H. DELANGE). - (en remplaçant } . Soit P (z) == 1 n%r F(03B1) 03B1 - 1 z03C9(n) . par Le théorème des résidus montre que - où ’~ où H(z , r) log log Est x un cercle de centre 0 _ et de rayon est bornée uniformément pour z E ~ ,. r > y, 1 , On 1 applique la formule de ri r s r~ . On pose = ~ . On obtient On choisit r = de telle sorte que le coefficient de G’ (r) s ’annule, et (cf. par [Dieu ], exemple, ch. IV). On en déduit que et finalement On [03B1 k = p rend G(r) = G(03B1)(1 0(1 l)) , + 0 on x 1 ! a on de sorte que évalue chacun kq Stirling: par la formule de Lorsque lo lo ~ k e-k 203C0k suit la même r = k l = 03B1 méthode, et en x. 0 lo ci-dessus en des termes ), + on On a donc particulier ko obtient la proposition 3. intégrant sur un cercle de rayon r=~~ 1 . PROPOSITION 4. - En A So t A) = (n0 , particulier cette dernière 1 . Alors somme on a, ni, avec, ")) est lorsque == Démonstration. - La formule nombres pour lesquels Or les nombres n = n~ + yA = 0 n ’ sur d) . (ii) a est une log log x conséquence immédiate de 2~~~ ~ vérifient (i) : soit lesquels s’effectue cette dernière sommation vérifient Si ~A , d) == 1 y y cette congruence a une solution, ~ 1 , pour chaque intervalle de longueur d . Si (A y d) cette congruence ait une solution, on doit avoir (A , d’où il n!y a donc pas de solutions. Finalement, il y a au plus une solution intervalle de longueur d, et la somme est inférieure ou égale à seule, en y Les dans d~ ~ ~~O , (A,n ~ ~ o dans et une que 1 ; chaque Remarque. - Dans le même exposant pour A cas log = 1 ~ ~ = que dans la x dans l’estimation 2 ,y on trouve proposition 3. Ceci est dû (ii) le (cf. fait que au [AndD Par des ration du techniques plus compliquéesy il même ordre en log x que celle leurs de ~>1 . LEMME 2. - Soit cients dans un ments de la n - 03A3mi=1 L. M = (a..) K. Soit corps i-ème ligne de (P . On dans P une lignes et m partie de le nombre d’éléments de la une majo- pour toutes les et soit Il , (ii) va- colonnes à coeffi- n qui sont dans P . Alors il dont tous les éléments sont C. pour proposition 3, M colonnes Démonstration. - Soit de la matrice à une possible d’avoir est le nombre d’élé- L. a y j-ième au moins colonne qui sont a PROPOSITION 5. - Supposons qu’il existe k > 0 et j n tels que (i) k$(~n) , (ii) w(n) $ j , (iii) (iv) Alors, s= pour pour n assez 1 ,y 2 ,y ... y j-1 ~ r= pour grand, 1 , 2 , n est ... , un [2 point d’étranglement pour la fonction n~2014)-n-(ju(n) . Dénonstration. - Soit Ou bien m n . et, diaprés n - j on a n-j~n -~(n) . m- Ou bien on a m== n-r (ii), et avec m -~(m)~m-j~m-~(n) Soit maintenant Ou bien on a m n - et (ii) donnent w(n) . > n . m > n + .2 ~(m) -~ ~ ~ 2 ~ ? (iii) log on et, obtient, n en que pour tout entier remarquant est assez on a grande log n) >n > n - w(n) m- par la croissance de la fonction m x )2014~ x - ~- log x . Ou bien a m ~ on n + [2 n~ , log et (iv) donne alors qui entraîne ce Démonstration du théorème 4. - La méthode suivante est celle de Pour assurer les d’être solution du hypothèses (i) et (iii) de système de congruences : proposition 5, la [Erd 2J. ... , produit de k nombres premiers, et de j nombres premiers tous distincts. On pose A = BO B1 9 ... , le théorème chinois, les solutions de ce système de congruences sont où est B B .~~ un n = On On donne se prend 3 log miers. On a tenues nes y la 0 ~ nG A et [3 log grand. On choisit ce de k = ... , Bj-1 qui es t pos sib le d’après 1 ~ s ~ 2 log x , grâce pour n~ proposition 4, supérieurs pour avec des de la forme [6 log log x] . distincts et compris entre le à théorème des nombres pre- choix des facteurs premiers de A ~ des congruences, la 3 log log lesquelles au s-ième ligne de x . Diaprés ce le lemme tableau contient 2, il y a ((1 au + n produits D’après donc a, pour la solution D’après yA premiers 4 log x , Maintenant, on assez les facteurs et x x + nO demander à on va plus o(1~~ colon- Pour de une et est donc position 5 On peut ~ n n - d(n) = conjecturer n~ vrai pour encore voir que , pour n = E pas de résultats u)(n + tel que t non pour n > nO ’ il existe m - ce qui montrerait tout n > n - 2 ~ n.. y un et est n logarithme : question beaucoup une point d’étranglement un n) ~ "~ . pour la Il semble vraisemblable que , n , et même exp(log n) y m - ~~~.i ~.? ~ " d(m) ~ n - 2 ~ parce que au 2.3.....p. ~ résultat. C’est ce tel que Enfin, il est facile de voir que toute de points d’étranglement est croissante, nelle le points d’étranglement m > n log log question suivante : Majorer m - n - que le nombre de existe-t-il (~(n) point d’étranglement. On ne peut pas point d’étranglement : La raison en est (log avec la fonction aucun triviaux pour la w(n) > n m n - t) ~ k . alors y w(n) . = Il n’est pas difficile de montrer que, si n - de la pro- d’étranglement, mais il semble peu vrais1 . Diaprés le théorème des nombres malheureusement, nous ne pouvons améliorer plus importante que l’étude de n - fonction petit, assez e 2.3.....p- , n’a pas de n - + que, pour et donc cette fonction n’a démontrer que qu’il n’y a plus petit soit ce n yy infinité de points a une peut on négatif, est un raisonnablement semblable que premiers, yA vérifie les 4 hypothèses point d’étranglement de la fonction n ~ n - valeurs de ces est fini. d(m) n - mais on ne fonction additive La démonstration suivante a été (On 2 a ce qui possède et proposée pour besoin de sai t (cf. [Erd 3] et donc Peut-étre,y une sujet). infinité proportion- par D. BERNARDI et W. NARKIEWICZ. Soit f additive d’étranglement, valle et [nk/b , nk/a] ayant suite infinie une b . On a un nombre peut trouver y premier à c ca ce n~ qui entraine f(a) ab; n. ... assez on aura ... grande’ de points dans l’inter- alors cb ,y . f(c) et ni n 2 pour n, + f(a) f(n~) f(c) + f(b) f(b) . REFERENCES [And] ANDERSON (I.). - On 1967, p. 137-148. [Com] (L.). - primitive sequences, J. London math. Soc., t. 42, COMTET Analyse combinatoire. Tomes 1 et 2. versitaires de France, 1970 (Collection SUP. "Le Presses UniMathématicien", 4 et 5). Paris, (H.). - [Del 1] DELANGE 2e série, t. [Del 2] DELANGE Sur des formules dues à A. 83, 1959, p. 101-111. (H.). - t. 19, 1971, Sur des formules de A. Bull. Sc. Selberg, Acta Selberg, math., Arithm., Warszawa, 105-146. p. DIEUDONNÉ (J.). - Calcul infinitésimal. - Hermann, Paris, 1968 (Collection Méthodes). [Erd 1] ERDÖS (P.). - On the integers having exactly k prime factors, Annals of [Dieu] Series Math., [Erd 2] ERDÖS (P.). math. Soc., 2, t. 49, 1948, On arithmetical t. 12, 1948, p. 53-66. p. properties of Lambert series, J. Indian 63-66. 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