Chapitre 2. Algèbre de boole et fonction logique

Enseignante : HOUDA.K
Electronique numérique . Chapitre 2 : Algèbre de boule et fonction logique
Chapitre 2 : Algèbre de Boole et fonction logique
1. Concepts de l’algèbre de Boole :
1.1. Variable booléenne :
1.4. Fonction complètement définie :
Une fonction logique est dite complètement définie lorsqu’on connaît sa
valeur (0 ou 1) pour toutes les combinaisons possibles des ses variables.
- Table de vérité :
Une variable booléenne est une variable qui peut prendre l’une des deux
valeurs 0 ou 1.
De manière générale, une variable booléenne peut être associée à un
événement. Si ce dernier est vrai, alors la variable prend la valeur 1, dans le
cas contraire (événement faux) la variable prend la valeur 0.
x
y
F(x,y)
1.2. Fonction booléenne :
Une fonction booléenne est une fonction qui peut avoir une ou plusieurs
variables booléennes et retourne l’une des deux valeurs 0 ou 1.
Une fonction booléenne F à n variables booléennes est définie comme
suit :
1.5. Fonction incomplètement définie :
Une fonction logique est incomplètement définie quand sa valeur est
indifférente ou non spécifiée pour certaines combinaisons de ses variables.
- Table de vérité :
F ∶ E × E × …× E → E
Tel que : E = {0,1}
X1,X2,…,Xn ⟼ Y = F(X1,X2,…,Xn)
x
y
F(x,y)
1.3. Table de vérité :
La table de vérité d’une fonction logique représente les différentes
combinaisons des variables impliquées dans la fonction et la valeur de
cette fonction pour chacune de ces combinaisons.
La table de vérité d’une fonction logique F à n variables booléennes est un
tableau de m colonnes et de k lignes tels que :
m = n + 1 : chaque colonne est associée à une variable et la dernière
colonne est réservée pour la fonction.
K = 2n : Chaque ligne représente une combinaison des n variables.
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1.6. Complément d’une variable booléenne :
Soit a une variable booléenne. Le complément de la variable a désigné par
est la variable qui satisfasse les conditions suivantes :
• Si a est vrai alors est faux
• Et si a est faux, est vrai
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- Table de vérité :
2. Logique des contacts :
Un circuit électrique, électronique ou pneumatique, peut avoir 2 états
logiques. Ces états peuvent prendre les valeurs 1 ou 0.
2.1. Contact à fermeture (Ouvert) :
C'est un contact qui est normalement ouvert au repos. Il se ferme lorsqu'il
est actionné. On désigne ce type de contact par des lettres minuscules a, b,
c... .
2.2. Contact à ouverture (fermé) :
C'est un contact qui est normalement fermé au repos et qui s'ouvre
lorsqu'il est actionné. On désigne ce type de contact par des lettres a, b, c
( a se lit "a barre").
A fermeture
(ouvert)
Contact
A ouverture
(fermé)
Symbole
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
R
Cette table fait apparaître en face des 4
combinaisons possibles de nos deux variables (a et b)
l'état du récepteur 0 = inactif, 1 = actif.
Cette fonction (contacts en série) est définit comme le produit logique ou
ET LOGIQUE.
Elle peut s'écrire également à l'aide de l'équation booléenne R = a . b, ce
qui s'énonce R égale a et b.
Nous pourrons représenter cette fonction à l'aide du symbole logique
ci-dessous que nous nommerons OPERATEUR LOGIQUE ou PORTE
LOGIQUE
a
b
Y = a.b
2.4. Contact en parallèle :
2.3. Contact en série :
a
Récepteur
a
b
Récepteur
b
Le récepteur doit être actif lorsque : .................................................
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Le récepteur doit être actif lorsque : ...................................................
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- Table de vérité :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
R
Cette fonction (contacts en parallèle) est définit comme la somme logique
ou bien comme OU LOGIQUE
Elle peut s'écrire également à l'aide de l'équation booléenne R = a + b, ce
qui s'énonce R égale a ou b
Nous pourrons représenter cette fonction à l'aide du symbole logique
ci-dessous :
a
b
Y = a+b
2.5. Association contacts série et parallèle :
Exemple :
Soit le schéma suivant :
a
c
Récepteur
b
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3. Axiomes de l’algèbre de Boole :
Commutativité
Associativité
a.b = b.a
a+b = b+a
a.(b.c) = (a.b).c
= a.b.c
a.1= a
Elément neutre
a+0=a
Elément
absorbant
Idempotence
a.0= 0
a+1=1
La multiplication booléenne est
associative
Le 1 est l’élément neutre pour la
multiplication booléenne
Le 0 est l’élément neutre pour
l’adition booléenne
Le 0 est l’élément absorbant pour
la multiplication booléenne
Le 1 est l’élément absorbant pour
l’adition booléenne
a.a=a
a+a= a
a.a=0
Complémentation
a+a=1
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La multiplication booléenne est
commutative
a est l’inverse de a par rapport à la
multiplication booléenne
a est l’inverse de a par rapport à
l’adition booléenne
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4. Propriétés générale de l’algèbre de Boole :
a+b.c = (a+b).(a+c)
Distributivité
a.(b+c) = a.b + a.c
L’absorption
L’inhibition
Propriétés de
Morgan
La dualité
L’adition booléenne et distributive
par rapport à la multiplication
booléenne
La multiplication booléenne et
distributive par rapport à l’adition
booléenne
a+a.b = a
a.(a+b) = a
a+a.b = a+b
a.( a+b) = a.b
Une fonction booléenne F à n variables booléennes est définie comme
suit :
F ∶ E × E × …× E → E
Tel que : E = {0,1}
X1,X2,…,Xn ⟼ Y = F(X1,X2,…,Xn)
Elle peut être représentée de manières différentes : soit, par la table de
vérité, soit, par la forme algébrique.
5.1. Fonction booléenne à une seule variable :
Le complément d'un produit
logique est égal à la somme logique
a. b = a + b
du complément des variables
Le complément d'une somme
logique est égal au produit logique
a + b = a .b
du complément des variables
La double complémentation d'une
variable ou d'une expression
a = a
booléenne est égale à la variable ou
à l'expression elle même.
Le dual s’obtient en échangeant :
* les deux opérations OU, ET
* le « 0 » et le « 1 »
Ex : (a+b.c)(c+d)
5. Les fonctions booléennes :
! a(b+c)+c.d
A une valeur de la variable booléenne a, on fait correspondre une et une
seule valeur de la variable y. on définit ainsi une application F de
l’ensemble {0,1} dans lui-même que l’on appelle fonction booléenne de la
variable a.
E
! E
a ⟼ y = f(a)
5.1.1. Fonction identité : (OUI)
- Table de vérité :
a
0
1
- Symbole de l'opérateur :
y=a
5.1.2 Fonction négation : (NON)
- Table de vérité :
a
- Symbole de l'opérateur :
a
a
y=
0
a
1
Cette fonction est appelée complément.
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y=a
y =
y =
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5.2. Fonction booléenne à deux variables :
Soit a, b deux variables booléennes. A un couple de valeur des ses deux
variables, on fait correspondre une et une seule valeur de la variable y. On
définit ainsi une application de :
ExE
! E
a, b ⟼ y = f(a, b)
5.2.1. Multiplication booléenne : (AND, ET)
Soient les deux variables booléennes a et b.
La multiplication booléenne des deux variables a et b, représenté par a.b
est définie par la table de vérité suivante :
- Table de vérité :
- Symbole de l'opérateur :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a
b
y = a.b
a
b
Y = a.b
&
y = a.b
5.2.2. Adition booléenne : (OR, OU)
Considérons deux variables logiques a et b.
L’adition booléenne des variables a et b, représentée par a+b, est définie
par la table de vérité suivante :
- Table de vérité :
- Symbole de l'opérateur :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
y = a+b
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a
b
a
b
Y = a+b
≥1
y = a+b
5.2.3. Fonction booléennes NOR (NON OU) :
- Table de vérité :
- Symbole de l'opérateur :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
y=
a
b
+(
Y =
a
b
≥1
Y =
+(
+(
5.2.4 Fonction booléennes NAND (NON ET) :
- Table de vérité :
- Symbole de l'opérateur :
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a
b
y= .(
a
b
&
Y =
.(
Y =
.(
5.2.5 Fonction logique disjonctif (OU exclusif) :
Considérons deux variables logiques a et b.
La somme logique disjonctif des variables a et b, représentée par ⊕ (,
est définie par la table de vérité suivante :
- Table de vérité :
- Symbole de l'opérateur :
a
y = ⊕(= (+ (
a
b
y= +⊕,
b
0
0
0
1
a
=1
y = ⊕(= (+ (
1
0
b
1
1
avec :
⊕(=)
≠ (
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6. Les formes canoniques :
Une expression est sous sa forme canonique si tous les symboles qui
représentent les variables apparaissent dans tous les termes qui la
constitue.
Lorsqu’une équation est écrite à partir de sa table de vérité, elle est dans
sa forme canonique.
6.1. Première forme canonique :
Si une fonction est une somme de produit, on a une somme canonique.
Exemple :
F = a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c
6.3. Troisième forme canonique :
Dans la 3ème forme canonique, la fonction est exprimée sous la forme
NAND :
ab = a ⊺ b (a NAND b)
Pour exprimer une fonction sous la forme NAND, il suffit d'appliquer une
double négation à cette même fonction écrite sous la 1ère forme
canonique.
Exemple :
Mettre la fonction F sous la 3ème forme canonique
F = ab + a + b
6.2. Deuxième forme canonique :
Si une fonction est un produit de somme, on a un produit canonique.
Exemple :
G = (a + b + c). (a + b + c). .a + b + c/. ( a + b + c)
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6.4. Quatrième forme canonique :
Dans la 4
ème
forme canonique, la fonction est exprimée sous la forme NOR:
a + b = a ⊥ b (a NOR b)
Pour obtenir la 4ème forme canonique, il suffit d'appliquer une double
négation à la même fonction écrite sous la 2ème forme canonique.
Exemple :
Mettre la fonction H sous la 4ème forme canonique
H = ac + ab + bc
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Exemple 1 :
Trouver la somme et le produit canonique de la fonction suivante :
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
L
0
1
1
0
1
0
0
1
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6. Synthèse d’un circuit logique :
L’objectif de cette étude est de générer le logigramme du circuit à partir de
la fonction logique correspondante.
Exemple :
Soit la fonction : 3(4, 5) = 4 + 45 + 6
Essayons de construire le circuit logique correspondant à cette fonction :
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7. Analyse d’un circuit logique :
L’analyse d’un circuit combinatoire consiste à étudier le logigramme du dit
circuit et ce dans le but d’en déterminer le rôle.
La démarche à suivre pour effectuer l’analyse d’un circuit logique est la
suivante :
a) Déterminer les expressions logiques des variables de sortie en
fonction des variables d’entrée, uniquement.
b) Dresser la table de vérité du circuit et la traduire par un énoncé
décrivant le rôle du circuit.
Exemple :
Soit à analyser le circuit suivant :
a b c
F1
F2
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