Chapitre 2. Algèbre de boole et fonction logique

Electronique numérique . Chapitre 2 : Algèbre de boule et fonction logique Enseignante : HOUDA.K
Université Kasdi Merbah Ouargla 14
Chapitre 2 : Algèbre de Boole et fonction logique
1. Concepts de l’algèbre de Boole :
1.1. Variable booléenne :
Une variable booléenne est une variable qui peut prendre l’une des deux
valeurs 0 ou 1.
De manière générale, une variable booléenne peut être associée à un
événement. Si ce dernier est vrai, alors la variable prend la valeur 1, dans le
cas contraire (événement faux) la variable prend la valeur 0.
1.2. Fonction booléenne :
Une fonction booléenne est une fonction qui peut avoir une ou plusieurs
variables booléennes et retourne l’une des deux valeurs 0 ou 1.
Une fonction booléenne F à n variables booléennes est définie comme
suit :
   Tel que : E = {0,1}
X1,X2,…,Xn  Y = F(X1,X2,…,Xn)
1.3. Table de vérité :
La table de vérité d’une fonction logique représente les différentes
combinaisons des variables impliquées dans la fonction et la valeur de
cette fonction pour chacune de ces combinaisons.
La table de vérité d’une fonction logique F à n variables booléennes est un
tableau de m colonnes et de k lignes tels que :
m = n + 1 : chaque colonne est associée à une variable et la dernière
colonne est réservée pour la fonction.
K = 2
n
: Chaque ligne représente une combinaison des n variables.
1.4. Fonction complètement définie :
Une fonction logique est dite complètement définie lorsqu’on connaît sa
valeur (0 ou 1) pour toutes les combinaisons possibles des ses variables.
- Table de vérité :
1.5. Fonction incomplètement définie :
Une fonction logique est incomplètement définie quand sa valeur est
indifférente ou non spécifiée pour certaines combinaisons de ses variables.
- Table de vérité :
1.6. Complément d’une variable booléenne :
Soit a une variable booléenne. Le complément de la variable a désigné par
 est la variable qui satisfasse les conditions suivantes :
• Si a est vrai alors 
 est faux
• Et si a est faux, 
 est vrai
x
y
F(x,y)
x
y
F(x,y)

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2. Logique des contacts :
Un circuit électrique, électronique ou pneumatique, peut avoir 2 états
logiques. Ces états peuvent prendre les valeurs 1 ou 0.
2.1. Contact à fermeture (Ouvert) :
C'est un contact qui est normalement ouvert au repos. Il se ferme lorsqu'il
est actionné. On désigne ce type de contact par des lettres minuscules a, b,
c... .
2.2. Contact à ouverture (fermé) :
C'est un contact qui est normalement fermé au repos et qui s'ouvre
lorsqu'il est actionné. On désigne ce type de contact par des lettres  
( se lit "a barre").
Contact
A fermeture
(ouvert)
A ouverture
(fermé) Symbole
2.3. Contact en série :
Le récepteur doit être actif lorsque : .................................................
- Table de vérité :
Cette table fait apparaître en face des 4
combinaisons possibles de nos deux variables (a et b)
l'état du récepteur 0 = inactif, 1 = actif.
Cette fonction (contacts en série) est définit comme le produit logique ou
ET LOGIQUE.
Elle peut s'écrire également à l'aide de l'équation booléenne R = a . b, ce
qui s'énonce R égale a et b.
Nous pourrons représenter cette fonction à l'aide du symbole logique
ci-dessous que nous nommerons OPERATEUR LOGIQUE ou PORTE
LOGIQUE
2.4. Contact en parallèle :
Le récepteur doit être actif lorsque : ...................................................
a
b
R
0
0
0
1
1
0
1
1
Récepteur
a
b
Récepteur
a
b
a
Y = a.b
b

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- Table de vérité :
Cette fonction (contacts en parallèle) est définit comme la somme logique
ou bien comme OU LOGIQUE
Elle peut s'écrire également à l'aide de l'équation booléenne R = a + b, ce
qui s'énonce R égale a ou b
Nous pourrons représenter cette fonction à l'aide du symbole logique
ci-dessous :
2.5. Association contacts série et parallèle :
Exemple :
Soit le schéma suivant :
a
b
R
0
0
0
1
1
0
1
1
Récepteur
a
c
b
a
Y = a+b
b

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3. Axiomes de l’algèbre de Boole :
Commutativité a.b = b.a La multiplication booléenne est
commutative
a+b = b+a
Associativité a.(b.c) = (a.b).c
= a.b.c
La multiplication booléenne est
associative
Elément neutre
a . 1 = a Le 1 est l’élément neutre pour la
multiplication booléenne
a + 0 = a Le 0 est l’élément neutre pour
l’adition booléenne
Elément
absorbant
a . 0 = 0 Le 0 est l’élément absorbant pour
la multiplication booléenne
a + 1 = 1 Le 1 est l’élément absorbant pour
l’adition booléenne
Idempotence a . a = a
a + a = a
Complémentation
a . = 0
est l’inverse de a par rapport à la
multiplication booléenne
a + = 1
est l’inverse de a par rapport à
l’adition booléenne

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4. Propriétés générale de l’algèbre de Boole :
Distributivité
a+b.c = (a+b).(a+c)
L’adition booléenne et distributive
par rapport à la multiplication
booléenne
a.(b+c) = a.b + a.c
La multiplication booléenne et
distributive par rapport à l’adition
booléenne
L’absorption a+a.b = a
a.(a+b) = a
L’inhibition a+
.b = a+b
a.( +b) = a.b
Propriétés de
Morgan
Le complément d'un produit
logique est égal à la somme logique
du complément des variables
Le complément d'une somme
logique est égal au produit logique
du complément des variables
= a
La double complémentation d'une
variable ou d'une expression
booléenne est égale à la variable ou
à l'expression elle même.
La dualité
Le dual s’obtient en échangeant :
* les deux opérations OU, ET
* le « 0 » et le « 1 »
Ex : (a+b.c)(c+d)
!
a(b+c)+c.d
5. Les fonctions booléennes :
Une fonction booléenne F à n variables booléennes est définie comme
suit :
   Tel que : E = {0,1}
X1,X2,…,Xn  Y = F(X1,X2,…,Xn)
Elle peut être représentée de manières différentes : soit, par la table de
vérité, soit, par la forme algébrique.
5.1. Fonction booléenne à une seule variable :
A une valeur de la variable booléenne a, on fait correspondre une et une
seule valeur de la variable y. on définit ainsi une application F de
l’ensemble {0,1} dans lui-même que l’on appelle fonction booléenne de la
variable a.
!
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5.1.1. Fonction identité : (OUI)
- Table de vérité : - Symbole de l'opérateur :
5.1.2 Fonction négation : (NON)
- Table de vérité : - Symbole de l'opérateur :
Cette fonction est appelée complément.
a
y
= a
0
1
a
y
=
0
1
a y =
a
y =
a
y
= a