Cours 6º et 5º - Partie G´EOM´ETRIE

Cours 6º et 5º - Partie GÉOMÉTRIE
Xavier MALEVILLE
12 de diciembre de 2009
Índice
1. Point - Droite, segment - Cercle
1.1. Point - Droite, demi-droite, segment .
1.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Alignement - Appartenance . . . . .
1.4. Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Définition . . . . . . . . . . .
1.4.2. Vocabulaire . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
4
4
4
2. Droites parallèles et droites perpendiculaires
2.1. Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Droites sécantes et perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
3. Inégalité triangulaire - Droites remarquables
3.1. Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Droites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
6
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4. Angles
4.1. Notion d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Angles saillants - Angles rentrants - Angles particuliers . . . . . . .
4.3. Mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Angles adjacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Angles opposés par le sommet - correspondants - complémentaires...
4.6. Deux parallèles et une sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
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8
8
9
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10
5. Polygones - Triangles - Quadrilatères
10
5.1. Polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2. Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3. Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
13
6. Parallélogrammes
6.1. Parallélogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Sixième-Cinquième 2009
Dr Xavier MALEVILLE
2
7. Périmètre - Aire
14
7.1. Périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2. Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3. Formules de périmètre et d’aire de figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8. Symétrie axiale
8.1. Figures symétriques . . .
8.2. Points symétriques . . .
8.3. Propriétés de la symétrie
8.4. Médiatrice d’un segment
. . . .
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axiale
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15
16
9. Figures symétriques
16
9.1. Axe de symétrie d’une figure et des figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10.Symétrie centrale
16
10.1. Points et figures symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10.2. Propriétés de la symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10.3. Centre de symétrie et axes de symétrie de figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11.Repérage du plan - Coordonnées d’un point
17
12.Parallélépipèdes rectangles
18
12.1. Définitions- Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.2. Patron - Perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13.Prisme droit - Cylindre de révolution
19
13.1. Prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13.2. Cylindre de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14.Unités de volumes et formules
20
14.1. Unités de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14.2. Formules de volume - Aire et volume d’un prisme et d’un cylindre . . . . . . . . . . . 20
Sixième-Cinquième 2009
1.
1.1.
Dr Xavier MALEVILLE
3
Point - Droite, segment - Cercle
Point - Droite, demi-droite, segment
* Points A et B :
Deux points A et B sont confondus s’ils occupent le même emplacement.
Deux points A et B sont distincts s’ils n’occupent pas le même emplacement.
* Droite (AB): C’est la droite qui passe par les points A et B, (ligne dont l’image est celle d’un fil parfaitement
tendu).
A
B
|
|
* Demi-droite [AB) : c’est la demi-droite d’origine A contenant le point B. C’est une portion de droite.
A
B
|
|
* Segment [AB]: Le segment [AB] est l’ensemble des points de la droite (AB) qui sont situés entre A et B.
Le segment a une longueur notée AB.
A
B
|
|
|
A
|
1.2.
I
|
|
* Milieu d’un segment: le milieu dun segment est le point appartenant à ce segment et équidistant des
extrêmités.
B
|
Propriétés
* Par un point A, il passe une infinité de droites.
* Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
* Lorsque deux droites (d) et (d’) se coupent, le point où elles se coupent s’appelle le point d’intersection
O. On dit alors que les deux droites sont sécantes.
O
(d’)
(d)
Sixième-Cinquième 2009
1.3.
Dr Xavier MALEVILLE
4
Alignement - Appartenance
* Dire que des points sont alignés signifie qu’ils appartiennent à une même droite.
A
B
C
|
|
|
* Le point C appartient à la droite est noté : C ∈ (AB).
1.4.
Cercles
1.4.1.
Définition
Le cercle C de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tel que OM=r.
O
+
1.4.2.
r
M
Vocabulaire
Le segment [OM] est un rayon du cercle : ses extrémités sont le centre O et un point du cercle.
Le segment [MN] est un diamètre du cercle : il passe par le centre O et ses extrémités sont deux points
du cercle.
Le segment [AB] est une corde segment dont les extrêmités sont deux points du cercle.
A
N
2.
2.1.
O
+
B
M
Droites parallèles et droites perpendiculaires
Droites parallèles
Deux droites parallèles (d) et (d’) sont deux droites qui ne sont pas sécantes : (d)//(d′ ).
* 1er cas : Les deux droites n’ont aucun point en commun, elles sont parallèles.
Sixième-Cinquième 2009
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5
(d’)
(d)
* 2ième cas : Les deux droites ont une infinité de points communs, elles sont parallèles confondues.
(d’)
(d)
2.2.
Droites sécantes et perpendiculaires
Deux droites perpendiculaires (d) et (d’) sont deux droites sécantes qui forment un angle droit:
(d)⊥(d′ )
(d)
(d’)
2.3.
Propriétés
* Si deux droites (d) et (d’) sont perpendiculaires à une même troisième (D), alors ces deux droites sont
parallèles.
(d’)
(d)
(D)
* Si des droites (d) et (d’) sont parallèles, alors toute droite (D) qui est perpendiculaire à l’une d’elles est
aussi perpendiculaires à toutes les autres.
* Si des droites (d) et (d’) sont parallèles , alors toute droite (d”) parallèle à l’une d’elles est parallèle
à toutes les autres.
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6
(d”)
(d’)
(d)
3.
3.1.
Inégalité triangulaire - Droites remarquables
Inégalité triangulaire
Définition : Dans un triangle la longueur du plus grand côté est plus petite que la somme des deux autres
côtés:
AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AC + AB
Remarque :
Si AB = AC + BC alors les points A, B et C sont alignés et C appartient au segment [AB].
Notation : C ∈ [AB]
3.2.
Droites remarquables
Médiatrice d’un segment : La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de ce
segment et perpendiculaire à celui-ci.
Les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit
au triangle .
+
+
|
|
Hauteur dans un triangle : La hauteur dans un triangle est la droite issue d’un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
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7
Médiane dans un triangle : La médiane dans un triangle est la droite issue d’un sommet et qui passe
par le milieu du côté opposé.
+
+
4.
4.1.
Angles
Notion d’angle
* Un angle est délimité par deux demi-droites de même origine. Les deux demi-droites sont les côtés de
l’angle. L’origine de ces demi-droites est le sommet de l’angle.
|
A
O
B
|
* Les angles se notent généralement avec trois lettres, la lettre centrale est celle du sommet.
\
Ex : AOB
4.2.
Angles saillants - Angles rentrants - Angles particuliers
\
Un angle saillant est un angle dont la mesure est inférieure à 180°. Notation : AOB
• La mesure en degrés d’un angle aigu est comprise entre 0° et 90°.
◦ La mesure d’un angle droit est 90°
◦ La mesure d’un angle plat est 180°
O
|
O
O
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◦ La mesure d’un angle nul est 0°
8
O
|
• La mesure d’un angle obtus est comprise entre 90° et 180º
La mesure d’un angle rentrant est comprise entre 180° et 360°
4.3.
O
O
Mesure d’un angle
Les angles le plus souvent sont mesurés en degrés noté º (il existe aussi les radians notés (rad) et les
grades notés (gr) comme unité). L’instrument de mesure est le rapporteur.
4.4.
Angles adjacents
[ et COB
\ sont adjacents lorsque :
Deux angles AOC
ils ont le même sommet O;
ils ont un côté en commun [OC];
ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
|
A
C|
O
B
|
Sixième-Cinquième 2009
4.5.
Dr Xavier MALEVILLE
9
Angles opposés par le sommet - correspondants - complémentaires...
Nom des angles
Description
Remarque
Description de
la figure
O
α
α
Opposés par le sommet
Les deux angles sont formés
par des droites sécantes
Ils ont la même mesure
(d’)
6
5
7
8
Correspondants
Les deux angles sont disposés
du même côté d’une sécante.
L’un d’eux a son sommet sur
(d), l’autre sur (d’) tandis que
l’autre est à l’extérieur de (d)
et (d’)
Les droites (d) et (d’)
peuvent être ou non
parallèles
2
1
3
(d)
4
(d’)
7
8
Alternes-internes
Complémentaires
Supplémentaires
Les deux angles sont disposés de part et d’autre d’une
sécante. L’un d’eux a son sommet sur (d), l’autre sur (d’)
et tous deux sont entre (d) et
(d’)
La somme des deux angles est
égale à 90
La somme des deux angles est
égale à 180
Les droites (d) et (d’)
peuvent être ou non
parallèles
2
1
(d)
O
O
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10
Remarque : La somme des angles dans un triangle est de 180º.
4.6.
Deux parallèles et une sécante
Propriété : Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite leur est sécante alors :
* les angles alternes-internes ont la même mesure,
* les angles correspondants ont la même mesure.
Propriété réciproque :
* Si deux angles alternes-internes ont la même mesure alors (d) et (d’) sont parallèles.
* Si deux angles correspondants ont la même mesure alors (d) et (d’) sont parallèles.
4.7.
Bissectrice d’un angle
* Définition : La bissectrice d’un angle est la droite qui passe par le sommet de l’angle et qui partage un
angle en deux angles de même mesure.
|
A
C
|
O
B
|
La construction de la bissectrice s’effectue avec un compas. Et on laissera les traits de construction sur la
figure.
5.
5.1.
Polygones - Triangles - Quadrilatères
Polygones
* Définition : Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments.
5.2.
Triangles
Un triangle ABC a :
3 sommets les points A, B et C;
3 côtés , les segments [AB], [AC] et [BC];
\
3 angles ABC
\ CAB
\
BCA
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11
B
A
C
Définitions de triangles particuliers :
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
|
|
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
||
||
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.
||
Propriétés des triangles particuliers :
Dans un triangle rectangle, le côté opposé au sommet de l’angle droit est appelé l’hypoténuse.
Dans un triangle isocèle, le sommet commun aux deux côtes de même longueur est appelé le sommet
principal.
Dans un triangle isocèle, le côté opposé au sommet principal est appelé la base.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont même mesure.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont même mesure (60º).
5.3.
Quadrilatères
Un quadrilatère ABCD a :
4 sommets : les points A, B, C et D;
4 côtés : les segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
\
4 angles : ABC
\
BCD
\ DAB.
\
CDA
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2 diagonales : les segments [AC] et [BD].
Définitions de quadrilatères particuliers :
|
||
|
|
|
Un cerf-volant est un quadrilatère qui a deux paires de côtés consécutifs de même
longueur.
Le rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Le losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
|
|
|
|
Le carré est un quadrilatère ayant 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.
|
|
|
|
Propriétés des quadrilatères particuliers :
Un cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est médiatrice de l’autre.
Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles et ont la même longueur.
Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle.
Un rectangle est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
Un losange est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Un losange a ses angles opposés de même mesure et ses côtés opposés parallèles.
Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Sixième-Cinquième 2009
6.
6.1.
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13
Parallélogrammes
Parallélogrammes
Définition : Un parallélogramme
est un quadrilatère
non croisé dont les côtés opposés sont deux à
ABCD
deux parallèles. (AB) // (CD) et (AD) // (BC)
D
A
C
B
Propriétés :
Ses diagonales ont le même milieu, c’est le centre de symétrie du parallélogramme.
D
C
0
A
B
Ses côtés opposés ont la même longueur.
C
|
D
+
|
+
A
B
Ses angles opposés ont la même mesure.
D
C
A
B
Ses angles consécutifs sont deux à deux supplémentaires.
Si les diagonales d’un quadrilatères ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles, alors c’est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé ont la même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Sixième-Cinquième 2009
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Propriétés des quadrilatères particuliers :
Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
7.
Périmètre - Aire
7.1.
Périmètre
Définition : Le périmètre d’une figure est la mesure du contour de la figure. C’est une longueur.
km
7.2.
hm
dam
m
dm
cm
mm
Aire
Définition : L’aire d’une surface est sa mesure dans une unité d’aire donnée.
Les unités légales d’aires sont le mètre carré (m2 ) et ses dérivés.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Remarque : L’aire des terrains est souvent mesurée en ares ou en hectares:
1 are = 1 a = 100 m2
1 hectare = 1 ha = 100 ares = 1 hm2
7.3.
Formules de périmètre et d’aire de figures usuelles
carré
rectangle
Périmètre
4c
2(L + l)
triangle rectangle
losange
cercle
avec :
c : longueur du còté
L : longueur
l : largeur
4c
2ΠR
Aire
c×c
L×l
b×h
2
D×d
ΠR × R
14
Sixième-Cinquième 2009
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15
h : hauteur
b : base
D : grande diagonale
d : petite diagonale
R : rayon du cercle
8.
Symétrie axiale
8.1.
Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si ces deux figures se superposent par pliage suivant
cette droite (appelée axe de symétrie)
F1
B
A
+
+
+
|
|
+
8.2.
F2
Points symétriques
Dire que le point A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) signifie que la droite (d)
est la médiatrice du segment [AA’].
8.3.
N
|
+
A
(d)
+
|
|
H
M
+
+
|
La construction se fait avec une équerre et un
compas. On trace avec l’équerre la perpendiculaire à la droite (MN) passant par A, qui coupe
(d) en H
On prolonge la demi-droite et, avec le compas,
on trace un arc de cercle et à l’intersection de
l’arc et la demi-droite est situé A’
AH = HA’
A’
Propriétés de la symétrie axiale
Le symétrique du segment [AB] est un segment [A’B’] de même longueur, on dit que la symétrie axiale
conserve les distances.
Si I est le milieu du segment [AB], alors I’, symétrique de I par rapport à d, est le milieu de [A’B’].
Dans une symétrie axiale, le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
Dans une symétrie axiale, deux figures symétriques sont superposables et ont donc la même aire.
Si les points A, B et C sont alignés, alors les points A’,B’ et C’ sont alignés, on dit que la symétrie
axiale conserve l’alignement.
Sixième-Cinquième 2009
8.4.
Dr Xavier MALEVILLE
16
Médiatrice d’un segment
* Définition : La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de ce segment et perpendiculaire à celui-ci.
9.
Figures symétriques
9.1.
Axe de symétrie d’une figure et des figures usuelles
* Définition : Un axe de symétrie d’une figure F est une droite (d) telle que la figure symétrique F par
rapport à la droite (d) est la figure F elle-même.
* Exemple d’axe(s) de symétrie de figures usuelles :
|
|
Triangle isocèle
||
||
triangle équilatéral
||
rectangle
10.
Symétrie centrale
10.1.
Points et figures symétriques
Points symétriques :
Dire que deux points A et A’ sont symétriques par rapport à un point O signifie que le point O est le
milieu du segment [AA’].
|
O
|
|
A
|
Le symétrique du point O est le point O lui-même.
|
A
Sixième-Cinquième 2009
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17
Figures symétriques :
Deux figures sont symétriques par rapport à un point lorsque ces deux figures se superposent en
effectuant un demi-tour autour de ce point. Ce point est appelé le centre de symétrie.
F1
+
A
F2
10.2.
Propriétés de la symétrie centrale
Le symétrique du segment [AB] est un segment [A’B’] de même longueur, on dit que la symétrie
centrale conserve les distances.
Dans une symétrie centrale, le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
Dans une symétrie centrale, deux figures symétriques sont superposables et ont donc la même aire.
Si les points A, B et C sont alignés, alors les points A’,B’ et C’ sont alignés, on dit que la symétrie
centrale conserve l’alignement.
Dans une symétrie centrale, le symétrique d’un cercle de centre O est un cercle de même rayon dont
le centre est le symétrique du point O.
10.3.
Centre de symétrie et axes de symétrie de figures usuelles
Figure
Triangle isocèle
Triangle équilatéral
Carré
11.
Centre de symétrie
Pas
Pas
1
Rectangle
1
Losange
Cercle
1
1
Axes de symétrie
1 (médiane passant par le sommet
principal)
3 (médianes...)
4 (2 diagonales et 2 droites passant
par les milieux des côtés)
2 (2 droites passant par les milieux
des côtés)
2 (2 diagonales)
une infinité passant par le centre
Repérage du plan - Coordonnées d’un point
Deux droites graduées perpendiculaires (droites qui forment un angle droit (90°)) de même origine O
constituent un repère du plan. L’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe
des ordonnées.
Sixième-Cinquième 2009
Dr Xavier MALEVILLE
18
Chaque point du plan peut être repéré par deux nombres appelés les coordonnées du point. Les
coordonnées d’un point M(x ; y) s’écrivent entre parenthèses. La première coordonnée, lue sur l’axe
horizontal, s’appelle l’abscisse du point; le seconde, lue sur l’axe vertical, s’appelle l’ordonnée du
point. On met toujours l’abscisse avant l’ordonnée.
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).OI = OJ = 1 cm.
y
|
1
+
O
12.
M
J
I|
1
x
Parallélépipèdes rectangles
12.1.
Définitions- Propriété
* Définition : Un parallélépipède rectangle est un solide limité par 6 faces rectangulaires.
H
G
F
E
D
C
A
B
* Propriété : Les parallélépipèdes ont 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.
* Définition : Le cube est un parallélépipède dont les 6 faces sont des carrés.
G
H
E
F
D
A
C
B
Sixième-Cinquième 2009
12.2.
Dr Xavier MALEVILLE
19
Patron - Perspective cavalière
* Définition : Un patron est une figure plane qui, une fois repliée, forme un solide.
Dans une perspective cavalière d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) à l’échelle 1 :
* les faces avant et arrière sont des rectangles, elles gardent leurs dimensions;
* les autres faces sont des parallélogrammes;
* Les dimensions des arêtes fuyantes sont réduites;
* les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
13.
Prisme droit - Cylindre de révolution
13.1.
Prisme droit
Un prisme droit est un solide qui a deux faces superposables (appelées bases) qui sont des polygones et les
autres faces sont des rectangles appelées faces latérales.
base
arête
face latérale
Les arêtes latérales d’un prisme droits sont des segments parallèles, perpendiculaires aux bases et de même
longueur. Cette longueur est appelée la hauteur du prime droit.
13.2.
Cylindre de révolution
Définition : Un cylindre est un solide qui a deux faces superposables qui sont des disques et une surface
latérale dont le patron est un rectangle.
disque
O’
O
Propriétés :
La droite passant par les centres des deux bases est appelée l’axe du cylindre. Elle est perpendiculaire
aux bases.
La distance entre les centres des bases est appelée la hauteur du cylindre.
La surface latérale d’un cylindre de révolution est un rectangle dont les dimensions sont : le périmètre
d’un disque de base et la hauteur du cylindre.
Sixième-Cinquième 2009
Dr Xavier MALEVILLE
20
Patron d’un cylindre :
14.
Unités de volumes et formules
14.1.
Unités de volumes
L’unité de volume est le mètre cube (m3 ) et ses dérivés.
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Remarque : Mesure de capacités
Pour mesurer la contenance des récipients, on utilise le litre et ses dérivés. Il faut savoir que les unités
de volume sont reliées à celles de capacité par la relation :
1 l = 1 dm3
14.2.
Formules de volume - Aire et volume d’un prisme et d’un cylindre
Le volume du cube est
c×c×c
Le volume du parallélépipède rectangle est
L×l×h
L’aire latérale est égale au périmètre d’une base multipliée par la hauteur.
L’aire totale est égale à l’aire latérale plus deux fois l’aire d’une base.
Le volume d’un prisme est égal au produit de l’aire de la base par la hauteur.
V =B×h
avec B : aire de la base et h : hauteur