Fonctions z\^ eta et $ L $ de vari\`et\`es et de motifs

arXiv:1512.09250v2 [math.NT] 4 Sep 2016
FONCTIONS ZÊTA ET LDE VARIÉTÉS ET DE
MOTIFS
par
Bruno Kahn
Table des matières
Introduction .......................................... 3
1. La fonction zêta de Riemann . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . 6
1.1. Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Produit eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 9
1.4. Séries formelles de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Prolongement à ℜ(s)>0; pôle et résidu en s= 1
.............................................. 11
1.6. Équation fonctionnelle . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . 13
1.7. L’hypothèse de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8. Résultats et approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9. Le théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . 17
1.10. Les fonctions zêta de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . 18
2. La fonction zêta d’un Z-schéma de type fini . . . . . . . . 19
2.1. Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Propriétés élémentaires de ζ(X, s)............ 20
2.3. Cas d’une courbe sur un corps fini : énoncé . . 24
2.4. Stratégie de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Le théorème de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6. Rationalité et équation fonctionnelle (F.K. Schmidt)
.............................................. 25
2.7. Hypothèse de Riemann : réduction à (2.3) (Hasse,
Schmidt, Weil) ............................ 27

2BRUNO KAHN
2.8. Hypothèse de Riemann : la première démonstration
de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9. Premières applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10. Les théorèmes de Lang-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Les conjectures de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1. Des courbes aux variétés abéliennes . . . . . . . . . . 36
3.2. L’hypothèse de Riemann pour une variété abélienne
.............................................. 43
3.3. Les conjectures de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Cohomologies de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5. Propriétés formelles d’une cohomologie de Weil
.............................................. 51
3.6. Preuve de certaines conjectures de Weil . . . . . . 59
3.7. Le théorème de Dwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4. Les fonctions Lde la théorie des nombres . . . . . . . . . . 64
4.1. Fonctions Lde Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. Les théorèmes de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3. Première généralisation : fonctions Lde Hecke
.............................................. 75
4.4. Seconde généralisation : fonctions Ld’Artin . . 85
4.5. Le mariage d’Artin et de Hecke . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6. La constante de l’équation fonctionnelle . . . . . . 92
5. Les fonctions Lde la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1. Fonctions zêta “de Hasse-Weil” . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2. Bonne réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3. Fonctions Lde faisceaux l-adiques . . . . . . . . . . . . 99
5.4. L’équation fonctionnelle en caractéristique p. . 109
5.5. La théorie des poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6. La fonction Lcomplétée d’une variété projective
lisse sur un corps global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6. Motifs ..............................................130
6.1. La problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2. Relations d’équivalence adéquates . . . . . . . . . . . . 132
6.3. Catégorie des correspondances . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4. Motifs purs effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5. Motifs purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.6. Rigidité ......................................137
6.7. Le théorème de Jannsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.8. Spécialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

FONCTIONS ZÊTA ET LDE VARIÉTÉS ET DE MOTIFS 3
6.9. Théorie motivique des poids (cas pur) . . . . . . . . 140
6.10. Exemple : motifs d’Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.11. Exemple : h1de variétés abéliennes . . . . . . . . . . 144
6.12. La fonction zêta d’un endomorphisme . . . . . . 145
6.13. Cas d’un corps de base fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.14. La conjecture de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.15. Coronidis loco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Annexe A. Catégories karoubiennes et catégories monoïdales
............................................152
A.1. Catégories karoubiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2. Catégories monoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Annexe B. Catégories triangulées, catégories dérivées et
complexes parfaits ..........................165
B.1. Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.2. Catégories triangulées et dérivées . . . . . . . . . . . . 168
B.3. Complexes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Références ............................................179
Introduction
Gauss a décrit la théorie des nombres comme la reine des mathéma-
tiques. Et en effet, la quantité de mathématiques inventées pour des rai-
sons arithmétiques est étonnante. Citons :
– Une bonne partie de l’analyse complexe (Cauchy, Riemann, Weiers-
traß, Hadamard, Hardy-Littlewood. . .)
– La théorie des diviseurs (Kummer, Dedekind) puis des idéaux (E.
Noether).
– La théorie des surfaces de Riemann (Riemann. . .)
– La version non analytique du théorème de Riemann-Roch pour les
courbes (F.K. Schmidt).
– La refondation de la géométrie algébrique italienne sur la base de
l’algèbre commutative (Weil). (1)
– La théorie des variétés abéliennes (Weil).
– Une partie de la théorie des représentations linéaires des groupes
finis (E. Artin, Brauer).
1. van der Waerden et Zariski ont aussi participé à ce mouvement, pour des raisons
différentes.

4BRUNO KAHN
– Une bonne partie de l’algèbre homologique : cohomologie des grou-
pes, théorie des faisceaux sur un site quelconque (Cartan, Eilenberg,
Serre, Tate, Grothendieck. . .)
– Pour une part, la théorie des schémas (Grothendieck).
– Le développement de la cohomologie étale (M. Artin, Grothendieck,
Verdier, Deligne. . .), puis cristalline (Grothendieck, Bloch, Berthelot,
Ogus, Deligne, Illusie. . .)
– Pour une part, la notion de catégorie dérivée (Grothendieck, Ver-
dier).
– Le formalisme des six opérations (Grothendieck).
– La théorie de la monodromie dans le monde des schémas (Grothen-
dieck, Serre, Deligne, Katz. . .)
Et bien sûr, la théorie des motifs !
Les fonctions zêta et les fonctions Lsont le point de rencontre des
théories citées ci-dessus : elles couronnent la reine des mathématiques. Il
est remarquable qu’une fonction de définition aussi élémentaire que
ζ(s) =
∞
X
n=1
1
ns
ait joué un rôle aussi profond, connaissant de vastes généralisations qui
ont modelé l’évolution de la théorie des nombres jusqu’à aujourd’hui, et
reste l’objet d’une conjecture dont les analogues pour les variétés sur les
corps finis ont été fameusement démontrées par Weil et Deligne, mais
que personne ne sait approcher dans le cas originel de Riemann.
Le texte qui suit est la rédaction d’un cours de M2 donné à Jussieu en
mars-avril 2013. J’ai essayé d’y exposer une partie des résultats connus
sur les fonctions zêta et L, mais aussi la problématique complexe qui les
entoure, de manière ontogénétique : l’ontogenèse décrit le développement
progressif d’un organisme depuis sa conception jusqu’à sa forme mûre.
Dans ce but, j’ai parsemé le texte de citations et de commentaires qui,
j’espère, offriront au lecteur ou à la lectrice une petite fenêtre sur l’histoire
des idées dans ce domaine.
Après avoir rappelé les résultats (et hypothèse) classiques sur la fonc-
tion zêta de Riemann au chapitre 1, j’introduis les fonctions zêta des
Z-schémas de type fini au chapitre suivant, qui est consacré pour l’essen-
tiel à la démonstration de l’hypothèse de Riemann pour les courbes sur
un corps fini. Je me suis efforcé de reproduire fidèlement la démonstration
originelle de Weil [153].

FONCTIONS ZÊTA ET LDE VARIÉTÉS ET DE MOTIFS 5
Le chapitre 3est consacré aux conjectures de Weil. Elles y sont toutes
démontrées sauf la plus difficile : l’“hypothèse de Riemann”. J’y donne
aussi un aperçu de la preuve p-adique donnée par Dwork de la rationalité
des fonctions zêta de variétés sur un corps fini (avant le développement
des méthodes cohomologiques de Grothendieck !).
Le chapitre 4revient à des mathématiques plus élémentaires, en in-
troduisant les fonctions Lde Dirichlet, de Hecke et d’Artin. J’y donne
la démonstration du théorème de Dirichlet sur la progression arithmé-
tique, par la méthode de Landau exposée par Serre dans [126] ; il serait
cependant dommage, comme me l’a souligné Pierre Charollois, d’oublier
la méthode originelle de Dirichlet qui donnait des renseignements sup-
plémentaires anticipant la formule analytique du nombre de classes (voir
remarque 4.2.13 2)). J’introduis ensuite les deux généralisations des fonc-
tions Lde Dirichlet : celle de Hecke et celle d’Artin. J’énonce sans dé-
monstration le théorème principal de Hecke : prolongement analytique
et équation fonctionnelle (théorème 4.3.29), puis explique comment Ar-
tin et Brauer en déduisent les mêmes résultats pour les fonctions Lnon
abéliennes (théorème 4.4.8).
Le chapitre suivant est la pièce de résistance de ce texte. Il commence
par introduire l’idée approximative des fonctions Là la Hasse-Weil, et se
termine en décrivant leur définition précise par Serre [124]. Entretemps,
je décris les apports fondamentaux de Grothendieck et Deligne : ratio-
nalité et équation fonctionnelle des fonctions Lde faisceaux l-adiques
en caractéristique pavec des démonstrations essentiellement complètes,
théorie des poids et théorèmes de Deligne sur l’hypothèse de Riemann
(dernière conjecture de Weil), cette fois sans démonstrations. Notam-
ment, on trouvera au §5.4.4 une exposition de l’équation fonctionnelle
des fonctions Ldéveloppée par Grothendieck dans [CorrGS, lettre du
30-9-64], et au théorème 5.6.15 un énoncé précis, et des éléments assez
complets de démonstration, du théorème de Grothendieck et Deligne sur
la rationalité et l’équation fonctionnelle des fonctions Lde Hasse-Weil
en caractéristique >0, confirmant une conjecture de Serre (conjecture
5.6.14) dans ce cas.
Le dernier chapitre est consacré aux motifs et à leurs fonctions zêta.
Je me suis limité à un cas élémentaire : celui des motifs purs de Grothen-
dieck associés aux variétés projectives lisses sur un corps fini. On peut
aller beaucoup plus loin en utilisant les catégories triangulées de motifs
introduites par Voevodsky et développées par Ivorra, Ayoub et Cisinski-
Déglise, mais cela dépasserait le cadre de ce cours (voir [71]). J’explique