Exercices – Optique géométrique

Exercices – Optique g´eom´etrique
« (. . . ) que mon corps est le prisme inaperçu, mais vécu, qui réfracte le
monde aperçu vers mon « Je ». Ce double mouvement de conscience, à la
fois centrifuge et centripète, qui me relie au monde, transforme celui-ci par
là même, lui donne une détermination, une qualification nouvelle. »
Edmond Barbotin –Humanité de l’homme Aubier, p. 48 (1970)
■Lois de Snell-Descartes O1
Ex-O1.1 Mise en jambes
1) Refaire le sch´ema ci-contre en ne
laissant que les rayons lumineux existant
r´eellement.
2) Donner toutes les relations angulaires
possibles en pr´ecisant pour chacune si elle
est d’origine g´eom´etrique ou optique.
Ex-O1.2 La loi de la r´efraction
Un rayon lumineux dans l’air tombe sur la
surface d’un liquide ; il fait un angle 𝛼=
56∘avec le plan horizontal.
La d´eviation entre le rayon incident et le rayon r´efract´e est 𝜃= 13,5∘. Quel est l’indice 𝑛du
liquide ?
R´ep. : 𝑛= 1,6.
Ex-O1.3 Constructions de Descartes et de Huygens
Montrer que les deux constructions suivantes permettent de
tracer le rayon r´efract´e.
1) Construction de Descartes :
∘tracer les cercles de rayons 𝑛1et 𝑛2;
∘soit 𝑀l’intersection du rayon incident avec le cercle de rayon
𝑛1;
∘soit 𝑃l’intersection du cercle de rayon 𝑛2et de la droite
orthogonale `a la surface de s´eparation passant par 𝑀;
∘le rayon r´efract´e n’est autre que 𝑂𝑃 .
2) Construction de Huygens :
∘tracer les cercles de rayons 1/𝑛1et 1/𝑛2;
∘soit 𝑀l’intersection du rayon incident avec le cercle de
rayon 1/𝑛1;
∘tracer la tangente en 𝑀au cercle de rayon 1/𝑛1;
∘soit 𝐼le point d’intersection de la tangente avec la surface
de s´eparation ;
∘soit 𝑃l’intersection du cercle de rayon 1/𝑛2et de la se-
conde tangente trac´ee ;
∘le rayon r´efract´e n’est autre que 𝑂𝑃 .
Ex-O1.4 Dispersion par le verre
Le tableau ci-contre donne les longueurs d’onde,
dans le vide, de deux radiations monochroma-
tiques et les indices correspondants pour deux
types de verre diff´erents.
Couleur 𝜆0(nm) 𝑛(crown) 𝑛(flint)
rouge 656,3 1,504 1,612
bleu 486,1 1,521 1,671
1) Calculer les fr´equences de ces ondes lumineuses. D´ependent-elles de l’indice du milieu ?
On prendra 𝑐0= 2,998.108𝑚.𝑠−1.

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2) Calculer les c´el´erit´es et les longueurs d’onde de la radiation rouge dans les deux verres.
3) a) Un rayon de lumi`ere blanche arrive sur un dioptre plan air-verre,
sous l’incidence 𝑖= 60∘. L’indice de l’air est pris ´egal `a 1,000. Rappeler
les lois de Descartes relatives `a la r´efraction de la lumi`ere.
b) Calculer l’angle que fait le rayon bleu avec le rayon rouge pour un
verre crown, puis pour un verre flint. Faire une figure.
c) Quel est le verre le plus dispersif ?
i
rR
rB
Ex-O1.5 Relation entre l’indice et la longueur d’onde
On mesure l’indice d’un verre pour
diff´erentes longueurs d’onde (dans le
vide) :
𝜆(nm) 400 500 600 700 800
𝑛(𝜆) 1,500 1,489 1,482 1,479 1,476
On veut d´eterminer les coefficients 𝐴et 𝐵de la relation de Cauchy :𝑛(𝜆) = 𝐴+𝐵
𝜆2.
1) D´eterminer les unit´es de 𝐴et de 𝐵.
2) Expliquer pourquoi il ne faut pas ´etudier 𝑛en fonction de 𝜆, mais 𝑛en fonction de 1
𝜆2.
3) ` A l’aide d’une calculatrice, d´eterminer 𝐴et 𝐵par r´egression lin´eaire.
4) En d´eduire 𝑛pour 𝜆= 633 𝑛𝑚.
Ex-O1.6 Courbure d’une fibre optique
Une fibre optique est constitu´e d’une ˆame en verre d’indice 𝑛1= 1,66 et de
diam`etre 𝑑= 0,05 𝑚𝑚 entour´ee d’une gaine en verre d’indice 𝑛2= 1,52. On
courbe la fibre ´eclair´ee sous incidence normale.
Quel est est le rayon de courbure 𝑅minimal pour lequel toute la lumi`ere
incidente traverse la fibre ?
R´ep : Il faut 𝑅 > 𝑑
2.𝑛1+𝑛2 𝑛1−𝑛2
Ex-O1.7 Flotteur
Un disque en li`ege de rayon 𝑟flotte sur l’eau d’indice 𝑛; il soutient une
tige plac´ee perpendiculairement en son centre. Quelle est la longueur
ℎde la partie de la tige non visible pour un observateur dans l’air ?
Citer les ph´enom`enes mis en jeu.
R´ep. : ℎ=𝑟√𝑛2−1.
Ex-O1.8 Le point de vue du poisson
Un poisson est pos´e sur le fond d’un lac : il regarde vers le
haut et voit `a la surface de l’eau (d’indice 𝑛= 1,33) un disque
lumineux de rayon 𝑟, centr´e `a sa verticale, dans lequel il aper¸coit
tout ce qui est au-dessus de l’eau.
1) Expliquer cette observation.
2) Le rayon du disque est 𝑟= 3,0𝑚.` A quelle profondeur se trouve le poisson ?
R´ep. : ℎ= 2,6𝑚.
Ex-O1.9 Lame `a faces parall`eles
On consid`ere une lame `a faces parall`eles en verre (indice 𝑛) plong´ee
dans l’air. Elle peut ˆetre consid´er´ee comme l’association de deux
dioptres plans parall`eles.
Il y a donc stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss
(Cf. le¸con suivante).
1) Faire une figure montrant qu’un rayon d’incidence 𝑖a subi `a
sa sortie un simple d´eplacement d’une distance 𝑑telle que :
𝑑=𝑒.sin(𝑖−𝑟)
cos 𝑟=𝑒. sin 𝑖
1−1−𝑠𝑖𝑛2𝑖
𝑛2−𝑠𝑖𝑛2𝑖
𝑟est l’angle de r´efraction `a la 1`ere r´efraction
𝑒est l’´epaisseur de la lame
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2) Montrer que la position de l’image est telle que 𝐴𝐴′=𝑒(1 −1
𝑛) et que ce d´eplacement appa-
rent a lieu dans le sens de la lumi`ere. Calculer 𝐴𝐴′pour une vitre d’´epaisseur 1 𝑚𝑚. Conclusion ?
Ex-O1.10 Indice d’un liquide
Une cuve en verre a la forme d’un prisme de
section droite rectangle isoc`ele. Elle est pos´ee
horizontalement sur une des arˆetes de longueur
𝑙du triangle isoc`ele, et le sommet oppos´e `a ce
cˆot´e est ouvert pour permettre de remplir la
cuve d’un liquide transparent d’indice 𝑛.
Un pinceau de lumi`ere est envoy´e horizontale-
ment sur la face verticale de la cuve, dans un
plan de section droite, `a la hauteur 𝑙
2.
Ce rayon ´emerge au-del`a de l’hypoth´enuse et rencontre en un point 𝑃un ´ecran 𝐸plac´e vertica-
lement `a la distance 𝑙de la face d’entr´ee du dispositif. On n´eglige l’effet dˆu aux parois en verre
sur la propagation du pinceau de lumi`ere.
1) Quelle limite sup´erieure peut-on donner `a la valeur de l’indice ?
2) Quel est l’indice 𝑛du liquide contenu dans la cuve en fonction de 𝑙et de 𝑧?
3) A.N. : calculer 𝑛avec : 𝑙= 30 𝑐𝑚 et 𝑧= 6,7𝑐𝑚.
R´ep. : 1) 𝑛≤1,414 ; 2) 𝑛=√2 sin 𝑖+ arctan 𝑙−2𝑧
𝑙;3) 𝑛= 1,36 (´ethanol peut-ˆetre).
Ex-O1.11 Deux prismes accol´es
Deux morceaux de verre taill´es sous forme de tri-
angles rectangles et isoc`eles d’indices respectifs 𝑁et 𝑛
ont leur face 𝐴𝐵 commune. Un rayon incident frappe
𝐴𝐷 sous une incidence normale, se r´efracte en 𝐼1, se
r´efl´echit en 𝐼2puis ressort en 𝐼3sous l’incidence 𝑖.
Les valeurs de 𝑁et 𝑛sont telles que la r´eflexion soit
totale en 𝐼2.
1) ´ Ecrire la relation de Snell-Descartes aux points 𝐼1et 𝐼3.
2) Quelles relations v´erifient les angles 𝑟et 𝛼;𝛼et 𝛽?
3) Quelle relation v´erifient 𝑁et 𝑛pour que la r´eflexion soit limite en 𝐼2?
Calculer 𝑁,𝑟,𝛼,𝛽et 𝑖pour 𝑛=3
2quand cette condition limite est r´ealis´ee.
On appelle 𝑁0cette valeur limite de 𝑁. Pour que la r´eflexion soit totale en 𝐼2,𝑁doit-il ˆetre
plus grand ou plus petit que 𝑁0?
4) ´ Ecrire la relation v´erifi´ee par 𝑁et 𝑛pour que l’angle 𝑖soit nul. Que vaut 𝑁?
Solution Ex-O1.4
1) 𝜈𝑅= 4,568.1014 𝐻𝑧,𝜈𝐵= 6,167.1014 𝐻𝑧.
Les fr´equences ne d´ependent pas du milieu.
2) 𝑐=𝑐0
𝑛, et donc : 𝜆=𝑐 𝜈=𝑐0 𝜈
1
𝑛=𝜆0 𝑛.
•Dans le verre de crown :
𝑐𝑅= 1,993.108𝑚.𝑠−1et 𝜆𝑅= 436,3𝑛𝑚 .
•Dans le verre de flint :
𝑐𝑅= 1,86.108𝑚.𝑠−1et 𝜆𝑅= 407,1𝑛𝑚 .
3) a) Le rayon r´efract´e est dans le plan d’in-
cidence et 𝑛sin 𝑖=𝑛′sin 𝑟.
b) •Pour le verre de crown :
𝑟𝑅= 35,16∘et 𝑟𝐵= 34,71∘: le rayon bleu
est plus d´evi´e que le rayon rouge. L’angle
entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut
Δ𝑟= 0,45∘.
•Pour le verre de flint :
𝑟𝑅= 32,50∘et 𝑟𝐵= 31,22∘: le rayon bleu
est plus d´evi´e que le rayon rouge. L’angle
entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut
Δ𝑟= 1,28∘.
c) →Le « flint » est un verre plus dispersif que
le « crown » car l’angle entre les deux rayons
est le plus important.
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Solution Ex-O1.5
1) 𝑛n’a pas d’unit´e, donc 𝐴n’a pas d’unit´e
et 𝐵a la mˆeme unit´e que 𝜆2,𝑖.𝑒 le m`etre carr´e
(𝑚2).
2) 𝑛(𝜆) n’est pas une fonction affine, en
revanche 𝑛1
𝜆2est une fonction affine d’or-
donn´ee `a l’origine 𝐴et de cœfficient directeur
𝐵.
3) 𝐴= 1,468 et 𝐵= 5,2.10−15 𝑚2.
4) 𝑛(633 𝑛𝑚) = 1,468 + 5,2.10−15
(633.10−9)2
soit 𝑛= 1,481 .
Solution Ex-O1.8
1) Par application du principe du retour in-
verse de la lumi`ere, l’œil du poisson voit la zone
de l’espace d’o`u il peut ˆetre vu.
Le poisson voit donc tout l’espace situ´e dans
l’air au travers d’un cˆone de sommet son œil
et de demi-angle au sommet ´egal `a l’angle li-
mite de r´efraction pour le dioptre Eau/Air. En
dehors de ce cˆone, il y a r´eflexion totale.
2) 𝑖𝑙= arcsin 𝑛𝑎𝑖𝑟
𝑛𝑒𝑎𝑢
= arcsin 1
1,33 ≈49∘,
le poisson voit donc l’espace situ´e au-del`a de
la surface de l’eau sous un cˆone d’angle 98∘,
dont l’intersection avec la surface de l’eau est
un disque de rayon 𝑟.
Avec tan 𝑖𝑙=𝑟
ℎ, on a ℎ=𝑟 tan 𝑖𝑙
= 2,6𝑚.
Solution Ex-O1.10
1) En 𝐼, l’incidence ´etant normale, le rayon
incident n’est pas d´evi´e.
Par contre, en 𝐽, l’angle d’incidence est 𝑖=
45∘. Or l’´enonc´e dit que le rayon est transmis
en 𝐽, donc 𝑖≤𝑖𝑙= arcsin 1
𝑛, d’o`u sin 𝑖≤1 𝑛
et donc 𝑛≤1
sin 𝑖=√2 = 1,414 .
2) En 𝐽on a 𝑛sin 𝑖= sin 𝑟,
donc : 𝑛=sin 𝑟
sin 𝑖=√2 sin 𝑟.
On peut calculer 𝑟`a l’aide des donn´ees fournies
par la tache lumineuse sur l’´ecran 𝐸.
Dans le triangle 𝐽𝐾𝑃 ,
tan(𝑟−𝑖) = 𝐾𝑃
𝐽𝐾 =
𝑙
2−𝑧
𝑙
2
=𝑙−2𝑧
𝑙.
Ainsi, 𝑟=𝑖+ arctan 𝑙−2𝑧
𝑙et donc :
𝑛=√2 sin 𝑖+ arctan 𝑙−2𝑧
𝑙
3) 𝑛= 1,36 (´ethanol peut-ˆetre).
Solution Ex-O1.11
1) En 𝐼1:𝑁sin 45∘=𝑁√2
2=𝑛sin 𝑟1,
et en 𝐼3,𝑛sin 𝛽= sin 𝑖2,.
2) La normale `a 𝐵𝐶 et la normale `a 𝐴𝐵
sont perpendiculaires entre elles. dans le tri-
angle form´e par ces normales et 𝐼1𝐼2, on a :
𝑟+𝛼=𝜋
23,.
De plus, avec le triangle 𝐼2𝐶𝐼3, on ´etablit :
𝛼+𝛽=𝜋
44,.
3) •La condition de r´eflexion (avec
ph´enom`ene de r´efraction) limite en 𝐼2s’´ecrit :
𝑛sin 𝛼= 1 5,
Grˆace `a 1,et 3,, la relation 5,conduit `a :
𝑁2= 2 (𝑛2−1) 6,.
•AN : 𝑁≡𝑁0= 1,58 𝑟≡𝑟0= 48,19∘
𝛼=𝛼0= 41,81∘𝛽= 3,19∘𝑖= 4,79∘
•Pour que la r´eflexion soit totale en 𝐼2, il faut
que l’angle 𝛼soit plus grand que l’angle d’in-
cidence pour la r´efraction limite 𝛼0que l’on
vient de calculer (car alors la loi de Descartes
pour la r´efractrion n’est plus v´erifi´ee : 5,de-
vient 𝑛sin 𝛼 > 1).
Alors 3,⇒𝑟 < 𝑟0, et donc 1,⇒𝑁 < 𝑁0,
ce qui revient `a dire 𝑁 < 2 (𝑛2−1) .
4) Si 𝑖est nul, alors 𝛽est nul, soit 𝛼=𝑟=𝜋
4,
et donc 1,⇒𝑁=𝑛, soit : 𝑁=𝑛=3
2
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DL no1 – La fibre optique
1. Att´enuation dans la fibre
Les pertes par transmission (not´ees 𝑋) sont exprim´ees en dB.km−1. On rappelle que 𝑋𝑑𝐵 =
10 log 𝑃2
𝑃1
, avec 𝑃1puissance optique `a l’entr´ee de la fibre et 𝑃2puissance optique au bout d’un
kilom`etre de parcours. Vers 1970, l’att´enuation ´etait de 10 𝑑𝐵.𝑘𝑚−1. Actuellement, on arrive `a
0,005 𝑑𝐵.𝑘𝑚−1. Dans les deux cas, exprimer en % les pertes au bout d’un km.
2. Profil d’indice
Une fibre optique est g´en´eralement constitu´ee d’un cœur de rayon a dont
l’indice nvarie avec la distance r`a l’axe, et d’une gaine d’indice constant
𝑛2. On suppose que :
𝑛2(𝑟) = 𝑛2
1(1 −2Δ.(𝑟
𝑎)𝛼) pour 𝑟 < 𝑎
𝑛2(𝑟) = 𝑛2
2pour 𝑎 < 𝑟 < 𝑏
a
b
n(r)
O
n2
avec 𝑛2< 𝑛1,𝛼constante positive, 𝑏rayon ext´erieur de la gaine et Δ = 𝑛2
1−𝑛2 2
2𝑛2
1
.
Dans la pratique, 𝑛1et 𝑛2ont des valeurs tr`es voisines et Δ est tr`es petit, en g´en´eral Δ ≈10−2.
→Repr´esenter 𝑛=𝑓(𝑟) pour 𝛼= 1 , 𝛼= 2 et 𝛼infini.
3. Fibre `a saut d’indice
On envisage le cas d’une fibre `a saut d’indice (𝛼infini) 1.
a) Le plan d’incidence d’un rayon SI se propageant dans l’air et
tombant sur la fibre est le plan du sch´ema ci-contre.
→Montrer que si 𝜃𝑖reste inf´erieur `a un angle 𝜃𝑎, un rayon peut
ˆetre guid´e dans le cœur.
On appelle ouverture num´erique (O.N.) la quantit´e sin 𝜃𝑎.
→Exprimer l’O.N. en fonction de 𝑛1et Δ.
Application num´erique :
Calculer l’O.N. pour Δ = 10−2et 𝑛1= 1,5.
O
I
n=1
air
coeur
gaine
z
r
qi
b) Une impulsion lumineuse arrive `a 𝑡= 0 , au point O(𝑟= 0) sous la forme d’un faisceau
conique convergent, de demi-angle au sommet 𝜃𝑖(𝜃𝑖< 𝜃𝑎). Pour une fibre de longueur l, calculer
l’´elargissement temporel Δ𝑡de cette impulsion `a la sortie de la fibre.
Exprimer Δ𝑡en fonction de 𝑙,𝑛1,𝑐et 𝜃𝑖.
A.N : Calculer Δ𝑡pour 𝑙= 10 𝑘𝑚,𝜃𝑖= 8∘et 𝑛1= 1,5. On prendra 𝑐= 3.108𝑚.𝑠−1.
c) Soit un faisceau conique convergent `a l’entr´ee d’une seconde fibre `a saut d’indice. Ce faisceau
a pour demi-angle au sommet l’angle 𝜃′
𝑎correspondant `a l’O.N. de la seconde fibre.
→Exprimer Δ𝑡′en fonction de 𝑙,𝑛1,𝑛2et 𝑐.
Application num´erique : Calculer la nouvelle O.N. et Δ𝑡′pour 𝑙= 1 𝑘𝑚,𝑛1= 1,456 et 𝑛2=
1,410 (fibre silice/silicone).
d) On envoie `a l’entr´ee de la fibre de la question pr´ec´edente des impulsions tr`es br`eves de dur´ee
𝛿𝑇 avec une p´eriode 𝑇(on suppose que 𝛿𝑇 ≪𝑇).
→Quelle est la valeur minimale de 𝑇pour que les impulsions soient s´epar´ees `a la sortie de la
fibre ?
e) En transmission num´erique, on exprime le r´esultat en nombre maximum d’´el´ements binaires
(pr´esence ou absence d’impulsion = bit) qu’on peut transmettre par seconde. Que vaut le d´ebit
en 𝑏.𝑠−1(bits par seconde) des fibres ´etudi´ees ?
Les comparer aux standard t´el´ephone Num´eris (64 𝑘𝑏/𝑠), au standard t´el´evision (100 𝑀𝑏/𝑠) ou
`a une ligne « ADSL » classique qui permet un transfert de 512 𝑀𝑜 par seconde (soit plus de
4.109𝑏/𝑠).
1. Utiliser les lois de Descartes et un soup¸con de g´eom´etrie.
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