Cours de probabilité

M. Cuénod 17/04/2014
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La Bible (env. Ve siècle av. J.-C.)
Le sort fait cesser les contestations,
Et décide entre les puissants.
(Proverbes, 18, 18)
1. Introduction
1.1 Jeux, divination et hasard
Les archéologues ont retrouvé dans des habitats très anciens des pierres de différentes
couleurs ainsi que des os, en particulier l’os du talon de certains animaux (chiens et moutons),
qui présentent quatre faces relativement symétriques. On les appelle des astragales.
L’utilisation de ces astragales n’est pas connue avec certitude, on pense qu’ils étaient là pour
le jeu et pour des pratiques divinatoires. A partir de l’antiquité on est sûr de l’existence de
jeux avec des astragales. Les quatre astragales étaient couramment utilisés dans les temples de
la Grèce antique et à Rome. On pense que c’est par une observation attentive des lancers,
observation qui montrait à l’évidence que la régularité des apparitions dépendait de l’animal
dont l’os provenait, qu’est venue l’idée de construire un objet plus sûr: le dé. Le dé le plus
ancien que l’on ait retrouvé date du début du troisième millénaire avant Jésus Christ. Il
comporte des points marqués sur chaque face dans un ordre consécutif. Ce n’est qu’au
premier millénaire, avant notre ère que l’on trouve le dé moderne, avec la répartition actuelle
des points sur les faces. On a créé des dés avec 4, 6, 8, 12 voir 20 faces (icosaèdre).
1.2 L’origine des mots hasard, aléa et chance
Le terme de hasard est un terme, qui apparaît au Moyen-Âge, et dont l’étymologie n’est
pas bien établie. Il pourrait s’agir d’une adaptation du mot arabe « sar » qui signifie dé, ou
encore d’une dérivation du nom d’un château, El Azar, en Syrie, où un jeu pratiqué avec 2 ou
3 dés, avait été découvert.
Hasard : n.m. représente un emprunt (v.1150, hasart) à l’arabe az-zahr, « jeu de
dés », par l’intermédiaire de l’espagnol azar (1283) « jeu de dés » et « coup
défavorable au jeu de dés ». Le mot arabe vient de zahr « fleur » ou « chance »
(espagnol azahar « fleur d’oranger »), les dés ayant porté une fleur sur l’une des
faces, soit du verbe yasara « jouer au hasard ». Le h- est dû au fait qu’au moyen
âge les mots à initiale vocalique, d’origine étrangère, étaient régulièrement écrits
avec h.
Hasard a désigné au moyen âge un jeu de dés et s’est dit (1200) d’un coup
heureux à ce jeu (le six). C’est de ce premier sens que vient l’expression jeu de
hasard (1538), mais aujourd’hui la référence au jeu de dés est oubliée, hasard,
étant toujours compris au sens absolu et philosophique. (Dictionnaire Historique
De La Langue Française, Dictionnaires Le Robert, Paris, 1993)
Aléa : n.m. est emprunté (1852) au sens de « hasard » au latin alea, mot
d’origine inconnue signifiant « jeu de dés », puis dés (le mot classique pour « dés »
étant talli) et enfin « hasard ». Le sens de « dés » reste connu par la phrase célèbre
de César, franchissant le fleuve Rubicon, alea jacta est, « les dés sont jetés ».
(Dictionnaire Historique De La Langue Française, Dictionnaires Le Robert, Paris,
1993)
Chance : n.f. d’abord chaance (v. 1175), caanche (1200), est issu de l’évolution
du latin cadentia (→ cadence), participe présent pluriel neutre de cadere
« tomber » (→ choir) pris pour un féminin, proprement « action de tomber »,
spécialement employé en latin au jeu des osselets.

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Le mot désigne le hasard qui peut faire réussir ou échouer une entreprise. (…) Sa
spécialisation au jeu « chute des dés » (1208) a disparu. (Dictionnaire Historique
De La Langue Française, Dictionnaires Le Robert, Paris, 1993)
Ainsi donc hasard et jeu ont la même origine.
Lanier (1991)
Les jeux, au sens large, qui peuvent relever du calcul
des probabilités, peuvent être de hasard classique avec
mise, mais aussi de hasard décisionnel, de partage. Dans
ce dernier cas, le hasard est convoqué pour obtenir une
décision, par exemple lorsque l’enjeu ne peut être divisé
(la tunique du Christ, les charges de la démocratie
athénienne).
Le hasard et son calcul peuvent être convoqués soit
pour aider le joueur à élaborer une stratégie gagnante
dans un jeu de hasard – c’est-à-dire mesurer, peser,
comparer avec le maximum de justesse –, soit pour
assurer l’égalité entre des joueurs devant une décision à
prendre ou un choix devant éviter la tricherie – c’est-à-
dire assurer la justice. Comme on le verra, ce sont ces
deux aspects qui président à la constitution du calcul et
c’est sans doute, leur conjonction qui va permettre sa
naissance. (Lanier D., La géométrie du hasard, in : Rev.
Sc. et Techn. en perspective, 1991)
1.3 Qu’est-ce que le hasard ?
Dans son ouvrage l’Essay d’analyse sur les jeux de hazard, (1708) de Montmort dans son
introduction affirmait que le hasard n’existait pas, mais que l’on usait de ce mot pour
stigmatiser notre ignorance des phénomènes étudiés.
De Montmort (1708)
A parler exactement, rien ne dépend du hasard; quand on étudie la nature, on est
bientôt convaincu que son auteur agit d’une manière générale et uniforme, qui porte
le caractère d’une sagesse et d’une prescience infinies. Ainsi pour attacher à ce mot
« hasard » une idée qui soit conforme à la vraie philosophie, on doit penser que
toutes choses étant réglées suivant des lois certaines, dont le plus souvent l’ordre ne
nous est pas connu, celles-là dépendent du hasard dont la cause naturelle nous est
cachée. Après cette définition on peut dire que la vie de l’homme est un jeu où règne
le hasard. (De Montmort, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 1708)
On retrouve cette vision déterministe de la réalité chez P.S. De Laplace, qui écrivait en
1814:
Laplace (1814)
Tous les événements, ceux même qui par leur petitesse semblent ne pas tenir aux
grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du
soleil. Dans l’ignorance des liens qui les unissent au système entier de l’univers, on
les a fait dépendre des causes finales ou du hasard, suivant qu’ils arrivaient ou se
succédaient avec régularité ou sans ordre apparent; mais ces causes imaginaires ont
été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances et disparaissent
entièrement devant la saine philosophie, qui ne voit en elles que l’expression de
l’ignorance où nous sommes des véritables causes.
Les événements actuels ont avec les précédents une liaison fondée sur le principe
évident, qu’une chose ne peut commencer d’être sans une cause qui la produise. Cet
axiome, connu sous le nom de « principe de la raison suffisante », s’étend aux

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actions même que l’on juge indifférentes. La volonté la plus libre ne peut sans un
motif déterminé leur donner naissance; car si, toutes les circonstances de deux
positions étant exactement semblables, elle agissait dans l’une et s’abstenait d’agir
dans l’autre, son choix serait un effet sans cause; elle serait alors, dit Leibniz, le
hasard aveugle des épicuriens. L’opinion contraire est une illusion de l’esprit qui,
perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses
indifférentes, se persuade qu’elle est déterminée d’elle-même et sans motifs.
Nous devons donc envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état
antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un
instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation
respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour
soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les
mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome: rien ne
serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé serait présent à ses yeux. » (De
Laplace S.P., Essai philosophique sur les probabilités, 1814.)
Les mathématiciens d’alors ne donneront pas de définition formelle du hasard, jugeant
cette définition inutile à la pratique de cette discipline (« Sur un sujet vaguement défini, on
peut raisonner sans équivoque » dit P.S. de Laplace) voir suffisamment claire en soi (« le mot
hasard, intelligible en soi, éveille dans l’esprit une idée parfaitement claire » (Bertrand J.,
Calcul des probabilités, 1889).
Cette attitude philosophique à l’égard de cette discipline se maintiendra jusqu’au début du
XXe siècle.
Poincaré (1907)
Et d’abord, qu’est-ce que le hasard ? Les Anciens distinguaient les phénomènes
qui semblent obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux
qu’ils attribuaient au hasard; c’étaient ceux qu’on ne pouvait prévoir parce qu’ils
étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas
de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard
de se mouvoir. Dans cette conception, le mot hasard pour l’un, était aussi hasard
pour l’autre et même pour les dieux.
Mais cette conception n’est plus la nôtre; nous sommes devenus des
déterministes absolus, et ceux mêmes qui veulent réserver les lois du libre arbitre
humain laissent du moins le déterminisme régner sans partage dans le monde
inorganique. Tout phénomène, si minime qu’il soit, a une cause, et un esprit
infiniment puissant, infiniment bien informé des lois de la nature, aurait pu le
prévoir depuis le début des siècles. Si un pareil esprit existait, on ne pourrait jouer
avec lui à aucun jeu de hasard, on perdrait toujours.
Pour lui, en effet, le mot de hasard n’aurait pas de sens, où plutôt il n’y aurait pas
de hasard. C’est à cause de notre faiblesse et de notre ignorance qu’il y en aurait un
pour nous. (Poincaré H., Science et Méthode, in : Revue du mois, 1907)
Mais avec l’exploration de l’infiniment petit, l’élaboration de la théorie quantique, qui
affirme qu’il n’est pas possible de connaître simultanément la position et la vitesse d’une
particule avec une précision arbitraire, la vision déterministe de l’univers a été sérieusement
mis à mal. Car il ne s’agit pas d’une impossibilité technique, matérielle, liée à nos instruments
de mesure ou à nos capacités, non, il s’agit d’une impossibilité fondamentale qui échappe et
échappera toujours à notre contrôle.
Pagels (1982)
Malgré toutes les difficultés mathématiques de la définition du hasard, nous
pouvons, à l’instar de Richard von Mises, adopter une attitude pragmatique. Pour
lui, la définition pratique d’un processus aléatoire tient en ce qu’il est imbattable.
Imaginons une machine à sous qui génère des nombres aléatoires. A long terme,
cette machine est imbattable et toute stratégie est inutile; nous pouvons alors dire

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que, d’un point de vue pratique, les nombres qu’elle produit sont vraiment aléatoires.
S’il y avait le moindre défaut dans la machine si les nombres n’étaient pas vraiment
aléatoires, un nombre donné reviendrait plus souvent que les autres et le sachant,
cela pourrait nous servir à battre la machine. Le hasard véritable est imbattable.
Cette définition pratique du hasard convient au monde réel. C’est sur elle que tablent
les casinos et les compagnies d’assurances. Et s’ils sont toujours gagnants, c’est
parce que le hasard est imbattable et qu’ils le savent bien.
Observons à présent le hasard dans la nature. L’atome est le meilleur endroit où
nous puissions trouver le hasard – il n’y a rien de tel que le hasard quantique. Des
processus tels que la désintégration radioactive d’un noyau, soumis aux tests du
hasard, triomphent à tous les coups. L’instant et le lieu auxquels un atome se
désintègre sont totalement aléatoires. S’il nous est possible d’imaginer un défaut
dans la machine envisagée ci-dessus, les physiciens par contre n’ont jamais pu
déceler le moindre défaut dans le monde quantique. (Pagels H., L’Univers
quantique, Interédition, Paris, 1982, p.19)
Et Pagels de poursuivre:
Pagels (1982)
Laplace et les autres mathématiciens ont montré que, bien que les événements
aléatoires individuels fussent dépourvus de toute signification, la distribution de ces
mêmes événements ne l’est en rien et peut être l’objet d’une science exacte: la
théorie des probabilités. L’idée centrale de cette théorie est la notion de distribution
des probabilités – ou affectation de probabilités à un ensemble d’événements liés les
uns aux autres. (...)
La distribution des probabilités résulte d’une combinatoire mathématique; il
s’agit de l’addition des différentes combinaisons permettant d’obtenir tel ou tel
résultat. (...)
La distribution des événements semble pourvue d’une objectivité que ne possède
pas l’événement aléatoire individuel. < Ainsi > dans le monde microscopique des
atomes, c’est la distribution des événements qui est spécifiée par la théorie
quantique, et non pas les événements individuels eux-mêmes. (...)
Nous pourrions imaginer que, puisqu’elles détiennent une sorte d’objectivité, les
distributions de probabilité possèdent une existence indépendante des événements
individuels. Cette erreur peut nous inciter à croire que la distribution « oblige » les
événements à se conformer à un schéma donné. (...) C’est là un raisonnement « à
rebours », parce que ce sont les événements individuels qui établissent la
distribution, et non pas le contraire. En introduisant un événement non aléatoire, un
élément d’organisation au niveau des événements individuels, on change la
distribution des probabilités.
L’invisibilité et l’objectivité des distributions sont étonnantes; mais celles-ci
possèdent une autre caractéristique tout aussi remarquable: leur stabilité, qu’il
s’agisse de distributions de mouvements atomiques, de réactions chimiques,
d’événements biologiques ou sociaux. Nous n’imaginons pas que les distributions de
probabilité au jeu de dés puissent changer avec le temps, puisque les dés ne sont pas
soumis à des forces temporelles. Mais qu’en est-il de la probabilité de fractures de la
jambe dans une station de ski donnée, saison après saison? Comment peut-on
expliquer la stabilité de cette probabilité sur de très longues périodes? Cette stabilité
résulte du fait que l’événement individuel est aléatoire et indépendant des autres
événements semblables. Le désordre au niveau individuel entraîne un déterminisme
collectif. (...)
La distribution est stable parce que les événements sont aléatoires et
indépendants. Ce n’est qu’en introduisant un événement non aléatoire (...) que l’on
pourra modifier la distribution. (Pagels H., L’Univers quantique, Interédition, Paris,
1982, pp. 111-114)
Ainsi les événements qui nous paraissent ou qui sont fondamentalement aléatoires
peuvent faire l’objet d’une étude scientifique du fait même de leur caractère aléatoire. C’est
là le fondement même de cette branche des mathématiques appelée statistique. Ces
disciplines que l’on jumelle volontiers, statistique et probabilité, sont très récentes. C’est en

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effet dans les années 1930 que le mathématicien russe Kolmogorov élabora l’axiomatique
des probabilités.
Si l’on sait que le complexe peut être appréhendé, par le biais des distributions de
probabilité, par le général, le « simple », ce n’est que tout dernièrement que l’on s’est rendu
compte, par l’étude des systèmes dynamiques, que le simple engendre le complexe. Ce
complexe ayant alors tous les aspects de l’aléatoire. C’est dans les années cinquante qu’ont
commencé les premiers travaux sur le chaos. On parle maintenant de chaos déterministe
appellation aussi stupéfiante que celle utilisée par B. Pascal pour décrire le premier traité de
probabilité: La Géométrie du Hasard.
Après avoir signalé la différence qui existe entre déterminisme et prévisibilité, I. Stewart,
dans son ouvrage La Nature et les Nombres, présente le problème sous ce nouvel angle.
Stewart (1998)
Notre monde est-il déterministe, ainsi que le dit Laplace, ou est-il régi par le
hasard, comme il semble souvent l’être ? Et, si vraiment Laplace avait raison,
pourquoi notre expérience quotidienne le dément-il si fréquemment ? L’un des
domaines les plus excitants des nouvelles mathématiques – connu par le public sous
le nom de théorie du chaos – se targue de pouvoir apporter bien des réponses. Qu’il
le fasse ou non, il révolutionne certainement la manière dont nous pensons à l’ordre
et au désordre, aux lois et à la chance, à la prévisibilité et au hasard. (...)
Où Laplace avait-il donc commis une erreur ? Le point à ne pas manquer, c’est
qu’en réalité on ne peut jamais mesurer l’état initial d’un système de manière exacte.
Les mesures les plus précises que l’on soit parvenu à faire sur un système physique
sont exactes à la dixième ou à la douzième décimale près. Et l’énoncé de Laplace ne
vaut que si l’on arrive à mesurer les grandeurs avec une précision infinie, avec un
nombre infini de décimales – et cela, bien entendu, c’est exclu. A l’époque de
Laplace, les gens étaient conscients de ces incertitudes de mesure, mais ils
supposaient généralement que, s’ils avaient été en mesure de déterminer les
grandeurs initiales avec dix décimales, par exemple, alors toutes les prédictions
seraient aussi exactes à dix décimales près. L’erreur ne disparaîtrait pas, mais elle ne
croîtrait pas non plus.
Malheureusement, l’erreur croît, ce qui nous interdit de mettre bout à bout des
prédictions à court terme pour en faire une prévision à long terme. (...) A chaque
étape l’erreur croît d’un facteur dix environ. (...) Ce phénomène se nomme
« sensibilité aux conditions initiales », ou, plus informellement l’ « effet papillon »
< lorsqu’un papillon à Tokyo bat des ailes, un ouragan peut se déclencher en Floride
un mois plus tard >. Il est intimement lié à une très grande irrégularité dans le
comportement. Tout ce qui est vraiment régulier est assez prévisible. Mais une très
grande sensibilité aux conditions initiales rend un système imprévisible – donc
irrégulier. C’est pour cela que l’on qualifie tout système sensible aux conditions
initiales de chaotique. Un comportement chaotique suit des lois déterministes, mais
il est si irrégulier que l’oeil non exercé le prend pour un phénomène réellement
aléatoire. Le chaos, ce n’est pas seulement un comportement compliqué et sans
motif apparent; le concept est bien plus subtil. Le chaos a les apparences de la
complication, en apparence aucun motif n’est présent, mais l’explication est simple
et de nature déterministe. (...)
Cette découverte fut le fruit de trois développements indépendants. L’un d’eux a
été un changement d’intérêt, lorsque les scientifiques se sont désintéressés des
comportements périodiques pour s’intéresser à des comportements plus complexes.
Le deuxième fut l’avènement de l’ordinateur, qui a rendu possible, rapide et aisée la
recherche de solutions approchées des équations dynamiques. Le troisième fut un
changement de perspective sur la dynamique – que l’on a commencé à approcher par
la géométrie au lieu d’utiliser des approches numériques. Le premier développement
a fourni un objectif, le deuxième une technique, le troisième un outil pour la
compréhension. (Stewart I., La Nature et les Nombres, Hachette, Paris, 1998, pp.
118-123)
En quoi ces données nouvelles ont-elles modifié notre mathématisation des phénomènes