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Les angles
Série d’exercices
Exercice 1 :
̂ puis en déduire celle de
Calculer la mesure de l’angle 𝐷𝐶𝐻
l’angle α.
Exercice 2 :
On donne la figure ci-dessous.
̂ ?
1. Quelle est la mesure de l’angle 𝑃𝑀𝐾
2. Que peut-on dire du triangle APK ? Justifier votre
réponse.
̂ 𝑒𝑡 𝐴𝐾𝑃
̂.
3. En déduire 𝐴𝑃𝐾
4. Calculer la mesure de l’angle β.
Exercice 3 :
Soit AECB un carré.
̂?
1. Quelle est la mesure de l’angle 𝐷𝐶𝐵
̂ et celle de 𝐷𝐶𝐸
̂.
2. En déduire la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷
3. Sachant que les deux triangles ABD et CDE sont isocèles,
̂ 𝑒𝑡 𝐶𝐷𝐸
̂.
déterminer la mesure des angles 𝐴𝐷𝐵
̂.
4. En déduire la mesure de l’angle 𝐴𝐼𝐸
Exercice 4 :
On donne la figure ci-dessous.
̂?
̂ 𝑒𝑡 𝐷𝐸𝐺
1. Quelle est la mesure des angles 𝐹𝐸𝐷
̂.
2. En déduire la mesure de l’angle 𝐻𝐸𝐺
3. Sachant que les trois points F, H et E sont alignés, les
deux droites (FD) et (EG) sont-elles parallèles ?
Justifier votre réponse.
Exercice 5 :
On donne la figure ci-contre.
̂.
1. Déterminer la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐸
2. Que peut-on dire des deux droites (𝐵𝐶) et (𝐴𝐷) ?
̂ puis 𝐷𝐴𝐸
̂.
3. En déduire la mesure de l’angle 𝑀𝑂𝐸
4. Quelle est la nature du triangle OEA ? Justifier votre
réponse.
̂.
5. En déduire la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝑂
̂.
6. Déterminer la mesure de l’angle 𝑀𝐸𝐷
Les angles
Correction : Série d’exercices
Correction de l’exercice 1 :
Dans le triangle CDA, on a :
̂ + 𝐶𝐴𝐷
̂ + 𝐴𝐶𝐷
̂ = 180°
𝐶𝐷𝐴
C’est-à-dire
̂ = 180°
36° + 74° + 𝐻𝐶𝐷
D’où
̂ = 70°
𝐻𝐶𝐷
̂ et 𝐻𝐺𝐷
̂ sont deux angles inscrits qui
Et comme 𝐻𝐶𝐷
interceptent le même arc DH , alors
̂ = 𝐻𝐺𝐷
̂
𝐻𝐶𝐷
Par suite
𝜶 = 𝟕𝟎°
Correction de l’exercice 2 :
̂ est un angle au centre
1. 𝑃𝐴𝐾
qui intercepte l’arc PK et
̂ est un angle inscrit
𝑃𝑀𝐾
qui intercepte le même arc.
D’où
̂ = 2 × 𝑃𝑀𝐾
̂
𝑃𝐴𝐾
Par suite
̂ = 𝟔𝟎°.
𝑷𝑴𝑲
2. On sait que AP et AK sont deux rayons du cercle de
centre A. Par suite, AP= AK. Ce qui implique que APK
est un triangle isocèle en A.
3. Comme APK est un triangle isocèle en A, alors on aura
̂ = 𝐴𝐾𝑃
̂
𝐴𝑃𝐾
Or, dans le triangle APK, on a :
̂ + 𝐴𝐾𝑃
̂ + 𝐾𝐴𝑃
̂ = 180°
𝐴𝑃𝐾
D’où
̂ = 𝑨𝑲𝑷
̂ =
𝑨𝑷𝑲
180° − 108°
= 𝟑𝟔°
2
4. Dans le triangle MPK on a
̂ + 𝑀𝐾𝑃
̂ + 𝑃𝑀𝐾
̂ = 180°
𝑀𝑃𝐾
Or
̂ + 𝐴𝑃𝐾
̂ = 34° + 36° = 70°
̂ = 𝑀𝑃𝐴
 𝑀𝑃𝐾
̂ + 𝐴𝐾𝑃
̂ = 𝛽 + 36°
̂ = 𝑀𝐾𝐴
 𝑀𝐾𝑃
̂ = 60°
 𝑃𝑀𝐾
D’où
70° + 𝛽 + 36° + 60° = 180°
Par suite
𝜷 = 𝟏𝟒°
Correction de l’exercice 3 :
1. Le triangle BCD est un triangle
équilatéral. Par suite,
𝟏𝟖𝟎°
̂ =
𝑫𝑪𝑩
= 𝟔𝟎°
𝟑
2. On a :
̂ 𝑒𝑡 𝐷𝐵𝐶
̂
 𝐴𝐵𝐷
sont
deux
angles
adjacents
et
complémentaires.
̂ 𝑒𝑡 𝐵𝐶𝐷
̂ sont deux angles adjacents et
 𝐸𝐶𝐷
complémentaires.
̂ + 𝐷𝐵𝐶
̂ = 90° et 𝐸𝐶𝐷
̂ + 𝐵𝐶𝐷
̂ = 90°
D’où 𝐴𝐵𝐷
̂ = 𝐷𝐵𝐶
̂ = 𝐶𝐷𝐵
̂ , alors
Et comme 𝐷𝐶𝐵
̂ = 𝟑𝟎°
̂ = 𝟑𝟎° et 𝑬𝑪𝑫
𝑨𝑩𝑫
3. Dans le triangle ABD on a
̂ + 𝐴𝐷𝐵
̂ + 𝐵𝐴𝐷
̂ = 180°
𝐴𝐵𝐷
̂ = 𝐴𝐷𝐵
̂
Et comme ABD est isocèle en A. D’où 𝐵𝐴𝐷
Ce qui implique que
̂ =
𝑨𝑫𝑩
190 − 30
= 𝟕𝟓°
2
De même, dans le triangle ECD on a
̂ + 𝐶𝐷𝐸
̂ + 𝐷𝐸𝐶
̂ = 180°
𝐸𝐶𝐷
̂ = 𝐷𝐸𝐶
̂
Et comme ECD est isocèle en A. D’où 𝐶𝐷𝐸
Ce qui implique que
̂=
𝑪𝑫𝑬
180 − 30
= 𝟕𝟓°
2
4. On sait que
̂ + 𝐵𝐷𝐶
̂ + 𝐶𝐷𝐸
̂ + 𝐴𝐼𝐸
̂ = 360°
𝐴𝐷𝐵
C’est-à-dire
̂ = 360°
75° + 60° + 75° + 𝐴𝐼𝐸
Par suite
̂ = 𝟏𝟓𝟎°
𝑨𝑰𝑬
Correction de l’exercice 4 :
1. Le triangle EDF est un triangle isocèle en D. D’où
̂ = 𝐹𝐸𝐷
̂
𝐷𝐹𝐸
Ce qui implique que
̂ = 32°
𝐹𝐸𝐷
Aussi, le triangle EDG
est isocèle en G. D’où
̂ = 𝐷𝐸𝐺
̂
𝐺𝐷𝐸
Ce qui implique que
̂ = 𝟓𝟖°
𝑫𝑬𝑮
̂ = 𝐷𝐸𝐻
̂
̂ + 𝐻𝐸𝐺
2. On a 𝐷𝐸𝐺
̂ = 𝐷𝐸𝐺
̂ + 𝐷𝐸𝐻
̂
Par suite 𝐻𝐸𝐺
̂ = 58° − 32° = 𝟐𝟔°.
C’est-à-dire 𝑯𝑬𝑮
3. La droite (DG) est sécante aux deux droites (DF) et (EG).
̂ sont deux angles
̂ 𝑒𝑡 𝐹𝐸𝐺
D’où les deux angles 𝐷𝐹𝐸
alternes internes. Mais comme ils n’ont pas la même
mesure, alors les deux droites (DF) et (EG) ne sont pas
parallèles.
Correction de l’exercice 5 :
1. [EB] est le diamètre du cercle
de centre O et C est un point
du cercle, par suite le triangle
EBC est rectangle en C.
C’est-à-dire
̂ = 𝟗𝟎°
𝑩𝑪𝑬
2. (BC) est perpendiculaire à (EC) et
(AD) est perpendiculaire à (EC). D’où
les deux droites (BC) et (AD) sont parallèles.
3. La droite (BE) est sécante aux deux droites parallèles
(BC) et (AD). D’où les deux angles correspondants
̂ 𝑒𝑡 𝑀𝑂𝐸
̂ ont la même mesure.
𝐶𝐵𝐸
Par suite
̂ = 𝐶𝐵𝐸
̂ = 70°
𝑀𝑂𝐸
̂ est un angle au centre qui intercepte
D’autre part, 𝑀𝑂𝐸
̂ est un angle inscrit qui intercepte le
l’arc DE et 𝐷𝐴𝐸
même arc. D’où
̂ = 2 × 𝐷𝐴𝐸
̂
𝑀𝑂𝐸
Ce qui implique que
̂ = 𝟑𝟓°
𝑫𝑨𝑬
4. On sait que OE et OA sont deux rayons du cercle de centre
O. Par suite OE=OA. Ce qui implique que le triangle OEA
est un triangle isocèle en O.
5. Comme le triangle OEA est isocèle en O, alors
̂ = 𝐴𝐸𝑂
̂
𝑂𝐴𝐸
C’est-à-dire
̂ = 𝟑𝟓°
𝑨𝑬𝑶
6. Le triangle AED est rectangle en E car [AD] est le diamètre
du cercle de centre O et E un point du cercle. Par suite
̂ + 𝐴𝐸𝐷
̂ + 𝐸𝐷𝐴
̂ = 180°
𝐷𝐴𝐸
C’est-à-dire
̂ = 180°
35° + 90° + 𝐸𝐷𝐴
D’où
̂ = 55°
𝐸𝐷𝐴
D’autre part, dans le triangle EDM, on a
̂ + 𝐸𝐷𝑀
̂ + 𝑀𝐸𝐷
̂ = 180°
𝐸𝑀𝐷
C’est-à-dire
̂ = 180°
90° + 55° + 𝑀𝐸𝐷
D’où
̂ = 𝟑𝟓°
𝑴𝑬𝑫