mecanique

G.P. Mécanique 2013
MÉCANIQUE
Sommaire
Chap 0: Cinématique............................................................................................................................5
I.Référentiel, repère, base.................................................................................................................5
A.Référentiel d'étude...................................................................................................................5
B.Repère d'espace.......................................................................................................................5
C.Base.........................................................................................................................................6
II.Rappels de cinématique................................................................................................................6
A.Dérivée d'un vecteur de norme constante................................................................................6
B.Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne..................................................................7
C.Vitesse et accélération d'un mouvement circulaire..................................................................7
1Vitesse.....................................................................................................................................7
2Accélération:...........................................................................................................................7
D.Vitesse en cylindriques et sphériques......................................................................................8
1En cylindriques.......................................................................................................................8
2En sphériques..........................................................................................................................8
E.Formules de Binet....................................................................................................................8
1Rayon vecteur.........................................................................................................................8
2Vitesse.....................................................................................................................................8
3Accélération............................................................................................................................9
F.Vitesse d'un point d'un solide...................................................................................................9
1Formule fondamentale............................................................................................................9
2Cas d'un solide en rotation......................................................................................................9
3Centre instantané de rotation..................................................................................................9
G.Accélération d'un point d'un solide.........................................................................................9
H.Composition de mouvement: mouvement d'entrainement....................................................10
1Entrainement.........................................................................................................................11
a)Vitesse...........................................................................................................................11
b)Accélération..................................................................................................................12
2Mouvement relatif................................................................................................................12
a)Vitesse...........................................................................................................................12
b)Accélération..................................................................................................................12
3Coriolis.................................................................................................................................12
III.Glissement et non glissement (Exemple)..................................................................................12
1Condition de non glissement:...............................................................................................13
2Vitesse d'un point de la roue.................................................................................................13
3Approche par composition de mouvement...........................................................................13
Chap 1: Mécanique des systèmes.......................................................................................................16
I.Point matériel...............................................................................................................................16
A.Cinétique...............................................................................................................................16
1Grandeurs cinétiques............................................................................................................16
2Dérivée des grandeurs cinétiques.........................................................................................16
B.Dynamique............................................................................................................................17
1Existence des référentiels galiléens......................................................................................17
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2Principe fondamental de la dynamique................................................................................17
a)Énoncé..........................................................................................................................17
b)Principe dans un référentiel non galiléen.....................................................................17
c)Conservation de la quantité de mouvement pour un point isolé...................................17
3Le théorème du moment cinétique ......................................................................................17
a)Le théorème du moment cinétique en un point............................................................17
b)Démonstration du théorème.........................................................................................18
c)Conservation du moment cinétique en un point si les forces sont centrales................18
d)Conséquences pour un mouvement à force centrale....................................................18
e)Le théorème du moment cinétique en projection.........................................................18
f)Démonstration du théorème du moment cinétique en projection.................................19
g)Conservation du moment cinétique par rapport à l'axe si les forces sont axiales........20
4Cas des référentiels non galiléens.........................................................................................20
C.Énergétique............................................................................................................................21
1Théorème de la puissance cinétique.....................................................................................21
2Force conservative et énergie potentielle.............................................................................22
3Énergie mécanique totale......................................................................................................22
4Intégrale première de l'énergie.............................................................................................22
5Exemple: conservation de l'énergie pour une masse accrochée à un ressort........................23
a)L'énergie potentielle élastique......................................................................................23
b)L'énergie potentielle de pesanteur................................................................................23
c)L'énergie potentielle totale............................................................................................23
6Référentiel non galiléen : travail des forces d'inertie...........................................................24
D.Complément: stabilité d'un équilibre....................................................................................24
1Force et énergie potentielle...................................................................................................25
2La position d'équilibre..........................................................................................................25
3Étude de stabilité:.................................................................................................................25
a)Définition......................................................................................................................25
b)Étude dans le cas où la dérivée première de la force est différente de zéro.................26
c)Étude dans le cas où la dérivée première de la force est nulle.....................................28
E.Complément: énergie potentielle effective............................................................................28
1La force.................................................................................................................................29
2Les intégrales premières.......................................................................................................29
a)Il y conservation du moment cinétique.........................................................................29
b)Il y conservation de l'énergie........................................................................................29
3L'énergie potentielle effective..............................................................................................29
II.Système à deux points ................................................................................................................30
A.Les deux points fictifs G et P................................................................................................30
1Définition..............................................................................................................................30
2Des notations utilisées ici.....................................................................................................30
3Les positions de G et de P....................................................................................................31
B.Cinétique...............................................................................................................................31
1Grandeurs cinétiques............................................................................................................32
a)Quantité de mouvement................................................................................................32
b)Moment cinétique.........................................................................................................33
c)Énergie cinétique..........................................................................................................34
C.Dynamique............................................................................................................................35
1Actions..................................................................................................................................35
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G.P. Mécanique 2013
2Théorème de la résultante cinétique.....................................................................................36
3Théorème du moment cinétique...........................................................................................36
4Système de deux points isolés ou problème à deux corps....................................................37
a)Théorème de la résultante cinétique.............................................................................37
b)Théorème du moment cinétique...................................................................................37
c)Mouvement du mobile réduit.......................................................................................38
D.Énergétique............................................................................................................................38
1Travail des forces intérieures................................................................................................38
2Théorème de la puissance cinétique.....................................................................................39
3Énergie mécanique totale......................................................................................................39
4Système de deux points isolés ou problème à deux corps....................................................39
III.Système quelconque..................................................................................................................40
A.Cinétique...............................................................................................................................40
1Centre de masse ou centre d'inertie ou barycentre...............................................................40
2Grandeurs cinétiques et théorèmes de König.......................................................................40
a)Quantité de mouvement................................................................................................40
b)Moment cinétique.........................................................................................................40
c)Énergie cinétique..........................................................................................................42
3Dérivée des grandeurs cinétiques.........................................................................................42
B.Dynamique............................................................................................................................43
1Actions..................................................................................................................................43
a)Actions intérieures........................................................................................................43
b)Actions extérieures.......................................................................................................43
c)Exemple de force: tension d'un fil vertical...................................................................43
2Postulation tensorielle..........................................................................................................44
3Les théorèmes de base..........................................................................................................45
a)Le théorème de la résultante cinétique:........................................................................45
b)Le théorème du moment cinétique en un point O fixe:................................................45
c)Le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique:..........................45
d)Le théorème du moment cinétique en projection sur un axe fixe:...............................45
e)Le théorème du moment cinétique en projection sur un axe de direction fixe:............46
4Complément: théorème du moment cinétique......................................................................47
C.Énergétique ...........................................................................................................................49
Chap 2: Mécanique du solide.............................................................................................................50
I.Cinétique du solide.......................................................................................................................50
A.Préliminaire...........................................................................................................................50
1Moment cinétique en O........................................................................................................50
2Énergie cinétique..................................................................................................................50
B.Moment d'inertie....................................................................................................................51
C.Moment cinétique pour un solide ayant un point de vitesse nulle........................................51
D.Énergie cinétique pour un solide ayant un point de vitesse nulle.........................................51
E.Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique.........................................................52
II.Dynamique..................................................................................................................................52
A.Lois de Coulomb...................................................................................................................52
1En cas de non glissement......................................................................................................52
2En cas de glissement.............................................................................................................53
B.Le cas particulier du solide en rotation: utilisation du théorème du moment cinétique en
projection..................................................................................................................................53
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G.P. Mécanique 2013
III.Énergétique................................................................................................................................54
A.Le travail pour une répartition de forces. Cas particulier du solide......................................54
1La formule............................................................................................................................54
2Les quatre cas particuliers....................................................................................................55
3Le travail des actions intérieures pour un solide..................................................................55
B.Actions de contact, liaisons...................................................................................................55
1Puissance totale des actions de contact.................................................................................55
2Cas du contact ponctuel .......................................................................................................56
3Liaisons.................................................................................................................................56
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G.P. Mécanique 2013
Chap 0: Cinématique
I. Référentiel, repère, base
Un mouvement est étudié par rapport à un référentiel ( préciser les points par où passe l'objet
étudié, préciser les instants de passage ).
A. Référentiel d'étude
-repère d'espace: origine fixe par rapport à l'observateur et base fixe par rapport à l'observateur
(repère privilégié dans le référentiel)
-repère de temps: origine et durée unité. Pas de problème pour le temps, identique pour tous en
mécanique classique.
La donnée d'un référentiel espace-temps consiste alors souvent à ne préciser qu'un repère d'espace
( « repère de définition » ).
EXEMPLE:
On note
vM/R=
dM
dt
/R
R
est le référentiel.
B. Repère d'espace
Pour faire le calcul, on doit préciser l'origine
O
du repère d'espace privilégié de
R
et la base
fixe
B
du repère d'espace privilégié.
EXEMPLE:
Si O est fixe dans
R
, on aura
vM/R=
dM
dt
/R=
dOM
dt
/B
( on dérive en sachant
que les vecteurs de la base
B
sont de direction fixe dans le référentiel.
En fait, on écrit
vM/R=
dOM
dt
/R
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