sur la demonstration des formules du demi-angle en - E

SUR LA DEMONSTRATION DES FORMULES
DU DEMI-ANGLE EN TRIGONOMÉTRIE PLANE
Autor(en): Redl, Frz.
Objekttyp: Article
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 2 (1900)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-3565
PDF erstellt am: 24.05.2017
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ce polaires de deux points quelconques par rapport aux ellîp
(c soïdes du faisceau Fse coupent suivant une gerbe de droites
ce parallèles. »
Pour terminer, nous mentionnons encore les propositions
suivantes :
ce i° Les sommets de tous les parallélipipèdes circonscrits àun
ce ellipsoïde et dont les faces sont tangentes al'ellipsoïde aux
a- extrémités de trois diamètres conjugués quelconques sont tous
«situés sur un ellipsoïde concentrique homothétique au premier. »
(( 2° Les sommets de tous les cônes circonscrits àun ellipsoïde
«qui limitent avec les plans de leurs ellipses de contact des
«solides de volume donné, sont tous situés sur un second ellip
(( soïde, concentrique, homothétique au premier. »ißeye.)
Pour démontrer ces Jeux propositions, nous n'avons qu'à
allier les ellipsoïdes àdes sphères. Dans le premier cas nous
trouverons comme lieu des sommets des cubes correspondant
aux parallélépipèdes, une sphère concentrique àla première ;et
de même les sommets des cônes circonscrits àla sphère corres
pondant aux cônes circonscrits àYellipsoïde sont situés sur une
sphère concentrique àla première.DrKilbinger (Mulhouse)
SUR LA DEMONSTRATION
DES FORMULES DU DEMI-ANGLE
EN TRIGONOMÉTRIE PLANE
Le théorème de Larnot résout en principe le problème fonda
mental de la Trigonométrie, qui consiste àdéterminer les angles
d'un triangle dont on connaît les trois côtés. Toutefois la for
mule obtenue ne se prête guère au calcul logarithmique ;aussi
en déduit-on d'ordinaire les formules dites du demi-angle, en
avant recours àdes transformations algébriques.

C'est, je crois, àM. Fred. Mcyer, professeur au Gymnase de
Halle, qu'on doit le premier essai f1)f 1)d'arriver directement àces
dernières formules, par des considérations purement géomé
triques.
Un peu plus tard M. Korschel donna (") une démonstration
analogue àcelle de M. Me ver.
La méthode que je me propose d'exposer ici et qui conduit
aux formules du demi-angle par une voie purement géométrique,
nie semble plus importante que celle de Mever, laiit au point de
vue pédagogique, qu'au point de vue scientifique, lin effet, elle
n'exige aucun théorème auxiliaire ;la démonstration est absolu
ment analogue pour les trois iormules et, correspondant ainsi à
leurs constructions, met bien en lumière leur étroite parenté ;la
ligure sur laquelle elle se base aune grande importance géomé
trique, puisque Je triangle AJ3C est précisément le triangle ayanl
pour sommets les pieds des hauteurs du triangle O1O 1()?()., ;enfin,
par cette méthode il est toujours facile de retrouver la démons
tration de Tune quelconque des formules. Mais, arrivons au fait.
Menons les bissectrices tant intérieures <pfextérieures du
triai!g1le donné ABC (voir la ligure); soit AO1? 80, et (XX les
(') Voir sa note publiée dans la ZeiiscJirijl /'. math. n. iiulurw. l'iiterriclit.
îiimée 1887, p. '.>,() 5cl 'à(')6.
(") (lïideiT. Zcilsclirifl fur dus lieahcliulwesen, année 189'î, ]) ./|Gd, \(\\.

trois bissectrices intérieures, O2O 2O3.030 301et 0^ ies trois bissee
cc 6il
triées extérieures, soient encore ?, -1-,?ies demi-angles du
triangle ABC.
i. Pour trouver la valeur de sin2?, il suffit de comparer les
deux triangles semblables OCO, et OB(X ;le premier nous donne
.aOC .. ,„.a°OB „7.
sm ?=7T-,et le deuxième sm ??=???;on en déduit, en
12 00, 200., '
multipliant membre àmembre :
Si, d'autre part, on projette les points 0et O3O 3sur Yan des
cotés CB ou CA, on voit que
cm désignant par 5le demi-périmètre du triangle ;de même si
l'on projette les points 0et 0,, sur l'un des côtés BA ou BC, on
voit que
Substituant ces valeurs dans l'expression de siir -^? ?on a
en (in :
2. En employant les triangles OCO2et C^BO,, on arrivera
d'une façon analogue àla formale de cos2?.
2
On a^ en effet, dans le triangle OCO., :
et dans le triangle C^BO., :
d'où, par multiplication :

Projetant les points O1O 1et O2O 2sur CB ou CA, les points 0et 0,
sur BC ou BA, on trouve :
ce qui donne la formule cherchée
3. Enfin, pour trouver tg ??,il sa(11 1de considérer les trian
gles OCO., et OjCCp qui nous donnent :
mais
ainsi qu'on le reconnaît aisément par projection ;cToù il suit
On obtiendrait plus rapidement cette dernière formule en
formant le quotient ?,mais je tenais tout dabord amontrer
COS~ ?
la généralité de la méthode, en rappliquant aussi àce cas, et à
indiquer ensuite un nouveau moyen de déterminer p;il suffit,
en elFet, pour l'obtenir de remplacer dans la dernière formule
ao
tg ?par ..???-?
Reste maintenant àexposer brièvement que celte méthode
fournit un moyen mémnotechnique pour retrouver ces formules ;
il repose sur la définition même des fonctions trigonométriques.
Par exemple :pour trouver le second triangle qui, avec 0C0.,,
nous donnera la démonstration de la formule du sin ?son pro
'A
longe dans le triangle 0C0.,, le côté opposé à?et l'hypoténuse,
et l'on obtient le triangle OBO3.Pour cos ?,on prolongerait le
coté adjacent à?et l'hypoténuse et pour tg??, les deux cotés de
l'angle droit.