RANDOM dans une application Tableur et Listes
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RANDOM dans une application Calculs 1. Ouvrir une application de Calculs : Soit en choisissant l’option Ajouter-Calculs sur l’écran de bienvenue ou l’écran vierge Soit par le menu Insertion Calculs. En bordure supérieure de cette page de travail, les menus de l’application de calculs apparaissent . Les calculatrices disposent de «pseudo-générateurs » de nombres aléatoires, avec des commandes de type random. Cependant, si les calculatrices sont complètement neuves et n’ont pas encore été utilisées, les nombres aléatoires fournis sont les mêmes pour toutes les calculatrices, d’où le préfixe pseudo. Ces commandes se trouvent à la rubrique Nombre aléatoire sous la 5e icône, Probabilité. Nombre aléatoire entre 0 et 1 rand() Nombre aléatoire entier entre a et b, randInt(a,b) Nombre aléatoire satisfaisant aux paramètres d’une loi binomiale donnée randBin(n,p) Nombre aléatoire satisfaisant aux paramètres d’une loi normale donnée randNorm(µ,σ) Nombre aléatoire tiré dans une liste déjà encodée et nommée randSamp(liste, nombre d’essais) Initialiser la génération de nombres aléatoires Randseed nombre T³ Wallonie Michelle Solhosse 1 2. Jet d’un dé Pour simuler le jet d’un dé, on utilise la commande Nombre aléatoire – Entier, en précisant les bornes, 1 et 6 dans ce cas. • Ecrire dans l’écran de Calculs, randInt(1,6) puis ENTER. • Répéter plusieurs fois par ENTER. On obtient des résultats de ce type : Lors de 200 lancers de dé, on souhaite conserver les résultats afin d’étudier la série statistique obtenue. • la commande à encoder est alors randInt(1,6, 200) • conserver les résultats dans une liste à l’aide de la « flèche » (utilitaires-symboles) puis d’un nom. 3. Etude des résultats On peut obtenir directement les caractéristiques statistiques habituelles dans ce même écran de calcul. T³ Wallonie Michelle Solhosse • Utiliser la commande Calculs statistiques sous l’icône Statistiques. • Choisir Statistiques à une variable. • Dans la boîte de dialogue qui s’ouvre, préciser le nombre de listes (ici, 1). 2 • Préciser la liste concernée soit en tapant son nom à côté de L1, soit en utilisant la flèche à côté de cette zone pour sélectionner le nom de la liste concernée. • Clic sur OK et ……voilà ! Avec les élèves, constater que les résultats, et notamment la moyenne, sont tous différents et expliquer pourquoi ! 4. Graphique des résultats Ouvrir une nouvelle application Insertion – Données et statistiques. Les menus de cette application sont repris sous les icônes suivantes : • Dans la zone en bas de l’écran graphique qui vient de s’ouvrir, cliquer et choisir la liste concernée, dé Automatiquement, le comptage est fait. Un graphique de petites boules apparaît. Chaque « valeur» du dé est affichée avec un nombre de petites boules égal à son effectif. Impossible cependant de savoir combien de boules ….. (sauf si on a la patience de les compter !). T³ Wallonie Michelle Solhosse 3 La transformation de ce diagramme en « bâtons » par la commande « histogramme » va résoudre ce problème. • Clic droit dans l’écran et choisir Histogramme ou 1/ Type de tracé-3 : Histogramme Il est visible que chaque valeur n’apparaît pas un nombre égal de fois. On peut ajouter à ce graphique la fonction constante f 1( x ) = 200 à l’aide de la commande Tracer la fonction du 6 menu Actions. RANDOM dans une application Tableur et Listes 1. Jet de deux dés et somme des points De la même façon que précédemment, on peut réaliser l’expérience de la somme des points de deux dés, répéter cette expérience 200 fois et conserver les résultats pour étudier la série obtenue. Cependant, faisons cette expérience dans l’application Tableur et Listes • dans la zone grise de la colonne A, encoder =randInt(1,6, 200) • dans la zone grise de la colonne B, encoder =randInt(1,6, 200) (ou copier-coller la formule de la colonne A) • dans la zone grise de la colonne C, encoder = a+b • en tête de la colonne C, choisir de la nommer : par exemple dés • avec Statistiques - Calculs statistiques - Statistiques à une variable, préciser la liste sur laquelle on travaille : dés et choisir la colonne qui va recevoir les résultats. T³ Wallonie Michelle Solhosse 4 2. Graphique de la somme des points • Choisir 3 : Données – 4 : Graphe rapide. L’écran est alors divisé en deux parties et la fenêtre de Données et statistiques est ouverte. S’il n’y a pas d’ambigüité, le nom de la variable est déjà présent. • Modifier (éventuellement) le diagramme obtenu en histogramme. L’avantage du tableur par rapport à l’application calculs est la facilité de recommencer d’autre lancers par la commande CTRL-R et d’observer les fluctuations d’échantillonnage. T³ Wallonie Michelle Solhosse 5 Associer Tableur et Listes avec Données et statistiques 1. Enoncé du problème : (collection Terracher TS) Lorsque les éléphants sautent en parachute au-dessus de la savane, ils chaussent des raquettes afin de ne pas s’enliser à l’atterrissage. Il existe des petites raquettes à chausser aux quatre pattes et des grandes raquettes à chausser aux pattes arrières. Malheureusement, la probabilité pour qu’une raquette, petite ou grande, se détache pendant le saut existe et vaut p. Lorsqu’à l’atterrissage un éléphant a perdu plus de la moitié de son équipement, il s’enlise. Faut-il lui conseiller les petites ou les grandes raquettes ? 2. Simulations Un premier groupe de 200 éléphants saute avec 4 petites raquettes. Le nombre de raquettes perdues lors du vol est une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p . Choisissons une valeur pour p, soit 0.2 et avec la commande randbin simulons la situation. • Sous l’onglet Mise en page, choisir de séparer l’écran en deux verticalement. • Dans une application Tableur & listes, choisir la valeur de p à placer en A2 ; ensuite remplir la colonne B par randbin(4, A2, 200) (puis ENTER) comme ci-dessous : • Nommer alors la colonne dans la zone blanche. Passer dans la seconde partie de l’écran et y insérer une application Données & statistiques, représenter cette série de données. • Le diagramme obtenu (petites boules) est inutilisable pour la suite, le transformer en histogramme avec le menu 1 : Type de tracé- 3 : Histogramme. T³ Wallonie Michelle Solhosse 6 • Modifier l’histogramme afin de le transformer en diagramme en bâtons par un clic droit puis 5 : Réglage des rectangles. • Modifier également l’échelle en pourcentages. Pour modifier aisément la valeur de p et observer les différentes distributions possibles, insérer un curseur dans la fenêtre Données & statistiques et le nommer p. • Ceci se fait par le menu 3 : Actions- 4 :Insérer un curseur. Modifier les réglages du curseur afin que p représente une probabilité qui variera de 0 à 1 par pas de 0.05. • Remplacer alors le contenu de la cellule A2 par p. Les données du tableur et celles du graphique sont alors liées et varient en même temps. Un second groupe de 200 éléphants saute avec deux grandes raquettes. Le nombre de raquettes perdues lors du vol est une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n = 2 et p . Faire le même travail dans une autre colonne du tableur et représenter dans une application Données et statistiques, en dessous de la précédente. T³ Wallonie Michelle Solhosse 7 3. Calculs Un éléphant du groupe 1 s’enlise s’il perd 3 ou 4 raquettes. La probabilité pour que cela arrive est : P = p ( X = 3) + p ( X = 4) soit P = C43 p3 (1− p ) + C44 p 4 Un éléphant du groupe 1 s’enlise s’il perd 2 raquettes. La probabilité pour que cela arrive est : Q = p2 On peut effectuer ces calculs dans une application calculs et résoudre l’inéquation P ≤ Q ou encore P − Q ≤ 0 . Attention : dans l’application calcul, ne pas prendre la variable p pour faire le travail, car p est la variable « curseur ». Les résultats sont donc : • Si p = 0 , tout va bien ! • Si p = 1 , tout va mal !!!! • Si p = • • 1 1 , P =Q = 3 9 1 Si 0 < p < , P < Q et les petites raquettes sont plus sures. 3 1 Si < p < 1, P > Q et les grandes raquettes sont plus sures. 3 Il faut donc conseiller aux éléphants de se renseigner chez le fabricant sur la probabilité de ruptures des attaches des raquettes !!! T³ Wallonie Michelle Solhosse 8
