triangle rectangle et perpendicularite : on vous dit tout

Blanche Heisler – [e-mail] 1
I – l’égalité de Pythagore : rappels
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC²=AB²+AC²
1°) l’égalité de Pythagore pour calculer une longueur inconnue d’un triangle
rectangle
On sait que ABC est un triangle rectangle en A.
Or d’après l’égalité de Pythagore BC²=AB²+AC².
Donc BC² = 9² + 12²
BC² = 81 + 144
BC² = 225
BC = 
BC = 15
On sait que ROF est un triangle rectangle en R.
Or d’après l’égalité de Pythagore FO²=OR²+FR².
Donc 9,7² = OR² + 7,2²
94,09 = OR² + 51,84
OR² = 94,09 – 51,84
OR² = 42,25
OR = 
OR = 6,5
2°) l’égalité pour vérifier qu’un triangle est ou n’est pas rectangle
Dans le triangle LMN, NL est le côté le plus long.
On a NL² = 8,5² = 72,25
On a aussi : LM² + MN² = 3,6² + 7,8² = 12,96 + 60,84 = 73,8.
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée donc le triangle LMN n’est
pas un triangle rectangle.
Soit un triangle ABC tel que AB=21, AC=29 et BC=20.
Ce triangle est-il un triangle rectangle ?
Dans le triangle ABC, AC est le côté le plus long.
On a AC²=29²=841.
On a aussi : AB² + BC² = 21² + 20² = 441 + 400 = 841.
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
A
C
B
R
F
O
N
M
L
3,6
8,5
7,8
7,8
?
12
9
?
7,2
?

Blanche Heisler – [e-mail] 2
II – Prouver qu’un triangle est rectangle – prouver la perpendicularité
1°) Les mots pour le dire
Toutes les propositions suivantes parlent du même phénomène : la perpendicularité.
(AB) ┴ (d) La droite (AD) est perpendiculaire à la droite (d).
La droite (AD) fait un angle droit avec la droite (d).
La droite (AD) et la droite (d) sont perpendiculaires.
La droite (AD) et la droite (d) sont orthogonales.
La droite (AD) et la droite (d) forment un angle de 90°
D’autres mots encore seront à découvrir au lycée.
2°) Triangle inscrit dans un cercle
ABC sont 3 points distincts.
Si le point A est sur le cercle de diamètre [BC] alors ABC est un triangle
rectangle en A.
Conséquence :
Dans un triangle, si la médiane relative à 1 côté mesure la moitié de côté,
alors ce triangle est rectangle.
(cela signifie que la longueur de la médiane est égal au rayon du cercle
circonscrit, et par conséquent que le triangle est rectangle)
3°) Rappel des autres cas possibles où intervient la perpendicularité
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
Pour prouver qu’une droite est la médiatrice d’un segment, on peut prouver que cette droite est un axe de
symétrie du segment (non confondu avec le segment) ou bien que chaque point de la droite est à égale distance
des extrémités du segment.
Un losange est un quadrilatère dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.
Pour prouver qu’un quadrilatère est un rectangle, on peut prouver que ses 4 côtés sont de la même longueur ;
ou bien prouver que c’est un parallélogramme avec 2 côtés consécutifs de même longueur…
Un rectangle est un quadrilatère dont les 4 angles sont droits.
Pour prouver qu’un quadrilatère est un rectangle, on peut prouver que ses diagonales sont de même longueur
et se coupent en leur milieu ; ou bien prouver que c’est un parallélogramme avec un angle droit ; ou bien
prouver que c’est un quadrilatère avec 3 angles droits…
Un carré est à la fois un losange et un rectangle et possède donc toutes leurs propriétés réunies.

Blanche Heisler – [e-mail] 3
III – Trigonométrie (trigone = polygone à 3 côtés = triangle)
1°) étude dans le triangle rectangle
Activité : les triangles suivants ont été agrandis ou rétrécis à la photocopieuse :
Que peux-tu dire des angles pour chaque taille de triangle ?
(juste pour ta culture générale, de tels triangles sont appelés triangles « semblables » : ils ont les mêmes angles,
mais pas les mêmes dimensions)
En prenant les mesures sur les figures, remplis le tableau ci-dessous :
Triangle
 (=
)
en °degrés
Moyen
Grand
Petit
Avec la calculatrice en mode DEG (voir plus loin), calcule le cosinus de l’angle en appuyant sur la touche COS
puis en tapant l’angle mesuré.
Que remarques-tu ?

Blanche Heisler – [e-mail] 4
2°) le cosinus d’un angle aigu
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle (aigu) par la longueur de l’hypoténuse.
La calculatrice donne des valeurs approchées comme par exemple :
Cos 40°  0,766
Comment mettre une calculatrice scientifique collège en mode DEG (degrés) ?
Pour la casio (vert-bleu)
SECONDE puis CONFIG puis 3 : DEG
Pour la TI (orangé-rouge ou bleue)
MODE puis DEG
Pour tester si ça a marché : vérifier que cos (60) = 
Pour la culture générale : le mode RAD correspond aux mesures d’angles en RADIANS. Il sera étudié au lycée.
Le mode GRA ou GRAD correspond aux mesures d’angles en GRADES. C’est une mesure inventée lors de la
révolution française et qui n’est pratiquement plus utilisée aujourd’hui.
Propriété :
Le cosinus d’un angle aigu est toujours strictement compris entre 0 et 1.
ATTENTION ! C’est un bon truc pour vérifier qu’on travaille bien avec un angle aigu, car sinon le cosinus peut
être négatif ou nul ou égal à 1.
Remarque : le cosinus est un rapport de 2 grandeurs identiques et il n’a donc pas d’unité.
A quoi ça sert ?
- Calculer une longueur inconnue d’un triangle rectangle à condition de connaître la mesure d’un angle
aigu et la longueur d’un des côtés du triangle.
Exemple : Soit un triangle ABC rectangle en A tel que 
 = 30° et BC = 5cm.
Calculer AB.

Blanche Heisler – [e-mail] 5
- Trouver la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle.
Si on connait le cosinus d’un angle, on peut trouver la mesure de l’angle à l’aide de la touche ARCCOS de
la calculatrice.
Exemple : Dans le triangle KLM rectangle en K on a LM = 12 et KL = 3.
Quelle est la mesure de l’angle 
 ?
 est l’angle dont le cosinus vaut 0,25.
Exemple qui demande une petite adaptation :
Dans le triangle ABC rectangle en B, on cherche la longueur du côté opposé à l’angle 
.
On doit donc appliquer d’abord la propriété : les trois angles de tous les triangles sont supplémentaires
afin de connaître la mesure de l’angle aigu : 
.
Une autre méthode de résolution de ce cas de figure est donnée au paragraphe suivant.