Exercice 1 – Tracé de rayons Cas 1 : Optique de relais Cas 2 : La

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OPTICS II
Section de Physique
Cours: Pr. Romuald Houdré
Exercices: Nicolas Descharmes
Série 1 - corrigé
Rappels d’optique géométrique
20 février 2012
Exercice 1 – Tracé de rayons
Cas 1 : Optique de relais
γt =
Cas 2 : La loupe
€
€
A' B'
f
= 1
AB
f2
2
γt =
1
O1F1 '
=
O A O1 A + O1F1 '
1+ 1
O1F1 '
Remarques :
€
1- Tel que représenté sur la figure O1 A est une quantité négative (la convention usuelle fixe
€
le sens positif comme
allant de la gauche vers la droite). Plusieurs cas peuvent être
envisagés: Pour O1 A < O1F1 ' = −O1F1 , γ t > 1, si maintenant on place l’objet AB en F1, alors
γ t → + ∞ et l’image virtuelle est à l’infini. Si finalement on place l’objet AB au delà de
€
F1, alors d’une part l’image intermédiaire deviendra réelle, le grandissement sera inversé
et il deviendra difficile, selon la longueur focale de la loupe, pour le cristallin de former
€
€
une image nette sur la rétine.
2- On remarque que l’usage de la loupe permet la création d’une image intermédiaire
agrandie de l’objet. Toutefois, la position de cette image est différente de celle de l’objet
étudié. Le grandissement transverse n’est alors plus une bonne mesure du pouvoir
« grossissant » de la loupe. De ce fait, il est généralement plus judicieux de qualifier ce
dernier en terme de grandissement angulaire qui, lui, est indépendant de la distance de
formation de l’image.
3
Cas 3 : Téléobjectif
L’intérêt principal d’un téléobjectif (association d’une lentille convergente et divergente comme
schématisée dans cet exercice) est d’obtenir un objectif photographique à très longue focale
(typiquement de 100 mm à 500 mm, mais pouvant aller jusqu’à plus de 1000 mm) sans devoir
placer la lentille objectif à 500 mm (ou 1 mètre !) du capteur pour autant, ce qui serait très peu
pratique et à la fois, très encombrant.
Exercice 2 – Points cardinaux
a) Soient les points Y1 et Y2 appartenant aux plans objet et image respectivement. De façon
⎡ y 2 ⎤ ⎡A B⎤ ⎡ y1 ⎤
générale on a ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎢ ⎥. Les plans ici considérés étant conjugués, les points
⎣n'θ 2 ⎦ ⎣C D⎦ ⎣nθ1⎦
Y1 et Y2 sont stigmatiques, i.e. tous les faisceaux émergeant de Y1 passent par Y2, d’où
⎡A 0 ⎤
T(A1A1’)= ⎢
⎥
⎣C D⎦
€
b) Grandissement transverse γt= y 2 / y1 = A
Grandissement angulaire γa= θ 2 /θ1 = n /n'×D
€
€
€
4
⎡γ t
T(A1A1’)= ⎢
⎣C
0 ⎤
⎥
γ a ⎦
c) Quand on multiplie T(A1A1’) par une matrice de déplacement d quelconque le long de
⎡1 d /n⎤
l’axe optique ⎢
⎥ , le coefficient C reste inchangé, i.e est invariant. On peut donc
€
⎣0 1 ⎦
posé C=-V (Vergence)
⎡ γ t
T(A1A1’)= ⎢
€
⎣−V
€
0 ⎤
⎥
γ a ⎦
⎡1 −d /n⎤
d) En faisant le produit des trois matrices T(A2A1)= ⎢
⎥, T(A1A1’) et T(A1’A2)=
1 ⎦
⎣0
⎡€
1 d' /n'⎤
⎢
⎥ on obtient:
1 ⎦
⎣0
⎡
d'
d
d ʹ′
dd ʹ′⎤€
γ
−
V
−
γ
+
γ
+
V
t
a
⎢ t
n'
n
n
nn ʹ′⎥
T(A2A2’)= ⎢
⎥
n ʹ′
d
γa + V
⎢ −V
⎥
⎣
⎦
n
n
Les plans repérés par A2 et A2’ sont conjugué si −γ t
d
d ʹ′
dd ʹ′
=0
+ γa + V
n
n
nn ʹ′
€
γ
γ
V
1
On en déduit la relation de conjugaison a − t = − = −
d d ʹ′
n ʹ′
f ʹ′
€
d'
On remarquera que les nouveaux grandissements transverse et angulaire sont γ t − V
et
n'
n ʹ′
d
γ a + V respectivement. €
n
n
e) Soit xo et xi les positions objet et image définies par rapport à H et H’€respectivement.
Comme γt=1, on obtient
€
γa 1
1
− = − en utilisant la question précédente
xo xi
f ʹ′
La relation d’Abbe (condition d’aplanatisme) s’écrit n ⋅ y1 ⋅ θ1 = n'⋅y 2 ⋅ θ 2 . On en déduit la
n
relation importante γ t × γ a = 1
n'
€
n / n ʹ′ 1
1
€
− = − relation bien connue pour
d’où
une lentille mince où H=H’
xo
xi
f ʹ′
€
€
⎡ 1
T(HH’)= ⎢
⎣−V
0 ⎤
⎥
n' /n⎦
f) Par définition F’ est l’image d’un point objet à l’infini xo → ∞ . A partir de la relation de
€conjugaison on obtient xi= H ʹ′F ʹ′ = f ʹ′
€
€
5
De même HF = −n / n ʹ′f ʹ′ = f
g) En utilisant de nouveau la relation de conjugaison on trouve HN = H ʹ′N ʹ′ = f + f ʹ′ .
€
€
h) En utilisant la formule de passage pour les grandissements obtenus à la question d) on a:
€
d'
H ʹ′S
n ʹ′
d
HE
et D = γ a + V = 1+ V€
A = γ t − V = 1− V
€(entre les plans principaux γ t =1
n'
n'
n
n
n
n'
et γ a = )
n
€
€
On en déduit EH = f (D −1) et SH ʹ′ = f '(A −1)
Ces relations nous montrent que la connaissance de la matrice de transfert d’un
système optique entre E et S permet de déduire immédiatement H et H’.
€
€
Relations importantes:
€
€
EH = f (D −1)
SH ʹ′ = f '(A −1)
H ʹ′F ʹ′ = f ʹ′
HF = −n / n ʹ′f ʹ′ = f
⎡A B⎤
avec T(ES)= ⎢
⎥
⎣C D⎦
€ repérés à partir des points principaux !
Les points focaux sont
€
⎡ γ t 0 ⎤
n
n ʹ′
T(A1A1’)= ⎢
γt × γa = 1
V=
⎥€
n'
f ʹ′
⎣−V γ a ⎦
Important: Tout système optique se ramène à la connaissance de la position des points
€
€ (F et F’). La connaissance de H, H’, F et F’
€ points principaux
cardinaux:
(H et H’) et foyers
permet la détermination de tous les rayons traversant le système.
(Remarque: à la place des points H, H’, F et F’ on peut évidement choisir comme autre
combinaison les points N, N’, F et F’ par exemple.)
6
Deux exemples de construction d’image à l’aide des points cardinaux :
Exercice 3 (supplément) – Le télescope de Cassegrain
1. On considère un objet situé à l’infini, dont les rayons entrent dans le télescope,
parallèlement à l’axe optique.
La relation de conjugaison pour les miroirs M1 et M2 nous donne (pour le miroir M1) :
1
2
où A’ est l’image de l’objet situé à l’infini, à travers le miroir M1
=
S1 A' S1C
La même relation de conjugaison appliquée au miroir M2, donne :
€
1
1
2
où A’’ est l’image (réelle) de A’ à travers le miroir M2.
+
=
S2 A' S2 A'' S2C
L’objet étant situé à l’infini, l’image finale (A’’) se forme dans le plan focal image du
télescope : S2 A'' = S2 F' .
€
D’où : S2 F' =
S2 A'. S2C
2. S2 A' − S2C
€
R
En écrivant alors S2 A' = S1 A' − S1S2 = − 1 − S1S2 et avec S1S2 = R2 − R1
2
€ on trouve :
€ R .(R − R1 )
2
2
2
CF' = CS2 + S2 F' = R2 +
(R1 − R2 )
€
Note : on aurait pu obtenir le même résultat en utilisant le formalisme matriciel.
€
7
3
2. F’ sera en S1 si : R1 = R2
2
3. Le rayon parallèle à l’axe optique atteignant l’extérieur de M1 est défléchi vers le foyer de
F1 de M1. Il forme alors un angle α avec l’axe optique. On peut donc en déduire la hauteur
a2 à laquelle
ce rayon atteint le miroir M2 et par conséquent le diamètre d’ouverture
€
a
minimal en fonction de a2. On trouve a2 = 1
3
4. On appelle α2 l’angle formé entre le rayon précédent (réfléchi par M2) et l’axe optique, on
⎛ a ⎞
trouve : α 2 = arctan⎜ 1 ⎟
⎝ R1 ⎠ €
La tache d’Airy que l’on peut observer dans le plan focal image du télescope Cassegrain
aura alors un rayon :
€
λ
RA = 1.22
2n sin α 2
où n est l’indice de réfraction du milieu image (ici n=1).
Application numérique: RA = 5 µm
€
5. En appliquant la même formule dans le sens inverse (nous connaissons RA, a1 et λ) on
trouve que cette même résolution serait atteinte avec un télescope dont le miroir primaire
mesurerait seulement 25 cm de diamètre ! Les capacités de résolution du télescope de 2.4
mètres ne sont donc pas exploitées. La première fonction d'un télescope de grand diamètre
est d'être un collecteur de lumière pour l'observation d'objets très peu lumineux. Ce
problème de limitation de la résolution d’un télescope par les effets atmosphériques est un
défi majeur dans la quête d’instruments de résolution toujours plus élevée. Deux
solutions existent :
-
Construire le télescope en altitude et l’équiper d’un système de correction active
(optique adaptative) exemples : Keck (www.keckobservatory.org), VLT
(www.eso.org/public/teles-instr/vlt.html), GranTeCan (www.gtc.iac.es).
-
Placer le télescope en orbite exemples : Hubble (www.spacetelescope.org
www.nasa.gov/mission_pages/hubble), James Webb Telescope (www.jwst.nasa.gov).
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