Mathematics. - Contribution à la théorie additive des nombres. Par J. G. VAN DER CORPUT. (Première communication). (Communicated at the meeting of February 26, 1938.) Presque tout nombre naturel est un nombre premier augmenté d'un carré, c'est-à-dire, E étant positif et N suffisamment grand, Ie nombre des exceptions -= Nest inférieur à EN. Si g est un nombre naturel donné, presque tout nombre naturel est un nombre premier augmenté de la gièmc puissance d'un nombre naturel; presque tout nombre naturel est un nombre premier diminué de la gième puissance d'un nombre naturel et presque tout nombre naturel est en outre égal à la gièmc puissance d'un nombre naturel diminuée d'un nombre premier. On obtient un résultat encore plus général en considérant un polynöme quelconque non-constant V' (x) à coefficients entiers. Soit G Ie plus grand nombre naturel qui est un diviseur de tous les nombres lp (x) -lP (0), ou x est entier. Presque tout nombre naturel t tel que t-v' (0) soit premier avec G, est un nombre premier augmenté de lp (x), ou x désigne un nombre naturel convenablement choisi. Si Ie terme du degré Ie plus élevé de lp (x) possède un coefficient positif. presque tout nombre naturel t tel que t - lp (0) soit premier avec G, peut être mis sous la forme V' (x) - p, ou x désigne un nombre naturel. p un nombre premier. Quels nombres sont égaux à un nombre premier p > 3 augmenté du carré d'un nombre premier p' > 3? Le nombre p étant un multiple de 6 augmenté de ± 1 et Ie carré p'2 étant un multiple de 6 augmenté de I, seuls les multiples de 6 et les multiples de 6 augmentés de 2 entrent en considération. · Inversement, presque tout multiple positif de 6, et également presque tout multiple positif de 6 augmenté de 2 peut être écrit sous la forme p p'2, ou p et p' désignent des nombres premiers> 3. D'une manière analogue on obtient que presque tout multiple positif de 6, et également presque tout multiple positif de 6 augmenté de 2 est égal au carré d'un nombre premier> 3, diminué d'un nombre premier > 3. Presque tout multiple positif de 6, et également presque tout multiple positif de 6 augmenté de '4 est égal à un nombre premier > 3 diminué du carré d'un nombre premier> 3. Chaque nombre t qui est égal à un nombre premier> 1001. augmenté de la 1000 ième puissance d'un nombre premier> 1001 a la propriété que t-l n'est divisible par aucun des nombres 2, 3, 5, 11, 41. 101 et 251; en effet, tV désignant un de ces sept nombres premiers, la 1000 ièrr.c puissance d'un nombre premier > 1001 est congru à 1 modulo w, Inversement, presque tout nombre naturel t tel que t-l ne soit divisible 15* + 228 par aucun des sept nombres nommés est égal à un nombre premier > 1001 augmenté de la 1000ième puissance d'un nombre premier> 1001. Je me demande maintenant quels nombres t possèdent la forme t P p,9, ou g désigne un nombre naturel donné, p et p' des nombres premiers > g + 1. Désignons par G Ie produit des nombres premiers w tels que w - 1 soit un diviseur de g (Iorsque g lOOD, G est donc Ie produit des sept nombres premiers nommés). Pour tout facteur premier w de G on a = + = 9 p,9 = (p,W-1t- 1 - 1. donc p + p,9 ~ 1 (mod. w), de sorte que seuls les nombres tentrent en considération tels que t-l soit premier avec G. Comme je démontrerai, presque tout nombre naturel t tel que t- 1 soit premier avec G est égal à un nombre premier g 1. augmenté de la gième puissance d'un nombre premier> g 1. Presque tout nombre naturel t tel que t- 1 soit premier avec G est égal à la gièmc puissance d'un nombre premier> g 1. diminué d'un nombre premier > g 1. Presque tout nombre naturel t tel que t 1 soit premier avec G est égal à un nombre premier > g I, diminué de la giérne puissance d'un nombre premier> g 1. Considérons encore un polynöme non~constant ljJ (x) à coefficients entiers. Désignons par E l'ensemble des nombres naturels t tels qu'à tout nombre premier w corresponde au moins un nombre entier y non divisible par w satisfaisant à la condition que t -ljJ (y) ne soit pas divisible par w. Presque tout nombre de Eest égal à un nombre premier augmenté de ljJ (p'), ou p' désigne un nombre premier. Si Ie terme du degré Ie plus élevé de ljJ (x) possède un coefficient positif, presque tout nombre de Eest égal à ljJ (p/)_p, ou p et p' sont des nombres premiers. Finalement je mentionne un résultat d'un caractère un peu différent: presque tout multiple positif de 24 augmenté de 3 est la somme des carrés de trois nombres premiers. Tous ces résultats et en co re beaucoup d'autres résultent du théorème suivant. Il est vrai que Ie texte de cette proposition ressemble beaucoup à celui d'un autre théorème que j'ai publié autre part I), mais les applications sont tout autres. Je considère une suite dénombrable de nombres positifs > + + + + + + + (I') et une suite de nombre nature Is Désignons par V, V' et T trois inter valIes, dont chacun contient au 1) Sur l"hypothèse de GOLDBACH pour presque tous les nombres pairs, Acta Arithmetica, 2, 266-290 (1937), voir p. 268 et 269. Sur deux, trois ou quatre nombres premiers, Première communication, Proc. Royal Netherlands Acad. Amsterdam, 40,846-850 (1937), voir p. 849 et 850. 229 moins un entier. Les sommes 2', I et .' V, V' appartenant respectivement à 2,' sont étendues à tous les entiers, en T, tandis que I est étendu V+II'==t toutes les paires d'entiers v et v', telles que v appartienne à V, que v' appartienne à V' et que v v' soit égal à un nombre donné t. Proposition 1: Conditions. 1. Le nombre Nest ::>- 3 et nous désig~ nons log N par n. Chacun des intervalles V et V' contient N entiers tout au plus. r et r ' désignant des nombres positifs. Pour tout entier v de V et tout entier v' de V I je dé{inis les fonctions r (v). e (v), r' (v') et e' (v'). telles que e' (v') soit en valeur absolue -=: ]". à + (I) 2' I r' (v') 1-==r'N et 2. Le nombre I est ::>- (2) lel(vl+l)-el(v/) l -=:r'. I ,,' et v' v' + 1 da ns V' O. A toute fraction irréductible ~ =- 0 et q correspondent deux nombres ). (-~) et ).' ( : ) tels que les inégalités . 2 I I .<y r (v) e , :a. -). (~) q <1 ~ e (v) I-=: 'Ym r N ql n-m (3) (4) .<y et I I .'<y r' (v') e~2;n;~a.'. - ).' (~) q I e' (v') I-=: 'Ym 1" N ql n- m .'<y (5) , soient véri{iées pour tout nombre naturel m et pour toute valeur réelle de y. 3. Pour tout nombre naturel m et pour tout nombre réel a tels que l'intervalle fermé (a-N-I n'lm, a N-I n'/m) ne contienne aucune fraction à dénominateur positif -== n'lm, on a + I I r' (v') e 2 "irx.' i -== 'Ym .' Sous naturel nombre (1]), tels r'N n- m (6) ces conditions à tout nombre naturel m correspondent un nombre o::=:: m, ne dépendant que de m et de la suite (1]), et aussi un positif Cl' dépendant uniquement de m, de I et des suites (I') et que [n' 1 I IL(t)-A(t) I H(q,t)12-==CI r 2 r'2N3 n - m, (7) q=1 ou L (t) = v+v'==t I r (v) r' (v'), A (t) = .+v'I ==t g (v) e' (v') (8) 230 et H (q. t) = ~ q_1 () a=O q 2' l l' ~ () q 2"iat e - -q-; , (9) (a,q)=1 (a, q) désigne Ie plus grand commun diviseur de a et q, Pour la démonstration de ce théorème fai besoin de trois propositions auxiliaires I). Lemme 1: I et I étant étendus à un nombre fini de termes. on a h k I 2 iha [ I I ah e :r; h o l.1 I bk e 2 :r;ika I d a """" k o VI h 2. I ah 12 • I I bk 1 k Lemme 2: Désignons par N un nombre ===- 3. par V un intervalIe contenant N entiers tout au plus. Si I g (v). étendu à tous les entiers v<y v"""" y de .Vest. pour toute valeur réelle de y. en valeur absolue oû eest indépendant de y. on a pour tout nombre réel a I 2'g(v)e 2"'iav I """"3e (1 +N l sin.na l). -=: e, v Lemme 3: Si e' (v') est déterminé pour tout entier v' d' un intervalIe V', de telle façon que Ie' (v') I"""" T' et I v' et u' + 1 dans V' Ie' (v' + 1) - e' (v') I"""" r'. on a pour tout nombre réel non-entier a II e' (v') e 2 :tiav' I"""" t r' I sin.na I-I. v' Démonstration: Le produit (l-e- 2 "'ia)Ie'(v')e 2 :ti a.'= I u' dans V' ,/ 2.~ (J'(v')e 2 :"ia.'Vi + 1 dans V' e'(v'+1)e 2n1a .' est en valeur absolue """" [" + [" + I v'et,,' + 1 dans V' I e' (v' + 1) - e' (v') I"""" 3 [". Après ces remarques préliminaires je donnerai la démonstration du théorème. Je diviserai cette démonstration en trois parties. Première partie de la démonstration. Désignons par m un nombre naturel arbitraire mais fixe, par C2. C3' ••• , CIS des nombres positifs, convenablement choisis dépendant uniquement de m. I et des suites (y) et (17); désignons par 0 Ie plus grand des deux nombres m et 17[1 + i m] et posons enfin T = m 1 (21 2) o. + + + 1) Pour les démollstrations des lemmes 1 et 2 on peut consulter per exemple les démonstrations des lemmes 1 et 2 de mon article: Sur l'hypothèse de GOLDI~ACH pour presque tous les nombres pairs. Acta Arithmetica, 2, 266-290 {1937). 231 Puisque chacun des intervalles V et V' contient N entiers tout au plus. il y a moins de 2 N entiers t de la forme t v v'. ou v désigne un entier de V et v' un entier de V', L (t) et A (t) étant égaux à zéro pour les autres nombres t. on peut admettre sans troubler la généralité que T contient moins de 2 N entiers, Les inégalités (1) entrainent = + étant en valeur absolue ~ r'. nous abtenons en utilisant la première des inégalités (2). pour les fonctions L (t) et /1 (t). déterminées par (8). e' (v') I L (t) I ~ ~ I r(v) I ' 2' I r' (v') I ~ I' [" N2 p' et I A (t) i ~ 1" 2' I g(v) I ~ I' [" N < fT' N2. " tandis que (9) et (3) nous apprennent I [nOl ~ [n'] H(q.t)l-== 2' r~q21+1-==1'~n(21 + 2),. q= 1 q=1 de sorte que Ie membre de gauche de (7) est tout au plus égal à ['21"2 Ni (1 +I'~ n(21+2),)2.J: 1 < 2 ['2 ["2 N5 (1 + 1': n(21+2),)2, t On peut donc admettre (11 ) en effet. sinon Nest inférieur à un nombre dépendant uniquement de m et de lJ[1 + ~ mi et Ie théorème est al ars évident, Dans l'intervalle 0 ~ a ~ 1 je considère les fractions irréductibles ~ q a dénominateur positif ~ n', Ces fractions ordonnées selon la grandeur forment la suite de FAREY correspondant à n 7 , Entre deux fractions consécutives ~ et a: de cette suite. j'intercale la médiante a q q q ++_qa:, Pour a toute fraction - appartenant à la suite et située entre 0 et 1 je désignerai q par j ( : ) Ie plus petit intervalle fermé contenant : et borné par deux médiantes intercalées; j (0) soit l'intervalle fermé (",* -1. l*). ou la plus petite. p.* la plus grande des médiantes intercalées. ).* désigne 232 Chaeune des fraetions ~ de la suite de FAREY ayant un dénominateur q positif ~ n'. ehaque médiante interealée possède un dénominateur positif ~ 2 n°. Pour toute fraetion ~ de la suite de FAREY et pout toute q médiante interealée ~ on a done I: -~ I~ qlQ ~ 2~i.>N-In~. . (12) en vertu de (11). a Considérons une fraetion quelconque q < 1 appartenant à la suite de Posons pour tout nombre a appartenant à j ( : ) FAREY. Fr.. (~) q =I r(v) e 2 ";«. et v F: (~) =I q r' (v') e2 ";«v' v' et pour les autres valeurs réelles de a posons pour tout valeur réelle de a 'P« q .; e (qa) = (a) l (v) e 2";(<<-~)v q et Désignons par I et I a q -qa < 1 et a' ,< 1 de q • des som mes étendues à tous les fraetions a' q' la susdite suite de FAREY. Nous avons 1 l' -+- a q a 1 q 2 P. ( ; ) P; ( : ) e-b;"'da = ft* =f~ 1'*-1 I .' r(v) r' (v')e 2 ";«(V+V'-t)da r (v) r' (v') = L (t) u+u'=t 233 et • +! .J q a q • I q 2 2 ~a ( -: - ) ~~ ( { - ) e-2~ia, da I = A (t) . .' 2' (! () V (! '( ') 2"'i(a-~)(v+v'-t)d V e q a [nr.] I H (q. t). q=1 donc I a J () -;;-+2 [nr.] L(t)-A(t)~IH(q.t)=~ Ga: q a I q 2 e- 2:tia'da. ou Cela étant. nous obtenons I L (t)-A (t) I , a 1 a 1 2 I H(q. t)[2 q=1 J a' -+ .- [nr.] -+- j Y G. ( : ) G, a q .' q' q 1 2 a' q' (:l7 e"'''-'''dadp, w désignant la valeur complexe conjuguée de w, moins de 2 N nombres consécutifs. on a [nr.] ..; IL(t)-A(t) ~ ~IH(q.t) 1 2 Parce que t parcourt I ~+~ :>~, -: :: f. .f. G.(:) G.{::) I q 2 q I M(p-a) da dP, \ 2 ou M (U) = Min (2N.1 sin nu I-I); ) , (13) 231 Min (v, w) désigne Ie plus petit des deux nomhres v et w. Par conséquent on a °l N- l J M (u) du -===J 2 N du + -1 J' I sin .7l uI-I du < .. + log N <5n . (14) N-l< l ul<l -N-I Dans la deuxième partie de la démonstration je démontrerai que la contrihution UI au memhre de droite de (13) des points a, tels que {J . (15) a tout au plus I'ordre de grandeur de r 2 r '2 N3 n- m : dans la troisième (et dernière) partie de la démonstration je ferai voir que l' ordre de grandeur de la contribution U 2 des autres points a, est également tout au plus égal à celui de r 2 r '2 N3 n- m • Deuxième partie de la démonstration. Dans cette partie je considère uniquement les points a, qui satisfont à (15). On a UI -=== U 3 2 U 4 Us: U 3 désigne la contrihution de ces points a. à rexpression {J {J I a -q + -2 I • - q .' j' I - q' a {J .J' ' IF.(:) JO; (: )F,{~;) F'(::) IM(p-a) da dfi: I 2 U 4 est la contribution de ces points a, 2 q q' {J à 2 d'ou il suit, en changeant a et de ces points a, {J à {J, ~q I et a I' que U 4 est aussi la contrihution q Us enfin est la contrihution de ces points a, 1 a 1 a' q q' a q 2 1 2 {J à J 21~a(:)~;(:)~I{::)~;{::)IM({J-a)dad{J. -+- - +- .; ~ f + I - +- a' q' I 2 -- " q a' + a' q' 1 2 235 Commençons par U 3 ' qui est la eontribution des points nommés a a' q q' .r jenJ Fa(:) F~(:) F,.(:~) F,~ (?J I I M(fJ-a) da IX, fJ à d~, {~) puisque Fa (~) et FI' (::) sont Pour tout point (I (-~) appartenant à j a* q* à dénominateur positif q* I égaux à zéro en dehors de j -c:: n~ a* q* a - (~) et et pour toute fraetion on a I::==N - I n, 7 a* a eomme on voit en utilisant (15) ou (12), selon que q* est égal à q ou non. Puisque )' on aT> a ==-1111 + l mi' )' intervalIe fermé (a-N-I n'lll+lml, a+N- I n'lil+lml) ne eontient aueune fraetion à dénominateur positif -co=: n~, done aueune fraetion à dénominateur positif -co=: n 'lil +: mi. La relation (6), appliquée avee [1 t m] au lieu de m, nous apprend done + De la même manière on obtient pour tout point fJ appartenant à j (::) et satisfaisant à la deuxième des inégalités (15) la relation done .f.r I =C2C3 r/ 2 N2 n- 1 - m o I M((-/ - a) . I :: r(lJ) e2 :Tia o l • I ~ r(lJ) e2.-,i,;,,! da d (J 0 J' ! = C2 C3 r'2 N2 n - - m M(u) du I l J 1 I ;: r(lJ) 0 ria ol . I -: dIJ) e2 .~ {u" e 2 .- 2 iCX . e :' "1da 236 En utilisant Ie lemme 1 et les relations (14) et (I) nous ohtenons U 3 -== C2 C3 r'2 N2 n- I - m • 5 nI r(v) 1 1 2 v U1 est la eontrihution des points nommés a, fJ à L'inégalité (3) nous apprend 1cp;~ (::) 1-== 1'1 q'l; e' (v') -== ; en vertu du lemme 3. 1'1 q' r' I sin n (fJ _ ::) Pour tout nomhre I cp;~ /:li(13-~)v'l fJ satisfaisant à (15) on a done (::) 1-== C5 r' n'~ N n- La relation (2) étant verifiée, F~ ( :) I-I T • • • • • • (16) est en valeur absolue -== r ' N, de sorte que U1 est tout au plus égal à Ir 1 -=='11 C5 r'2 N2 n2'~-T ;q; = 1'1 C5 r'2 N2 0 n2'~-T ~ q' ou 1 M(fJ-a) 1 7' r(v)e2:liIXpl·l7' e(v)/:li(I'-~)V I dadfJ 0 J i - M(u) W (u, ::) du, i En utilisant Ie lemme 1 et l'inégalité (1) on trouve W (u, a:) -== V q I 1 v r(v) 2 1 • I 1 v e (v) 2 1 -== r 2 N, 237 par conséquent en vertu de (14) Ui ~ 1'1 C5 r 2 r'2 N3 n 2 / o --: • n 2" . = Sn C6 r 2 ]"2 N3 n(2/+2) .. - :-+ 1 = C6 ['2 r'2 N3 n - m• ABn de déduire une borne supérieure convenabie pour U 5 , j'utilise (16) et l"inégalité analogue II -1)' ,tx ;I (a~ ) I ~ C7 1" n /~ N n-:-, - q , d'ou il suit a - q' a Cf ~)',' C, a' -- + 1 2 c'J' q' c, r" N' n'''-'~ -: -:: / q I J' j" 1~·(:)~.;(::)IM(p-a)dadfi U,~c,c, ["'N'n'''-'~:'; q I + ~ q' M 1 2 (U) W' (u. ;:) dUo -, Dans cette formule j'ai posé par conséquent et U 5 ~ )'1 2 C5 C7 /,2 r'2 N3 n~/~ - 2:- n i0 • Sn =C8['2I"2N3n(41+41~ -2:-+1 =C81'2 (Ci 1"2 N3 n- 2m - 1 < C8]'2 ["2 N3 n - m• Ainsi nous avons démontré que la contribution UI est inférieure à 2 C6 Cg) ]'2 ]"2 N3 n -~ m. + +