Factorisation en nombre premier

Factorisationennombrepremier
Commentfactoriser
Toutnombrepeutêtrefactoriséennombrepremier
1234
npppp
oùlespsontdesnombrespremiers.
Parexemple,sionfactoriselesnombres12et60,onobtient
2
12 2 3
2
60 2 3 5
Pourfactoriserunnombre,ondoitsavoirsicenombreestdivisibleparquelnombrepremier.
Onavuquel’onpeutlesavoirgrâceàl’arithmétiquemodulaire.Prenonsunexemple:trouvons
donclesfacteursde7965.
Cenombren’estpasdivisiblepar2.Ilestdivisiblepar3,car7+9+6+5=27,quiestdivisiblepar3.
Siondivisepar3,onobtient2655.Cenombreestencoreunefoisdivisiblepar3,car2+6+5+5=
18.Siondivisepar3ona885,quiestencoredivisiblepar3,car8+8+5=21.Siondivisepar3on
a295quin’estplusdivisiblepar3.295estévidemmentdivisiblepar5,cequidonne59.Ceci
terminelafactorisationpuisque59estunnombrepremier.
Lafactorisationestdonc
3
7965 3 5 59
(Onadivisétroisfoispar3,unefoispar5etunefoispar59.)

2Factorisationennombrepremier
Iln’étaitpeut‐êtrepasévidentque59estunnombrepremier,maisc’estassezfaciledela
savoir.Cenombren’estpasdivisiblepar2,ni3,ni5,ni7.Inutiled’allerplusloinque7,car
59 7,68
ExempleAMQ2006:Unefactorisationunpeucompliquée
Factorisezlenombre12345654321
Cenombreest111111²
111111estdivisiblepar11.Ilreste10101
10101estdivisiblepar3.Ilreste3367
3367estdivisible7.Ilreste481
481estdivisiblepar13.Ilreste37quiestunnombrepremier
Lafactorisationestdonc
2
2
22 2 2 2
12345654321 111111
3 7 11 13 37
3 7 11 13 37
Cequ’onpeutconnaitreàpartirdelafactorisation
1)Nombredediviseursd’unnombre
Touslesdiviseursd’unnombrepeuventsetrouveràpartirdelafactorisation.Parexemple,60=
2²*3*5alesdiviseurs
1=1
2=2
3=3

3Factorisationennombrepremier
4=2²
5=5
6=2*3
10=2*5
12=2²*3
15=3*5
20=2²*5
30=2*3*5
60=2²*3*5
Onvoitqu’ilfautfairetouteslescombinaisonspossiblesdesfacteurs.Pourles2²,onpeutne
pasleprendre,prendre2ouprendre2².Pour3onpeutnepasleprendreouleprendre.Pour5,
onpeutnepasleprendreouleprendre.Lenombredepossibilitéspourchaquefacteurvadonc
de0àlavaleurdel’exposant,cequinousdonneunnombredepossibilitéségalàl’exposant+1.
Encombinantpourtouslesfacteurs,ona
Nombre de diviseurs 1 1 1 ....
ExempleCombiendediviseursalenombre123420
Puisque22
123420 2 3 11 17 
Lenombredediviseursest3232 36
Onpourraitconnaîtretouslesdiviseursenfaisanttouteslespossibilités
2)Plusgrandfacteurcommunde2nombres
Sionveutconnaîtreleplusgrandfacteurcommundedeuxnombres,ilfautlesfactoriserles
deuxnombresetchercherleplusgrandfacteurquiseretrouvedanslesdeuxfactorisations.
Celarevientàprendrel’exposantlepluspetitpourchaquefacteur

4Factorisationennombrepremier
ExempleQuelestleplusgrandfacteurcommunde84et112
puisque84=2²*3*7etque112=24*7,alorsleplusgrandfacteurcommunest
2²*7=28
Onpeutaussitrouverlenombredefacteurscommunsauxdeuxnombresentrouvantle
nombredediviseursdefacteurleplusgrand.Celaveutdireque84et112ont3*2=6facteurs
communs
3)Pluspetitmultiplecommun
Sionveutconnaîtrelepluspetitmultiplecommundedeuxnombres,ilfautlesfactoriserles
deuxnombresetchercherlepluspetitmultiplequel’onpeutfaireaveclesdeuxfactorisations.
Celarevientàprendrel’exposantleplusgrandpourchaquefacteur
ExempleQuelestlepluspetitmultiplecommunde84et112
puisque84=2²*3*7etque112=24*7,alorslepluspetitmultiplecommunest
24*3*7=336
4)Sommedesfacteurs
Lasommedesfacteursde12est28puisquelesfacteursde12=2²*3sont
1,2,3,4,6et12etque1+2+3+4+6+12=28.
(Enpassant,silasommedesfacteursd’unnombre(àl’exceptiondunombrelui‐même)est
égaleaunombre,ils’agitd’unnombreparfait.C’estlecasde6puisquelesfacteursde6sont1,
2,3et6etque1+2+3=6.Silasommeestinférieureaunombre,c’estunnombredéficientet
silasommeestsupérieureaunombre,c’estunnombreabondant)
Lasommeest

5Factorisationennombrepremier
356
12 4
123456
...
fff
ff f
S pppppp
oùonfaitlasommedetouteslespossibilitésdesexposantsf.Lesvaleursdefvontde0jusqu’à
lavaleurdel’exposantdelafactorisation.Pour12ona
00 01 10 11 20 21
23 23 23 23 23 23
1326412 28
S
Cettesommeestplusfacileàfairesionl’écritsouslaforme
23 23 23
111122223333
111S ppp p ppp p ppp p
Parexemple,pour12onobtient
2
122 13 28S   
ExempleQuelleestlasommedesdiviseursde240
Puisque240=25*3*5
ona
2345
1222221315
63*4*6 1512
S  
Onsaitdoncquelasommedes24facteursde240est1512.
5)Nombrede0àlafind’unnombre
S’ilyaunzéroàlafind’unnombre,c’estque10estunfacteurdecenombre.Comme10=2*
5,celasignifieque2et5doiventêtredesfacteursdunombre.Lenombredefoisque2et5sont
desfacteursdunombrecorrespondaunombredezéroàlafind’unnombre.Ainsi,lenombre
représentéparlafactorisation
523
2357