Théorème de Bézout et Gauss

THÉORÈME DE BÉZOUT
THÉORÈME DE GAUSS
Les mathématiques, c’est comme l’amour : ça commence par un Bézout et ça finit par un Gauss.
I. Théorème de Bézout :
Remarque :
Étienne Bézout est un mathématicien français : 1730 – 1783.
Notation :
Le symbole ∃ signifie « il existe ».
1°) Identité de Bézout :
Propriété :
Soit δ le PGCD de a et b. Alors :
(i) ∃ (u ; v) ∈ ℤ2 tel que au + bv = δ ;
(ii) {au + bv, (u ; v) ∈ ℤ2} = {kδ, k ∈ ℤ}.
autrement dit, l'ensemble des combinaisons linéaires de a et b est égale à l'ensemble des multiples de .
Démonstration :
(i) En supposant 0 < b  a, on effectue l’algorithme d’Euclide :
a = bq0 + r0 donc r0 = a − bq0 = a × 1 + b × (−q0).
On pose u0 = 1 et v0 = −q0, ainsi r0 = au0 + bv0.
b = r0 q1 + r1 donc r1 = b − r0 q1 = b − (au0 + bv0)q1 = a × (−u0 q1) + b × (1 − v0 q1).
On pose u1 = −u0 q1 et v1 = 1 − v0 q1 . Ainsi, r1 = au1 + bv1.
Et on continue, c’est à dire que l’on fait :
a = bq0 + r0
⇔
r0 = a − bq0 = au0 + bv0
b = r0 q1 + r1
⇔
r1 = b − r0 q1 = b − (au0 + bv0)q1 = a × (−u0 q1) + b × (1 − v0 q1) = au1 + bv1
r0 = r1 q2 + r2
⇔
r2 = r0 − r1 q2 = au0 + bv0 − (au1 + bv1)q2 = a × (u0 – u1 q2) + b × (v0 − v1 q2) = au2 + bv2
r1 = r2 q3 + r3
⇔
r3 = r1 − r2 q3 = au1 + bv1 − (au2 + bv2)q3 = a × (u1 – u2 q3) + b × (v1 − v0 q3) = au3 + bv3
.
.
.
.
.
.
rk−2 = rk−1 qk + rk
⇔
rk = rk−2 − rk−1 qk = … = auK + bvK
rk−1 = rk qk+1 + 0
⇔
rk+1 = 0
En substituant les restes successifs jusqu’au dernier reste non nul rk, on montre que tous ces restes rp
s’expriment comme combinaison linéaire de a et b : rp = aup + bvp , où up et vp sont des entiers relatifs qui
s’expriment en fonction de q0 , q1 , … , qp .
On a alors rk = auk + bvk , avec rk = .
(ii) ⊂ : Comme  divise a et b, il divise toute combinaison linéaire de a et b. au + bv est donc un multiple de .
⊃ : Inversement, un multiple de  s’écrit k.
Comme ∃(u ; v) tel que  = au + bv, on a kd = kau + kbv = aU + bV
Exemple :
PGCD(6 ; 15) = 3, donc, d'après l'identité de Bézout, il existe un couple (u ; v) ∈ ℤ2 tel que 6u + 15v = 3.
En effet, 15 – 2 × 6 = 3, donc l couple (u ; v) = (-2 ; 1) convient.
Remarque :
Ce premier exemple est un cas très simple, mais comment fait-on lorsque les nombres sont un peu plus grands ?
Exemple :
Cherchons des entiers u et v tels que 105u + 40v = 5.
Comme PGCD(40 ; 105) = 5, un couple (u ; v) existe donc.
On a :
105 = 40 × 2 + 25 donc 25 = 105 − 40 × 2
40 = 25 × 1 + 15 donc 15 = 40 − 25
25 = 15 × 1 + 10 donc 10 = 25 − 15
15 = 10 × 1 + 5 donc 5 = 15 – 10
On remonte alors l'algorithme d'Euclide :
5 = 15 − 10
= 15 − (25 − 15) = 2 × 15 − 25
= 2 × (40 − 25) − 25 = 2 × 40 − 3 × 25
= 2 × 40 − 3 × (105 − 40 × 2)
= 8 × 40 − 3 × 105
Remarque :
Ces valeurs de u et v ne sont pas uniques. Comment en trouver d’autre valeurs ?
Exemple :
En remarquant que 105 × 40 − 105 × 40 = 0, on peut écrire :
105u + 40v = 105u + 40v + 105 × 40 − 105 × 40
= 105 × (u + 40) + 40 × (v − 105) = 5
u′ = u + 40 et v′ = v − 105 conviennent aussi.
Remarque :
La réciproque de l'identité de Bézout n'est pas vraie.
Exemple :
3 × 5 + 4 × 2 = 23 et pourtant PCGD(5 ; 2) ≠ 23.
2°) Théorème de Bézout :
Théorème de Bézout :
a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe (u ; v) ∈ ℤ2 tel que au + bv = 1.
Preuve :
⇒ Rappelez vous que si a et b sont premiers entre eux, δ = 1.
⇐ Réciproquement, on a vu que tous les nombres de la forme au + bv sont des multiples de . Ainsi, s’il existe u et v
tels que au + bv = 1, alors, 1 est un multiple de , donc  = 1 et a et b sont premiers entre eux.
Remarque :
La non plus le couple (u ; v) n'est pas unique.
Conséquence immédiate :
Deux entiers consécutifs sont premiers entre eux. En effet, ∀ n ∈ ℤ, n et n + 1 sont premiers entre eux car
–1 × n + 1 × (n + 1) = 1 (on a pris u = –1 et v = 1).
Exemple :
3 × 12 – 7 × 5 = 1 donc 12 et 5 sont premiers entre eux. Mais aussi 12 et 7, ou encore 3 et –5, ou 3 et 5 …
–2(3n – 2) + 3(2n – 1) = 1 donc 3n – 2 et 2n – 1 sont premiers entre eux, mais aussi, de façon moins évidente, 3n – 2
et 3.
II. Théorème de Gauss :
Remarque :
Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855, mathématicien et physicien allemand.
Grâce au théorème précédent, on va pouvoir démontrer un fait qui semblait évident, mais qui ne l’était pas :
Théorème de Gauss :
Soient (a ; b ; c) ∈ ℤ∗3.
Si a | bc et si a est premier avec b, alors a | c.
Démonstration :
Si a divise bc, il existe k ∈ ℤ tel que bc = ka. a et b étant premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe
(u ; v) ∈ ℤ2 tel que au + bv = 1.
On obtient, en multipliant par c, les égalités suivantes : c = auc + bvc = auc + akv = a(uc + kv) qui prouvent que a | c.
Remarque :
Il est très important de vérifier que a et b sont premiers entre eux car a peut très bien diviser bc en ne divisant ni b, ni
c. (ex : 20 × 3 = 60. 6 | 60 mais 6 ne divise ni 20 ni 3.)
Exemple :
Nous cherchons à résoudre l'équation 3x = 5y avec (x ; y) ∈ ℤ2.
Puisque 3x = 5y c'est que 3 divise 5y. Or 3 est premier avec 5, donc 3 divise y donc y = 3k avec k ∈ ℤ.
Donc 3x = 5 × 3k ⇔ x = 5k. Les couples de la forme (5k ; 3k) sont donc des solutions de cette équation, mais le sontils tous ?
Oui car 3 × 5k = 5 × 3k.
Propriété :
Soient (a ; b ; c) ∈ ℤ∗3.
Si b | a et c | a alors que b est premier avec c, alors bc | a.
Preuve :
b | a donc ∃ k ∈ ℤ tel que a = bk.
c | a donc ∃ k' ∈ ℤ tel que a = ck'.
On a donc bk = ck'. On en déduit que b divise ck', mais comme b et c sont premiers entre eux, b divise k'
b | k' donc ∃ k'' ∈ ℤ tel que k' = bk''.
On a donc a = ck' = cbk'', et donc bc divise a.
Exemple :
Le produit de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 6.
Effet, parmi les trois entiers consécutifs, l'un est divisible par 3 et l'un au moins est divisible par 2. Comme 2 et 3 sont
premiers entre eux, le produit et divisible par 6
Exemple :
167 342 985 est divisible par 5 (sont dernier chiffre est un 5) et par 9 (la somme de ses chiffres est divisible par 9).
Comme 5 et 9 sont premiers entre eux, 167 342 985 est divisible par 5 × 9 = 45.
Attention :
30 est divisible par 2 et par 6 mais pas par 2 × 6 = 12. Pourquoi ?