Enoncé - Physique-Chimie LN-SPE-2 2016-2017

Pb 2. Autour de Galiléo
Lycée Naval, Spé 2.
◦
Devoir surveillé n 03 (09/10/14 4h)
Pb 1. Résolution de problème
Galileo est le nom du programme européen de radionavigation par satellite, qui
devrait doter l’union européenne de son propre système de navigation, garantissant ainsi son indépendance vis-à-vis des autres dispositifs existants, notamment le
système américain (GPS, Global Positioning System) et le système russe (GLONASS). Galileo est un ensemble autonome basé sur une constellation de trente
satellites en orbite à moyenne altitude, en interaction avec une importante infrastructure terrestre déployée à travers le monde. Il y aura dix satellites sur chacune
de trois orbites planes, inclinées d’un angle de 56◦ par rapport au plan équatorial.
Cette inclinaison particulière a été choisie pour assurer une bonne couverture des
latitudes polaires, actuellement peu desservies par le GPS. Avec cette constellation de 30 satellites, il y aura une forte probabilité qu’une personne en un point
quelconque du globe, soit en vue d’au moins quatre satellites simultanément, si
bien qu’elle pourra déterminer sa position en utilisant les signaux émis par ces
quatre satellites. En effet, il faut au moins quatre satellites pour obtenir une position précise à la surface de la Terre. Dans la plupart des zones du globe, six à huit
satellites de Galileo seront en permanence visibles, ce qui permettra une précision
de localisation de quelques centimètres.
À l’aide du montage suivant, on obtient les courbes d’évolution de la tension aux
bornes du condensateur au cours du temps.
Montage : les conducteurs ohmiques ont tous pour résistance R = 1, 0 MΩ.
L’ALI est supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire.
Le montage est dit à « courant constant ».
R
R
−
+
R
R
E
C
uc
K
Formulaire et données
1. Formules mathématiques
uc (V)
Courbes : les courbes ont été réalisées pour des tensions E valant respectivement
3, 0 V, 5, 0 V et 10 V.
On ouvre l’interrupteur à l’instant t = 0, on le referme en fin d’expérience.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
Formules trigonométriques : si p et q sont réels, alors
1
(cos(p + q) + cos(p − q))
2
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 cos
× cos
2
2
Charge condensateur, courant constant
cos p × cos q =
E =10V
E =5,0V
E =3,0V
2. Constantes fondamentales et grandeurs physiques
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
Constante universelle de gravitation : G = 6, 67 × 10−11 m3 · kg−1 · s−2
Masse de la Terre : MT = 5, 98 × 1024 kg
Rayon de la Terre : RT = 6, 38 × 103 km
8
Déterminer, à l’aide des informations précédentes, la capacité du condensateur.
1
I-
Étude de la trajectoire d’un satellite
pesanteur à la surface de la Terre, RT et h.
4.b) Déterminer la valeur numérique de l’altitude d’un satellite géostationnaire. On donnera les caractéristiques d’un tel satellite.
Dans toute cette partie, on étudie un satellite noté S, de masse M = 700 kg,
en mouvement autour de la Terre. On supposera que la Terre est sphérique, de
rayon RT , homogène, et de masse MT .
~uθ
~ur
S
y
r
θ
Terre
z
x
O
4.c) Calculer la période de révolution du premier satellite du système de
positionnement européen Galileo, Giove-A, qui se situe sur une orbite circulaire,
à une altitude de 23 222 km. Ce satellite est-il géostationnaire ?
5) Le 22 août 2014, un lanceur russe Soyouz a décollé de son pas de tir du
Centre spatial guyanais avec à son bord deux satellites Galileo. En raison d’un
problème, les deux satellites n’ont pas été placés sur l’orbite circulaire visée. Ils se
trouvent aujourd’hui sur une orbite elliptique de 25 900 km d’apogée et 13 700 km
de périgée. Ces satellites ont-ils la même période de révolution que celle de GioveA?
Schéma du satellite S en révolution autour de la Terre : l’axe (Oz) est orthogonal
au plan de la trajectoire, et on définit les vecteurs ~ur et ~uθ comme indiqué sur le
schéma.
I-1.
I-2.
Mesure du champ de pesanteur
La période de révolution d’un satellite étant reliée à la pesanteur au sol (notée
g), on s’intéresse dans cette sous-partie à la détermination expérimentale de g.
Schéma de l’expérience permettant une mesure du champ de pesanteur g à la
surface de la Terre.
O
z
Caractéristiques du mouvement de quelques satellites
1) Donner, sans justification, les natures des trajectoires possibles d’un satellite
en révolution autour de la Terre.
2) On suppose que le satellite a une trajectoire circulaire autour de la Terre, à
une altitude h. La trajectoire est plane, et on définit l’axe z orthogonal à ce plan.
On repère le satellite par la distance r par rapport au centre O de la Terre, et
θ, l’angle entre OS et une direction fixe du plan de la trajectoire.
Écrire le vecteur accélération du satellite, considéré comme une masse ponctuelle, dans la base polaire (~ur , ~uθ ), en fonction de r, et de θ et ses dérivées
temporelles.
L
~g
φ
m0
tige (masse m00 , longueur `)
3) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au satellite :
3.a) montrer que la vitesse angulaire du satellite est constante.
3.b) Déterminer l’expression de la norme v de la vitesse du satellite.
6) Pour mesurer expérimentalement la valeur de g, on dispose d’un pendule,
représenté sur la figure ci-dessus.
Une tige homogène de masse m00 = (75±1) g et de longueur l = (50, 0±0, 1) cm
4) Période de révolution :
4.a) Exprimer la période T du satellite en fonction de g, intensité de la
2
est accrochée par son extrémité à un axe et peut pivoter sans frottement autour
de cet axe, appelé (Oz). Une masse m0 = (1, 00 ± 0, 01) × 103 g est attachée
à une distance L de l’axe de rotation. On lâche le pendule sans vitesse initiale,
lorsqu’il fait un angle φ0 = 15◦ avec la verticale, puis on mesure à l’aide d’un
chronomètre cinq périodes d’oscillations de durée τ . On note T = τ /5 la période
des oscillations.
On répète l’expérience précédente pour différentes valeurs de L. Les résultats
expérimentaux sont rassemblés dans le tableau ci-dessous.
L (cm) 5
10 15 20 25 30 40 50
τ (s)
3,5 3,7 4,1 4,6 5,0 5,5 6,4 7,0
Les schémas de principe des montages d’électronique utilisés dans cette partie
sont présentés ci-dessous.
6.a) Proposer une expression de la période T du pendule en fonction des
paramètres du système. On introduira les hypothèses simplificatrices nécessaires,
et on vérifiera que l’expérience les justifie.
→ Montage additionneur :
in Pn
•
→ Le multiplieur :
multiplieur
N
u1
Schéma de principe d’un multiplieur. La tension de sortie est proportionnelle
au produit des deux tensions d’entrée. La constante β est positive.
•
6.b) Proposer une méthode pour vérifier graphiquement que la loi que vous
avez proposée est en accord avec les résultats expérimentaux. Est-ce bien le cas ?
Si les résultats expérimentaux s’éloignent de ce que prévoit la théorie, proposez
une ou plusieurs explications possibles.
additionneur
6.c) Déduire des résultats expérimentaux une valeur de g.
II-
us = −βu1 u2
u2
+
us = −r0 (i1 + i2 + ... + in )
i2 P2
•
i1 P1
•
Modulation d’un signal
Les ondes électromagnétiques sont le support permettant la communication
entre un satellite et une station terrestre, qui reçoit et interprète le signal émis par
le satellite. Mais, pour transporter une information, la structure de l’onde doit être
plus complexe qu’une simple onde plane progressive sinusoïdale : les ondes doivent
être modulées. Cette partie a pour but d’illustrer le principe de la modulation en
considérant un signal électrique appelé « porteuse », à une fréquence de l’ordre du
MHz (plutôt que l’onde électromagnétique de fréquence bien plus élevée), et en
supposant que l’information « à transporter » est un signal audible (un son, une
voix, une chanson...).
On étudiera ici un type de modulation possible : la modulation d’amplitude
pour laquelle c’est l’amplitude de la porteuse qui porte l’information intéressante.
Dans un premier temps, on étudie la modulation, c’est-à-dire la fabrication du
signal électrique modulé. Cette étape doit être réalisée avant que le signal soit
envoyé sur une antenne émettrice. Puis, dans un second temps, on s’intéresse à la
démodulation, qui a lieu après réception du signal : à partir du signal électrique
reçu, il faut extraire l’information transportée (ici le son, la voix, la chanson...)
Schéma de principe d’un additionneur. Le montage additionneur délivre une
tension proportionnelle à la somme des courants d’entrée. La constante r0 , homogène à une résistance, est positive. On admet que les potentiels aux points d’entrée
Pi sont nuls : VP1 = ... = VPi = ... = VPn = 0.
II-1.
Modulation d’amplitude
On s’intéresse ici à la modulation du signal électrique qui sera envoyé sur l’antenne émettrice. Le signal de fréquence élevée, la porteuse, est une tension qui
s’écrit :
Up = U0 cos(ωp t)
L’information à transmettre est une tension dont la fréquence est audible, que l’on
considère pour l’instant sinusoïdale :
Um = U1 cos(ωm t)
3
avec U1 et U0 deux constantes positives. On injecte ces signaux sur le circuit de
la figure ci-dessous.
r0
E
r0
Um (t)
U (t)
R
C Uc (t)
P1 additionneur
•
•
P2
multiplieur
N
+
Up (t)
Montage détecteur de crête, constitué d’une diode idéale, puis d’une résistance
et d’un condensateur en parallèle.
U (t)
Montage électrique permettant de réaliser un signal modulé en amplitude. La
tension Up est appelée porteuse, et la tension Um est la tension modulante.
Ce montage comporte une diode que l’on suppose idéale : lorsqu’elle est passante, la tension à ses bornes est nulle, et lorsqu’elle est bloquée, le courant qui
circule dans la diode est nul. Sa caractéristique est représentée sur la figure cidessous.
iD
Le circuit précédent comporte un additionneur, caractérisé par la constante r0 ,
et un multiplieur, caractérisé par la constante β. La tension E est une tension
continue positive. On admet que les potentiels aux points P1 et P2 sont nuls :
VP1 = VP2 = 0.
iD
uD
7) Que peut-on donc dire du rapport ωp /ωm ?
uD
8) Déterminer le signal U (t) en sortie du dispositif.
Schéma et caractéristique d’une diode supposée idéale : le graphique représente
le courant iD traversant la diode en fonction de la tension uD à ses bornes.
9) Tracer l’allure du graphique U (t), dans le cas où U1 < E. On fera figurer
les différentes échelles caractéristiques temporelles, et de tensions.
10) Montrer que le signal U (t) peut s’écrire sous la forme suivante :
12) A quelle condition sur U (t) et Uc (t) est-ce que la diode est passante ?
bloquée ?
m
m
U (t) = β E U0 cos(ωp t) + cos((ωp + ωm ) t) + cos((ωp − ωm ) t)
2
2
13) Supposons qu’à t = 0, la diode se bloque, la tension Uc vaut alors Uc (0).
où la grandeur m est à exprimer.
11) Tracer l’allure du spectre de U (t).
13.a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par Uc (t) pour t > 0.
II-2.
Démodulation d’amplitude
13.b) La résoudre et tracer la courbe Uc (t).
La tension U (t) est envoyée sur une antenne émettrice, qui transmet un signal
à une antenne réceptrice. On souhaite, à partir du signal détecté, extraire le signal intéressant, à savoir la tension Um (t). Pour cela, on suppose que le signal
délivré par l’antenne réceptrice est exactement U (t). On envoie cette tension sur
le montage de la figure ci-dessous, appelé détecteur de crête.
14) Sur le graphique de la figure suivante, sont tracées les allures des courbes
U (t) et Uc (t). Reproduire sur la copie ces allures en identifiant les deux courbes.
Indiquer quand la diode est passante, et quand elle est bloquée.
4
Allure des signaux à l’entrée et à la sortie du détecteur de crête.
15) Quelle doit être la condition sur ωp , R et C pour que la tension de sortie
Uc (t) reproduise au mieux la "crête" de la tension U (t) ? Proposer des valeurs
raisonnables pour R et C satisfaisant cette condition.
16) En sortie du détecteur de crête, on obtient donc un signal de la forme
suivante :
Uc (t) = E + Um (t) = E + U1 cos(ωm t)
Proposer un montage pour obtenir le signal Um (t) = U1 cos(ωm t) à partir de la
tension Uc (t). Préciser les valeurs numériques des composants utilisés.
17) Le montage détecteur de crête a été réalisé afin de démoduler un signal de
la forme de U (t). Pour cette expérience, la fréquence de la porteuse a été choisie
à 5 kHz, alors que la fréquence de la tension Um (t) a été fixée à une valeur de
500 Hz. La figure (page suivante) montre des enregistrement des tensions U (t) et
Uc (t) pour différentes valeurs de R et C.
17.a) Commenter les signaux obtenus dans le cas où R = 51 kΩ et C =
20 nF. La courbe Uc (t) est-elle en accord avec l’allure théorique attendue de ces
deux courbes, présentée à la question 14. Expliquer les éventuelles différences.
17.b) Les autres valeurs de R et C ont-elles été bien choisies ? On justifiera
la réponse avec des ordres de grandeurs quantitatifs.
17.c) Sur toutes les figures, on constate que pour ces trois valeurs différentes
de C, après démodulation, on n’a jamais retrouvé exactement l’allure du signal
Um (t) en sortie. Proposer une solution pour améliorer le résultat.
Tensions U (t) et Uc (t) mesurées : visualisation du signal avant et après démodulation pour R = 51 kΩ et différentes valeurs de C : 20 nF, 4 nF, et 210 nF.
5
Pb 3. Numérisation avant stockage
V(4) , son potentiel de sortie VSA est au niveau haut, de sorte que vSA =
VSA − VM = 5 volt. Lorsque V(3) < V(4) , son potentiel de sortie est au
niveau bas (vSA = 0 volt). Il commande ainsi le bloc logique E.
L’interrupteur K est commandé par le bloc logique E, ce qui est symbolisé
par un trait pointillé.
Dans tout système de stockage numérique de données, la première étape est celle
de la numérisation. Les signaux du monde réel sont analogiques, pour les transformer en signaux numériques on utilise un convertisseur numérique analogique,
noté CAN par la suite.
2. Préciser ce qu’on appelle masse dans un montage électrique.
Première partie : convertisseur série
3. Représenter le graphe de la tension vSA = VSA − VM en fonction de u2 .
Au cœur de tous les convertisseurs se trouve un compteur (noté F sur la figure cidessous), commandé par un signal d’horloge (noté D) qui incrémente le compteur
à chaque bip d’horloge (le compteur est lui même commandé par une logique de
commande notée E). La fréquence du signal d’horloge est de l’ordre de quelques
GHz, on la suppose parfaitement stable. Le compteur compte à partir de zéro, dès
que la commande de compter lui a été donnée, au rythme imposé par le signal
d’horloge. Il fournit en sortie un nombre codé sur N bits.
4. Partant d’une situation où le condensateur est déchargé, E commande à
l’instant t = 0 la mise en position (1) de l’interrupteur K. L’interrupteur
N
reste dans cette position pendant une durée t1 = 2 fck−1 qui correspond à un
cycle complet de comptage du compteur sur N bits. Étudier u2 en fonction
du temps entre t = 0 et t1 . Faire apparaître une constante τ , homogène à
un temps, caractéristique du bloc B.
Pour toute la suite, on choisit les valeurs de r et C de sorte que t1 τ .
5. Donner alors l’expression simplifiée de u2 en fonction du temps, ainsi que le
du2
lien simplifié entre u1 et
.
dt
6. Quelle est alors la fonction du bloc B ?
7. Que vaut vSA entre 0 et t1 ?
Le bloc de commande fait basculer l’interrupteur K en position (2) à l’instant
t1 et déclenche le comptage. Celui-ci dure jusqu’à l’instant t1 + t2 tel que le
signal vSA soit modifié.
On pourra supposer t2 τ .
8. Exprimer t2 en fonction de u, t1 et Vref .
1. Avec quelle précision maximale mesure-t-on une durée à l’aide d’un compteur
dont le signal d’horloge a une fréquence fck = 1 GHz ?
9. Représenter sur un même graphe u2 et u1 en fonction du temps, entre t = 0
et t = t1 + t2 .
L’architecture des premiers CAN était de type série, elle est modélisée par
le dispositif schématisé sur la figure précédente. La tension positive u dont
la valeur est comprise entre 0 volt et Vref (Vref = 2 volt), supposée constante
pendant la durée de la numérisation, est convertie en un nombre sN .
10. Quel est le lien entre sN et t2 ?
11. Quelle est la durée maximale de la conversion analogique numérique pour un
convertisseur 8 bits commandé par un signal d’horloge de fréquence fck =
1 GHz ?
En déduire une condition sur la fréquence des signaux qu’on peut numériser
avec un tel convertisseur. Commenter.
Le convertisseur est composé d’un circuit r, C formant le bloc B, d’un comparateur A, et d’éléments intégrés parmi lesquels le bloc logique de commande
E, le générateur de signal d’horloge D et le compteur sur N bits F. Les
résistances d’entrée des blocs A, E et F sont infinies.
Le module A compare les potentiels des nœuds (3) et (4). Lorsque V(3) >
6
Seconde partie : convertisseur parallèle
Les convertisseurs plus récents ont une architecture parallèle.
La figure suivante représente un convertisseur 3 bits, qui convertit une tension
u qui vérifie 0 < u < Vref . Il est composé de 7 comparateurs, d’une logique
de commande et de résistances de valeur r, 2r et 3r. Les comparateurs ont une
impédance d’entrée infinie et délivrent un signal logique qui est au niveau haut
lorsque la patte reliée à u a un potentiel supérieur à celui de la patte reliée à Vref
par l’intermédiaire des résistances.
La logique de codage transforme un code thermomètre en code binaire selon le
principe suivant :
code thermomètre code binaire sur 3 bits
0000000
000
0000001
001
0000011
010
0000111
011
0001111
100
0011111
101
0111111
110
1111111
111
1. Expliquer le fonctionnement de ce convertisseur.
On pourra considérer l’exemple suivant Vref = 2 V, et u = 1, 28 V.
2. Pour un convertisseur 8 bits, combien faut-il de comparateurs ?
3. Quels sont les avantages et inconvénients comparés des convertisseurs série
et parallèle ?
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