MAT-CRPE-Théorie - TD 1 - Corrigé

Mathématiques
CRPE
ENSEMBLE
DE NOMBRES
– TD N°1 - CORRIGE
Exercice 1
A=
− 15
− 5×3
−5
5
=
=
=18
6×3
6
6
B=
21
7 ×3
3
=
=
=3
7
7
1
C=
240
24 × 10
10
10
=
=
=− 72
− 24 × 3
−3
3
Exercice 2
1)
25 × 11
352
=
= 2³ = 8
44
22 × 11
2)
2 × 3 × 7 × 101
4242
3
=
=
2
2828
2
2 × 7 × 101
3)
22 × 3 × 10101
242424
3
=
=
5
323232
4
2 × 10101
4)
25 × 7 × 11 × 13
32032
=
= 2 5 x 13 = 416
77
7 × 11
Exercice 3
Le dénominateur commun est 2 x 7 x 9 = 126
2
7
3
54
2
84
28
1
63
98
=
;
=
;
=
;
=
;
=
7
126 3
126 9
126 2
126 9
126
L’ordre croissant est donc
2 3 1 2 7
, , , ,
9 7 2 3 9
Exercice 4
1) Ecrire A, B et C sous forme de fractions irréductibles.
A=
3
2
B=1+
1
2+
1
3
=1+
1
3
10
=1+
=
7
7
7
3
Ensemble de nombres – TD n 1 - Corrigé
1/8
Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux
Mathématiques
CRPE
1
C=1+
2+
=1+
1
3+
1
4
1
1
2+
13
4
=1+
1
4
2+
13
=1+
1
13
43
=1+
=
30
30
30
13
2) Le dénominateur commun est 210.
A=
315
300
301
;B=
;C=
210
210
210
3) B < C < A.
Exercice 5
1) (
15
16
31
+
)/2=
.
21
21
42
31
15
30
16
32
est plus grand que
(=
) et plus petit que
(=
). Mais on peut en
42
21
42
21
42
153
trouver une infinité d’autres, par exemple
210
2)
117
9
9 × 13
=
=
7
7 × 13
91
133
19
19 × 7
=
=
13
13 × 7
91
126
9
19
compris entre
et
est une solution.
91
7
13
Exercice 6
A=
2 5
2 −5
−3
=
=
= -1
3 3
3
3
B=
10
12
10 + 12
22
+
=
=
=2
11
11
11
11
C=
2
4
2×7
4 ×5
14
20
−6
6
=
=
=
=5 7
5×7
5×7
35 35
35
35
D=
15
13
5×3
13
5
13
5× 4
13 × 11
20
143
163
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
33
4
3 × 11
4
11
4
11 × 4
11 × 4
44
44
44
E=
2
−4
2 × −4
−8
8
x
=
=
=5
7
5× 7
35
35
F=
2
2
3
2× 3
6
x3=
x
=
=
5
5
1
5 ×1
5
2
2×5
2
5
5
5
G= 3 =
x
=
=
=
4
3
4
3× 2
6
3 × 22
5
Ensemble de nombres – TD n 1 - Corrigé
2/8
Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux
Mathématiques
H=
CRPE
2×5
2 4
2
5
5
5
:
=
x
=
=
=
2
3 5
3
4
3× 2
6
3× 2
Exercice 7
A=
10
2
4
1
2
4
14
4
x
=
=
=
3
3
7
3 21
21 21
21
B=(
C=
2
4
1
10
12
1
−2
1
−2×1
2
- )x
=(
)x
=
x
=
=3
5
7
15
15
7
15
7
15 × 7
105
2
3 5
2
3
8
2
3× 4 × 2
2 6
4
:
=
x
=
=
=5
4 8
5
4
5
5
4×5
5 5
5
1
7
3
3
1
7
3
27
35
8
D=
- 3 =
x
=
=
=3
5
5 3
3
5
9
45
45
45
7
Exercice 8
A=
2
3
1
4 3
1
1
1
7
8
15
+
=
- +
=
+
=
+
=
4
8
7
8 8
7
8
7
56
56
56
B=
2
3
1
28
21
8
41
+
=
+
=
4
8 7
56
56 56
56
3
10 3
7
−
5 = 5 5 = 5 = 7 x 35 = 7 × 5 × 7 = 49
C=
4 2
20 14
6
5
6
5× 6
6
−
−
7 5
35 35
35
2−
1
D=
1+
=
1
1+
1
3
1
1+
1
4
3
=
1
1+
3
4
=
1
4
=
7
7
4
Exercice 9
1) 3,075 x 10² = 0,003075x 10 5
2) 0,051 = 51 x 10 − 3
3) 3,43 = 343 x 10 − 2
4) 0,017 = 17 x 10 − 3
Ensemble de nombres – TD n 1 - Corrigé
3/8
Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux
Mathématiques
CRPE
Exercice 10
- Soit
a
10
n
et
b
10 p
les deux fractions, en supposant n > p,
b
a
b × 10 n − p
a + b × 10 n − p
+
=
+
=
10 n
10 p
10 n
10 n
10 n
a
a + b × 10 n − p
10 n
est une fraction décimale
- La somme de deux fractions non décimales peut être décimale :
1
2
+
=1
3 3
Exercice 11
Compléter le tableau suivant
appartient à
N
Z
D
Q
R
22
5
û
û
û
3,14
û
û
û
û
û
û
û
-9
Π
3
û
- 7
û
50
5
û
û
û
22
64
û
64
û
û
û
û
û
û
û
û
Exercice 12
1)
4 -
2)
9 = 2 – 3 = -1 est un nombre relatif donc décimal.
Π
est le quotient d’un nombre réel non rationnel Π par le nombre entier 3. Il n’y a
3
Π
pas de simplification possible.
est un nombre réel non rationnel.
3
3) 0,212 121 212 121 … C’est une écriture à virgule ayant une période de 2 chiffres
après la virgule. C’est un nombre rationnel.
4) 5,999 999 999 99… C’est une écriture à virgule ayant une période de 9 après la
virgule. Or 5,999 999 999 99… = 6. C’est un entier naturel.
Ensemble de nombres – TD n 1 - Corrigé
4/8
Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux
Mathématiques
5) 3,458 759 874 54 =
6)
3
2 3
=
CRPE
354875987454
10 11
est un nombre décimal donc rationnel.
1
= 0,5 est un nombre décimal.
2
Exercice 13
1) Un arbre permet d’envisager tous les choix possibles pour le premier chiffre, puis
pour le second. Les deux premiers chiffres étant choisis, le troisième est déterminé
automatiquement.
On obtient ainsi les nombres 258 ; 285 ; 528 ; 582 ; 825 ; 852.
2) Calculer S revient à faire la somme des décompositions des nombres considérés en
centaines, dizaines et unités (par exemple, 258 est « 2c 5d 8u »). On rencontre
chaque chiffre deux fois au rang des centaines, 2 fois au rang des dizaines et 2 fois
au rang des unités.
On a :
S = 2 x 2c + 2 x 5c + 2 x 8c + 2 x 2d + 2 x 5d + 2 x 8d + 2 x 2u + 2 x 5u + 2 x 8u
S = 2c x (2 + 5 + 8) + 2d x (2 + 5 + 8) + 2u x (2 + 5 + 8)
S = (2c + 2d + 2u) x (2 + 5 + 8)
Or 2c + 2d + 2u = 222 d’où S = 222 x (2 + 5 + 8)
3) Le raisonnement précédent s’applique de la même façon en remplaçant les chiffres 2,
5 et 8 par les chiffres 4, 7 et 9.
Soit S’ la somme cherchée : S’ = 222 x (4 + 7 + 9) = 4 440
Exercice 14
Affirmation A :
Cette affirmation est vraie. Soit n un nombre qui se termine par 2 et soit p le nombre
de dizaines de n : n = 10p + 2
D’où : n² = (10p + 2)² = 100p² + 40p + 4 = (10p² + 4p) x 10 + 4
n² contient 10p² + 4p dizaines et 4 unités. Le chiffre des unités de n² est 4.
Affirmation B :
Cette affirmation est fausse. Contre exemple : 14² = 196.
14 se termine par 4, 14² ne se termine pas par 16.
Ensemble de nombres – TD n 1 - Corrigé
5/8
Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux
Mathématiques
CRPE
Exercice 15
1)
aaa = a x 10² + a x 10 + a = 100a + 10a + a = 111 x a
111 est un multiple de 37 (111 = 37 x 3) d’où :
aaa = (37 x 3) x a
Les nombres du type aaa sont divisibles par 37.
2) aaabbb = a x 10 5 + a x 10 4 + a x 10³ + b x 10² + b x 10 + b
aaabbb = a x ( 10 5 + 10 4 + 10³) + b x (10² + 10 + 1)
aaabbb = a x 111 000 + b x 111 = 111 x (1 000a + b) = (37 x (3 x (1 000a + b))
Les nombres qui s’écrivent aaabbb sont divisibles par 37.
Exercice 16
1) Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
5
est un entier donc un décimal.
1
•
5=
•
0,25 =
•
1
1
n’est pas un décimal car
est une fraction irréductible et 6 est
6
6
divisible par 3 nombre premier différent de 2 et 5.
•
7
7
1
n’est pas un décimal car
=
est une fraction irréductible dont le
21
21
3
dénominateur est un nombre premier différent de 2 et 5
•
0 est un entier donc un décimal.
•
1
= 0,1 est un décimal.
10
•
2
4
=
est un décimal.
5
10
•
3
25
= 0,25 =
est un décimal
12
100
Les réponses
25
est un décimal.
100
1
7
et
sont fausses.
6
21
Ensemble de nombres – TD n 1 - Corrigé
6/8
Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux
Mathématiques
CRPE
2) Un tableau permet de recenser tous les cas possibles. Dans chaque, on écrit le
a
nombre
éventuellement avec une virgule.
b
a
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
2
0,5
1
1,5
2
2,5
3
1
3
2
3
1
4
3
5
3
4
0,25
0,5
0,75
1
1,25
5
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b
Réponse : 0,2 ; 0,25 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,75 ; 0,8 ; 1 ; 1,25 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 ; 5
Ensemble de nombres – TD n 1 - Corrigé
7/8
Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux