Colles semaine 11 : Électrocinétique et mécanique quantique Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Exercice 3 : Couleur de la carotène [♦]
Certaines molécules ayant une longue chaîne linéaire, comme le β-carotène, contiennent des électrons qui ne sont
pas attachés à un noyau particulier mais peuvent au contraire se déplacer sur toute la longueur de la molécule.
On modélise l’un de ces électrons, de masse m, comme une particule quantique libre de se déplacer le long d’un
segment de droite de longueur L= 1,8 nm dont elle ne peut pas sortir. Sa fonction d’onde ψ(x)est alors liée à son
énergie Epar l’équation de Schrödinger, qui prend ici la forme
−~2
2m
d2ψ
dx2=Eψ ,
où ~est la constante de Planck réduite.
1 - Commençons par déterminer les formes permises pour la fonction d’onde ψ.
1.a - Donner la forme générale des fonctions d’onde solution de l’équation de Schrödinger écrite ci-dessus.
1.b - Justifier que ψest nulle en dehors de l’intervalle [0, L].
1.c - La fonction d’onde devant être continue, elle est également nulle aux deux extrémités de la molécule. En déduire
qu’elle est de la forme
ψ(x) = Asin nπx
L
où nest un entier et Aune constante d’intégration qu’on ne cherchera pas à déterminer.
2 - En déduire l’expression des niveaux d’énergie Enen fonction de m,L,~et n.
3 - Dans le β-carotène, ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui se comportent comme des particules libres
confinées.
3.a - Rappeler les règles permettant de donner la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
3.b - Par analogie, en déduire la configuration électronique du β-carotène dans son état fondamental. Les niveaux
ne portant pas de noms comme en physique atomique, on pourra la donner sous forme d’un diagramme énergétique.
3.c - Donner la configuration électronique du β-carotène dans son premier état excité, c’est-à-dire dans l’état excité
de plus basse énergie.
4 - On s’intéresse maintenant à la transition de la β-carotène entre son premier état excité et son état fondamental.
4.a - Calculer la longueur d’onde de la transition associée.
4.b - Expliquer la couleur orangée des organismes contenant une grande quantité de cette molécule (carotte, citrouille,
etc.).
Solution de l’exercice 3 :
1.a Équation différentielle de type oscillateur harmonique,
d2ψ
dx2+2mE
~2ψ= 0
de pulsation propre k0=√2mE/~. Les solutions sont donc
ψ(x) = Asin(k0x) + Bcos(k0x).
1.b |ψ|2est reliée à la probabilité de présence, qui est nulle car l’électron ne peut pas sortir.
1.c Application des conditions aux limites.
ψ(0) = 0 donc B= 0
et d’autre part
ψ(L)=0 donc k0L=nπ soit k0=nπ
L
3/8 Étienne Thibierge, 21 janvier 2016, www.etienne-thibierge.fr