LYCEE ELIE CARTAN

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES- MARS 2011 Lycée Elie Cartan
Durée: 4h
La calculatrice est autorisée. Les élèves suivant l'enseignement de spécialité mathématiques ne
feront pas l'exercice 2, mais, à la place, l'exercice 5. Les autres candidats feront les exercices 1,2, 3
et 4.
Exercice 1 (4 points) Tous les candidats
Partie I sous forme de QCM
Il y a une seule bonne réponse par question. On ne demande pas de justification.
Toute bonne réponse rapporte un point, toute erreur enlève 0,5 point. Une absence de réponse
n’enlève pas de point.
1) La forme algébrique du nombre complexe (1+i)²(2 – 2 3 i) est :
a) 4 3 − 4i
b) 4 3 + 4i c) − 4 3 + 4i d) 4 + 4 3i
π
2π
2) ei 3 + ei 3 est égal à :
a) 3i
b)1
c) e iπ
z −z
arg  A B 
zC− zD
3)
d) i
correspond à la mesure de l'angle orienté :
 ; CD
 
a)  AB
 DC
 
b)  BA;
 ; AB

c)  CD
 ; AB

d)  DC
Partie II
Quelle est l'image A' de A où
z B=  2 e
i

4
Z A=  3−  3 i
par la rotation d'angle

et de centre B avec
3
Écris la réponse avec justifications sous forme algébrique
Exercice 2 (5points) Candidats n'ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques
A. Solutions d’une équation différentielle.
On considère l’équation différentielle : (A) y’ = −10y + 6 où y désigne une fonction de la variable t,
dérivable sur ℝ .
3
−10t
1.Vérifier que la fonction h, telle que h  x= 1−e  , est une solution de l’équation
5
différentielle (A) telle que h(0) = 0
2. Soient f et g deux solutions de l'équation différentielle (A) telles que f(0)=g(0)=0.
On veut démontrer que nécessairement f=g
a) Démontre que f-g est solution de y '= - 10 y . Déduis en l'expression de f-g.
b) En utilisant les conditions initiales sur f et g, démontre que f=g
3. Que peut-on conclure de la question 1 et 2 au sujet l’équation différentielle (A) avec y(0)=0
B. Étude d'une population de bactéries
Afin d'étudier l'évolution d'une population de bactéries, on modélise cette population par un fonction
n(t) où t est le temps en heures et n(t) le nombre de bactéries en millions à l'instant t. Dans le cadre de
cette modélisation, la fonction n(t) vérifie l'équation différentielle y'(t)= -10y + 6 et n(0)=0.
1. Déduire des questions précédentes l’expression de n(t) pour t > 0 .
2. A quel temps correspond une population de 500 000 bactéries?
3. Comment la population de bactéries évolue-t-elle avec le temps?
4. Comment peut-on qualifier l'évolution de la population de ces bactéries sur le long terme?
( justifier mathématiquement)
Exercice 3 (5 points) Tous les candidats
rr
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O; i; j .
(
)
2
Soit f la fonction définie sur]- 1 ; + ∞[ par : f(x) = x - 2,2x + 2,2ln(x + 1)
1.Faire apparaître sur l'écran de la calculatrice graphique la courbe représenta tive de cette
fonction dans la fenêtre -2 ≤ x ≤ 4, - 5 ≤ y ≤ 5.
Reproduire sur la copie l'allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.
2.
D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
a) Sur les variations de la fonction f?
b) Sur le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0?
3. On se propose maintenant d'étudier la fonction f
a) Étudier le sens de variation de la fonction f
b) Étudier les limites de la fonction f en −1 et en +∞, puis dresser le tableau de variations de f.
c) Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de
l'équation f(x) = 0.
d) Les résultats aux questions 3. a. et 3. c. confirment-ils les conjectures émises à la
question 2.?
4.
On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de
la fonction f sur l'intervalle [-0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la
question 3.
a) Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée y proposez-vous pour mettre en
évidence les résultats de la question 3. c. dans la fenêtre de votre calculatrice?
b) À l'aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à 1 0 −2
près de la plus grande solution a de l'équation f(x) = 0.
Exercice 4 (6 points) Tous les candidats
La suite (un) est définie par : u0=0 et pour tout entier n un + 1 =
1.
2.
3.
4.
2un + 1
.
un + 2
Calculer u1, u2 et u3.
Cette suite est-elle bornée ?
Cette suite est-elle monotone ?
Étudier la convergence de la suite. Si elle converge, on donnera la limite.
un − 1
5. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier n, par vn =
. Démontrez que la suite (vn) est
un + 1
une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
6. Exprimez vn puis un en fonction de n. Peut-on retrouver le résultat de la question 4. à
l’aide de ce résultat ?
Exercice de spécialité ( 5 points) Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1.
a) Déterminer l’ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de
l’équation (E) : 8x −5y = 3.
b) Soit m un nombre entier relatif tel qu’il existe un couple (p, q) de nombres entiers
vérifiant m = 8p +1 et m = 5q +4.
Montrer que le couple (p, q) est solution de l’équation (E) et en déduire que m ≡ 9 [40] .
c) Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000.
2.
a) Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k ≡ 1(modulo 7).
b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 22009 par 7 ?
3. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative,
même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a≠0 .
On considère le nombre N=a × 103b . On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme
N = a00b.
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a) Vérifier que 103 ≡ −1(modulo 7).
b) En déduire tous les nombres entiers N cherchés.
Correction du Bac blanc Mars 2011
Exercice 1 (4 points) Tous les candidats
Partie I sous forme de QCM
Il y a une seule bonne réponse par question. On ne demande pas de justification.
Toute bonne réponse rapporte un point, toute erreur enlève 0,5 point. Une absence de réponse
n’enlève pas de point.
1) La forme algébrique du nombre complexe (1+i)²(2 – 2 3 i) est : b) 4 3 +4i
(1+i)²(2 – 2 3 i)= (1 +2i -1)(2-2 3 i)=2i(2-2 3 i)=4i+4 3 =4 3 +4i
π
2π
2) ei 3 + ei 3 est égal à : a)

i
3
e e
2
i
3
= cos
3 i


2
2
1 3
1
3
i sin  cos
i sin 
= i
− i =i  3
3
3
3
3
2
2
2
2
z A− z B
 ; AB

 correspond à la mesure de l'angle orienté : c)  CD
zC− zD
z −z


 
arg  A B =arg  z A− z B−arg  z C − z D =arg  Z BA
 −arg  Z DC
 = DC ; BA= CD ; AB
zC− zD
3)
arg 
Partie II
Quelle est l'image A' de A où
z B=  2 e
i

4
par la rotation d'angle

et de centre B avec
3
Écris la réponse avec justifications sous forme algébrique
Z B=  2cos 

Z A=  3−  3 i


2
2
sin i = 2     i=1i donc
4
4
2
2


1 3
Z A ' =e 3  Z A −Z B  Z B=cos i sin    3−  3 i−1i 1i=  i  3−1−i   311i
3
3
2 2
1 3
 3−1 −i  31  3− 3 i 3  3 1i=2  32−  3 i
  i  3−1−i  311i=
2 2
2
2
2
2
Exercice 2 (5points) Candidats n'ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques
A. Solutions d’une équation différentielle.
On considère l’équation différentielle : (A) y’ = −10y + 6 où y désigne une fonction de la variable t,
dérivable sur ℝ .
3
−10t
1.Vérifier que la fonction h, telle que h  x= 5 1−e  , est une solution de l’équation
différentielle (A) telle que h(0) = 0
3
3 3
−3
h '  x= 1−e −10t '= − e−10t ' = ×−10e −10t=6 e−10t
5
5 5
5
3
−10t
−10 h x 6=−10 1−e 6=−66 e−10t 6=6 e −10t
5
3
3
0
et on a donc bien h' = - 10 h + 6 donc h vérifie A. De plus h 0 = 5 1−e = 5 1−1=0
2. Soient f et g deux solutions de l'équation différentielle (A) telles que f(0)=g(0)=0.
On veut démontrer que nécessairement f=g
a) Démontre que f-g est solution de y '= - 10 y . Déduis en l'expression de f-g.
(f-g) ' = f ' - g ' = - 10 f +6 - (-10 g +6)= - 10 f + 10 g = -10 (f – g) donc f-g vérifie bien y ' = -10 y
Comme f-g est solution de y ' = - 10 y on a f −g =C e−10 x
b) En utilisant les conditions initiales sur f et g, démontre que f=g
Comme (f-g)(0)=f(0)-g(0)=0 on a donc C e 0=0 donc C=0 et donc f − g =0e−10 x=0 et donc f=g
3. Que peut-on conclure de la question 1 et 2 au sujet l’équation différentielle (A) avec y(0)=0
On peut conclure qu'il existe une unique solution pour l'équation (A) et telle que y(0)=0
B. Étude d'une population de bactéries
Afin d'étudier l'évolution d'une population de bactéries, on modélise cette population par un
fonction n(t) où t est le temps en heures et n(t) le nombre de bactéries en millions à l'instant t. Dans
le cadre de cette modélisation, la fonction n(t) vérifie l'équation différentielle y'(t)= -10y + 6
1. Déduire des questions précédentes l’expression de n(t) pour t > 0 .
3
n t = 1−e −10t 
5
2. A quel temps correspond une population de 500 000 bactéries?
3
1
−10t
−10t
n(t)=0,5 donc 0,5= 5 1−e  donc 2,5=3−3 e−10t donc e = 6 donc
1
ln 6 
−10t=ln   et donc t=
10
6
3. Comment la population de bactéries évolue-t-elle avec le temps?
On peut évaluer l'évolution de la population de bactérie en étudiant la fonction n(t)
n ' t =6 e−10t qui est positive donc n(t) est croissante donc la population augmente.
4. Comment peut-on qualifier l'évolution de la population de ces bactéries sur le long terme?
On peut étudier l'évolution à long terme en étudiant la limite de n(t)
3
lim∞ nt =lim∞ 1−e −10t =3 /5 donc la population se stabilise à long terme vers
5
600 000 bactéries.
Exercice 3
2)
a) La fonction semble croissante. Voici
l’affichage sur une TI 83 :
b) L’équation semble avoir une solution unique,
ou en tout cas la précision de l’écran est
insuffisante pour conclure…
1
2 x ² − 0, 2 x 2 x( x − 0,1)
=
=
.
x+ 1
x+ 1
x+ 1
3) a) f '( x ) = 2 x − 2, 2 +
x
f ‘(x)
-1
0
0,1
+
-
+∞
+
0
f(x)
≈-3.10-4
f ( x) = + ∞ et lim f ( x) = − ∞ (à justifier en considérant la fonction comme une somme de 2
b) xlim
→ +∞
x→ − 1
fonctions…).
c) Il y a une solution évidente (0) . La fonction est continue, strictement croissante sur
f ( x) = + ∞ , donc d’après le th. des valeurs intermédiaires il y a une autre
[0,1 ; +∞[, f(0,1)<0 et xlim
→ +∞
solution dans [0,1 ; +∞[.
d) Les conjectures sont complètement fausses….
4. a) On peut prendre par exemple -1×10-3 et 1×103
. Voici ce qu’affiche alors une TI 83 :
b) a≈0,15
Exercice 4
13
≈ 0,93 .
14
2) En regardant les valeurs sur la calculatrice, on peut faire la conjecture que la suite est
bornée par 0 et 1.
u0=0 donc on montre facilement par récurrence que un≥0.
(un) semble majorée par 1. Démontrons le par récurrence :
2x + 1
On peut d’abord prouver que la fonction f définie par f ( x ) =
est croissante sur [0 ;
x+ 2
3
+∞[ (sa dérivée est f '( x ) =
>0).
( x + 2) 2
Initialisation : La propriété est vérifiée pour n=0 (u0=0).
Hypothèse de récurrence : un<1
On sait que un+1=f(un),
un < 1 ⇔ f (un ) < f (1) (la fonction f est croissante).
⇔ un + 1 < 1 puisque f(1)=1.
L’hérédité est prouvée, donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
1) u1=1/2, ) u1=0,8, u3 =
Autre méthode :
Initialisation : La propriété est vérifiée pour n=0 (u0=0).
2un + 1 un + 2 un − 1
−
=
< 0 (un < 1) . Donc un+1<1, la propriété est donc
H.R. un<1. un+ 1 − 1 =
un + 2 u n + 2 u n + 2
vraie.
Donc 0≤ un<1.
(Il est possible de le démontrer différemment en travaillant sur les inégalités)
3)
La suite est strictement croissante. Justification :
Méthode 1 : par récurrence. Prouvons que un<un+1 pour tout entier naturel n.
Initialisation : u0<u1 (question 1)
HR : un<un+1⇔f(un)<f(un+1) car f croissante ⇔ un+1<un+2.
L’hérédité est prouvée donc la propriété est vraie pour tout n.
Méthode 2 :
1 − un ²
un + 1 − un =
, donc puisque 0< un<1, un+1 − un > 0, la suite est croissante.
un + 2
4) La suite est croissante et minorée, elle converge donc vers une limite l.
2l + 1
l est solution de l’équation l =
. En résolvant cette équation on trouve une seule
l+ 2
racine positive qui est l=1. La suite converge donc vers 1.
un + 1 − 1 2un + 1 − un − 2 un − 1 1
=
=
= vn . La suite vn est donc géométrique de
5) vn + 1 =
un + 1 + 1 2un + 1 + un + 2 3un + 3 3
raison 1/3 et de premier terme −1.
1
1− n
n
1 + vn
−1
 1
3
=
6) vn = (− 1)  ÷ = n et un =
1
1
−
v
3
 3
n
1+ n
3
1
lim n = 0 , donc on retrouve la limite 1 trouvée à la question 4)
n→ + ∞ 3
Exercice de spécialité ( 5 points) Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1.
a) Déterminer l’ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de
l’équation (E) : 8x −5y = 3.
(1;1) est une solution particulière
donc 8x-5y= 8 -5 et donc 8(x-1)=5(y-1) comme 5 et 8 sont premiers entre eux on a
5 divise x-1 et 8 divise y-1
C'est à dire il existe k et k' dans N tels que x-1 =5 k et y-1=8k' ou encore
x=5k+1 et y=8k'+1
en vérifiant dans l'équation 8x-5y=3 on obtient k = k'
Finalement l'ensemble des solution est constituée des couples ( 5k+1 ; 8k+1 ), k dans N
b) Soit m un nombre entier relatif tel qu’il existe un couple (p, q) de nombres entiers
vérifiant m = 8p +1 et m = 5q +4.
Montrer que le couple (p, q) est solution de l’équation (E) et en déduire que m ≡ 9 [40] .
m−1
m−4
m = 8p +1 et m = 5q +4 donc p=
et q=
et
8
5
m−1
m−4
8p−5q=8×
−5×
=m−1−m4=3 donc (p;q) solution de (E)
8
5
(p;q) solution de (E) donc il existe k tel que (p;q)=( 5k+1 ; 8k+1 ) ou encore tel que
p= 5k+1 et q= 8k+1 donc 8p+1=8(5k+1)+1=40k+9 et donc m ≡ 9 [40]
c) Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000.
Comme m ≡ 9 [40] on a m= 40k+9, or 2000=40×50 donc m =2009 est ce nombre.
2.
a) Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k ≡ 1(modulo 7).
23 =8≡ 1 (modulo 7) donc 23k ≡ 1(modulo 7)
b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 22009 par 7 ?
2009=669×32 donc 2 2009=2669×32 =2669×3×2 2≡1×4≡4 [7]
3.
Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a≠0 .
On considère le nombre N=a × 103b . On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme
N = a00b.
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a) Vérifier que 103 ≡ −1(modulo 7).
3
10 =1000=143×7−1≡−1[7]
b) En déduire tous les nombres entiers N cherchés.
Donc a ×103 b≡−ab[7] donc pour que N soit divisible par 7 il faut que a=b [7]
Donc les nombres 1001 1008 2002 2009 3003 4004 5005 6006 7007 7000 8001 8008 9002 9009