¡q{3

TD 1 : Ordres de grandeurs et dimensions
1 Mise en route: de l’infiniment petit `a l’infiniment
grand
1. Les quarks, constituants du noyau
(a) proton 2 Qu 1Qd q ; neutron 1 Qu 2Qd 0
Donc Qu 2q3 et Qd q 3
(b) e q
(c) I q t donc q IT
(d) Signe est de FEdonn´e par le produit des charges. Dans le cas de l’atome d’hydrog`ene
FE0 exprime une force attractive donc la coh´esion de l’atome.
(e) F m a MLT 2
(f) kEML3T4I2
(g) FE2.10 8N
(h) Entre deux protons, force r´epulsive : FE2.102N
(i) Cette r?pulsion entre protons due `a l’interaction ´electromagn´etique impose l’existence
d’une autre interaction, d’intensit´e nettement plus importante assurant la coh´esion
du noyau, d’o? le terme d’interaction forte.
(j) Avec un espacement entre atomes dans le cristal de l’ordre de 10 9m, on attend
avec ce mod`ele d’une force ressemblant ? la loi de Coulomb :
FIF atome
FIF noyau 10 12
(k) Malgr´e cette d´ecroissance de la force en 1 d2, une telle port´ee infinie de l’interaction
forte rendrait impossible toute structure cristalline,par exemple. Il faut donc que
la port?e de l’interaction forte soit limit´ee. Par exemple, de la taille du noyau.
2. Les atomes
(a) H L.
(b) a
rH
2.103
(c) Si ces nombres suivent une loi exponentielle, on doit avoir ln n α βz. Donc,
entre deux niveaux z, le log du nombre doit ?voluer selon la m?me pente :

•entre 95.10 4cm et 65.10 4cm, on a : βln n1ln n2
z1z2
217 cm 1
•entre 65.10 4cm et 35.10 4cm, on a : βln n2ln n3
z2z3
238 cm 1
•entre 35.10 4cm et 5.10 4cm, on a : βln n3ln n4
z3z4
252 cm 1
ce qui semble ?tre le cas. Et on a β1H.
(d) ` A partir de la formule des gaz parfait, on a : RT F S V ML2T2
(n, nombre de moles, quantit´e de mati`ere, n’a pas de dimension en principe on
peut toutefois noter Nla dimension d’une quantit´e de mati?re on a alors RT
ML2T2N1).
Puis NRT H mg ML2T2L M LT 2donc Nest sans dimension
(ou NN1avec la convention pr´ec´edente). C’est un nombre, le nombre de
mol´ecules dans une ”mole” de mati`ere.
(e) En prenant la valeur moyenne de 1 H238 cm 1, on a N7.1023.
(f) Les valeurs sont tr`es compatibles.
3. L’Univers
(a) La quantit´e de lumi`ere collect´ee est proportionnelle `a la surface du t´elescope, donc
l’intensit´e lumineuse doit ˆetre 2.5 2.5 6.25 fois plus importante.
(b)
φLL2IVL2
(c) Si φ1φ2100 alors d2d110.
(d) Une ”ann´ee-lumi`ere” = temps * vitesse = distance.
(e) dAndromede Soleil dT erre Soleil 106365 24 60 8 65,7.109
(f) H0T1donc 1 H0a la dimension d’un temps.
(g) Un parsec est une distance donc l’unit´e de H0est bien l’inverse d’un temps.
(h) Un parsec dT erre Soleil π180 3600 8 60 3.108π180 3600 3.1016 m
(i) VAndromede 70 1032 106365 24 3600 3.1083.1022 44.103m.s1,
pour une galaxie situ´ee 1000 de fois plus loin, on aurait V44.106m.s1,
et pour une galaxie situ´ee un million de fois plus loin, on aurait V44.109m.s1,
ce qui correspond `a 146 fois la vitesse de la lumi`ere...A discuter avec votre professeur
si vous voulez ! Ce calcul est tout ? fait juste.
Page 2

2 Mise en application
Exercice 1 corrig´e
1. E M.L2T2unit´e SI le Joule (J).
F M.LT 2unit´e SI le Newton (N).
p M.L 1T2unit´e SI le Pascal (Pa).
2. (a) A L.T 2,V0L.T 2
(b) On se base sur la dimension de p dans l’´equation pour d´emarrer. On a [p] ? la
question pr´ec´edente. R M.L 3, G L.T 2
(c) F M.L.T 2,G L.T 2,L M.T 1,K M.T 2
Exercice 2 corrig´e - Vibration d’une goutte
La fr´equence de vibration d’une goutte d’eau d´epend de plusieurs param`etres. On sup-
posera que la tension superficielle est le facteur pr´edominant qui assure la coh´esion de la
goutte, par cons´equent, les param`etres identifi´es comme intervenant dans l’expression de la
fr´equence de vibration fsont les suivants :
•R, le rayon de la goutte ;
•ρ, la masse volumique de l’eau ;
•A, la constante intervenant dans l’expression de la force due `a la tension superficielle
(la dimension de Aest celle d’une force par unit´e de longueur). La tension superficielle
est la force qu’il faut appliquer par unit´e de longueur le long d’une ligne perpendicu-
laire `a la surface d’un liquide en ´equilibre pour provoquer l’extension de cette surface.
1. Justifier simplement le choix de ces param`etres.
solution :
La coh´esion d’une goutte d’eau sph´erique est assur´ee par la tension de surface pour la
goutte, elle va ici rappeler la goutte vers une forme sph´erique, elle doit donc intervenir
dans la fr´equence de vibration de celle-ci. L’inertie de la goutte va ´egalement intervenir
dans ce mouvement, elle est donn´ee par la masse volumique du fluide consid´er´e ρ. Enfin
la taille de la goutte paraˆıt ˆetre un param`etre pertinent lui aussi car pour une goutte
plus grosse d’un fluide donn´e, la coh´esion est plus difficile `a assurer.
2. On peut ´ecrire : f k1RaρbAc, o? k1est ici une constante sans dimension ; a,bet csont
les exposants de R,ρet A. En d´eduire les valeurs de a, b et c par analyse dimensionnelle.
solution :
f k1RaρbAck1constante sans dimension
Page 3

R L,A M.L.T 2L1MT 2et ρ M.L 3.
f T 1. D’o`u T1La.Mb.L 3b.McT2cLa3b.Mb c.T 2c
Donc a3
2,b1 2,c1 2, soit f k1A ρR3k1constante sans dimension
Ce r´esultat avait ´et´e donn´e par Lord Rayleigh dans un article Nature, 95,66,1915.
Exercice 3 corrig´e - Ast´erosismologie
L’observation continue de milliers d’´etoiles avec une tr`es bonne pr´ecision nous permet de
faire de nombreuses ´etudes en astrophysique. L’une d’entre elles est l’´etude des oscillations
de la surface des ´etoiles (des ”tremblements d’´etoiles”) qui se manifestent par de petites
variations p´eriodiques de la luminosit´e des ´etoiles. Ces observations peuvent ˆetre utilis´ees
pour ´etudier la structure interne des ´etoiles, un peu comme nous utilisons les tremblements
de Terre pour ´etudier la structure de la croˆute terrestre. Nous allons faire ici les premiers
pas de ce travail en cherchant une relation entre la fr´equence fdes oscillations observ´ees
et les propri´et´es de l’´etoile via l’analyse dimensionnelle. On propose de s’appuyer sur les
grandeurs caract´eristiques suivantes pour les propri´et´es d’une ´etoile :
•Gla constante universelle de gravitation ;
•Rrayon de l’´etoile ;
•ρla masse volumique de l’´etoile.
1. On rappelle l’ordre de grandeur de la masse et du rayon de l’´etoile la plus proche de
nous, notre Soleil :
•M2.1030 kg
•R7.105km
En d´eduire une estimation de la masse volumique moyenne du Soleil. Qu’en pensez vous
si vous la comparez ? la masse volumique d’objets que vous connaissez ?
solution :
On trouve 103kg.m3. Une masse volumique tout `a fait usuelle (c’est celle de l’eau)...Mais
c’est une moyenne, le soleil est loin d’ˆetre homog`ene !
2. (a) Donner une expression de la force d’interaction gravitationnelle entre deux corps
c?lestes de masses respectives m1et m2´eloign´es d’une distance ret qui fait ap-
paraˆıtre la constante universelle de gravitation. En d´eduire les dimensions de G.
solution :
en projetant sur erF1,2Gm1m2
d2; d’o`u G L3.T 2.M 1
Page 4

(b) Donner les dimensions de ρet frespectivement masse volumique de l’´etoile et
fr´equence des oscillations de sa surface.
solution :
ρ M.L 3
f T 1
3. Trouver une loi (`a une constante multiplicative ksans dimension pr`es) donnant la
fr´equence des oscillations de l’´etoile fen fonction des grandeurs caract´eristiques men-
tionn´ees pr´ec´edemment.
solution :
f k ρG
Exercice 4 corrig´e - Vitesse du son
1. On peut exprimer la c´el´erit´e c(ou vitesse de propagation) du son dans un fluide en
fonction de la pression pet de la masse volumique ρde ce milieu. Justifier bri`evement
pourquoi ces param`etres paraissent pertinents. Trouver l’expression de cpar analyse
dimensionnelle `a une constante pr`es sans dimension.
solution :
On peut par exp´erience du quotidien penser `a p,Tet ρ(le son se propage plus vite
quand...). Mais on a ´egalement l’´equation d’´etat du gaz qui vient lier deux param`etres,
on ne doit travailler que sur deux d’entre eux par exemple pet ρici, la d´ependance en
temp´erature ´etant implicite.
si c k.ρα.pβ, k sans dimension. Sachant c L.T 1,ρ M.L 3et p F S
M.L 1.T 2, on retrouve :
c k. p
ρ, avec k sans dimension.
2. On cherche maintenant une autre expression de cfaisant apparaˆıtre explicitement la
d´ependance en temp´erature. En supposant que l’air se comporte comme un gaz parfait,
exprimer ρen fonction de p, de la temp´erature Tet de la masse molaire M, puis ex-
primer cen fonction de Tet M. En supposant que la constante de proportionnalit´e dans
l’expression de cvaut 1, faire l’application num´erique pour l’air `a 20 C. On rappelle les
valeurs de la constante des gaz parfaits : R= 8,31 J.mol 1.K1et de la masse molaire
de l’air : M= 29 g.mol 1.
solution :
pV nRT ρRT V
Mcar nρV Md’o? pρRT Met ρpM RT . Donc :
c k. RT
M, avec k sans dimension qu’on prend `a 1 ensuite.
Calcul : attention aux unit´es c10.300
30.10 3105300 m.s1
Page 5