1 Problème: dans les nuages

Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014
TD 1 : Ordres de grandeurs et dimensions
1 Problème: dans les nuages
1. La pluie
(a) Les gouttes de pluie sont millimétriques. Une mesure simple consiste à mettre de
la farine dans un moule à tarte et à exposer la chose à la pluie. On récupère les
grumeaux, que l’on pèse puis que l’on sèche, puis que l’on pèse. On expliquera plus
tard pourquoi les gouttes ne sont pas majoritairement sub-millimétriques. Elles ne
sont pas centimétriques car alors elles se gonflent, forment un film qui se déstabilise
pour faire... des gouttelettes millimétriques. Voir "Shape and instability of free-
falling liquid globules", EPL, 80, 34005 (2007). Leur vitesse de chute est de l’ordre
du mètre par seconde.
(b) Cette hauteur est indépendante de la surface du bocal. Les petites pluie d’automne
ne déposent que quelques millimètres d’eau par jour. Les orages d’été donnent
plusieurs dizaines de millimètres d’eau. Les girolles ne poussent que lorsque plus de
20 mm d’eau sont tombés dans un temps ne permettant pas l’infiltration profonde.
Quand aux cèpes, il faudrait qu’il pleuve un peu plus: on les attend encore.
(c) Paris fait grossièrement 10 km par 10 km, ce qui nous donne: 10 mm * 10 km * 10
km = 106m3109L. Rmq: on laissera systématiquement les unités au numérateur
et dénominateur dans les applications numériques.
(d) Cela donne grossièrement 106m310 9m31015gouttes. Rmq: la même.
2. (a) ρ ML 3
(b) kg m 3
(c) En partant du fait qu’un litre d’eau pèse 1 kg, on trouve ρe1000 kg m 3
(d) On effectue une pesée d’un volume connu de liquide, en utilisant de la verrerie avec
un col très fin permettant d’ajuster le volume. On atteint des précision de quelques
pour mille, ce faisant.
(e) Ah ben non.
3. On souhaite trouver l’ordre de grandeur de la masse volumique ρade l’air à partir de
considérations sur l’atmosphère terrestre. Dans un fluide de masse volumique constante
ρ(ce qui n’est pas le cas de l’air), la pression à une altitude zest donnée par P P0ρgz,
où zest l’altitude, g9.81 ms 2l’accélération de la pesanteur et P0la pression à
l’altitude z0qui est pris au niveau du sol.
(a) P ρ g z ML 3LT 2L ML 1T2

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(b) 1 Pa 1kg m 2 s 2et aussi 1 Pa 1N m 21J m 3. Une pression est une force
par unité de surface ou une énergie par unité de volume.
(c) De l’isobare de référence P01015hPa, on déduit habilement que OP103hPa
105Pa
(d) H10000 m, ce qui est nettement au dessus des nuages de convection (500 m
en zone côtière, l’été ou en zone continentale, en période peu chaude; plusieurs
kilomètres les jours chauds de l’été, au coeur des continents.). Rmq: on fera ob-
server par la fenêtre l’éventuelle présence de nuage et la hauteur à laquelle monte le
panache de l’usine d’incinération d’Ivry. A leur latitude de croisière, l’air est strat-
ifié de manière stable (d’où l’absence de nuages convectifs), ce qui assure l’absence
de turbulence atmosphérique. Les avions doivent, pour se déplacer, avoir une force
de portance qui contrebalance la gravité. Elle va comme la masse volumique de
l’air fois la vitesse de l’avion au carré. La puissance dissipée (et donc le kérosène)
va comme la masse volumique de l’air fois la vitesse de l’avion au cube. Monter
conduit donc à pouvoir aller plus vite, mais cela se paye. 10000 km est donc un
compromis entre vitesse et consommation.
(e) La hauteur Hdoit convenir.
(f) z P0rhog
(g) Dans le cas de l’atmosphère réelle où l’air a une masse volumique variable, cette
relation reste valable localement (la dérivée dP dz vaut ρg). Si l’on dessine un
profil typique de décroissance de la masse volumique avec l’altitude, on choisir-
ait probablement de dresser la tangente du profil au sol pour estimer la hauteur
caractéristique (c’est ce qu’on fait pour une exponentielle, par exemple). Cette
construction donne exactement z P0rho0g.
(h) OρaP0gH 105Pa 10 ms 2104m 1 kg m 3. On tombe à 20 pourcents
de la valeur tabulée.
(i) Parce que notre corps est en moyenne moins dense que l’eau.
(j) Les gouttes sont composées d’eau, qui est plus dense que l’air.
4. (a) f mg 4 3πR3ρeg.
(b) Les gouttes ne sont pointues que si elles coulent sur un substrat solide (une vitre ou
une joue par exemple). Rmq: faire l’expérience sur un morceau de plastique (film
transparent par ex). Dans l’air les petites gouttes sont rondes, du fait de la tension
de surface.
(c) f mg MLT 2
(d) 1N 1kg m s 2.
5. La force de frottement fde la goutte d’eau dans l’air s’écrit f6πηRu, où uest sa
vitesse de chute par rapport à l’air et ηla viscosité de l’air.
(a) η f Ru M LT 2LLT 1M L 1T1
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(b) η1.8 10 5Pa s.
(c) umg
6πηR
2ρeR2g
9η.
(d) Goutte micrométrique: u2103kgm 310 6m210ms 2
91.8 10 5kgm 1s110 4ms 1.
(e) Goutte millimétrique: u102ms 1.
(f) Parachutiste: u108ms 1. Il y a un problème: c’est la vitesse de la lumière. 100
microns par seconde pour la goutte micrométrique, c’est raisonnable, le mètre par
seconde pour un dixième de millimètre aussi. Mais pour la goutte micrométrique,
on a déjà deux ordres de grandeur de trop, et pour le parachutiste, six ordres de
grandeur. En réalité, l’écoulement autour d’un corps devient turbulent lorsque
ρaRu η devient grand devant 1 et la force de frottement augmente alors beaucoup
plus vite avec la vitesse (comme u2).
6. Conclusion
(a) Le ciel est bleu (et polarisé) tandis que les nuages sont blancs (surtout vers les
bords). Par contre, on ne voit pas d’arc-en-ciel avec les nuages... Cela suggère une
composition avec des gouttes plus grandes que les longueurs d’onde optique, mais
plus petite que celles nécessaire à avoir l’approximation géométrique. Bref, autour
du micron.
(b) Les vitesses ascensionnelles sont à priori du même ordre que les vitesses horizontales
dans l’atmosphère: de 1à10 ms 1. L’ascension du cumulo-nimbus suggère une
montée d’ordre kilométrique en une dizaine de minutes, ce qui confirme l’ordre de
grandeur.
(c) Parce que la vitesse de chute des gouttes micrométrique est très faible devant la
vitesse d’ascension de l’air chaud et humide.
(d) Une grosse goutte tombe plus vite qu’une petite goutte et la rattrape donc, coalesce,
formant une goutte plus grosse qui va encore plus vite, rattrape d’autres petites
gouttes. On a là une croissance par coalescence dont on peut dire qu’il a le sens de la
justice sociale: les gros deviennent plus gros. Rmq: il faut souligner impérativement
que ceci n’est pas vrai pour des petites vitesses de chute, où les frottements dans
l’air peuvent être négligés, la vitesse ne dépend alors pas de la masse.
(e) Pour que les gouttes forment une pluie, il faut donc qu’elles soient assez grosses pour
échapper aux courants ascendants. Les processus d’atomisation et de coalescence
conduisent à une distribution de gouttes au sol, encore controversée.
(f) Ceci ne résout pas tout. Comment les gouttes se forment-elle, ab initio? (prob-
lème du germe de nucléation, en général des cristaux de glace ou des cochonneries)
Pourquoi le bas des nuages est-il plat, mais pas le dessus? (le bas est l’isotherme de
passage au point de rosée). Pourquoi n’y a t’il de nuage que dans les ascendances?
etc.
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