Domaine - La forme et l`espace (La mesure)

La forme et l’espace : La mesure
Domaine - La forme et l’espace
(La mesure)
Mathématiques 3231/3232
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La forme et l’espace : La mesure
La forme et l’espace : La mesure
FE1 :
L’élève doit pouvoir utiliser la mesure pour décrire et comparer des phénomènes du monde réel.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
FE1.1 utiliser les formules de la
distance entre deux points, des
coordonnées du point milieu et de la
pente dans le plan cartésien pour
résoudre des problèmes ;
• Par l'intermédiaire d'activités variées, réviser avec les élèves la
formule :
a) de la distance entre deux points A(x 1, y1) et B (x 2, y2) ,
;
b) des coordonnées du point milieu du segment AB,
FE1.2 convertir la mesure d'un angle
de degrés en radians et vice versa ;
FE1.3 faire le lien entre le signe des
rapports trigonométriques d'un angle
et le quadrant où se trouve son côté
terminal ;
FE1.4 identifier et évaluer des angles
co-terminaux.
;
c) de la pente de la droite AB,
.
C Confier aux élèves la tâche de résoudre des problèmes de
trigonométrie qui font intervenir la conversion des degrés en
radians et vice versa.
C Amener les élèves à comprendre, dans un contexte de résolution de
problèmes, les termes suivants :
S Un angle en position standard
S Le côté terminal d’un angle
S Des angles co-terminaux
S Un angle principal
C Réunir les élèves en équipes de deux et leur demander de consulter
un manuel de mathématiques afin de se renseigner sur les signes des
rapports trigonométriques primaires sinus, cosinus et tangente
d’angles dont les côtés terminaux se trouvent dans les quadrants I,
II, III et IV et de préparer une affiche comprenant toutes les
données recueillies. Mentionner aux élèves que l’affiche devrait
aussi inclure les signes des rapports inverses cosécante, sécante et
cotangente.
C Demander aux élèves de résoudre des problèmes tels que le suivant :
Dans le plan cartésien, tracez un cercle de rayon unitaire et de
centre confondu avec l’origine des axes. Tracez ensuite un côté
terminal dans le premier quadrant. Désignez par P(x, y) le point
d’intersection de ce côté et du cercle et par 2 l’angle formé par ce
côté terminal.
a) Déterminez les coordonnées de P si 2 = 450.
b) Déterminez les coordonnées de P si 2 = 1350, puis si 2 =2250.
c) Que constatez-vous ?
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Pistes d'évaluation
Ressources
Pendant que les élèves utilisent des formules de géométrie analytique
pour résoudre des problèmes, vérifier s’ils peuvent :
S comprendre clairement les exigences du problème à résoudre ;
S utiliser les formules et les stratégies efficaces pour résoudre le
problème ;
S vérifier la vraisemblance de leurs réponses.
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C À l’aide d’une brève interrogation, évaluer ce qu’ont retenu les
élèves au sujet des signes des rapports trigonométriques primaires
et inverses. Vérifier ensuite leurs affiches selon des critères qui
pourraient porter sur la créativité, la présentation, la pertinence
des diagrammes joints et la concision des explications.
C Donner aux élèves tout le temps dont ils ont besoin pour discuter
en équipes de deux de la signification des termes suivants :
S Un angle en position standard
S Le côté terminal d’un angle
S Des angles co-terminaux
S Un angle principal
Inviter des élèves volontaires à présenter ces termes au reste de la
classe à l’aide d’exemples pertinents. Au besoin, mettre à leur
disposition un rétroprojecteur et des transparents. S’assurer qu’ils
peuvent illustrer correctement chaque terme par un diagramme.
C Demander à chaque élève de concevoir un problème qui fait
intervenir la détermination des rapports trigonométriques
primaires exacts d’un angle, dont le côté terminal est situé dans le
quadrant I, II ou III, à partir d’un de ces angles particuliers 300,
450 ou 600. Former ensuite des équipes de deux élèves qui
échangeront leur problème et essaieront de le résoudre. Après
avoir vérifié le travail du partenaire, ils discuteront de leurs
solutions afin d’y identifier les points forts et les points faibles et
proposer des corrections si nécessaire.
C Demander aux élèves de répondre dans le journal de bord à des
questions telles que les suivantes :
S Dans quel quadrant se trouve l’angle de référence ?
S Où se trouve le côté initial d’un angle quelconque 2 ?
S Dans quel sens tourne le côté terminal de 2 ?
S Quelle relation y a-t-il entre l’angle 2 et son angle de référence si
son côté terminal est dans le quadrant IV ?
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FE1 : L’élève doit pouvoir utiliser la mesure pour décrire et comparer des phénomènes du monde réel.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
C Soumettre aux élèves une activité à faire qui leur permet de
découvrir les liens entre les coordonnées cartésiennes d’un point
P(x, y) et ses coordonnées polaires (r, 2 ). Au cours de cette
activité, ils devraient partir des rapports trigonométriques
primaires de l’angle 2 pour aboutir aux formules x = r cos 2 et y
= r sin 2 et tan 2 =
. Leur demander ensuite de trouver les
coordonnées polaires du point P
.
FE1.5 utiliser le système de
coordonnées cartésiennes afin de
comprendre le lien entre les
coordonnées rectangulaires et les
coordonnées polaires ;
FE1.6 prouver la formule de l’aire
d’un triangle
l’utiliser pour résoudre des
problèmes.
et
Inviter des élèves à présenter au reste de la classe des exemples de
conversion des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires
et vice versa.
C Réunir les élèves en équipes de deux et leur confier la tâche de
déterminer la formule de l’aire d’un triangle ABC dont les
longueurs des côtés sont : AB = c , AC = b et BC = a . Pour ce faire,
leur indiquer de commencer par la formule de l’aire d’un triangle
[aire = (base x hauteur)/2 = (a x h)/2], puis d’utiliser la loi des
sinus et le rapport trigonométrique cosinus dans un triangle
rectangle. Une fois la preuve est faite, inviter une équipe
volontaire à présenter sa preuve au reste de la classe.
C Demander aux élèves d’utiliser un ordinateur doté d’un logiciel de
géométrie afin de vérifier la formule de l’aire
.
C Confier aux élèves la tâche de prouver la formule
en utilisant la formule de l’aire d’un triangle.
.
Pour ce faire, demander aux élèves de dessiner un triangle isocèle
ABC (AB = AC = x) , de hauteur relative à la base AH = h et
d'angle au sommet A de mesure 2 . Leur mentionner de partir du
fait que l'aire du grand triangle ABC est égale à la somme des aires
des deux petits triangles AHB et AHC . À ne pas oublier que dans
tout triangle isocèle, la hauteur relative à la base est à la fois
médiane, médiatrice et bissectrice.
Les élèves devraient rédiger un compte rendu détaillé de la preuve.
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Ressources
• Pendant que des élèves présentent à la classe la méthode de passer
des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires et vice
versa, demander à leurs camarades de leur poser des questions qui
permettent de clarifier les points qui leur semblent vagues.
S'assurer que les questions posées sont :
S réfléchies et pertinentes ;
S bien formulées ;
S logiques par rapport au contenu notionnel présenté.
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• Circuler dans la classe, pendant que les élèves travaillent en
équipes de deux pour prouver la formule de l'aire d'un triangle,
afin de vérifier s'ils :
S appliquent correctement la loi des sinus ;
S peuvent au besoin faire des substitutions ;
S peuvent simplifier afin d'aboutir à la forme réduite de la
formule.
• Élaborer en collaboration avec les élèves, une échelle
d’appréciation qui pourrait servir à évaluer leur compte rendu de
la preuve de la formule
, en utilisant la
formule de l’aire d’un triangle.
• Proposer aux élèves d’évaluer leur propre aptitude à utiliser un
logiciel de géométrie pour vérifier des formules ayant trait à la
géométrie et à la trigonométrie.
• Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord une
autre méthode pour prouver la formule
,
puis d’y écrire un court paragraphe comparant cette méthode à
celle de l’aire.
• Demander aux élèves d’inclure dans leur portfolio des activités qui
constituent une preuve qu’ils ont atteint les résultats
d’apprentissage spécifiques relatifs aux notions étudiées.
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