énoncé

DISPERSION, ABSORPTION, ATTÉNUATION DES ONDES / ONDES
ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LES PLASMAS ET LES CONDUCTEURS
1. Correction ionosphérique pour le système G.P.S (sujet classique)
On considère une onde se propageant dans l’ionosphère, plasma dilué localement neutre contenant n électrons libres par unité
de volume. La charge d’un électron est notée −e , sa masse m.
On considère une onde plane progressive harmonique polarisée rectilignement se propageant dans l’ionosphère, soit, en
rr
rr
r r
r r
utilisant la notation complexe : E = E 0 e i (ωt − k ⋅r ) ; B = B 0 e i (ωt − k ⋅r ) .
r ne 2 r
Le champ électrique de l’onde engendre des courants de densité volumique J =
E.
imω
→  → r 
→
r
r
On note c la célérité de la lumière dans le vide. On donne la formule : rot  rot ( E ) = grad div( E ) − ∆E


a) Écrire les équations de Maxwell dans le plasma en notation complexe.
[
2
b) En déduire que la relation de dispersion dans le plasma se met sous la forme k =
fonction de n, e, ε 0 et m. La fréquence f p =
ωp
2π
ω2 − ωp 2
c2
]
. Exprimer la pulsation ω p en
est appelée pulsation de coupure du plasma. Justifier son nom. En journée,
cette fréquence est de l’ordre de 1 MHz.
c) On suppose f > f p . Calculer la vitesse de groupe : vitesse d’un paquet d’ondes très étroit centré sur la fréquence f. Donner
cette vitesse en fonction de f et de f p .
d) Un satellite S se trouve au dessus de l’ionosphère et communique avec un point
M de la Terre. On note D la distance SM et H l’épaisseur d’ionosphère traversée.
La partie de l’atmosphère qui n’est pas l’ionosphère est assimilée au vide.
Le satellite émet à t = 0 un paquet d’ondes de fréquence f telle que f >> f p .
Calculer la date t de réception du signal en M en fonction de D, c, H, f p et f. On
1
2
X
à l’ordre 1 en X.
2
telles que f1 > f 2 >> f p sont
pourra utiliser le développement limité en 0 : (1 + X )
e) Deux paquets d’ondes de fréquences f1 et f 2
−
= 1−
émis simultanément en S à la date t = 0 , ils arrivent respectivement en M aux
dates t1 et t 2 . Exprimer en fonction de H, c, f p , f1 et f 2 le décalage temporel
∆t = t2 − t1 entre les deux paquets d’ondes à leur arrivée en M.
f) Déduire des deux questions précédentes que la distance entre M et le satellite peut s’écrire D = ct − d , avec
c∆t
d=
. Le terme d est appelé correction ionosphérique, obtenu par mesure de ∆t en temps réel. Justifier son

1 
2 1
f
−
 f 2 f2
1 
 2
nom.
A.N : f1 = 1,575 GHz ; f 2 = 1,228 GHz ; c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s -1 . On mesure ∆t = 1,58 ⋅ 10 −8 s . Quelle erreur sur D serait commise
pour un signal de fréquence f 1 si l’on n’effectuait pas la correction ionosphérique ? Commenter cette valeur.
 fp 
réponse : c) vg = c 1 −  
 f 
2
2
Hf p 2  1
D H  fp 
1 
d) t ≈ +
 2 − 2  f) d = 7,4 m
  e) ∆t ≈
2c  f 2
c 2c  f 
f1 
O.P.P.H dans un milieu
2. Amortissement d’une onde sonore par viscosité (sujet classique)
r
ρ
ρ − ρ0
p
p − p0
En acoustique, la vitesse particulaire v1 , l’écart relatif de masse volumique 1 =
et de pression 1 =
sont des
ρ0
ρ0
p0
p0
infiniment petits du même ordre. On néglige l’influence de la pesanteur.
a) Donner les formes linéarisées des trois équations locales de l’acoustique pour un fluide visqueux (le fluide étant très peu
r
compressible, la prise en compte de la viscosité se traduit par l’apparition d’une force volumique η∆v comme dans le cas
incompressible). On introduira le coefficient de compressibilité isentropique χ S =
1
après avoir justifié son utilisation.
ρ0c 2
b) Établir l’équation de propagation de la surpression. Commenter son expression.
η
v
Introduire la grandeur τ =
= 2 et donner sa valeur numérique pour l’air pour lequel à 20 °C, ν = 1,6 ⋅ 10 −5 m 2 ⋅ s -1 . En
2
ρ0 c
c
déduire que dans le domaine audible (ondes de pulsation ω ), ωτ << 1 .
c) On cherche des solutions harmoniques de cette équation sous la forme d’ondes planes : p1 = P1ei (ωt − kx) . À quelle équation de
ω
ωτ 
1 − i  . En déduire la vitesse de phase de l’onde et la distance δ
c 
2 
caractéristique de l’absorption de l’onde. Faire l’application numérique pour f = 1 kHz puis f = 10 kHz et commenter.
dispersion satisfont-elles ? Montrer que l’on a k ≈
réponse : b) ∆p1 + τ
1 ∂ 2 p1
∂∆p1
: irréversibilité
= 2
∂t
c ∂t 2
3. Dispersion d’une onde dans une chaîne infinie d’atomes (sujet classique)
On considère une chaîne infinie linéaire d’atomes ponctuels de masse m liés par des ressorts de raideur K. La chaîne est portée
par l’axe OX ; à l’équilibre, les atomes occupent les positions X n = na avec n ∈ Z , où a est la longueur à vide des ressorts.
a
m
m
m
m
m
X
K
K
K
K X = na K
K
n
xn
a) Établir les équations différentielles régissant la position x n de l’atome n par rapport à sa position d’équilibre.
b) On cherche des solutions sous la forme xn = Aei ( ωt − kX n ) , avec A constante réelle. Déterminer la relation de dispersion.
Montrer que la chaîne se comporte comme un filtre passe-bas dont on calculera la pulsation de coupure ωc . Tracer le graphe
ω(k).
c) Calculer xn lorsque ω = ωc . Commenter.
d) Calculer xn lorsque ω << ωc . Commenter. Déterminer alors la vitesse de phase et la vitesse de groupe l’onde. Montrer que
l’on peut déterminer dans ce cas une équation d’onde et retrouver les résultats précédents.
 ka 
réponse : b) ω = 2ω0 sin   c) vibration en opposition de phase pour deux atomes voisins d) pas de dispersion
 2 
(approximation des milieux continus), on retrouve l’équation d’onde de D’Alembert
4. Câble coaxial avec pertes
Les pertes dans un câble coaxial sont prises en compte en ajoutant des éléments résistifs. Le premier, de résistance dR = rdz
est en série avec la bobine et le second, de conductance dG = gdz , est en parallèle avec le condensateur.
Les grandeurs r et g sont relatives à l’unité de longueur.
Λ dz
i( z + dz, t )
i(z,t) dR = rdz
Γdz
u(z,t)
dG = gdz
u( z + dz, t )
dz
a) En appliquant les lois élémentaires de l’électrocinétique, établir deux relations entre u(z, t), i(z, t) et (ou) leurs dérivées
premières.
En déduire que les fonctions u(z, t) et i(z, t) satisfont à l’équation du télégraphiste:
∂ 2 ψ( z, t )
∂ 2 ψ( z , t )
∂ψ( z , t )
− γψ( z , t )=0
∂t
∂z
∂t
Donner l’expression des coefficients α, β et γ en fonction de Λ, r, Γ et g. Vérifier l’homogénéité de l’équation du télégraphiste.
2
−α
2
−β
b) On cherche des solutions de cette équation sous la forme ψ ( z , t ) = ψ 0 e j ( ωt − kz ) . En déduire la relation de dispersion :
k 2 = −(r + jΛω)( g + jΓω)
Montrer qu’on peut écrire k = ±(k ′ + jk ′′) avec k ′ > 0 et k ′′ < 0 deux réels positifs que l’on ne cherchera pas à calculer.
En déduire la forme générale des solutions de l’équation de propagation. Donner l’interprétation physique des différents termes
de cette solution.
c) On appelle impédance caractéristique Z c d’une ligne le rapport de la tension sur le courant au cours de la propagation
progressive :
Zc =
u+
i+
. Écrire a priori l’expression de u + ( z , t ) et i + ( z , t ) . On note U 0 et I 0 leurs amplitudes respectives.
1
 r + jΛω  2
 .
Déduire des deux relations de couplage que Z c = 
 g + jΓω 
d) À quelles conditions doit satisfaire ω pour qu’on puisse négliger les pertes ? Quelle forme prend alors la relation de
dispersion et l’impédance caractéristique Z c ?
r
g
On se place dans le cas où
<< 1 et
<< 1 . Effectuer à l’ordre 2 en ces grandeurs le développement limité de k. On
Λω
Γω
1
X X2
. En déduire k ′ et k ′′ . Montrer que dans ces conditions, le câble est non
−
2
8
r g
dispersif si la condition de Heaviside
est vérifiée.
=
Λ Γ
rappelle qu’à l’ordre 2 (1 + X ) 2 = 1 +
1
; β = rΓ + gΛ ; γ = rg b) somme d’une O.P.P.H qui se propage dans le sens des z croissants en
c2
2
ω
1  r g 
s’atténuant, et d’une O.P.P.H qui se propage dans le sens des z décroissants en s’atténuant d) k ′ = 1 − 2  −   et
c  8ω  Λ Γ  


1  r g
k ′′ = −  + 
2c  Λ Γ 
réponse : a) α = ΛΓ =
5. Modèle de ligne bifilaire dissipative
On considère une ligne bifilaire dissipative dont une élément de longueur dx est modélisé
ρdx
comme indiqué sur le schéma ci-contre : ρ est une résistance linéique et Γ une capacité
i(x,t)
linéique.
a) Montrer que u(x,t) et i(x,t) obéissent à une équation d’onde analogue à une équation de u(x,t)
Γdx
diffusion dont on déterminera le coefficient de diffusion a. Interpréter en terme d’évolution
des signaux dans la ligne. u ( x + dx, t )
b) On impose u ( x = 0, t ) = U 0 e jωt . On cherche des solutions établies sous la forme d’une
i ( x + dx, t )
u ( x + dx, t )
dx
onde progressive : u ( x, t ) = U 0 e j ( ωt − kx ) avec k complexe dans le cas où la ligne s’étend de x = 0 à x → ∞ . Calculer k.
Introduire une longueur caractéristique δ du phénomène. Comment s’appelle ce phénomène ?
c) On cherche maintenant des solutions stationnaires : u ( x, t ) = f ( x) g (t ) . On court-circuite la ligne en x = 0 et x = L . Montrer
que u ( x, t ) se décompose sur une base de modes propres non sinusoïdaux quantifiés par un entier n.
 πx 
Si à t = 0 , u ( x,0) = U 0 sin 3   . Calculer u ( x, t ) en faisant apparaître une durée caractéristique de la ligne. Commenter.
 L
réponse : a) dissipation d’énergie à cause de la résistance : signaux évanescents ; a =
u ( x, t ) = U 0 e
−
x
x
j ( ωt − )
δe
δ
 nπx  −
c) un = Cn sin 
e
 L 
n 2 π 2 at
L2
3U 0
 πx  −
; u ( x, t ) =
sin  e
4
 L
π 2 at
L2
1
b) δ =
ρΓ
U
 3πx  −
− 0 sin 
e
4
 L 
2a
épaisseur de peau ;
ω
9 π 2 at
L2
6. Pavillon exponentiel (sujet classique)
On considère un pavillon rempli d’air de masse volumique ρ0 , de révolution autour de l’axe Ox, dont la section est de la forme
x
r
r
S = S 0 e d , avec d très grand devant la longueur L du pavillon : la vitesse eulérienne de l’air est v ≈ v x ( x, t )ex . On note c la
célérité du son dans l’air. On se place dans l’approximation acoustique.
a) Écrire l’équation d’Euler linéarisée ainsi que la relation entre l’écart entre la masse volumique au repos ρ1 ( x, t ) = ρ( x, t ) − ρ0
et la surpression p1 ( x, t ) = p( x, t ) − p0 dans l’hypothèse d’une transformation isentropique des particules fluides (on note
χS =
1  ∂ρ 
  le coefficient de compressibilité isentropique).
ρ  ∂p  S
r
r
r
∂ρ
+ div(ρv ) = 0 n’est elle pas applicable ici avec v = v x ( x, t )ex ? Faire directement un
∂t
∂ρ1
∂v
ρ v
bilan de masse entre x et x + dx et en déduire que
+ ρ0
=− 0 .
∂t
∂x
d
c) Établir l’équation d’onde régissant v et p1 .
b) Pourquoi l’équation de continuité
d) On cherche des solutions O.P.P.H : v( x, t ) = v0 e i ( ωt − kx ) . Montrer que la propagation ne peut se faire que si ω ≥ ωc , pulsation
de coupure à calculer. Trouver alors la relation de dispersion entre k ′ = Re(k ) et ω. Calculer les vitesses de phase et de groupe.
Tracer la courbe donnant k ′(ω) . Commenter le cas d → ∞
e) Déterminer dans le cas d’une O.P.P.H se propageant dans le sens des x croissants le champ de vitesse et de surpression.
r
f) Calculer la vitesse de propagation cU de l’énergie. Commenter.
réponse : b) On a vr << v x
k ′2 =
ω2 − ωc 2
c2
e) v = v0 e
−
c
∂ 2v
∂ 2v
1 ∂v
−
ρ
χ
=−
, pareil pour p1 d) ωc =
;
0
S
2
2
2d
d ∂x
∂x
∂t
r
x
J ac
r
r
iωρ 0 v0 − 2 d j ( ωt − k ′x )
; p1 =
e e
f) cU =
= vg e x
1
u
ac
+ ik ′
2d
mais pas
x
2 d e j ( ωt − k ′x )
∂v
∂vr
<< x
∂r
∂x
c)
Dispersion d’ondes NON planes dans le vide
7. Guide d’onde rectangulaire, étude du mode TEn0
Un guide d’onde est constitué de quatre parois planes parfaitement conductrices permettant à une onde électromagnétique de se
propager dans le vide selon l’axe Ox.
y
y
conducteur
parfait
a
a
vide
x
vide
z
z
b
x
b
a) Écrire les équations régissant le champ électromagnétique, ainsi que les conditions aux limites imposées par la présence des
conducteurs parfaits.
r
r
On cherche pour le champ électrique des solutions de la forme E = f ( y, z )e i ( ωt − kx ) ez où f est une fonction réelle. Commenter
la forme de la solution recherchée : s’agit-il d’une onde plane ? stationnaire ? Pourquoi parle-t-on d’onde transverse électrique
TE ?
r
Écrire deux équations locales ne faisant intervenir que E . Les résoudre et montrer que les modes de propagation recherchés
r
 nπ  i ( ωt − kx) r
y e
e z avec n entier. Déterminer la relation de dispersion entre k et ω.
sont quantifiés (modes TEn0) : E = E0 sin 
a 
r
b) Calculer B . L’onde est-elle transverse électromagnétique ? Montrer que l’on a bien trouvé un champ électromagnétique
solution du problème.
c) On revient sur la relation de dispersion. Montrer que le guide se comporte comme un filtre passe-haut. Le vide est-il un
milieu dispersif ? Comment expliquer alors ce comportement ?
Calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe de l’onde, les comparer à la célérité c de la lumière dans le vide.
Commenter.
Montre que l’onde étudiée est la somme de deux ondes planes O.P.P.HPR dont on donnera les directions de propagation.
Retrouver la relation de dispersion en raisonnant sur ces ondes planes.
d) Aspect énergétique : calculer u e et u m , puis u e et u m , valeurs moyennes spatiales. En déduire u . Calculer la
r
r
r
r
moyenne temporelle S p du vecteur de Poynting, puis S p : montrer S p = u v g e x . Commenter cette relation.
r
r
réponse : a) E régi par l’équation de D’Alembert (vide) et divE = 0 + C.A.L imposées par les conducteurs ; l’onde cherchée
r
ω2 n 2 π 2
n’est ni plane ni stationnaire, elle se propage selon ex ; k 2 = 2 − 2 b) utiliser M.F c) dispersion car onde non plane (due
c
a
aux C.A.L) : somme de 2 O.P.P.H correspondant à des réflexions sur les conducteurs en y = 0 et y = a d) u =
ε 0 E0 2
b)
4
r
kE0 2 r
Sp =
ex ; la vitesse moyenne de propagation de l’énergie est la vitesse de groupe dans un milieu non absorbant
4µ 0 ω
8. Communication dans un immeuble (résolution de problème)
Les gardiens d’un grand parking souterrain de 2,5 m de hauteur construit en béton armé souhaitent communiquer entre eux à
l’aide de talkies-walkies. Quelle fréquence minimale doivent-ils utiliser ?