12-TS-Co-Chap09b Lois Newton

Chapitre 09
LOIS DE NEWTON
A) VECTEUR ACCELERATION
1) Définition
r
r
dv
r
a (t) =
: dérivée du vecteur vitesse v par rapport au temps
dt
r
 dv
a (t) =  x
 dt
 r  dv y  r  dv z  r
j+
i + 
k

dt
dt
 

 
L’accélération s’exprime en m.s - 2
2) Mouvements rectilignes uniformément variés
Dans un référentiel donné, le mouvement d’un point est rectiligne uniformément varié si le
r
vecteur accélération de ce point est
constant
a (t) =
cte
A
A
r
v
Mvt accéléré (ax > 0 )
r
v
Mvt décéléré (ax < O )
Tracer, sans souci
d’échelle, le vecteur
accélération au point A
pour chaque mouvement
3) Mouvement rectiligne uniforme
r
v = cte
r
r
donc a ( t ) = 0
B) LES LOIS DE NEWTON
1) Deuxième loi de Newton
a) Enoncé
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur un point
matériel est égale à la dérivée, par rapport temps, du vecteur quantité de mouvement du point
r
r
dp
matériel soit ∑ F =
dt
r r
r
Remarque : si ∑ F = 0 alors p = cte
b) Si la masse m est constante
r
r dpr d (mvr )
r
dv
=m
= ma
∑F = =
dt
dt
dt
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur un point
matériel de masse constante est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération
r
r
∑F = ma
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2) Troisième loi de Newton
Quel que soit leur état de mouvement ou de repos, deux objets A et B en interaction exercent
r
r
F
=
−
F
B/ A
l’un sur l’autre des forces vérifiant la relation vectorielle : A / B
C) MOUVEMENT DANS LE CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
1) Lancer d’un projectile : voir figure 1
On considère un projectile lancé à un instant t = 0 au point
r
O, avec une vitesse v 0 .
r
Le champ de pesanteur g est considéré uniforme.
Les frottements de l’air sont négligés.
Sur la figure 1 on a à l’instant
t=0
r
r
La deuxième loi de Newton permet d’écrire ∑ F = ma
Figure 1
r
r
Le bilan des forces appliquées sur le projectile permet d’écrire ∑ F = P : poids de l’objet
r
r
r
de plus, le poids P est relié à la masse m du projectile suivant la relation P = m g .
r
r r
r
r
On en déduit une relation entre a et g : a = g et comme g est dirigé vers le bas, on peut
r
r r
r
écrire g = a y = - g. j (g est le module du vecteur g )
a) Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur accélération du projectile a pour composantes
Pour obtenir les composantes du vecteur vitesse, il faut
par rapport au temps
intégrer
les équations du dessus
où A, B et C sont des constantes d’intégration que
r
l’on peut trouver en étudiant le vecteur v 0
On a alors
(relations et ) à l’instant t = 0
En comparant les relations et avec t = 0 on a A = v0cosα ; B = v0sinα et C = 0
Le vecteur vitesse du projectile est donc donné par
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b) vecteur position OG ( t )
Les composantes du vecteur vitesse du projectile sont données dans la relation Pour obtenir les composantes du vecteur position, il faut
intégrer
les équations de la
relation par rapport au temps
où D, E et F sont des constantes
d’intégration que l’on peut trouver en
r
sachant qu’à l’instant t = 0, OG = 0
On a alors
On a alors x(0) = 0 ; y(0) = 0 et z(0) = 0
En comparant les relations et avec t = 0 on a D = 0 ; E = 0 et F = 0
Le vecteur position de G est donc donné par
c) Equation cartésienne de la trajectoire : c’est l’équation qui donne y en fonction de x
La relation permet de trouver t en fonction de x : t =
x
v 0 cos α
En remplaçant t par son expression dans la relation on obtient
2
y(t) =
-



1 
x
x
sin α
 + v0 sinα 
 avec
g
= tanα.
2  v 0 cos α 
cos α
 v c cos α 
On remarque que y dépend de x et on a
y(x) =
-
x2
1
+ (tan α) x
g
2 ( v 0 cos α) 2
équation d’une parabole (figure 2)
Figure 2
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2) Cas particulier : chute libre verticale sans vitesse initiale : voir figure 3
Sur la figure 3 l’angle α vaut - 90°
Donc sinα = -1 et cosα = ….0.
De plus, si le « projectile » tombe sans vitesse initiale, on
peut écrire v0 = 0.
1
Les relations et deviennent x(t) = 0 et y(t) = - gt 2
2
Voir aussi exercice 17 page 198
Figure 3
D) MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE UNIFORME : voir figure 4
Sur la figure 4 des électrons de charge q rse
déplacent dans un champ électrique E .
Ces électrons sont alors soumis à une force
r
r
F
=
q
E
électrostatique
Avec E =
U
; U en V et D en m
D
r
r
Le poids P = mg est supposé négligeable
r
devant F .
Figure 4 : on applique une tension U entre P et N
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
r
r
∑F = ma
r
q
E
=
soit
r
ma c’est-à-dire
r
a=
q r
E
m
Equation de la trajectoire de l’électron : voir exercice 26 page 200
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