12-TS-Co-Chap09b Lois Newton

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Chapitre 09
A) VECTEUR ACCELERATION
1) Définition
a
r
(t) =
dt
vd
r
: dérivée du vecteur vitesse
v
r
par rapport au temps
a
r
(t) = k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
z
y
x
rrr 
+ +
L’accélération s’exprime en m.s - 2
2) Mouvements rectilignes uniformément variés
Dans un référentiel donné, le mouvement d’un point est rectiligne uniformément varié si le
vecteur accélération de ce point est constant
a
r
(t) =
cte
Tracer, sans souci
d’échelle, le vecteur
accélération au point A
pour chaque mouvement
Mvt accéléré
(a
x
> 0 )
Mvt décéléré
(a
x
< O )
3) Mouvement rectiligne uniforme
cte
v
=
r
donc 0)t(a
r
r
=
B) LES LOIS DE NEWTON
1) Deuxième loi de Newton
a) Enoncé
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur un point
matériel est égale à la dérivée, par rapport temps, du vecteur quantité de mouvement du point
matériel soit ∑F
r
=
dt
pd
r
Remarque : si ∑F
r
=
0
r
alors p
r
=
cte
b) Si la masse m est constante
am
dt
vd
m
dt
)vm(d
dt
pd
Fr
r
r
r
r
===
∑=
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur un point
matériel de masse constante est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération
∑F
r
= m
a
r
LOIS DE NEWTON
A
v
r
A
v
r

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2) Troisième loi de Newton
Quel que soit leur état de mouvement ou de repos, deux objets A et B en interaction exercent
l’un sur l’autre des forces vérifiant la relation vectorielle : A/BB/A FF
r
r
−=
C) MOUVEMENT DANS LE CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
1)
Lancer d’un projectile
:
voir
figure 1
On considère un projectile lancé à un instant t = 0 au point
O, avec une vitesse 0 v
r
.
Le champ de pesanteur g
r
est considéré uniforme.
Les frottements de l’air sont négligés.
Sur la figure 1 on a à l’instant
t = 0
La deuxième loi de Newton permet d’écrire ∑=amF
r
r
Figure 1
Le bilan des forces appliquées sur le projectile permet d’écrire ∑F
r
=
P
r
: poids de l’objet
de plus, le poids
P
r
est relié à la masse m du projectile suivant la relation
=
P
r
mg
r
.
On en déduit une relation entre
a
r
et g
r
:
a
r
= g
r
et comme g
r
est dirigé vers le bas, on peut
écrire g
r
= y a
r
= - g. j
r
(g est le module du vecteur g
r
)
a) Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur accélération du projectile a pour composantes
Pour obtenir les composantes du vecteur vitesse, il faut intégrer les équations du dessus
par rapport au temps
On a alors
où A, B et C sont des constantes d’intégration que
l’on peut trouver en étudiant le vecteur 0 v
r
(relations et ) à l’instant t = 0
En comparant les relations
et avec t = 0 on a A = v
0
cosα ; B = v
0
sinα et C = 0
Le vecteur vitesse du projectile est donc donné par

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b) )t(OGposition vecteur
Les composantes du vecteur vitesse du projectile sont données dans la relation
Pour obtenir les composantes du vecteur position, il faut intégrer les équations de la
relation par rapport au temps
On a alors
où D, E et F sont des constantes
d’intégration que l’on peut trouver en
sachant qu’à l’instant t = 0,
0
OG
r
=
On a alors x(0) = 0 ; y(0) = 0 et z(0) = 0
En comparant les relations
et avec t = 0 on a D = 0 ; E = 0 et F = 0
Le vecteur position de G est donc donné par
c) Equation cartésienne de la trajectoire : c’est l’équation qui donne y en fonction de x
La relation permet de trouver t en fonction de x : t = αcosv x
0
En remplaçant t par son expression dans la relation on obtient
y(t) = -
αcosv x
g
2
1
0
2
+ v0 sinα
αcosv x
c
avec α
α
cos
sin = tanα.
On remarque que y dépend de x et on a
y(x) = -
2
0
2
)cosv(
x
g
2
1α + (tan α) x
équation d’une parabole (figure 2)
Figure 2

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2) Cas particulier : chute libre verticale sans vitesse initiale : voir figure 3
Sur la figure 3 l’angle
α
vaut - 90°
Donc sinα = -1 et cosα = ….0.
De plus, si le « projectile » tombe sans vitesse initiale, on
peut écrire v
0
= 0.
Les relations et deviennent x(t) = 0 et y(t) = - 2 gt
2
1
Voir aussi exercice 17 page 198
Figure 3
D) MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTROSTA-
TIQUE UNIFORME : voir figure 4
Sur la
figure 4
des électrons de charge q se
déplacent dans un champ électrique
E
r
.
Ces électrons sont alors soumis à une force
électrostatique
EqF
r
r
=
Avec E =
D
U ; U en V et D en m
Le poids gmP
r
r
= est supposé négligeable
devant
F
r
.
Figure 4
:
on applique une
tension U
entre P et N
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
∑F
r
= m
a
r
soit am Eq
r
r
= c’est-à-dire E
m
q
a
r
r=
Equation de la trajectoire de l’électron : voir exercice 26 page 200