Probl`eme : itérées d`une application d`un ensemble fini

Énoncé
Itérées d’une application d’un ensemble fini
Problème : itérées d’une application d’un ensemble fini
Notations
– Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.
– On note En = {1, 2, . . . , n} l’ensemble des n premiers entiers naturels non nuls.
Dans certaines questions, on sera peut-être amené à donner une valeur particulière à n.
– On note Fn l’ensemble de toutes les applications de En dans lui-même.
Pour désigner un élément f de Fn , on utilisera le tableau
Par exemple
1
3
2
3
3
1
4
3
5
5
1
f (1)
2
f (2)
···
···
n−1
n
.
f (n−1) f (n)
désigne l’application f : E5 → E5 (c-à-d l’élément f de F5 ) définie par les
égalités f (1) = 3, f (2) = 3, f (3) = 1, f (4) = 3 et f (5) = 5.
– Pour tout f de Fn , on définit les puissances itérées de f par
(
f 0 = Id
∀ k ∈ N, f k+1 = f ◦f k
Ainsi f 1 = f , f 2 = f ◦f , f 3 = f ◦f ◦f , etc.
Il est clair qu’avec une telle définition, on a f m ◦f p = f p ◦f m = f m+p pour tous m, p de N.
Première partie : étude de trois exemples
Dans cette partie, et dans cette partie seulement, on fixe n = 10 .
On définit un élément f de F10 par f =
1
3
2
10
3 4 5 6 7 8 9
7 6 4 4 9 8 3
10
.
7
On considère également les deux applications
g=
1
5
2 3 4 5 6 7 8 9
10 6 4 8 3 9 3 2
10
6
et h =
1
5
2
10
3 4 5 6 7 8 9
4 7 9 6 3 2 1
10
.
8
1. Les applications f, g, h sont-elles bijectives ?
Dans l’affirmative précisez leur bijection réciproque.
2. Calculer (directement sous la forme de tableaux 2 × 10, et sans justifications intermédiaires) les applications f k , avec 2 6 k 6 8. On constatera notamment que f 8 = f 2 .
3. Montrer que f k+6 = f k pour tout entier k > 2 (autrement dit la suite des puissances itérées de f est
périodique de période 6 à partir de f 2 ) et que l’ensemble {f k , k ∈ N} se réduit aux huit applications
(toutes distinctes) {Id, f, f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 }.
On exprimera cette situation en disant que f est de délai 2 et de période 6.
4. Calculer de même le délai et la période de l’application g.
5. Calculer enfin le délai et la période de l’application h.
Deuxième partie : généralisation
On va généraliser les observations tirées des trois exemples précédents.
Dans cette partie, n est fixé dans N∗ , et f est un élément donné de Fn .
1. Préciser le nombre d’éléments de Fn , c’est-à-dire d’applications de En dans lui-même.
2. (a) Montrer que les puissances f k de f (avec k dans N) ne peuvent pas être toutes distinctes.
(b) En déduire qu’il existe un plus petit entier d > 0 et un plus petit entier p > 1 tels que f d+p = f d ,
et que la suite (f k )k>0 est périodique de période p à partir de k = d.
On exprime cette situation en disant que f est de délai d et de période p.
Lycée Saint-Louis, MPSI3
mathprepa.fr
Page 1
Itérées d’une application d’un ensemble fini
Énoncé
(c) Montrer que les applications Id, f, . . . , f d , f d+1 , . . . , f d+p−1 (c’est-à-dire les d + p premières puissances de f ) sont distinctes deux à deux.
(d) Montrer finalement que l’ensemble {f k , k ∈ N} de toutes les puissances de f se réduit à l’ensemble
{Id, f, . . . , f d , f d+1 , . . . , f d+p−1 } de ses d + p premières puissances.
3. Montrer que l’application f est bijective si et seulement si son délai d est nul.
4. Pour tout entier k, on note Im (f k ) = f k (En ) = {f k (x), x ∈ En }.
L’ensemble Im (f k ) est donc formé des images des éléments de En par l’application f k .
Du fait que f 0 = Id, on a naturellement Im (f 0 ) = En .
(a) Etudier la suite des Im (f k ) quand (uniquement dans cette question) n = 10 et quand f est l’une
des trois applications étudiées dans la première partie du problème.
On se contentera ici d’observations, en remarquant que dans chaque cas les ensembles Im (f k )
sont “emboı̂tés” avant de se stabiliser. On notera en particulier que l’indice k à partir duquel la
suite des Im (f k ) est constante est à chaque fois le délai de f .
(b) Montrer que pour tous entiers j et k, on a j 6 k ⇒ Im (f j ) ⊃ Im (f k ).
Ce résultat signifie que la suite des Im (f k ) est décroissante pour l’inclusion.
(c) Soit k un entier quelconque supérieur ou égal à d.
Montrer que Im f d = Im f k (indication : on utilisera la question précédente et une égalité f d+qp =
f d , où q est un entier convenablement choisi).
Ce résultat signifie que la suite des Im (f k ) est stationnaire à partir (au plus tard) de l’entier
k = d, où d est le délai de l’application f .
5. Dans cette question, on suppose d > 1, (donc d’après (3), f n’est pas bijective).
Depuis (4b) on connait les inclusions En = Im (f 0 ) ⊃ Im (f ) ⊃ · · · ⊃ Im (f d ).
On va maintenant prouver que toutes ces inclusions sont strictes.
On raisonne par l’absurde et on suppose : ∃ k ∈ {0, . . . , d−1}, Im (f k ) = Im (f k+1 ).
On désigne par ϕ la restriction de f à l’ensemble Im (f k ).
(a) Montrer que ϕ est une application de Im (f k ) dans lui-même et que ϕ◦f k = f k+1 .
(b) Prouver que ϕ est une bijection de Im (f k ).
(c) Pour tout entier naturel m, montrer que ϕm ◦f k = f k+m .
(d) Par un argument analogue à ceux de (3), montrer : ∃ m ∈ N∗ , ϕm = Id.
En déduire l’égalité f k+m = f k avec m > 1, puis une contradiction.
6. (a) Déduire de la question (5) que le délai de f : En → En est toujours inférieur ou égal à n − 1.
(b) Donner l’exemple d’une application f : En → En qui soit de délai n − 1.
7. Montrer que la restriction de f à Im (f d ) est une bijection de Im (f d ) sur lui-même.
8. Résumez les résultats obtenus dans cette partie.
Lycée Saint-Louis, MPSI3
mathprepa.fr
Page 2
Corrigé
Itérées d’une application d’un ensemble fini
Corrigé du problème
Première partie : étude de trois exemples
1. L’application f n’est pas bijective car par exemple f (5) = f (6).
Il en est de même pour g car par exemple g(6) = g(8).
L’application h est bijective (tout élément de E10 possède un antécédent unique).
On trouve sa bijection réciproque h−1 =
!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
3
1
6
4
10
5
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
9
3
6
4
4
7
8
9
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
7
9
6
4
4
3
8
7
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
7
6
4
4
9
8
3
7
.
2. On trouve successivement :
f2 =
f4
f6
=
=
f8 =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
7
9
4
6
6
3
8
7
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
7
4
6
6
9
8
3
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
9
3
4
6
6
7
8
9
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
7
9
4
6
6
3
8
7
9
!
f3 =
!
f5
=
!
f7
=
!
!
!
!
On constate que les applications Id, f, . . . , f 7 sont distinctes, mais que f 8 = f 2 .
3. L’égalité f 8 = f 2 donne, pour tout m de N : f m ◦f 8 = f m ◦f 2 c’est-à-dire f m+8 = f m+2 .
En posant k = m + 2, il revient au même d’écrire : f k+6 = f k pour tout entier k > 2.
La suite des (f k )k>0 des puissances de f est donc 6-périodique à partir de k = 2.
Cette périodicité implique que {f k , k > 0} = {Id, f, f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 } : l’ensemble des puissances
de f se réduit donc aux 8 premières puissances f 0 , . . . , f 7 toutes distinctes.
4. On trouve successivement :
g2
g4
=
=
g6 =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
!
10
8
6
3
4
3
6
2
6
10
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
6
3
4
3
6
6
6
3
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
6
3
4
3
6
6
6
3
3
g3
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
6
4
6
3
10
3
6
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
6
4
6
3
3
3
6
6
!
g5
=
!
!
!
On constate que les applications Id, g, g 2 , g 3 , g 4 , g 5 sont distinctes, mais que g 6 = g 4 .
On en déduit g k+2 = g k pour tout entier k > 4.
Avec les définitions précédentes, l’application g est donc de délai 4 et de période 2.
5. On trouve immédiatement :
h2
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
3
1
6
4
10
5
2
!
,
h3
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
!
= Id.
Ainsi les applications f 0 = Id, h, h2 sont distinctes, mais h3 = Id.
On en déduit hk+3 = hk pour tout entier k > 0.
Avec les définitions précédentes, l’application h est donc de délai 0 et de période 3.
Lycée Saint-Louis, MPSI3
mathprepa.fr
Page 3
Itérées d’une application d’un ensemble fini
Corrigé
Deuxième partie : généralisation
1. L’ensemble En étant formé de n éléments, il y a nn applications de En dans lui-même.
Pour définir un élément f de Fn , il faut en effet choisir arbitrairement f (1) parmi les n éléments de En ,
puis choisir f (2) (à nouveau n choix possibles, indépendants du précédent), etc. jusqu’à choisir f (n)
de façon quelconque dans En (donc n choix successifs et indépendants offrant chacun n possibilités).
2. (a) Si les puissances f k de f (avec k dans N) étaient distinctes deux à deux, on disposerait ainsi
d’une infinité d’applications différentes de En dans lui-même, c’est-à-dire d’une infinité d’éléments
différents de Fn , ce qui est absurde car Fn est un ensemble fini.
(b) L’ensemble Xf = {m ∈ N, ∃ q ∈ N∗ , f m+q = f m } est non vide (question précédente).
Cette partie non vide de N possède donc un plus petit élément, que nous notons d.
L’ensemble des entiers q > 1 tels f d+q = f d est une partie non vide de N∗ (car d est dans Xf ) et
possède donc un plus petit élément que nous notons p.
On a donc prouvé l’existence d’un plus petit entier naturel d, et pour celui-ci d’un plus petit
entier naturel strictement positif p tel que f d+p = f d .
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à d.
Compte tenu f d+p = f d , on a f n+p = f n−d ◦f d+p = f n−d ◦f d = f n .
Cela signifie que la suite des f k est périodique de période p à partir de k = d.
(c) Montrons que les p + d premières puissances Id, f, . . . , f d , f d+1 , . . . , f d+p−1 de f sont distinctes
deux à deux.
Pour celà on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe deux entiers q et r tels que 0 6 q <
r < d + p et f q = f r .
L’égalité q < d est impossible car cela contredirait le caractère minimal de d.
On a donc f q = f r avec d 6 q < r < d + p (et en particulier r − q < p).
Mais f q = f r ⇒ f d+p−q ◦f q = f d+p−q ◦f r ⇒ f d+p = f d+r−q+p .
Par p-périodicité, on a f d+p = f d et f d+r−q+p = f d+r−q (car d + r − q > d).
On arrive donc à l’égalité f d = f d+r−q , avec 0 < r − q < p, ce qui contredit le caractère minimal
de p.
Conclusion : les d + p applications Id, f, . . . , f d , . . . , f d+p−1 de f sont distinctes.
(d) Posons Pf = {Id, f, . . . , f d , . . . , f d+p−1 }, et soit k un entier naturel quelconque.
Si k < d, le problème de l’appartenance de f k à Pf ne se pose même pas...
Si k > d, on écrit k − d = qp + r avec q > 0 et 0 6 r < p (division de k − d par p).
On en déduit f k = f d+r+qp = f d+r (à cause la p-périodicité à partir de f d ).
Ainsi f k = f d+r avec d 6 d + r < d + p donc f k est élément de Pf .
Finalement toutes les puissances de f sont dans Pf , la réciproque étant évidente.
3. Soit f un élément de Fn .
— Si d = 0, l’égalité f d+p = f d s’écrit f p = Id.
Cette égalité implique que f est bijective (sa bijection inverse étant f p−1 ).
— Réciproquement, si f est bijective,
alors f d+p = f d ⇒ f d ◦ f p = f d qui implique f p = Id en
−1
composant par l’application f d
= f −d .
Ainsi f 0 = f p , ce qui signifie que f est de délai 0 (car la suite des puissances de f est p-périodique
à partir de f 0 ).
Conclusion : l’application f est bijective si et seulement si son délai d est nul.
Lycée Saint-Louis, MPSI3
mathprepa.fr
Page 4
Corrigé
Itérées d’une application d’un ensemble fini
4.
1
(a) — Avec f =
3
2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
10 7 6 4 4 9 8 3 7
D’abord Im (f 0 ) = E10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} et Im (f ) = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}.
Ensuite Im (f 2 ) = Im (f 3 ) = . . . = Im (f 7 ) = {3, 4, 6, 7, 8, 9} (puis f 8 = f 2 ).
Ainsi E10 = Im (f 0 ) ! Im (f ) ) Im (f 2 ) = Im (f 3 ) = Im (f 4 ) = . . .
C’est donc à partir de k = 2 (le délai de f ) que les Im (f k ) se stabilisent.
— Avec g =
1
5
2 3 4 5 6
10 6 4 8 3
7
9
8
3
9
2
10
.
6
D’abord Im (g 0 ) = E10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} et Im (g) = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}.
On trouve ensuite Im (g 2 ) = {2, 3, 4, 6, 8, 10} et Im (g 3 ) = {3, 4, 6, 10}.
On trouve enfin Im (g 4 ) = Im (g 5 ) = Im (g 6 ) = {3, 4, 6} (de toutes façons g 6 = g 4 ).
Ainsi E10 = Im (g 0 ) ) Im (g) ) Im (g 2 ) ) Im (g 3 ) ) Im (g 4 ) = Im (g 5 ) = . . .
C’est donc à partir de k = 4 (le délai de g) que les Im (g k ) se stabilisent.
— Avec h =
1
5
2 3 4 5 6
10 4 7 9 6
7
3
8
2
9
1
10
.
8
L’application h ainsi que toutes ses puissances sont bijectives.
Il en résulte E10 = Im (h0 ) = Im (h) = Im (h2 ) = Im (h3 ) = . . ..
Ici la suite des Im (hk ) est constante (stationnaire à partir de k = 0, le délai de h).
(b) Soit j et k dans N, avec j 6 k. Soit y un élément de Im (f k ).
Par définition il existe x dans En tel que y = f k (x).
On en déduit y = f j (x0 ) avec x0 = f k−j (x), ce qui prouve que y est dans Im f j .
On a donc obtenu l’implication j 6 k ⇒ Im (f j ) ⊃ Im (f k ).
(c) On sait que f d+qp = f d pour tout entier naturel q (cela résulte du fait que la suite des f k est
périodique de période p à partir du rang k = d).
Donnons-nous un entier k supérieur ou égal à d, et soit q un entier tel que d + qp > k.
Les inégalités d 6 k 6 d + qp impliquent Im (f d ) ⊃ Im (f k ) ⊃ Im (f d+qp ).
L’égalité Im (f d ) = Im (f d+qp ) implique que ces deux inclusions sont des égalités.
On obtient donc l’égalité Im (f d ) = Im (f k ), pour tout entier k > d.
5. (a) — Soit y un élément de Im (f k ). Il existe x dans En tel que y = f k (x).
Alors ϕ(y) = f (y) = f k+1 (x) = f k (f (x)) est encore un élément de Im (f k ).
Cela signifie que ϕ est bien une application de Im (f k ) dans lui-même.
— Pour tout élément x de En , on a f k+1 (x) = f (x0 ) avec x0 = f k (x).
Mais x0 est un élément de Im (f k ), donc f (x0 ) = ϕ(x0 ).
Ainsi f k+1 (x) = ϕ(f k (x)) = (ϕ◦f k )(x) pour tout x de En , c’est-à-dire f k+1 = ϕ◦f k .
(b) Soit y un élément de Im (f k ). On sait que Im (f k ) = Im (f k+1 ) donc y est dans Im (f k+1 ).
Ainsi il existe x dans En tel que y = f k+1 (x) donc tel que y = ϕ(f k (x)).
Or x0 = f k (x) est dans Im (f k ).
Pour tout y de Im (f k ), il existe donc x0 dans Im (f k ) tel que y = ϕ(x0 ).
Ainsi ϕ est surjective de Im (f k ) dans lui-même, donc bijective car Im (f k ) est fini.
(c) L’égalité ϕm ◦f k = f m+k est vraie si m = 0 (évident) et si m = 1 d’après (5a).
Supposons qu’elle soit vraie pour un entier naturel m.
Alors ϕm+1 ◦f k = ϕ◦(ϕm ◦f k ) = ϕ◦f m+k = (ϕ◦f m )◦f k = f m+1 ◦f k = f m+1+k ce qui démontre
la propriété au rang m + 1 et achève la récurrence.
On a donc bien l’égalité ϕm ◦f k = f m+k pour tout m de N.
Lycée Saint-Louis, MPSI3
mathprepa.fr
Page 5
Itérées d’une application d’un ensemble fini
Corrigé
(d) On sait que l’application ϕ est une bijection de Im (f k ) dans lui-même.
Il en est donc de même de toutes les applications ϕp avec p dans N.
Mais il n’existe qu’un nombre fini d’applications de Im (f k ) dans lui-même.
Il existe donc nécessairement deux indices p < q tels que ϕq = ϕp .
Mais en simplifiant par ϕp (possible car ϕ bijective) on trouve ϕq−p = Id.
En posant m = q − p, on a donc prouvé l’existence de m dans N∗ tel que ϕm = Id.
L’égalité ϕm ◦f k = f m+k s’écrit alors f k = f m+k .
Mais (du fait que k < d) cela contredit la définition de l’entier d vue en (II.2b).
Conclusion : on a prouvé les inclusions strictes En = Im (f 0 ) ) Im (f ) ) · · · ) Im (f d ).
6. (a) Si f est bijective, donc de délai d = 0 (voir la question II.3), alors d 6 n.
On suppose donc que f n’est pas bijective. Soi d > 1 le délai de f .
On sait maintenant que En = Im (f 0 ) ) Im (f ) ) · · · ) Im (f d ).
Ces inclusions strictes impliquent n = card(En ) > card(Im (f )) > · · · > card(Im (f d ).
A chaque de ces d étapes, la chute du nombre d’éléments est au moins égale à 1.
On en déduit card(Im (f )) 6 n − 1, card(Im (f 2 )) 6 n − 2, . . . , card(Im (f d )) 6 n − d.
Mais Im (f d ) = f d (En ) n’est pas vide (image d’un ensemble non vide par une application).
On en déduit 1 6 card(Im (f d )) 6 n − d et finalement d 6 n − 1.
(b) On considère f : En → En définie par f (1) = 1 et f (k) = k − 1 pour 2 6 k 6 n.
Il est clair que f 2 (1) = f 2 (2) = 1 et que f 2 (k) = k − 2 pour 3 6 k 6 n.
(
f m (1) = . . . = f m (m) = 1
Plus généralement, si m 6 n − 1,
f m (k) = k − m pour m + 1 6 k 6 n
On constate enfin que l’application f n−1 est constante : ∀ k ∈ En f n−1 (k) = 1.
Les applications f 0 , f, f 2 , . . . , f n−1 sont distinctes (f m (n) = n − m pour 0 6 m < n).
Enfin, on a les égalités f n−1 = f n = f n+1 = . . ..
On en déduit que f est de délai n − 1 (et de période 1).
7. C’est comme dans la question (II.5.b), en utilisant cette fois Im (f d+1 ) = Im (f d ).
Si ϕ est la restriction de f à Im (f d ), on a ϕ(Im (f d )) = Im (f d+1 ) = Im (f d ).
Ainsi ϕ est une surjection (donc une bijection) de Im (f d ) sur lui-même.
8. On peut conclure cette partie en énonçant le résultat suivant :
Pour toute application f : En → En , il existe un plus petit entier d > 0 (appelé délai de f ) et un plus
petit entier p > 1 (appelé période de f ) tels que la suite des puissances f k de f soit périodique de
période p à partir de k = d.
Le délai de f est toujours inférieur ou égal à n − 1. Il est nul si et seulement f est bijective.
L’ensemble des puissances de f se réduit alors à l’ensemble {f 0 = Id, f, f 2 , . . . , f d+p−1 } des d + p
premières puissances, qui d’ailleurs sont distinctes deux à deux.
On a les inclusions strictes En = Im (f 0 ) ) Im (f ) ) · · · ) Im (f d ) si d > 1.
On a les égalités Im (f d ) = Im (f d+1 ) = . . . = Im (f k ) = . . . pour tout k > d.
Lycée Saint-Louis, MPSI3
mathprepa.fr
Page 6