Probl`eme : itérées d`une application d`un ensemble fini

It´ er´ ees d’une application d’un ensemble fini ´ Enonc´e
Probl`eme : it´er´ees d’une application d’un ensemble fini
Notations
– Dans tout le probl`eme, nd´esigne un entier naturel non nul.
– On note En={1,2, . . . , n}l’ensemble des npremiers entiers naturels non nuls.
Dans certaines questions, on sera peut-ˆetre amen´e `a donner une valeur particuli`ere `a n.
– On note Fnl’ensemble de toutes les applications de Endans lui-mˆeme.
Pour d´esigner un ´el´ement fde Fn, on utilisera le tableau 1 2 · · · n−1n
f(1) f(2) · · · f(n−1) f(n).
Par exemple 12345
33135d´esigne l’application f:E5→E5(c-`a-d l’´el´ement fde F5) d´efinie par les
´egalit´es f(1) = 3, f(2) = 3, f(3) = 1, f(4) = 3 et f(5) = 5.
– Pour tout fde Fn, on d´efinit les puissances it´er´ees de fpar (f0= Id
∀k∈N, fk+1 =f◦fk
Ainsi f1=f,f2=f◦f,f3=f◦f◦f, etc.
Il est clair qu’avec une telle d´efinition, on a fm◦fp=fp◦fm=fm+ppour tous m, p de N.
Premi`ere partie : ´etude de trois exemples
Dans cette partie, et dans cette partie seulement, on fixe n= 10 .
On d´efinit un ´el´ement fde F10 par f=1 2 345678910
3107644983 7.
On consid`ere ´egalement les deux applications
g=1 2 345678910
5106483932 6et h=1 2 345678910 5104796321 8.
1. Les applications f, g, h sont-elles bijectives ?
Dans l’affirmative pr´ecisez leur bijection r´eciproque.
2. Calculer (directement sous la forme de tableaux 2 ×10, et sans justifications interm´ediaires) les appli-
cations fk, avec 2 6k68. On constatera notamment que f8=f2.
3. Montrer que fk+6 =fkpour tout entier k>2 (autrement dit la suite des puissances it´er´ees de fest
p´eriodique de p´eriode 6 `a partir de f2) et que l’ensemble {fk, k ∈N}se r´eduit aux huit applications
(toutes distinctes) {Id, f, f2, f3, f4, f5, f6, f7}.
On exprimera cette situation en disant que fest de d´elai 2 et de p´eriode 6.
4. Calculer de mˆeme le d´elai et la p´eriode de l’application g.
5. Calculer enfin le d´elai et la p´eriode de l’application h.
Deuxi`eme partie : g´en´eralisation
On va g´en´eraliser les observations tir´ees des trois exemples pr´ec´edents.
Dans cette partie, nest fix´e dans N∗, et fest un ´el´ement donn´e de Fn.
1. Pr´eciser le nombre d’´el´ements de Fn, c’est-`a-dire d’applications de Endans lui-mˆeme.
2. (a) Montrer que les puissances fkde f(avec kdans N) ne peuvent pas ˆetre toutes distinctes.
(b) En d´eduire qu’il existe un plus petit entier d>0 et un plus petit entier p>1 tels que fd+p=fd,
et que la suite (fk)k>0est p´eriodique de p´eriode p`a partir de k=d.
On exprime cette situation en disant que fest de d´elai det de p´eriode p.
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It´ er´ ees d’une application d’un ensemble fini ´ Enonc´e
(c) Montrer que les applications Id, f, . . . , fd, fd+1, . . . , f d+p−1(c’est-`a-dire les d+ppremi`eres puis-
sances de f) sont distinctes deux `a deux.
(d) Montrer finalement que l’ensemble {fk, k ∈N}de toutes les puissances de fse r´eduit `a l’ensemble
{Id, f, . . . , f d, f d+1, . . . , f d+p−1}de ses d+ppremi`eres puissances.
3. Montrer que l’application fest bijective si et seulement si son d´elai dest nul.
4. Pour tout entier k, on note Im (fk) = fk(En) = {fk(x), x ∈En}.
L’ensemble Im (fk) est donc form´e des images des ´el´ements de Enpar l’application fk.
Du fait que f0= Id, on a naturellement Im (f0) = En.
(a) Etudier la suite des Im (fk) quand (uniquement dans cette question) n= 10 et quand fest l’une
des trois applications ´etudi´ees dans la premi`ere partie du probl`eme.
On se contentera ici d’observations, en remarquant que dans chaque cas les ensembles Im (fk)
sont “emboˆıt´es” avant de se stabiliser. On notera en particulier que l’indice k`a partir duquel la
suite des Im (fk) est constante est `a chaque fois le d´elai de f.
(b) Montrer que pour tous entiers jet k, on a j6k⇒Im (fj)⊃Im (fk).
Ce r´esultat signifie que la suite des Im (fk) est d´ecroissante pour l’inclusion.
(c) Soit kun entier quelconque sup´erieur ou ´egal `a d.
Montrer que Im fd= Im fk(indication : on utilisera la question pr´ec´edente et une ´egalit´e fd+qp =
fd, o`u qest un entier convenablement choisi).
Ce r´esultat signifie que la suite des Im (fk) est stationnaire `a partir (au plus tard) de l’entier
k=d, o`u dest le d´elai de l’application f.
5. Dans cette question, on suppose d>1, (donc d’apr`es (3), fn’est pas bijective).
Depuis (4b) on connait les inclusions En= Im (f0)⊃Im (f)⊃ · · · ⊃ Im (fd).
On va maintenant prouver que toutes ces inclusions sont strictes.
On raisonne par l’absurde et on suppose : ∃k∈ {0, . . . , d−1},Im (fk) = Im (fk+1).
On d´esigne par ϕla restriction de f`a l’ensemble Im (fk).
(a) Montrer que ϕest une application de Im (fk) dans lui-mˆeme et que ϕ◦fk=fk+1.
(b) Prouver que ϕest une bijection de Im (fk).
(c) Pour tout entier naturel m, montrer que ϕm◦fk=fk+m.
(d) Par un argument analogue `a ceux de (3), montrer : ∃m∈N∗, ϕm= Id.
En d´eduire l’´egalit´e fk+m=fkavec m>1, puis une contradiction.
6. (a) D´eduire de la question (5) que le d´elai de f:En→Enest toujours inf´erieur ou ´egal `a n−1.
(b) Donner l’exemple d’une application f:En→Enqui soit de d´elai n−1.
7. Montrer que la restriction de f`a Im (fd) est une bijection de Im (fd) sur lui-mˆeme.
8. R´esumez les r´esultats obtenus dans cette partie.
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It´ er´ ees d’une application d’un ensemble fini Corrig´e
Corrig´e du probl`eme
Premi`ere partie : ´etude de trois exemples
1. L’application fn’est pas bijective car par exemple f(5) = f(6).
Il en est de mˆeme pour gcar par exemple g(6) = g(8).
L’application hest bijective (tout ´el´ement de E10 poss`ede un ant´ec´edent unique).
On trouve sa bijection r´eciproque h−1= 1234567 8 910
9873164105 2!.
2. On trouve successivement :
f2= 12345678910
779466387 9!f3= 12345678910 993644789 3!
f4= 12345678910
337466983 7!f5= 12345678910 779644387 9!
f6= 12345678910
993466789 3!f7= 12345678910 337644983 7!
f8= 12345678910
779466387 9!
On constate que les applications Id, f, . . . , f7sont distinctes, mais que f8=f2.
3. L’´egalit´e f8=f2donne, pour tout mde N:fm◦f8=fm◦f2c’est-`a-dire fm+8 =fm+2.
En posant k=m+ 2, il revient au mˆeme d’´ecrire : fk+6 =fkpour tout entier k>2.
La suite des (fk)k>0des puissances de fest donc 6-p´eriodique `a partir de k= 2.
Cette p´eriodicit´e implique que {fk, k >0}={Id, f, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f7}: l’ensemble des puissances
de fse r´eduit donc aux 8 premi`eres puissances f0, . . . , f7toutes distinctes.
4. On trouve successivement :
g2= 12345678 9 10
8634362610 3!g3= 123456 7 8910 3364631036 6!
g4= 12345678910
663436663 3!g5= 12345678910 336463336 6!
g6= 12345678910
663436663 3!
On constate que les applications Id, g, g2, g3, g4, g5sont distinctes, mais que g6=g4.
On en d´eduit gk+2 =gkpour tout entier k>4.
Avec les d´efinitions pr´ec´edentes, l’application gest donc de d´elai 4 et de p´eriode 2.
5. On trouve imm´ediatement :
h2= 1234567 8 910
9873164105 2!,h3= 12345678910 12345678910!= Id.
Ainsi les applications f0= Id, h, h2sont distinctes, mais h3= Id.
On en d´eduit hk+3 =hkpour tout entier k>0.
Avec les d´efinitions pr´ec´edentes, l’application hest donc de d´elai 0 et de p´eriode 3.
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It´ er´ ees d’une application d’un ensemble fini Corrig´e
Deuxi`eme partie : g´en´eralisation
1. L’ensemble En´etant form´e de n´el´ements, il y a nnapplications de Endans lui-mˆeme.
Pour d´efinir un ´el´ement fde Fn, il faut en effet choisir arbitrairement f(1) parmi les n´el´ements de En,
puis choisir f(2) (`a nouveau nchoix possibles, ind´ependants du pr´ec´edent), etc. jusqu’`a choisir f(n)
de fa¸con quelconque dans En(donc nchoix successifs et ind´ependants offrant chacun npossibilit´es).
2. (a) Si les puissances fkde f(avec kdans N) ´etaient distinctes deux `a deux, on disposerait ainsi
d’une infinit´e d’applications diff´erentes de Endans lui-mˆeme, c’est-`a-dire d’une infinit´e d’´el´ements
diff´erents de Fn, ce qui est absurde car Fnest un ensemble fini.
(b) L’ensemble Xf={m∈N,∃q∈N∗, fm+q=fm}est non vide (question pr´ec´edente).
Cette partie non vide de Nposs`ede donc un plus petit ´el´ement, que nous notons d.
L’ensemble des entiers q>1 tels fd+q=fdest une partie non vide de N∗(car dest dans Xf) et
poss`ede donc un plus petit ´el´ement que nous notons p.
On a donc prouv´e l’existence d’un plus petit entier naturel d, et pour celui-ci d’un plus petit
entier naturel strictement positif ptel que fd+p=fd.
Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a d.
Compte tenu fd+p=fd, on a fn+p=fn−d◦fd+p=fn−d◦fd=fn.
Cela signifie que la suite des fkest p´eriodique de p´eriode p`a partir de k=d.
(c) Montrons que les p+dpremi`eres puissances Id, f, . . . , fd, fd+1, . . . , f d+p−1de fsont distinctes
deux `a deux.
Pour cel`a on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe deux entiers qet rtels que 0 6q <
r < d +pet fq=fr.
L’´egalit´e q < d est impossible car cela contredirait le caract`ere minimal de d.
On a donc fq=fravec d6q < r < d +p(et en particulier r−q < p).
Mais fq=fr⇒fd+p−q◦fq=fd+p−q◦fr⇒fd+p=fd+r−q+p.
Par p-p´eriodicit´e, on a fd+p=fdet fd+r−q+p=fd+r−q(car d+r−q>d).
On arrive donc `a l’´egalit´e fd=fd+r−q, avec 0 < r −q < p, ce qui contredit le caract`ere minimal
de p.
Conclusion : les d+papplications Id, f, . . . , fd, . . . , fd+p−1de fsont distinctes.
(d) Posons Pf={Id, f, . . . , f d, . . . , f d+p−1}, et soit kun entier naturel quelconque.
Si k < d, le probl`eme de l’appartenance de fk`a Pfne se pose mˆeme pas...
Si k>d, on ´ecrit k−d=qp +ravec q>0 et 0 6r < p (division de k−dpar p).
On en d´eduit fk=fd+r+qp =fd+r(`a cause la p-p´eriodicit´e `a partir de fd).
Ainsi fk=fd+ravec d6d+r < d +pdonc fkest ´el´ement de Pf.
Finalement toutes les puissances de fsont dans Pf, la r´eciproque ´etant ´evidente.
3. Soit fun ´el´ement de Fn.
— Si d= 0, l’´egalit´e fd+p=fds’´ecrit fp= Id.
Cette ´egalit´e implique que fest bijective (sa bijection inverse ´etant fp−1).
— R´eciproquement, si fest bijective, alors fd+p=fd⇒fd◦fp=fdqui implique fp= Id en
composant par l’application fd−1=f−d.
Ainsi f0=fp, ce qui signifie que fest de d´elai 0 (car la suite des puissances de fest p-p´eriodique
`a partir de f0).
Conclusion : l’application fest bijective si et seulement si son d´elai dest nul.
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It´ er´ ees d’une application d’un ensemble fini Corrig´e
4. (a) — Avec f=1 2 345678910
3107644983 7.
D’abord Im (f0) = E10 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}et Im (f) = {3,4,6,7,8,9,10}.
Ensuite Im (f2) = Im (f3) = . . . = Im (f7) = {3,4,6,7,8,9}(puis f8=f2).
Ainsi E10 = Im (f0)!Im (f))Im (f2) = Im (f3) = Im (f4) = . . .
C’est donc `a partir de k= 2 (le d´elai de f) que les Im (fk) se stabilisent.
— Avec g=1 2 345678910
5106483932 6.
D’abord Im (g0) = E10 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}et Im (g) = {2,3,4,5,6,8,9,10}.
On trouve ensuite Im (g2) = {2,3,4,6,8,10}et Im (g3) = {3,4,6,10}.
On trouve enfin Im (g4) = Im (g5) = Im (g6) = {3,4,6}(de toutes fa¸cons g6=g4).
Ainsi E10 = Im (g0))Im (g))Im (g2))Im (g3))Im (g4) = Im (g5) = . . .
C’est donc `a partir de k= 4 (le d´elai de g) que les Im (gk) se stabilisent.
— Avec h=1 2 345678910
5104796321 8.
L’application hainsi que toutes ses puissances sont bijectives.
Il en r´esulte E10 = Im (h0) = Im (h) = Im (h2) = Im (h3) = . . ..
Ici la suite des Im (hk) est constante (stationnaire `a partir de k= 0, le d´elai de h).
(b) Soit jet kdans N, avec j6k. Soit yun ´el´ement de Im (fk).
Par d´efinition il existe xdans Entel que y=fk(x).
On en d´eduit y=fj(x0) avec x0=fk−j(x), ce qui prouve que yest dans Im fj.
On a donc obtenu l’implication j6k⇒Im (fj)⊃Im (fk).
(c) On sait que fd+qp =fdpour tout entier naturel q(cela r´esulte du fait que la suite des fkest
p´eriodique de p´eriode p`a partir du rang k=d).
Donnons-nous un entier ksup´erieur ou ´egal `a d, et soit qun entier tel que d+qp >k.
Les in´egalit´es d6k6d+qp impliquent Im (fd)⊃Im (fk)⊃Im (fd+qp).
L’´egalit´e Im (fd) = Im (fd+qp) implique que ces deux inclusions sont des ´egalit´es.
On obtient donc l’´egalit´e Im (fd) = Im (fk), pour tout entier k>d.
5. (a) — Soit yun ´el´ement de Im (fk). Il existe xdans Entel que y=fk(x).
Alors ϕ(y) = f(y) = fk+1(x) = fk(f(x)) est encore un ´el´ement de Im (fk).
Cela signifie que ϕest bien une application de Im (fk) dans lui-mˆeme.
— Pour tout ´el´ement xde En, on a fk+1(x) = f(x0) avec x0=fk(x).
Mais x0est un ´el´ement de Im (fk), donc f(x0) = ϕ(x0).
Ainsi fk+1(x) = ϕ(fk(x)) = (ϕ◦fk)(x) pour tout xde En, c’est-`a-dire fk+1 =ϕ◦fk.
(b) Soit yun ´el´ement de Im (fk). On sait que Im (fk) = Im (fk+1) donc yest dans Im (fk+1).
Ainsi il existe xdans Entel que y=fk+1(x) donc tel que y=ϕ(fk(x)).
Or x0=fk(x) est dans Im (fk).
Pour tout yde Im (fk), il existe donc x0dans Im (fk) tel que y=ϕ(x0).
Ainsi ϕest surjective de Im (fk) dans lui-mˆeme, donc bijective car Im (fk) est fini.
(c) L’´egalit´e ϕm◦fk=fm+kest vraie si m= 0 (´evident) et si m= 1 d’apr`es (5a).
Supposons qu’elle soit vraie pour un entier naturel m.
Alors ϕm+1 ◦fk=ϕ◦(ϕm◦fk) = ϕ◦fm+k= (ϕ◦fm)◦fk=fm+1 ◦fk=fm+1+kce qui d´emontre
la propri´et´e au rang m+ 1 et ach`eve la r´ecurrence.
On a donc bien l’´egalit´e ϕm◦fk=fm+kpour tout mde N.
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