Énoncé Itérées d’une application d’un ensemble fini Problème : itérées d’une application d’un ensemble fini Notations – Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul. – On note En = {1, 2, . . . , n} l’ensemble des n premiers entiers naturels non nuls. Dans certaines questions, on sera peut-être amené à donner une valeur particulière à n. – On note Fn l’ensemble de toutes les applications de En dans lui-même. Pour désigner un élément f de Fn , on utilisera le tableau Par exemple 1 3 2 3 3 1 4 3 5 5 1 f (1) 2 f (2) ··· ··· n−1 n . f (n−1) f (n) désigne l’application f : E5 → E5 (c-à-d l’élément f de F5 ) définie par les égalités f (1) = 3, f (2) = 3, f (3) = 1, f (4) = 3 et f (5) = 5. – Pour tout f de Fn , on définit les puissances itérées de f par ( f 0 = Id ∀ k ∈ N, f k+1 = f ◦f k Ainsi f 1 = f , f 2 = f ◦f , f 3 = f ◦f ◦f , etc. Il est clair qu’avec une telle définition, on a f m ◦f p = f p ◦f m = f m+p pour tous m, p de N. Première partie : étude de trois exemples Dans cette partie, et dans cette partie seulement, on fixe n = 10 . On définit un élément f de F10 par f = 1 3 2 10 3 4 5 6 7 8 9 7 6 4 4 9 8 3 10 . 7 On considère également les deux applications g= 1 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 4 8 3 9 3 2 10 6 et h = 1 5 2 10 3 4 5 6 7 8 9 4 7 9 6 3 2 1 10 . 8 1. Les applications f, g, h sont-elles bijectives ? Dans l’affirmative précisez leur bijection réciproque. 2. Calculer (directement sous la forme de tableaux 2 × 10, et sans justifications intermédiaires) les applications f k , avec 2 6 k 6 8. On constatera notamment que f 8 = f 2 . 3. Montrer que f k+6 = f k pour tout entier k > 2 (autrement dit la suite des puissances itérées de f est périodique de période 6 à partir de f 2 ) et que l’ensemble {f k , k ∈ N} se réduit aux huit applications (toutes distinctes) {Id, f, f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 }. On exprimera cette situation en disant que f est de délai 2 et de période 6. 4. Calculer de même le délai et la période de l’application g. 5. Calculer enfin le délai et la période de l’application h. Deuxième partie : généralisation On va généraliser les observations tirées des trois exemples précédents. Dans cette partie, n est fixé dans N∗ , et f est un élément donné de Fn . 1. Préciser le nombre d’éléments de Fn , c’est-à-dire d’applications de En dans lui-même. 2. (a) Montrer que les puissances f k de f (avec k dans N) ne peuvent pas être toutes distinctes. (b) En déduire qu’il existe un plus petit entier d > 0 et un plus petit entier p > 1 tels que f d+p = f d , et que la suite (f k )k>0 est périodique de période p à partir de k = d. On exprime cette situation en disant que f est de délai d et de période p. Lycée Saint-Louis, MPSI3 mathprepa.fr Page 1 Itérées d’une application d’un ensemble fini Énoncé (c) Montrer que les applications Id, f, . . . , f d , f d+1 , . . . , f d+p−1 (c’est-à-dire les d + p premières puissances de f ) sont distinctes deux à deux. (d) Montrer finalement que l’ensemble {f k , k ∈ N} de toutes les puissances de f se réduit à l’ensemble {Id, f, . . . , f d , f d+1 , . . . , f d+p−1 } de ses d + p premières puissances. 3. Montrer que l’application f est bijective si et seulement si son délai d est nul. 4. Pour tout entier k, on note Im (f k ) = f k (En ) = {f k (x), x ∈ En }. L’ensemble Im (f k ) est donc formé des images des éléments de En par l’application f k . Du fait que f 0 = Id, on a naturellement Im (f 0 ) = En . (a) Etudier la suite des Im (f k ) quand (uniquement dans cette question) n = 10 et quand f est l’une des trois applications étudiées dans la première partie du problème. On se contentera ici d’observations, en remarquant que dans chaque cas les ensembles Im (f k ) sont “emboı̂tés” avant de se stabiliser. On notera en particulier que l’indice k à partir duquel la suite des Im (f k ) est constante est à chaque fois le délai de f . (b) Montrer que pour tous entiers j et k, on a j 6 k ⇒ Im (f j ) ⊃ Im (f k ). Ce résultat signifie que la suite des Im (f k ) est décroissante pour l’inclusion. (c) Soit k un entier quelconque supérieur ou égal à d. Montrer que Im f d = Im f k (indication : on utilisera la question précédente et une égalité f d+qp = f d , où q est un entier convenablement choisi). Ce résultat signifie que la suite des Im (f k ) est stationnaire à partir (au plus tard) de l’entier k = d, où d est le délai de l’application f . 5. Dans cette question, on suppose d > 1, (donc d’après (3), f n’est pas bijective). Depuis (4b) on connait les inclusions En = Im (f 0 ) ⊃ Im (f ) ⊃ · · · ⊃ Im (f d ). On va maintenant prouver que toutes ces inclusions sont strictes. On raisonne par l’absurde et on suppose : ∃ k ∈ {0, . . . , d−1}, Im (f k ) = Im (f k+1 ). On désigne par ϕ la restriction de f à l’ensemble Im (f k ). (a) Montrer que ϕ est une application de Im (f k ) dans lui-même et que ϕ◦f k = f k+1 . (b) Prouver que ϕ est une bijection de Im (f k ). (c) Pour tout entier naturel m, montrer que ϕm ◦f k = f k+m . (d) Par un argument analogue à ceux de (3), montrer : ∃ m ∈ N∗ , ϕm = Id. En déduire l’égalité f k+m = f k avec m > 1, puis une contradiction. 6. (a) Déduire de la question (5) que le délai de f : En → En est toujours inférieur ou égal à n − 1. (b) Donner l’exemple d’une application f : En → En qui soit de délai n − 1. 7. Montrer que la restriction de f à Im (f d ) est une bijection de Im (f d ) sur lui-même. 8. Résumez les résultats obtenus dans cette partie. Lycée Saint-Louis, MPSI3 mathprepa.fr Page 2 Corrigé Itérées d’une application d’un ensemble fini Corrigé du problème Première partie : étude de trois exemples 1. L’application f n’est pas bijective car par exemple f (5) = f (6). Il en est de même pour g car par exemple g(6) = g(8). L’application h est bijective (tout élément de E10 possède un antécédent unique). On trouve sa bijection réciproque h−1 = ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 3 1 6 4 10 5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 9 3 6 4 4 7 8 9 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 7 9 6 4 4 3 8 7 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 3 7 6 4 4 9 8 3 7 . 2. On trouve successivement : f2 = f4 f6 = = f8 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 7 9 4 6 6 3 8 7 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 3 7 4 6 6 9 8 3 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 9 3 4 6 6 7 8 9 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 7 9 4 6 6 3 8 7 9 ! f3 = ! f5 = ! f7 = ! ! ! ! On constate que les applications Id, f, . . . , f 7 sont distinctes, mais que f 8 = f 2 . 3. L’égalité f 8 = f 2 donne, pour tout m de N : f m ◦f 8 = f m ◦f 2 c’est-à-dire f m+8 = f m+2 . En posant k = m + 2, il revient au même d’écrire : f k+6 = f k pour tout entier k > 2. La suite des (f k )k>0 des puissances de f est donc 6-périodique à partir de k = 2. Cette périodicité implique que {f k , k > 0} = {Id, f, f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 } : l’ensemble des puissances de f se réduit donc aux 8 premières puissances f 0 , . . . , f 7 toutes distinctes. 4. On trouve successivement : g2 g4 = = g6 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ! 10 8 6 3 4 3 6 2 6 10 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 6 3 4 3 6 6 6 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 6 3 4 3 6 6 6 3 3 g3 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 3 6 4 6 3 10 3 6 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 3 6 4 6 3 3 3 6 6 ! g5 = ! ! ! On constate que les applications Id, g, g 2 , g 3 , g 4 , g 5 sont distinctes, mais que g 6 = g 4 . On en déduit g k+2 = g k pour tout entier k > 4. Avec les définitions précédentes, l’application g est donc de délai 4 et de période 2. 5. On trouve immédiatement : h2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 3 1 6 4 10 5 2 ! , h3 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ! = Id. Ainsi les applications f 0 = Id, h, h2 sont distinctes, mais h3 = Id. On en déduit hk+3 = hk pour tout entier k > 0. Avec les définitions précédentes, l’application h est donc de délai 0 et de période 3. Lycée Saint-Louis, MPSI3 mathprepa.fr Page 3 Itérées d’une application d’un ensemble fini Corrigé Deuxième partie : généralisation 1. L’ensemble En étant formé de n éléments, il y a nn applications de En dans lui-même. Pour définir un élément f de Fn , il faut en effet choisir arbitrairement f (1) parmi les n éléments de En , puis choisir f (2) (à nouveau n choix possibles, indépendants du précédent), etc. jusqu’à choisir f (n) de façon quelconque dans En (donc n choix successifs et indépendants offrant chacun n possibilités). 2. (a) Si les puissances f k de f (avec k dans N) étaient distinctes deux à deux, on disposerait ainsi d’une infinité d’applications différentes de En dans lui-même, c’est-à-dire d’une infinité d’éléments différents de Fn , ce qui est absurde car Fn est un ensemble fini. (b) L’ensemble Xf = {m ∈ N, ∃ q ∈ N∗ , f m+q = f m } est non vide (question précédente). Cette partie non vide de N possède donc un plus petit élément, que nous notons d. L’ensemble des entiers q > 1 tels f d+q = f d est une partie non vide de N∗ (car d est dans Xf ) et possède donc un plus petit élément que nous notons p. On a donc prouvé l’existence d’un plus petit entier naturel d, et pour celui-ci d’un plus petit entier naturel strictement positif p tel que f d+p = f d . Soit n un entier naturel supérieur ou égal à d. Compte tenu f d+p = f d , on a f n+p = f n−d ◦f d+p = f n−d ◦f d = f n . Cela signifie que la suite des f k est périodique de période p à partir de k = d. (c) Montrons que les p + d premières puissances Id, f, . . . , f d , f d+1 , . . . , f d+p−1 de f sont distinctes deux à deux. Pour celà on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe deux entiers q et r tels que 0 6 q < r < d + p et f q = f r . L’égalité q < d est impossible car cela contredirait le caractère minimal de d. On a donc f q = f r avec d 6 q < r < d + p (et en particulier r − q < p). Mais f q = f r ⇒ f d+p−q ◦f q = f d+p−q ◦f r ⇒ f d+p = f d+r−q+p . Par p-périodicité, on a f d+p = f d et f d+r−q+p = f d+r−q (car d + r − q > d). On arrive donc à l’égalité f d = f d+r−q , avec 0 < r − q < p, ce qui contredit le caractère minimal de p. Conclusion : les d + p applications Id, f, . . . , f d , . . . , f d+p−1 de f sont distinctes. (d) Posons Pf = {Id, f, . . . , f d , . . . , f d+p−1 }, et soit k un entier naturel quelconque. Si k < d, le problème de l’appartenance de f k à Pf ne se pose même pas... Si k > d, on écrit k − d = qp + r avec q > 0 et 0 6 r < p (division de k − d par p). On en déduit f k = f d+r+qp = f d+r (à cause la p-périodicité à partir de f d ). Ainsi f k = f d+r avec d 6 d + r < d + p donc f k est élément de Pf . Finalement toutes les puissances de f sont dans Pf , la réciproque étant évidente. 3. Soit f un élément de Fn . — Si d = 0, l’égalité f d+p = f d s’écrit f p = Id. Cette égalité implique que f est bijective (sa bijection inverse étant f p−1 ). — Réciproquement, si f est bijective, alors f d+p = f d ⇒ f d ◦ f p = f d qui implique f p = Id en −1 composant par l’application f d = f −d . Ainsi f 0 = f p , ce qui signifie que f est de délai 0 (car la suite des puissances de f est p-périodique à partir de f 0 ). Conclusion : l’application f est bijective si et seulement si son délai d est nul. Lycée Saint-Louis, MPSI3 mathprepa.fr Page 4 Corrigé Itérées d’une application d’un ensemble fini 4. 1 (a) — Avec f = 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . 10 7 6 4 4 9 8 3 7 D’abord Im (f 0 ) = E10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} et Im (f ) = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}. Ensuite Im (f 2 ) = Im (f 3 ) = . . . = Im (f 7 ) = {3, 4, 6, 7, 8, 9} (puis f 8 = f 2 ). Ainsi E10 = Im (f 0 ) ! Im (f ) ) Im (f 2 ) = Im (f 3 ) = Im (f 4 ) = . . . C’est donc à partir de k = 2 (le délai de f ) que les Im (f k ) se stabilisent. — Avec g = 1 5 2 3 4 5 6 10 6 4 8 3 7 9 8 3 9 2 10 . 6 D’abord Im (g 0 ) = E10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} et Im (g) = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}. On trouve ensuite Im (g 2 ) = {2, 3, 4, 6, 8, 10} et Im (g 3 ) = {3, 4, 6, 10}. On trouve enfin Im (g 4 ) = Im (g 5 ) = Im (g 6 ) = {3, 4, 6} (de toutes façons g 6 = g 4 ). Ainsi E10 = Im (g 0 ) ) Im (g) ) Im (g 2 ) ) Im (g 3 ) ) Im (g 4 ) = Im (g 5 ) = . . . C’est donc à partir de k = 4 (le délai de g) que les Im (g k ) se stabilisent. — Avec h = 1 5 2 3 4 5 6 10 4 7 9 6 7 3 8 2 9 1 10 . 8 L’application h ainsi que toutes ses puissances sont bijectives. Il en résulte E10 = Im (h0 ) = Im (h) = Im (h2 ) = Im (h3 ) = . . .. Ici la suite des Im (hk ) est constante (stationnaire à partir de k = 0, le délai de h). (b) Soit j et k dans N, avec j 6 k. Soit y un élément de Im (f k ). Par définition il existe x dans En tel que y = f k (x). On en déduit y = f j (x0 ) avec x0 = f k−j (x), ce qui prouve que y est dans Im f j . On a donc obtenu l’implication j 6 k ⇒ Im (f j ) ⊃ Im (f k ). (c) On sait que f d+qp = f d pour tout entier naturel q (cela résulte du fait que la suite des f k est périodique de période p à partir du rang k = d). Donnons-nous un entier k supérieur ou égal à d, et soit q un entier tel que d + qp > k. Les inégalités d 6 k 6 d + qp impliquent Im (f d ) ⊃ Im (f k ) ⊃ Im (f d+qp ). L’égalité Im (f d ) = Im (f d+qp ) implique que ces deux inclusions sont des égalités. On obtient donc l’égalité Im (f d ) = Im (f k ), pour tout entier k > d. 5. (a) — Soit y un élément de Im (f k ). Il existe x dans En tel que y = f k (x). Alors ϕ(y) = f (y) = f k+1 (x) = f k (f (x)) est encore un élément de Im (f k ). Cela signifie que ϕ est bien une application de Im (f k ) dans lui-même. — Pour tout élément x de En , on a f k+1 (x) = f (x0 ) avec x0 = f k (x). Mais x0 est un élément de Im (f k ), donc f (x0 ) = ϕ(x0 ). Ainsi f k+1 (x) = ϕ(f k (x)) = (ϕ◦f k )(x) pour tout x de En , c’est-à-dire f k+1 = ϕ◦f k . (b) Soit y un élément de Im (f k ). On sait que Im (f k ) = Im (f k+1 ) donc y est dans Im (f k+1 ). Ainsi il existe x dans En tel que y = f k+1 (x) donc tel que y = ϕ(f k (x)). Or x0 = f k (x) est dans Im (f k ). Pour tout y de Im (f k ), il existe donc x0 dans Im (f k ) tel que y = ϕ(x0 ). Ainsi ϕ est surjective de Im (f k ) dans lui-même, donc bijective car Im (f k ) est fini. (c) L’égalité ϕm ◦f k = f m+k est vraie si m = 0 (évident) et si m = 1 d’après (5a). Supposons qu’elle soit vraie pour un entier naturel m. Alors ϕm+1 ◦f k = ϕ◦(ϕm ◦f k ) = ϕ◦f m+k = (ϕ◦f m )◦f k = f m+1 ◦f k = f m+1+k ce qui démontre la propriété au rang m + 1 et achève la récurrence. On a donc bien l’égalité ϕm ◦f k = f m+k pour tout m de N. Lycée Saint-Louis, MPSI3 mathprepa.fr Page 5 Itérées d’une application d’un ensemble fini Corrigé (d) On sait que l’application ϕ est une bijection de Im (f k ) dans lui-même. Il en est donc de même de toutes les applications ϕp avec p dans N. Mais il n’existe qu’un nombre fini d’applications de Im (f k ) dans lui-même. Il existe donc nécessairement deux indices p < q tels que ϕq = ϕp . Mais en simplifiant par ϕp (possible car ϕ bijective) on trouve ϕq−p = Id. En posant m = q − p, on a donc prouvé l’existence de m dans N∗ tel que ϕm = Id. L’égalité ϕm ◦f k = f m+k s’écrit alors f k = f m+k . Mais (du fait que k < d) cela contredit la définition de l’entier d vue en (II.2b). Conclusion : on a prouvé les inclusions strictes En = Im (f 0 ) ) Im (f ) ) · · · ) Im (f d ). 6. (a) Si f est bijective, donc de délai d = 0 (voir la question II.3), alors d 6 n. On suppose donc que f n’est pas bijective. Soi d > 1 le délai de f . On sait maintenant que En = Im (f 0 ) ) Im (f ) ) · · · ) Im (f d ). Ces inclusions strictes impliquent n = card(En ) > card(Im (f )) > · · · > card(Im (f d ). A chaque de ces d étapes, la chute du nombre d’éléments est au moins égale à 1. On en déduit card(Im (f )) 6 n − 1, card(Im (f 2 )) 6 n − 2, . . . , card(Im (f d )) 6 n − d. Mais Im (f d ) = f d (En ) n’est pas vide (image d’un ensemble non vide par une application). On en déduit 1 6 card(Im (f d )) 6 n − d et finalement d 6 n − 1. (b) On considère f : En → En définie par f (1) = 1 et f (k) = k − 1 pour 2 6 k 6 n. Il est clair que f 2 (1) = f 2 (2) = 1 et que f 2 (k) = k − 2 pour 3 6 k 6 n. ( f m (1) = . . . = f m (m) = 1 Plus généralement, si m 6 n − 1, f m (k) = k − m pour m + 1 6 k 6 n On constate enfin que l’application f n−1 est constante : ∀ k ∈ En f n−1 (k) = 1. Les applications f 0 , f, f 2 , . . . , f n−1 sont distinctes (f m (n) = n − m pour 0 6 m < n). Enfin, on a les égalités f n−1 = f n = f n+1 = . . .. On en déduit que f est de délai n − 1 (et de période 1). 7. C’est comme dans la question (II.5.b), en utilisant cette fois Im (f d+1 ) = Im (f d ). Si ϕ est la restriction de f à Im (f d ), on a ϕ(Im (f d )) = Im (f d+1 ) = Im (f d ). Ainsi ϕ est une surjection (donc une bijection) de Im (f d ) sur lui-même. 8. On peut conclure cette partie en énonçant le résultat suivant : Pour toute application f : En → En , il existe un plus petit entier d > 0 (appelé délai de f ) et un plus petit entier p > 1 (appelé période de f ) tels que la suite des puissances f k de f soit périodique de période p à partir de k = d. Le délai de f est toujours inférieur ou égal à n − 1. Il est nul si et seulement f est bijective. L’ensemble des puissances de f se réduit alors à l’ensemble {f 0 = Id, f, f 2 , . . . , f d+p−1 } des d + p premières puissances, qui d’ailleurs sont distinctes deux à deux. On a les inclusions strictes En = Im (f 0 ) ) Im (f ) ) · · · ) Im (f d ) si d > 1. On a les égalités Im (f d ) = Im (f d+1 ) = . . . = Im (f k ) = . . . pour tout k > d. Lycée Saint-Louis, MPSI3 mathprepa.fr Page 6