Wronskien - IMJ-PRG

Universit´e Paris-Diderot Pr´eparation `a l’agr´egation, 2016-2017
Wronskien
1. Diff´erentielle du d´eterminant
R´ef´erence: Sylvie Benzoni, calcul diff et ´equa diff, Dunod.
Dans Cn×n,l’ensemble des matrices carr´ees de taille n, `a coefficients complexes, on note
det Ale d´eterminant de la matrice A. Cela d´efinit une application C∞(car polynˆomiale) de
Cn×nvers C.
Proposition 1. Pour tout A, H ∈Cn×n,si Aest inversible:
(det)0(A)H= det Atr (A−1H),
o`u (det)0est la diff´erentielle du d´eterminant.
Preuve. On calcule les d´eriv´ees partielles ∂det
∂Eij
(B) du d´eterminant en une matrice Bdonn´ee,
o`u (Eij ) est la base canonique de Mn(C).On obtient, en exploitant la lin´earit´e du d´eterminant
par rapport `a une colonne donn´ee:
∂det
∂Eij
(B) = (−1)i+jdeti,j (B),
o`u deti,j (B) est le mineur (i, j) de B. D’o`u par lin´earit´e
(det)0(B)H=X
i,j
(−1)i+jdeti,j (B)Hij ,
en notant Hij le coefficient (i, j) de H. On utilise maintenant la formule de la comatrice:
A−1= (det A)−1(−1)i+jdeti,j (A)i,j T,
o`u MTd´esigne la transpos´ee de M, et on observe que
tr(ATB) = X
1≤i≤n
(ATB)i,i =X
1≤i≤nX 1≤j≤n
AjiBji.
Donc
(det)0(B)H=X
i,j
(−1)i+jdeti,j (B)Hij Eij = det Btr(B−1H),
si Best inversible.
Corollaire 2. Pour A∈Cn×n,on a det(eA) = etrA.
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Preuve. On consid´ere l’´equation diff´erentielle satisfaite par t→det(etA).On calcule
d
dt det etA = det etA tre−tAAetA= det etA tr A,
et donc z=etA satisfait l’´equation diff´erentielle z0= tr Az, si bien que z(t) = z(0)ettr A.
Dans le Corollaire ci-dessus, noter que det(eA) est a priori tr`es compliqu´e `a calculer: c’est
le d´eterminant d’une somme infinie de puissances de A... alors que le membre de droite est tr`es
simple, puisque trAest un scalaire complexe tr`es facile `a calculer.
2. Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes d’ordre 1dans Cn
Soit t∈I→A(t) une application continue, d´efinie sur Iun intervalle ouvert de R,et `a
valeurs dans Cn×n.Par le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz lin´eaire, les solutions maximales de
y0=A(t)ysont d´efinies sur I.
Th´eor`eme 3. L’ensemble des solutions de y0=A(t)yest un espace vectoriel de dimension n.
Preuve. Soit Sl’ensemble des solutions: c’est un espace vectoriel par lin´earit´e de l’´equation.
Pour tout t0∈I, soit l’application lin´eaire Φ : y∈ S → y(t0)∈Rn,qui `a une solution yassocie
sa valeur au temps t0.
L’application Φ est injective, par unicit´e de la trajectoire passant par un point (si deux
trajectoires se croisent, les solutions correspondantes sont ´egales sur l’intersection de leurs en-
sembles de d´efinition, donc ici sur Itout entier).
L’application Φ est surjective, par le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz.
Donc Φ est un isomorphisme, et dim S= dim Rn=n.
Soit (yi) une famille finie de solutions de y0=A(t)y. Comment d´eterminer si cette famille
est libre ou li´ee ? La condition de d´ependance lin´eaire s’´ecrit:
∃αi∈R,non tous nuls, tels que ∀t∈I, X
j
αjyj(t)=0.(1)
Remarquons qu’une famille de fonctions peut ˆetre libre et toutes les fonctions de la famille
s’annuler en un mˆeme point. (Consid´erer le cas d’une fonction fnon identiquement nulle, avec
∅ 6=f−1({0}).Ou consid´erer la famille des (X−1)j,qui s’annulent tous en x= 1.)
Proposition 4. Une famille finie (yi)de solutions de y0=A(t)yest li´ee si et seulement s’il
existe t0∈Itel que la famille (yi(t0)) soit li´ee dans Rn.
Preuve. Soit (yi) une famille li´ee. Alors (yi) est li´ee en tout t0∈I. R´eciproquement, si (yi(t0))
est li´ee, alors il existe une famille de scalaires αinon tous nuls tels que Pjαjyj(t0) = 0.
La fonction Pjαjyjest une solution de l’´equation diff´erentielle, par lin´earit´e de l’´equation.
Elle s’annule en t0.Par ailleurs, on connaˆıt une solution qui s’annule en t0: c’est la fonction
identiquement nulle. Donc par unicit´e de la trajectoire passant par le vecteur nul `a t= 0,la
solution Piαiyiest identiquement nulle, ce qu’on voulait prouver.
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Soit y1, . . . , ynune famille de nsolutions de y0=A(t)y. On appelle Wronskien de la famille
yiet on note W(t) = W(y1, . . . , yn;t) l’application
W(t) = det y1(t), . . . , yn(t)
qui est donc un d´eterminant de nvecteurs de Cn.
Proposition 5. Le Wronskien Wsatisfait, pour tout t0∈I:
W(t) = W(t0) exp Zt
t0
tr A(s)ds.
Preuve. Si la famille est li´ee en t0,alors W(t0) = 0,et la famille est alors li´ee en tout point,
par la Proposition 4. Donc on peut supposer W(t0)6= 0,et on sait alors que W(t)6= 0 pour
tout t∈I. On note Y= (y1, . . . , yn) : c’est une application continue sur I`a valeurs dans les
matrices inversibles de Cn×n.On remarque que
Y0(t) = A(t)Y(t).
On utilise la Proposition 2:
W0(t) = W(t)tr (Y(t)−1Y0(t) ) = W(t)tr (Y(t)−1A(t)Y(t)) = tr A(t)W(t),
et il suffit maintenant de r´esoudre l’´equation diff´erentielle scalaire d’ordre un satisfaite par le
Wronskien.
3. ´ Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes d’ordre ndans C
Soit a1, . . . , an−1des fonctions continues sur un intervalle I⊂R,`a valeurs dans C.On
consid`ere l’´equation diff´erentielle
y(n)+a1y(n−1) +. . . an−1y0+any= 0,(2)
pos´ee sur I. On se ram`ene au cas des ´equations d’ordre 1 dans Cnpar la remarque suivante: si
yest solution de (2), alors en posant Y= (y, y0, . . . , y(n−1),on a une solution de
Y0=A(t)Y, (3)
avec Ala matrice avec des z´eros partout sauf
•au-dessus de la diagonale (coefficients (1,2),(2,3),...,(n−1, n)) des 1;
•la derni`ere ligne ´egale `a (−an,−an−1,...,−a1).
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En particulier, l’ensemble des solutions de (2) est un espace vectoriel de dimension n.
Etant don´ee une famille (y1, . . . , yn) de solutions de (2), on d´efinit le Wronskien W(t) =
W(y1, . . . , yn;t) par
W(t) = det(Y1(t), . . . , Yn(t)), Yj:= (yj, y0
j, . . . , y(n−1)
j).(4)
D’apr`es la Proposition 4, la famille (Yj) (`a valeurs dans Cn) est li´ee si et seulement si la famille
(Yj(t0)) est li´ee pour un certain t0∈I.
Si la famille de solutions (yj) est li´ee, alors X
j
αjyj≡0 avec les αjnon tous nuls, et donc
par d´erivation en t, la famille (Yj) est li´ee. R´eciproquement, si la famille (Yj) est li´ee, alors en
regardant la premi`ere ligne, la famille (yj) est li´ee.
Via le Wronskien (4) et la Proposition 5, on a donc
Proposition 6. Une famille (y1, . . . , yn)de solutions de (2) est li´ee si et seulement si son
Wronskien W(t)d´efini en (4) s’annule en un point. Par ailleurs, par la Proposition 5 et la
description de A,
W(t) = W(t0) exp −Zt
t0
a1(s)ds.
Benjamin Texier, 18 janvier 2017
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