COURS DE LICENCE STRUCTURES ALG´EBRIQUES 2007/8 5

COURS DE LICENCE STRUCTURES ALG´ EBRIQUES
2007/8
5. Groupes op´ erant sur un ensemble
On essaie d’´ecrire une “multiplication” d’un groupe Gsur un ensem-
ble X,g◦xqui contient les id´ees d´ecrit ci–dessous.
D´efinition 5.1. Soit Gun groupe, Xun ensemble, S(X)le groupe des
bijections de X. On dit que Gop`ere sur l’ensemble Xou Gagit sur
l’ensemble Xs’il existe un homomorphisme f:G→S(X).
C’est `a dire, `a tout ´el´ement g∈Gon associe f(g) = fg:X→X,
une application bijective, v´erifiant les conditions suivantes:
(i) pour tout x∈X, et pour tout g, g0∈G, on a fgg0(x) = fg(fg0(x));
(ii) pour tout x∈X, on a fe(x) = x.
Noter qu’on peut d´eduire que, pour tout x, y ∈Xet pour tout g∈G
on a fg(x) = y⇐⇒ fg−1(y) = x.
On dit l’action de Gsur Xest fid`ele si l’unique ´el´ement g∈Gtel
que pour tout x∈Xon a g.x =x, est l’´el´ement neutre de G. L’action
est dite transitive (respectivement simplement transitive) si pour tout
x, y ∈Xil existe un ´el´ement (resp. un unique ´el´ement) g∈Gtel que
g.x =y.
On ´ecrira ´egalement g·xpour fg(x) — alors,
(i) pour tout x∈X, et pour tout g, g0∈G, on a (gg0)·x=g·(g0·x);
(ii) pour tout x∈X, on a e·x=x.
La condition fg(x) = y⇐⇒ fg−1(y) = xdevient g·x=y⇐⇒
g−1·y=x.
exemple
(0) L’action triviale: tout groupe Gagit trivialement sur tout en-
semble Xen faisant correspondre `a tout ´el´ement g∈Gl’application
identit´e sur X.

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(1) Le groupe SO(2) = {cos θ−sin θ
sin θcos θ}agit (simplement) tran-
sitivement sur le cercle S1⊂R2(car ce groupe contient exactement les
rotations autour de l’origine).
(2) Soit Enl’espace vectoriel euclidien Rn; ceci est d’abord un groupe
ab´elien. En tant que groupe ab´elien, il agit transitivement sur Rnpar
t~a(x) = x+~a.
(3) On a souvent parl´e du groupe S3qui est le groupe d’isom´etrie d’un
triangle ´equilat´eral. Ce groupe “op`ere sur l’ensemble `a trois ´el´ements
{1,2,3}”. L’´el´ement neutre ne change rien et si on fait la permutation
qui correspond `a l’´el´ement a, suivi de la permutation qui correspond `a
a−1, le triangle n’a pas boug´e.
(4) Chaque ´el´ement du groupe Gl2(R) = {a b
c d|a, b, c, d ∈
R, ad −bc 6= 0}d´efinit un automorphisme du plan vectoriel R×R.
La matrice 1 0
0 1correspond `a l’identit´e. Cette action n’est pas
transitive sur R2, mais l’est sur R2− {(0,0)}
Noter qu’un groupe peut avoir beaucoup d’actions sur un seul en-
semble.
Proposition 5.2. Soit Gun groupe qui agit sur X.
a) La relation binaire Rsur Xd´efinie par
xRy⇐⇒ il existe g∈Gt.q. y=g·x
est une relation d’´equivalence.
b) Il en suit que Xest la r´eunion disjointe des orbites, c’est `a dire
X=O1∪O2∪. . . et CardX= CardO1+ CardO2+. . . .
Demonstration. Utilisant (ii) on a xRx; par (ii) on a xRy⇐⇒ ∃g, g ·
x=y⇐⇒ g−1·y=x⇐⇒ yRx; et la transitivit´e est garantie par
(i). 
D´efinition 5.3. Les classes d’´equivalence s’appellent les orbites ou
classes de transitivit´e de l’action de Gsur X.
S’il n’y a qu’une seule orbite, on dit que Gagit transitivement sur X.

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exemple
(1) Sur les sommets du triangle ´equilat´eral, le groupe S3agit transi-
tivement. C’est `a dire, il n’y a qu’une seule orbite.
(2) Le groupe Gl2(R) agit transitivement sur R×R− {(0,0)}.
(3) L’orbite de l’action de Zsur R(d´efinie par n·r=r+n) d’un point
r∈Rest l’ensemble {r+n|n∈Z}.
(4) Le groupe Sn: Le groupe Snde toutes les permutations de
l’ensemble Xn={1,2, . . . , n}agit transitivement. Pour a∈Sn, le
sous–groupe cyclique haiagit sur Xn.
Par exemple dans S3, l’´el´ement (123) qui d´enote la permutation qui
envoie 1 →2,2→3,3→1 est un ´el´ement d’ordre 3 dans le groupe S3,
et le sous–groupe engendr´e agit transitivement. L’´el´ement b= (12) qui
envoie 1 →2,2→1,3→3 est un ´el´ement d’ordre 2, et une orbite est
{1,2}, et l’autre est {3}.
(5) Le groupe Gop`ere sur lui–mˆeme: c’est `a dire on prend pour en-
semble Xl’ensemble des ´el´ements de G, sur lequel le groupe Gagit
(a) par conjugaison (ou automorphisme int´erieur)
Pour chaque ´el´ement de G, il y a l’automorphisme int´erieure
φg:G→Gd´efinie par φg(h) = ghg−1pour tout h∈G, qui
s’appelle conjugaison par g. Alors l’application G→Aut(G)
(Aut(G)⊂S(G)) ainsi d´efini donne une action de Gsur lui–
mˆeme. En g´en´erale cette action n’est pas transitive: par exemple
si g∈Get Gest commutatif (ou g∈Z(G)) on a φg=IdG.
Les orbites ici s’appellent les classes de conjugaison de G.
(b) par translation `a gauche
La multiplication dans Gdonne une action de Gsur lui–mˆeme. Pour
chaque g∈G, on a une bijection h→gh pour tout h∈G. Cette ap-
plication n’est pas en g´en´eral un automorphisme (sauf si gest l’´el´ement
neutre), mais elle est bijective, et elle satisfait les conditions (i) et (ii).
Cette action est transitive.
Dans cette derni`ere action, si g, g0∈G, et g6=g0, appartiennent `a
G, la multiplication sont deux ´el´ements distincts, on a la propri´et´e que

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la bijection qui correspond `a multiplication `a gauche par gest diff´erent
de la multiplication `a multiplication `a gauche par g0car en particulier
g=g·e6=g0·e=g0.
Donc:
Proposition 5.4. L’op´eration de Gsur lui–mˆeme par translation `a
gauche est un homomorphisme injectif de Gdans S(G)(le groupe de
permutations de l’ensemble G).
Corollaire 5.5. Th´eor`eme de Cayley
Tout groupe fini d’ordre nest un sous–groupe de Sn.
D´efinition 5.6. Soit Gun groupe qui agit sur l’ensemble X. Le stabil-
isateur d’un ´el´ement x∈Xest la collection d’´el´ements de Gqui fixent
x,Fx={g∈G|g·x=x}.
Pour un sous–ensemble A⊂X, on a le stabilisateur de Aest la
collection d’´el´ements de Gqui fixent Acomme ensemble, c’est `a dire
FA={g∈G|g·A=A}(on ne suppose pas que g·a=apour tout
a∈A).
exemple
(1) Pour l’action de S3sur le triangle ´equilat´eral, le stabilisateur du
sommet 1 est le sous–groupe d’ordre 2 engendr´e par la transposition
qui fixe 1 et ´echange 2 et 3.
En fait, si x∈ {1,2, . . . , n}alors Fxest un sous–groupe de Sniso-
morphe `a Sn−1.
(2) Quand on consid`ere l’action de Gsur lui–mˆeme par conjugaison, le
stabilisateur FAest le normalisateur de A,NA={g∈G|gAg−1=A}.
Il est claire que e∈FAtoujours. Une minute de r´eflexion suffit pour
d´emontrer:
Proposition 5.7. Soit Gun groupe qui agit sur X.
(i) Pour x∈X, son stabilisateur Fxest un sous–groupe de G.
(ii) Pour ∅ 6=A⊂X, son stabilisateur FAest un sous–groupe de G.

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Proposition 5.8. Soit Xun ensemble, et Gun groupe qui agit sur
X. Soit x∈Xun ´el´ement , avec stabilisateur Fxet orbite Ox. Soit
y∈Ox,g∈Gtel que y=g·x.
(i) L’ensemble des ´el´ements g0∈Gt.q. g0·x=yest la classe lat´erale
gFx={g0∈G|g0=gh, h ∈Fx};
(ii) Fy=gFxg−1;
(iii) CardOx= [G:Fx](= CardG/CardFxquand CardGest fini).
Demonstration. (i) Si g·x=y=g0·x, alors on a (g−1g0)·x=x⇐⇒
g−1g0∈Fx⇐⇒ g0∈gFx.
(ii) Si y=g·x, alors h·x=x⇐⇒ hg−1·(g·x) = x⇐⇒
(ghg−1)·(g·x) = g·x⇐⇒ ghg−1·y=y.
(iii) On d´efinit une application surjective Φ : G→Oxd´efinie par
g→g·x. Cette application correspond `a une relation d’´equivalence R
d´efinie sur Gpar:
gRg0⇐⇒ g·x=g0·x⇐⇒ (g0−1g)·x=x⇐⇒ g0−1g∈Fx.
Elle est donc associ´e `a un sous–groupe Fxde G, et on a G→G/R →
Ox, o`u la deuxi`eme application est une bijection. Il est claire que
CardG/R= CardG/CardFx= CardOx= [G:Fx].
Corollaire 5.9. Si Gest un groupe fini qui agit sur l’ensemble X, on
aCardFxdivise CardGet CardOxdivise CardG.
exemple Le cube est un solide r´egulier avec 6 faces carr´ees, 8 sommets,
et 12 arˆetes. Consid´erer le groupe Gde sym´etrie du cube (ceux qui
pr´eservent l’orientation).
(i) Il y a 6 faces, et Gagit transitivement sur l’ensemble des faces. Si
Pest une face, il y a une rotation d’ordre 4 qui le pr´eserve comme en-
semble — c’est `a dire CardFP= 4. Alors CardG= CardFPCardOP=
24.
(ii) Il y a 8 sommets, et Gagit transitivement sur l’ensemble des
sommets. Si vest un sommet, alors il y a une rotation d’ordre 3 qui le
fixe: CardFv= 3. Alors CardG= CardFvCardOv= 24.